Aritmética - El postulante (1)

Prévia do material em texto

www.FreeLibros.org
COLECCIÓN EL POSTULANTE
ARITMÉTICA
CO LECCIÓ N EL POSTULANTE
ARITMÉTICA
ARITMÉTICA - COLECCIÓN El POSTULANTE
Salvador Timoteo
© Salvador Timoteo
Diseño de portada: Óscar Farro 
Composición de interiores: Natalia Mogollón 
Responsable de edición: Alex Cubas
© Editorial San Marcos E. I. R. L., editor 
Jr. Dávalos Lissón 135, Lima 
Telefax: 331-1522 
RUC 20260100808
E-mail: informes@editorialsanmarcos.com
Primera edición: 2007 
Segunda edición: 2013 
Tiraje: 1000 ejemplares
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú 
Registro N.° 2012-11992 
ISBN 978-612-302-918-0
Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, 
sin previa autorización escrita del autor y del editor.
Impreso en el Perú / Printed in Perú
Pedidos:
Av. Garcilaso de la Vega 974, Lima 
Telefax: 424-6563
E-ma¡l: ventaslibreria@editorialsanmarcos.com 
www.editorialsanmarcos.com
Composición, diagramación e impresión:
Editorial San Marcos de Aníbal Paredes Galván 
Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S. J. L.
RUC 10090984344
mailto:informes@editorialsanmarcos.com
mailto:ventaslibreria@editorialsanmarcos.com
http://www.editorialsanmarcos.com
ÍNDICE
Razones - Proporciones - P rom ed ios............................................................................................................. 9
Magnitudes proporcionales............................................................................................................................... 19
Reparto p roporc iona l.......................................................................................................................................... 23
Regia de tre s ......................................................................................................................................................... 27
Porcentajes - Mezclas ....................................................................................................................................... 31
Interés - D escuento............................................................................................................................................. 40
Numeración - C on teo .......................................................................................................................................... 48
Cuatro operaciones............................................................................................................................................. 58
Divisibilidad............................................................................................................................................................. 69
Números prim os.................................................. 79
Máximo común divisor - Mínimo común múltiplo.......................................................................................... 87
Potenciación y rad icac ión .................................................................................................................................. 94
Teoría de conjuntos ................................................ 102
Números rac iona les............................................................................................................................................ 114
PRESENTACIÓN
Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando 
en las necesidades académicas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades, 
institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional.
La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son 
desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado 
de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para 
enfrentar no solo los diversos exámenes de admisión, sino afianzar los saberes de su formación escolar 
y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria 
exitosa.
Finalmente, deseamos hacer un reconocimiento al s fa ffde docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe­
dro de Castro, Jorge Solari y Nathali Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores academias 
de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de 
los contenidos.
-E L E D ITO R -
RAZONES - PROPORCIONES - PROMEDIOS
RAZON
Es la comparación que se establece entre dos can­
tidades de una magnitud mediante las operaciones 
de sustracción o división, lo cual nos induce a se­
ñalar que se tiene dos clases de razón.
Razón aritmética. Es la que se obtiene mediante 
la sustracción y consiste en determinar en cuánto 
excede una de las cantidades a la otra: a - b = r
Ejemplo:
Los automóviles A y B se desplazan con velocida­
des de 28 m/s y 23 m/s respectivamente, compare­
mos sus velocidades:
razón aritmética
28 m/s -> 23 m/s = 5 m/s
antecedente consecuente
Interpretación: la velocidad del automóvil A excede 
en 5 m/s a la velocidad del automóvil B.
Razón geométrica. Es la que se obtiene mediante
ia división y consiste en determinar cuántas veces
cada una de las cantidades contiene la unidad de
referencia: — = k 
b
Ejemplo:
Los edificios A y B tienen una altura de 60 m y 36 m, 
respectivamente, comparemos sus alturas (en ese 
orden):
razón geométrica
antecedente ------► 60 m _ 5
consecuente ------► 36 m 3
I
valor de la razón
Interpretación:
Las alturas de los edificios A y B son entre sí 
como 5 es a 3 porque:
Altura de A: 5(12 m)
Donde: 12 m es la unidad de referencia. 
Altura de B: 3(12 m)
Por cada 5 unidades de 60 m hay 3 unidades 
de 36 m.
Las alturas de los edificios A y B están en la 
relación de 5 a 3.
Recuerde:
RAZÓN
Aritmética Geométrica
a - b = r
Términos: 
a: antecedente 
b: consecuente 
r y k: valores de las razones
Cuando en el texto se mencione solamente razón o 
relación se debe entender que se hace referencia a 
la razón geométrica.
PROPORCIÓN
Es la igualdad en valor numérico de dos razones 
de la misma clase.
Proporción aritmética. Es aquella que se forma 
al igualar los valores numéricos de dos razones 
aritméticas.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética con las edades 
de 4 alumnos y que son: 15 años, 17 años, 18 años 
y 14 años.
Extremos
i i
I. 18 años - 15 años = 17 años - 14 años
t t
Medios
Extremos
I 1
II. 18 años - 17 años = 15 años - 14 años
t í
Medios
Llevando los extremos y medios a un solo miembro 
de la igualdad se obtiene lo siguiente:
Extremos Medios
• 18 años + 14 años = 17 años + 15 años 
32 años = 32 años
1 0 | C o lec ció n El Po s tu la n te
Extremos Medios
• 18 años + 14 años = 15 años + 17 años 
32 años = 32 años
De donde podemos concluir que en toda propor­
ción aritmética:
[suma de extremos] = [suma de medios]
Dependiendo del valor que asumen los términos 
medios las proporciones aritméticas presentan dos 
tipos.
A. Discreta. Cuando los valores de los términos 
medios son diferentes.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética con las altu­
ras de 4 árboles y que son: 25 m; 18 m; 42 m y 
35 m.
R eso luc ión :
Debemos comparar las alturas de dichos ár­
boles mediante una resta.
25 m - 18m = 7 m a la vez 42 m - 35 m = 7 m 
Como el valor de cada razón es el mismo pode­
mos establecer: 2 5 m - 1 8 m = 4 2 m - 3 5 m 
que es una proporción aritmética discreta. 
Convenclonalmente se asumen los términos 
de la proporción aritmética en el orden como 
se presentan en el problema:
í 1 -er ̂ i z ° ) - ( 3er W 4 M[térm ino/ [term ino/ [té rm ino / [term ino/ 
Ejemplo:
Halle la cuarta diferencial de los precios de 
tres artículos que son: S/.50, S/.34 y S/.29.
R eso luc ión :
La cuarta diferencial es el cuarto término en la 
proporción: 50 - 34 = 29 - c; c = 13, enton­
ces 13 es la cuarta diferencial de 50; 34 y 29.
B. Continua. Cuando los valores de lostérminos 
medios son ¡guales.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética continua con los 
volúmenes de 4 recipientes y que son 19 cm3, 
15 cm3 y 11 cm3.
R eso luc ión :
Podría ser:
19 cm3 - 15 cm 3 = 15 cm3 - 11 cm3
ya que generalmente se asume el orden en 
que se dan los términos.
Recuerde:
Proporción aritmética
Discreta
“a excede a b como c excede a d” 
Extremos
J i
a - b = c - d
t _ J “
Medios
d: cuarta diferencial de a, b y c
Continua
Extremos
I *
a - b = b - c
Medios 
b: media diferencial de a y c 
c: tercera diferencial de a y b
Proporción geométrica. Es aquella que se forma 
al igualar los valores numéricos de dos razones 
geométricas.
Ejemplo:
Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son 
24 L, 6 L, 16 L y 4 L las cuales se comparan me­
diante la división del siguiente modo:
M i = 4
6 L
l i L k _ 4
4 L
24 L = 16L 
6 L 4 L
24 L y 4 L: términos extremos 
6 L y 16 L: términos medios
Interpretación: la capacidad de 24 L es a la capaci­
dad de 6 L como la de 16 L es a la de 4 L.
Ejemplo:
Forme una proporción geométrica con las veloci­
dades de 4 automóviles y que son: 15 m/s; 20 m/s; 
9 m/s y 12 m/s.
A r it m é t ic a I 1 1
R eso luc ión :
I 15 m/s _ 9 m/s _ 3
20m /s 12 m/s 4
Extremos: 15 m/s y 12 m/s 
Medios: 20 m/s y 9 m/s
3
Valor de cada razón geométrica: ^
II 20 m/s 12 m/s 4
15 m/s 9 m/s 3
Extremos: 20 m/s y 9 m/s
Medios: 15 m/s y 12 m/s
Valor de cada razón geométrica: ^
Llevando los términos medios y extremos a 
un solo miembro de la igualdad se obtiene lo 
siguiente:
Extremos Medios
(15 m/s)(12 m/s) = (9 m/s)(20 m/s) 
1 8 0 = 1 8 0 
Extremos Medios
(20 m/s)(9 m/s) = (12 m/s)(15 m/s)
180 = 1 8 0
De donde podemos concluir que en toda pro­
porción geométrica:
[Producto de extremos] = [Producto de medios]
Dependiendo del valor que asumen los tér­
minos medios, las proporciones geométricas 
presentan dos tipos:
A. Discreta. Cuando los valores de los términos 
medios son diferentes:
— = — 
b d
Convencionalmente se asumen los términos 
de la proporción en el orden como se presen­
tan en el problema:
(1.er término) __ (3.er término)
(2.° término) (4.° término)
Ejemplo:
Calcula la cuarta proporcional de las estaturas 
de 3 estudiantes que son: 1,6 m; 1,2 m y 1,4 m
R eso luc ión :
La cuarta proporcional es el cuarto término de
.. 1,6 1,4
la proporción = — =, x = 1,05 es la cuar­
ta proporcional.
B. Continua. Cuando los valores de los términos 
medios son iguales.
a _ b 
b _ c
Recuerde:
Proporción geométrica
Discreta Continua
a _ c 
b d
d: cuarta proporcional 
de a, b y c
a b 
b ~ c
b: media proporcional 
de a y c. 
c: tercera proporcional 
de a y b.
Propiedad de la proporción geométrica. Al efec­
tuar las operaciones de adición y/o sustracción con 
los términos de una razón en la proporción, estas 
mismas operaciones se verifican con los términos 
de la otra razón.
Si:
a c a + b c + d a + b c + d— — — - >---------— o --------= --------- o
b d b d a c
b - a _ d - c a + b _ c + d
b d a - b c - d
Serie de razones geométricas equivalentes
En algunas oportunidades nos encontraremos con 
razones geométricas que tienen el mismo valor nu­
mérico, como:
— = 2 ' — = 2 - — = 2 
5 7 ’ 3 6
Las cuales pueden igualarse del siguiente modo: 
10 14 fi 1?
- = — = - = — = 2 , la cual es llamada serie de 
5 7 3 6
razones geométricas equivalentes.
Donde:
10; 14; 6 y 12 son los antecedentes.
5; 7; 3 y 6 son los consecuentes.
2 es la constante de proporcionalidad.
Realicemos algunas operaciones con los términos:
. 10 + 14 + 6 = 30 = 2 . 10 + 1 2 - 6 = 16 = „
5 + 7 + 3 15 ’ 5 + 6 - 3 8
En ambos casos se observa que la constante de 
proporcionalidad no ha variado lo cual nos induce a: 
10 = 14 = 6 = 12 = 10 + 14 = 1 0 - 6 __
5 7 3 6 5 + 7 5 —3
1 2 | C olec ció n El P o s tu la n te
10 + 6 - 1 2 10 + 1 4 - 6 - 1 2
5 + 3 - 6 
10 x 14 x 6
5 + 7 - 3 - 6
= 2
5 x 7 x 3 
10 x 14 x 6 x 12 
5 x 7 x 3 x 6
2 x 2 x 2
2 x 2 x 2 x 2 = 2
Se puede observar que al multiplicar los antece­
dentes y consecuentes la constante de propor­
cionalidad se ve afectada de un exponente que 
numéricamente es igual a la cantidad de razones 
consideradas para la multiplicación.
cY bota /:....... - ........... „
En general para n razones de igual valor nu­
mérico:
_ ^2 _ ^3 _ £2. _ k
C1 C2 C3 cn
Donde:
a¡: antecedente; c¡: consecuente 
k: constante de proporcionalidad
Además:
a! = c, k 
a2 = c2 k 
83 = c3 k
an = c„ k
En el cual se cumplen las siguientes propiedades:
- O í - - —
C1 C2 C3 cn
3i -+- 82 + a3 + ••• + an
= k
C1 + C2 + C3 + ... + cn
Se cumple:
= k
suma de antecedentes 
súma de consecuentes
a1a2 a3 cII
c I
C1.C2.C3 ■•Cn
í a i f - [
a2\n _ / a3\n _
- i 3")"V C-i / O M
1
O W
1
U n /
Se cumple:
producto de antecedentes
producto de consecuentes
kn
Donde n es el número de razones que se 
multiplican.
Propiedad:
En las siguientes series de razones geométricas:
_8_ = 12 = 18 
12 18 27
81
54
54
36
36
24
24
16
se observa que el primer consecuente es igual al. 
segundo antecedente, el segundo consecuente 
igual al tercer antecedente y así sucesivamente. A 
este tipo de serie se le denomina: serie de razones 
geométricas continuas equivalentes.
En general:
a = ek 
b = ek3
ek 
= ek
PROMEDIO
Dado un conjunto de datos es frecuente calcular un 
valor referencial (que represente a dichos datos) 
cuyo valor se encuentra comprendido entre los va­
lores extremos (mínimo y máximo dato) o es igual 
a uno de los extremos y se le denomina promedio.
En general: para n datos a-, < a2 < ... < an 
se tiene que:
a-, < promedio < an
Promedio aritmético o media aritmética (MA) 
Ejemplo:
Calcular el promedio aritmético de las tempe­
raturas de 5 ciudades y que son: 14°; 13°; 11°; 
12°; 15°.
R eso luc ión :
14° + 13°+ 12°+ 11°+ 15° = 65^ 
5 5
MA = - 13°
Es el más sencillo y ya lo habíamos trabajado 
en el ejemplo anterior:
MA =
MA =
suma de datos 
cantidad de datos
3 i + a2 + 83 + ... + an 
n
Para determinar la variación que experimenta 
el promedio aritmético de un conjunto de da­
tos solo es necesario considerar el incremen­
to o disminución en la suma de los datos.
A r itm é tic a | 1 3
I variación del | 
I promedio I
incremento o disminución 
en la suma de los datos 
cantidad de datos
Cuando de un conjunto de datos se conoce su 
promedio implícitamente ya se tiene la suma 
de ios datos.
MA (n datos) = k => suma (n datos) = n(k)
Promedio ponderado
Datos: a 3 a2 a3
Pesos: P3 P2 P3
a k
Pk
promedio _ a-|P| + a2P2 + a3P3+ ... + akFj( 
ponderado “ p, + p2 + p3 + ... + pk
Promedio geométrico o media geométrica 
(MG). Es un promedio que permite promediar 
índices y tasas de crecimiento y el procedi­
miento para calcularlo es:
MG = 2^2 í^p roducto de los datos
MG = 5 ja ,x a 2x a 3x ... x a „
Promedio armónico o media armónica (MH).
Es la inversa del promedio aritmético de los 
recíprocos de los datos:
MH = - cantidad de datos
suma de las inversas de los datos
MH = - n
1 1 1 1 — + — + — + .. .+ — 
a 1 a 2 a 3 a n
Mediana (Me). Es un promedio que represen­
ta el punto medio de los datos para determi­
narlo el procedimiento es el siguiente:
Se ordenan los datos en forma creciente o de­
creciente.
- Si el número de datos es impar, la media­
na es el dato central.
- Si el número de datos es par, la media­
na es el promedio aritmético de los datos 
centrales.
Moda (Mo). Es el valor más frecuente o el que 
más se repite en un conjunto de datos.
Propiedades (MA, MG y MH)
1. Para un conjunto de datos no iguales se tiene 
que:
MH < MG < MA
Cuando los datos son iguales se cumple que:
MH = MG = MA
2. Siempre para dos datos a y b se cumple que:
(MA)(MH) = (MG )2
Para dos números: 
MA(a; b) =
MG(a; b) = -lab 
2MH(a; b) : = 2ab1 + 1 a+b 
a b
2 .
EJERCICIOS RESUELTOS
Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se 
aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se ob­
tienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor?
R eso luc ión :_ . . a 2 a = 2k (menor)
Por dato: f = -=■ => , '
b 5 b = 5k (mayor)
Además: 2k + 175 = 5k + 115
60 = 3k =. k = 20
Luego: menor = 2k = 40
El producto de los cuatro términos de una 
proporción geométrica es 50 625. Sabiendo 
que los medios son iguales y que uno de los 
extremos es 75, indicar la suma de los cuatro 
términos de la proporción.
R eso luc ión :
75 bSea la proporción: — = — = k 
b d
Por dato: (75)(d)(b)(b) = 50 625
Entonces: b4 = 154 =* b = 15 
Además por propiedad:
(75)(d) = (15)(15) => d = 3 
Luego: 75 + 2b + d = 108
1 4 I C o lec c ió n El Po s tu la n te
El jardinero A planta rosas más rápidamente 
que el jardinero B en la proporción de 4 a 3. 
Cuando B planta x rosas en 1 hora. A planta 
x + 2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 
horas?
R eso luc ión :
Por dato: A = 1 = 
B 3
A = 4t 
B = 3t
> x = 6
Además en 1 hora 
2 + x = 4t 
x = 3t
Luego, B en 4 horas planta:
6(4) = 24 rosas.
4. La razón de 2 números es 3/4 y los 2/3 de su 
producto es 1152. Encontrar el mayor de los 
dos números.
R eso luc ión :
a 3 3Sean a y b los números: — = — => a = — b
b 4 4
f a b , 1152 > f ( f b ) b :
b2 92 - = 1152 =9 b = 2304 =
= 1152 
482
=> b = 48 (mayor) A a = 36 (menor)
.. b = 48
5. Un asunto fue sometido a votación de 600 
personas y se perdió; habiendo votado de 
nuevo las mismas personas sobre el mismo 
asunto, fue ganado el caso por el doble de 
votos por el que se había perdido la primera 
vez, y la nueva mayoría fue con respecto a la 
anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas 
cambiaron de opinión?
R eso luc ión :
A favor En contra
Diferencia 
de votos
1 ,a vot. F 60 0 - F 600 - 2F
2 .a vot 6 0 0 - V V 6 0 0 - 2V
Por dato:
• 600 - 2V = 2(600 - 2F)
600 - 2V = 1200 - 4F 
4F - 2V = 600
2F - V = 300 =9 V = 2F - 300
6 0 0 - V = 8 
600 - F 7
Por propiedad de proporciones:'
F - V 1 F - ( 2 F - 300) -i
600 - F “ 7 ~ 600 - F “ 7
-7 F + 2100 = 600 - F 
1500 = 6 F => F = 250; V = 200 
Cambian de opinión: 150
¿Cuál es la diferencia entre los extremos de 
una proporción continua si la suma de sus cua­
tro términos es 36 y la razón entre la suma y 
diferencia de los dos primeros términos es 3?
R eso luc ión :
Sea la proporción: — = — = k 
b d
a 4- 2b + d — 36 ■•■('!)
a + b
a - b
dones: — = 2 =9 a = 2b 
b
Reemplazando en la proporción:
2b 
b
Luego en (1):
2b + 2b + - = 36 =9 - b = 36
2 2
b = 8 ;a = 1 6 y d = 4
.-. a - d = 12
El promedio de 50 números es 38; siendo 45 y 
55 dos de los números. Eliminando estos dos 
números, hallar el promedio de los restantes.
= 3, de aquí por propiedad de propor-
k = 2
Sn
n
R eso luc ión :
Vamos a convenir que: MAn =
Entonces en el problema:
| ^ = 38=9 S50 = 1900 
5U
Como dos de los números son 45 y 55; quedan: 
S48 = 1900 - (45 + 55) =9 S48 = 1800 
Luego: MA48 = 37,5
Se tienen 4 números enteros y positivos, se 
seleccionan 3 cualesquiera de ellos y se cal­
cula su media aritmética, a la cual se agrega 
el entero restante, esto da 29, repitiendo el
A r itm é tic a | 1 5
proceso 3 veces más se obtienen como resul­
tados 23, 21 y 17. Hallar uno de los enteros 
originales.
R eso luc ión :
Sean a, b, c y d los números: 
a + b + c
3
b + c + d
+ d = 29 ...(1)
a = 23 ...(2)
a + b + d
a + c + d
+ c = 21
+b = 17
...(3)
(4)
Sumando miembro a miembro:
3(a + b + c + d)
 h (a + b + c + d) = 90
a + b + c + d = 45
En (1): a + ^ + c = 29 - d
45 - d = 87 - 3d => d = 21
En (2): a = 12; en (3): c = 9; en (4): b = 13
9. Hallar dos números tales que su medía arit­
mética sea 18,5 y su media geométrica 17,5.
R eso luc ión :
Sean a y b los números.
MA(a; b) = ^ -± -^ = 18,5 =* a + b = 37
MG(a; b) = Váb = 17,5 => a x b = 306,25 
Debemos buscar dos números que multiplica­
dos den 306,25 y sumados 37.
Así, de: a x b = 306,25
a x b = 2 4 ,5 x 1 2 ,5
Los números son: 24,5 y 12,5
10. Tres números enteros a, b y c, tienen una 
media aritmética de 5 y una media geométri­
ca de 3/120" • Además, se sabe que el produc­
to be = 30. Hallar la media armónica de estos 
números.
R eso luc ión :
Por dato:
MA = -a ^ ^ + c = 5=>a + b + c = 15
MG Vabc = 3VT20 = abe = 120
De donde: a(30) = 120; (be = 30) 
^ a = 4
Luego:
b + c = 11 
be = 30
b = 5; c = 6
v
b = 6 ; c = 5
MH(a; b; c) : 3.4.5 .6 _ 180 _ 360
20 + 24 + 30 37 74
11. El peso promedio de todos los estudiantes de 
una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes 
de la clase B es 71,2. Si el peso promedio de 
ambas clases combinadas es 70 y el número 
de estudiantes en la clase B excede a la de A 
en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B?
R eso luc ión :
Sea n el número de estudiantes en B y n - 16 
el número de estudiantes en A:
71,2n + 68,4(n - 16)
=» Prom. = = 70
• 2n - 16
139,6n - 1094,4 = 140n - 1120 =. n = 64
[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS ! ' ]
1. Dada la siguiente serie de razones geométri­
cas equivalentes:
27 _ _b_ _ 15 _ _d_ 
a 70 c 14 
además: b - d = 24. Hallar: a + b + c + d
a) 126 
d) 162
b) 134 
e) 146
c) 143
2. Si: -§■ = - = - y además: 
b c d
(a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2) = 4900 
Hallar: 3(ab + be + cd)
a) 70 
d) 120
b) 280 
e) 210
c) 35
3. Dado la siquiente serie: — = — = — = k ; k e E + 
a b d e
Además: c +e = 15; b +d = 14 
Calcular: (a + b + c)
1 6 | C o lec c ió n E l Po s tu la n te
a) 25 b) 30 c) 36
d ) 42 e) 28
4. En una proporción geométrica continua se 
sabe que la diferencia de los extremos es 40 
y la suma de sus términos es 100. Calcular la 
media aritmética de los extremos e indicar la 
suma de sus cifras.
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 8
5. En una proporción geométrica continua la 
suma de los extremos es 75 y la diferencia de 
los mismos es 21. Calcular la media propor­
cional.
a) 18 b) 30 c) 24 d) 36 e) 32
6 . En una proporción continua, la suma de los 
extremos es 73 y la suma de los cuadrados 
de los extremos es 4177. Determine la media 
proporcional.
a) 18 b) 22 c) 24 d) 28 e) 32
7. Hallar el valor de b si: | = | = | y 
a + 2b -t- 3c — 430
a) 90 b) 30 c) 105
d) 35 e) 70
8 . La razón de 2 números es 3/4 y los 2/3 de su 
producto es 1152. Encontrar el mayor de los 2 
números.
a) 36 b) 48 c) 50
d) 60 e) 72
9 - S i : f = r i “ Í 5 I Í 5 I T F = 7 8
hallar: C + P + V
a) 180 b) 240
d) 300 e) 210
10. Sabiendo que: = -|y
donde (d + b) - (c + a)
Hallar: a + b + c + d
a) 101 b) 10 010 c) 1001
d) 111 e) 1010
11. La suma de tres números es 650. Esta suma 
es a la diferencia del primero con el último 
como 50 es a 9 y esta misma suma es a la di­
ferencia de los últimos como 25 es a 1. Hallar 
el mayor de los números.
a) 295 b) 169 c) 195
d) 286 e) 210
12. La anchura de una alfombra rectangular es a 
su largo como 2 es a 3. Si se le corta por los 
4 costados una tira de 10 cm de ancho, la su­
perficie disminuye en 56 dm2. Diga cuál es el 
largo de la alfombra.
a ) 2 1 dm b ) 1 2 dm c )1 5 d m
d )1 8 d m e) 28 dm
13. Para envasar 15 000 litros de aceite se dispo­
ne de botellas de 1/2 litro, 1 litro, 5 litros. Por 
cada botella de 5 litros hay 10 de un litro y 20 
de medio litro. Al terminar de envasar el acei­
te, no sobra ninguna botella vacía. ¿Cuántas 
botellas había en total?
a) 18 000 b) 30 000 c) 18 600
d) 27 000 e) 240
14. Se tiene una serie de razones geométricas 
continuas equivalentes, donde cada conse­
cuente es el triple de su antecedente; además 
la suma de sus extremos es 488. Dar como 
respuesta el mayor término.
a) 486 b) 242 c) 345
d ) 620 e) 70
15. El número de niños y niñas en una fiesta in­
fantil está en la relación de 2 a 5. Si al cabo de 
2 horas llegan 10 parejas y 6 niños, la nueva 
relación sería de 4 a 7. Hallar el número de 
asistentes.
a) 96 b) 121 c) 84
d) 91 e) 110
16. Hace 8 años la razón de las edades de dos 
hermanos era 2/5 y dentro de 12 años la razón 
sería 4/5. Hallar la edad del menor de los her­
manos.
a) 16 b) 18 c) 15 d) 9 e) 12
c) 270
c d 
~ 48 ~ 75 
= 143
A r itm é tic a | 1 7
17. La razón de x a y es 343 veces la razónde y2 
a x2; hallar la razón de x a y.
a) 5/1 b) 5/2 c) 6/1
d) 7/2 e) 7/1
18. En una urna se tienen 400 bolas, de las cua­
les 160 son blancas y las restantes, negras. 
¿Cuántas blancas se deben añadir para que 
por cada 2 negras haya 3 bolas blancas?
a) 200 b) 240 c) 100
d) 120 e) 0
19. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de 
una proporción geométrica continua, si la 
suma de sus cuatro términos es 32 y la razón
entre la suma y diferencia de los dos primeros
términos es 2?
a) 9 b) 14 c) 10 d) 16 e) 12
20. En una proporción geométrica continua, el pri­
mer término es 1/9 del cuarto término. Si la 
suma de los medios es 72, hallar la diferencia 
de los extremos.
a) 60 b) 90 c) 72 d) 96 e) 84
1 . b 5. d 9. a 13. b 17. e
2 . e 6 . c 10 . c 14. a 18. a
3. c 7. e 11 . d 15. e 19. d
4. c
-QOÓ 12 . d 16. e 2 0 . d
[ " e jer c ic io s PROPUESTOS 2 l
1. El promedio de 5 números es 85. Se conside­
ra un sexto número y el promedio aumenta en 
15. Hallar el sexto número.
a) 155 b) 165 c) 175
d) 170 e) 185
2. En un salón de clase, a alumnos tienen 14 
años, b alumnos tienen 11 años y c alumnos 
tienen 13 años. SI el promedio de todos es 12 
años, hallar a.
a) 2b - a b) b - 2a c) 2b
d) a - b e) a + b
3. El promedio aritmético de los cuadrados de 2 
números consecutivos es 380,5. Hallar el me­
nor de ellos.
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
4. Un estudiante de una academia ha obtenido 
13; 14; 16; 12 y a en sus 5 exámenes, además 
el último tiene doble peso que los otros. Deter­
mina el valor de a si el promedio ponderado 
es 13,5.
a) 12 b) 12,5 c) 13
d) 13,5 e) 14
5. El promedio de 50 números es 30. Si se re­
tiran 5 números cuyo pñomedlo es 48. ¿En
cuánto disminuye el promedio?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
6 . El promedio de las edades de 5 hombres es 
28 años, además ninguno de ellos es menor 
de 25 años. ¿Cuál es la máxima edad que po­
dría tener uno de ellos?
a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44
7. La suma de 2 números es 18 y sus promedios 
aritmético y armónico son consecutivos. Halla 
la diferencia de dichos números.
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e )1 5
8 . El doble del promedio aritmético de 2 nú­
meros es igual al cuadrado de su promedio 
geométrico más 1. Si uno de los números es 
120. ¿Cuál es el otro?
a) 120 b) 60 c) 30 d) 4 e) 1
9. El promedio armónico de 40 números es 16 y 
el de otros 30 números es 12. Halle el prome­
dio armónico de los 70 números.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e )1 8
10. El mayor promedio de 2 números es 100, 
mientras que su menor promedio es 36. Hallar 
la diferencia de dichos números.
a) 180 b) 160 c) 140
d) 120 e) 182
1 8 | C o lec ció n El Po s tu la n te
11.
12 .
13.
El promedio armónico de 3 números es 
180/37, uno de los números es 5 y el prome­
dio geométrico de los otros 2 números es 6 . 
Dar como respuesta el menor de estos 3 nú­
meros.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 12
El promedio geométrico de 2 números es 12 y 
la suma de sus promedios, aritmético y armóni­
co es 26. ¿Cuál es la suma de dichos números?
a) 40 
d) 36
b) 18 
e) 20
c) 32
La media aritmética de 5 números es 120. SI 
le agregamos 5 nuevos números la MA queda 
aumentada en 80. ¿Cuál es la MA de los 5 
números?
a) 200 
d) 320
b) 240 
e) 360
c) 280
14. La media aritmética de 2 números es 20,5 y la 
media geométrica es 20. Hallar el menor nú­
mero.
a) 20,5
d) 11
b ) 11,5 
e) 18
c) 16
15. La media aritmética de 3 números es 13/3, la 
media geométrica de los mismos es igual a
16.
17.
18.
uno de ellos y su media armónica es igual a 
27/13. ¿Cuál es uno de los números?
a) 9 
d) 6
b) 8 
e) 10
c) 72
Un ciclista viaja de A hacia B a 60 km/h, y re­
gresa por el mismo camino a 30 km/h. Hallar 
la velocidad media de su recorrido total.
a) 50 km/h 
d) 35 km/h
b) 4 km/h 
e) 30 km/h
c) 40 km/h
¿Cuántas horas emplea un móvil para reco­
rrer 480 km. Viajando a una velocidad media 
de 60 km/h, si hace 3 paradas de 15 minutos.
a) 8,15 h 
d) 8,75 h
b) 8,45 h 
e) 8,90 h
c) 8,50 h
Hallar la suma de dos números que se dife­
rencian en 24, y además la diferencia que 
existe entre su MG y MA es 6 .
a) 24 
d) 30
b) 26 
e) 32
c) 28
U1
y 1 . c 5. c 9. c 13. c 17. d
> 2 . b 6 . a 10 . b 14. c 18. d
<
I 3. d 7. a 11 . c 15. a
U 4. d 8 , e 12 . d 16. c y
MAGNITUDES PROPORCIONALES
MAGNITUD
Se entiende como magnitud, para nuestro estu­
dio, a todo aquello que experimenta cambios o 
variación, el cual puede ser medido o cuantificado 
(magnitud matemática).
CANTIDAD
Es un estado particular de la magnitud en un deter­
minado momento de análisis, el cual resulta de me­
dir (cuantificar) la variación, expresado en ciertas 
unidades de medida. Si tiene unidades se dice que 
es concreta, si carece de unidades es abstracta.
RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES
Dos magnitudes son proporcionales cuando al va­
riar uno de ellos entonces la otra también varía en 
la misma proporción.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP) 
Ejemplo:
En un determinado momento Lolo coloca 5 estacas 
de diferentes alturas y luego procede a medir la 
sombra que proyecta cada una de ellas, todo ello 
lo anota en la siguiente tabla.
Som bra proyectada (cm) 4 6 12 36 48
Altura de cada estaca (cm) 2 3 6 18 24
Resolución:
Intuitivamente se puede afirmar que a mayor altura 
de la estaca, mayor sombra proyectada. Esta afir­
mación, matemáticamente se puede expresar así:
Valor de la sombra 4 6 12 
Valor de la altura 2 3 ~ 6
_ 36 _ 48 _ 2 (constante) 
18 24
Donde los puntos corresponden a una recta que 
pasa por el origen de coordenadas, la cual presen­
ta una Inclinación respecto al eje horizontal (lla­
mada pendiente) que numéricamente es igual a la
razón geométrica de los valores correspondientes 
a las magnitudes.
Podemos observar que las magnitudes sombra 
proyectada y altura de las estacas cumplen que el 
cociente de sus valores correspondientes es cons­
tante y que su gráfica es una recta.
Cuando 2 magnitudes cumplen estas 2 condicio­
nes les llamaremos magnitudes directamente pro­
porcionales. De aquí podemos mencionar que si 
los valores de las magnitudes aumentan (o dismi­
nuyen) en la misma proporción son directamente 
proporcionales.
En general para dos magnitudes A y B estas se 
relacionan en forma directamente proporcional si 
el cociente de sus valores correspondientes es una 
constante.
Notación: valor de (A) 
Valor de (A 
Valor de (B)
Valor de (A)
A DP B => — = constante
A a B => A = k
La gráfica de dos magnitudes DP, son puntos 
que pertenecen a una recta que pasa por el 
origen de coordenadas.
En cualquier punto de la gráfica (excepto el 
origen de coordenadas) el cociente de cada 
par de valores resulta una constante.
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES 
(IP)
Ejemplo:
Una empresa constructora estudia, el tiempo que 
emplea un grupo de obreros para realizar una obra 
(todos los obreros rinden igual) y estos son los da­
tos obtenidos:
n.° de obreros 10 20 24 30 40 50
Tiem po (días) 60 30 25 20 15 12
Se observa cuando hay más obr os menos tiem­
po se emplea. El comportamiento de los valores 
es inverso, esto lleva a señalar que la magnitud 
obreros y tiempo son inversamente proporciona­
les. Además de ello se tiene que:
10(60) = 20(30) = 24(25) = 30(20) = 40(15)
= 50(12) = 600
2 0 | C o lec c ió n El Po s tu la n te
De donde:
(Valor de \/V a lo r del\ = constante (obra a rea|¡zar) 
\ obreros / \ tiempo /
Gráficamente: 
tiempo (días)
Cada sector rectangular que se genera con un 
punto de la gráfica y los ejes tienen la misma su­
perficie y que físicamente corresponde a la obra 
realizada.
En general, dos magnitudes A y B son inversamen­
te proporcionales si el producto de sus valores co­
rrespondientes es constante.
Notación:
A(IP)B => (valor de A)(valor de B) = constante 
A Í i j B => A.B = k
La gráfica de dos magnitudes 1P, son puntos 
que pertenecen a una rama de una hipérbola 
equilátera.
En cualquier punto de la gráfica el producto de 
cada par de valores correspondientes resulta 
una constante.
Propiedades
Cuando se tienen más de 2 magnitudes comoA, 
B, C y D se analizan dos a dos, tomando a una de 
ellas como referencia para el análisis y mantenien­
do a las otras en su valor constante.
A DP B (C y D constantes)
A IP C (B y D constantes)
A DP D (B y C constantes)
AC=> — = constante 
BD
A DP B = B DP A
A IP B = B IP A 
• A IP B => A D P 1
A DP B =» A" DP Bn 
A IP B =» A " IP B n
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Una rueda A de 80 dientes engrana con otra 
rueda B de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra 
rueda C de 15 dientes que engrana con una 
rueda D de 40 dientes. Si A da 120 vueltas por 
minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda D?
R eso luc ión :
Gráficamente, las ruedas están dispuestas 
como sigue:
J A \
L O J 
¿ 80
B
J °
C 50
c Y lo ia - :----------------------
; Si la rueda tiene menos dientes, da más 
¡ vueltas; lo que indica que:
I (N.° de dientes)(N.° de vueltas) = k (IR)
Así, en un minuto:
1.° 80(120) = 50(N.° VB) =* N.° VB = 192
2.° Pero N.° VB = N.° Vc = 192 (tiene el mismo 
eje)
3.° 15(192) = 40(N.° V D) => N.° V D = 72
2. Según la ley de Boyle, la presión es inversa­
mente proporcional al volumen que contiene 
determinada cantidad de gas. ¿A qué presión 
está sometido un gas si al aumentar esta pre­
sión en 2 atmósferas, el volumen varía en un 
40%?
R eso luc ión :
P: presión; V: volumen
Observación:
Si la presión aumenta; entonces el volumen 
disminuye, pues son IP.
A r itm é tic a | 2 1
Así: P x V = k (constante)
P x V = (P + 2 ) - ^ - x V 
100
10P = 6 P + 12
4P = 12 =? P = 3 atmósferas
Dos cantidades son inversamente proporcio­
nales a una tercera. ¿Cómo son entre sí estas 
cantidades?
R eso luc ión :
Sean A y B las magnitudes y C una tercera 
magnitud.
Por dato: C iP B y C IP A 
Por propiedad: C IP (A x B)
Por lo tanto:
C x A x B = k (constante)
.'. Son inversamente proporcionales.
Un tendero hurta en el peso empleando una 
balanza de brazos desiguales que miden 
22 cm y 20 cm. Una mujer compra 4,4 kg de 
azúcar y el tendero pone las pesas sobre el 
platillo correspondiente al brazo menor de la 
balanza. La mujer compra otros 4,4 kg dei 
mismo artículo y obliga al comerciante a po­
ner las pesas en el otro platillo. En los 8,8 kg 
¿cuánto dio de más o menos el tendero?
R eso luc ión :
20 22
P(20) = 4,4(22) . p = 4,84 kg
Al colocar las pesas en el brazo menor nece­
sita más azúcar para equilibrar.
Entrega de más: 0,44 kg
M
20 22
i p j
4,4(20) = 22 x P =» P = 4 kg 
Entrega 0,4 kg menos; luego en los í 
trega:
0,44 - 0,40 = 0,04 kg = 40 g más
I kg en-
Una persona dispone de un capital de 584 250 
soles que lo ha dividido en tres partes para Im­
ponerlas al 2%, al 4% y al 5% respectivamente. 
Sabiendo que todas las partes le producen igual 
interés. ¿Cuál es la parte impuesta al 4%?
R eso luc ión :
Si los intereses son iguales; entonces los ca­
pitales son IP a las tasas
C-i x 2 = C2 x 4 = C3 x 5 
1
Multiplicando por tenemos:
C-i x 2 x -¿r = C2 x 4 x -L . = C3 x 5 x - 7- 
20 20 * 20
10
9 i
5
C 3
4
: k ^ k :
C1 + C2 + C3 
1 Ó T 5 + 4
^ k = 584 250 = 30 750 
19
Luego, la parte Impuesta al 4% es: 
C2 = 5 x 30 750 = 153 750 soles
[ " e je r c ic io s PROPUESTOS T j
1. A es directamente proporcional a la raíz cua­
drada de B e Inversamente proporcional al 
cuadrado de C. Cuando A es 8 , B es 16 y C es 
6 . Calcular el valor de B cuando A sea 9 y C 
sea 4.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)<
2. Se tienen las magnitudes A; B; C y D tales que 
A es DP a B; A es IP a C: A es IP a D. Cuando 
A = 5; B = 2C y D = 2, hallar el valor de A 
cuando B = 48; C = 2 y D = 3.
a) 36 b) 35 c) 40 d )4 5 e) 32
3. Se sabe que una magnitud A es Inversamente 
proporcional a B. Hallar el valor de A sabiendo 
que si disminuye en 36 unidades el valor de B 
varía en un cuarto.
a) 24 b) 36 c) 180 d) 60 e) 48
4. X varía en razón directa a Y e inversa al cua­
drado de Z. Cuando X es 10, Y es 4 y Z es 14. 
Hallar el valor de X cuando Y sea 16 y Z sea 7.
a) 180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120
5. A es directamente proporcional al cuadrado de B 
e inversamente proporcional a la raíz cúbica de 
C. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye 
en sus 26/27, ¿qué sucede con el valor de A?
a) Se multiplica por 12
b) Disminuye en 1/11 de su valor
c) Aumenta en 1/11 de su valor
d) Se triplica
e) Se cuadruplica
6 . A y B son directamente proporcionales. Cuan­
do el valor inicial de B se triplica, el valor de 
A aumenta en 10 unidades. Cuando el nuevo 
valor de B se divide entre 5, ¿cómo varía el 
valor de A respecto al inicial?
a) Aumenta en 15 b) Disminuye en 10
c) Disminuye en 12 d) Disminuye en 2
e) No se altera
7. A y B son inversamente proporcionales con 
constante de proporcionalidad igual a k. ¿Cuál 
es este valor si la constante de proporcionali­
dad entre la suma y diferencia de A y 1/B es 6?
a) 6/5 b) 7/5 c) 2 d) 7 e) 6/7
8 . Sea F una función de proporcionalidad, tal 
que: F(4) + F(6 ) = 20
F(31)
Hallar el valor del producto: —- — F(7) F(3)
a) 372 b) 744 c) 558
d ) 704 e ) 1488
9. El consumo es directamente proporcional a su 
sueldo. El resto lo ahorra, un señor cuyo suel­
do es $560 ahorra $70. Si recibe un aumento, 
consume $910. ¿De cuánto es el aumento?
a) $450 b) $480 c) $490
d) $560 e) $500
10. La figura muestra los engranajes W, I, L e Y 
con 8 ; 1 2 ; 16 y 6 dientes cada uno respectiva­
mente. Si W da 18 vueltas por minuto, ¿cuán­
tas vueltas dará Y en 3 minutos?
2 2 j C ole c c ió n E l Po s tu la n te -------------------------------------
a) 24 b) 48 c) 72
d ) 96 e) 100
11. Una rueda A de 20 dientes engranada con otra 
rueda B de 75 dientes. Fija al eje B, hay otra 
rueda C de 35 dientes que engrana con otra 
rueda D de 20 dientes. Si A da 60 vueltas por 
minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D?
a) 24 b) 28 c) 36 d) 60 e) 21
12. Se tienen 2 magnitudes A y B; tales que A es 
inversamente proporcional con B2; si cuando 
B aumenta en 25% el valor de A varia en 144 
unidades. ¿En cuánto aumenta o disminuye 
cuando B disminuye en 20%?
a) Aumenta (22%) b) Disminuye (22%)
c) Disminuye (10%) d) Aumenta (10%)
e) Aumenta (50%)
13. SI: A es DP a B2 (C = constante); C es DP a 
VA (B = constante). Sea la tabla:a
A 4 X
B 2 1 / 2
C 1 1 / 2
hallar x.
a) 1/4 b) 1/8 c) 1/16
d ) 1 ' e ) 1/64
14. SI A es IP a B2; A es DP a D y D es IP a VC , 
hallar x de la siguiente tabla.
A 2 4
B 2 X
C 9 4
D 4 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 12
tn
u
>
1 . d 5. a 9. b
N
13. c
2 . c 6 . d 10 . d 14. b
< 3. c 7. b 11 . b
u 4. b 8 . b 1 2 . a J
REPARTO PROPORCIONAL
Como aplicación de la proporcionalidad consiste 
en repartir una cantidad en partes directa o Inver­
samente proporcionales a ciertas cantidades que 
llamaremos indicadores.
Problema general
Repartir S en partes P2; ...; Pn que sean DP a 
b-i; b2; ...; bn. Determinar cada una de las partes.
R eso luc ión :
Partes: P,; P2; ...; Pn => S = P, + P2 + ... + Pn 
Indicadores: b-,; b2; ...; bn 
Por dato: P,; P2; ...; Pn DP b^ b2; ...; bn 
Pl P2 Pn
bi
= k (constante de proporcionalidad)
Por propiedad: k = Pl + Ps + ••• + Pn ^ k = —
bi + b2 + ... + bn Sj
S¡: suma de indicadores
Luego: P, = b,k; P2 = b2k; Pn = bnk
Ejemplos:
1. Repartir 25 200 en partes DP a 5; 7 y 9. Deter­
minar cada una de las partes.
R eso luc ión :
Sean las partes:
A ; B y C = > S = A + B + C = 25 200 
Del dato: A; B; C DP 5; 7; 9
^ S ¡ = 5 + 7 + 9 = 21
=■ k = =* k = 1200 21
Luego: A = 5.(1200) = 6000 
B = 7.(1200) = 8400 
C = 9.(1200) = 10 800
2. Repartir 12 600 en partes IP a 1/4; 1/7 y 1/10. 
Dar como respuesta la menor de las partes.
R eso luc ión :
Partes: A ;B y C = > S = A + B + C = 12 600 
Usando propiedad:
A IP - 1 ^ A DP 4 
4
B IP U B DP 7
C IP -!-=> C DP 10 
10
Luego: S¡ = 4 + 7 + 10 = 21
k =
12 600 
21
k = 600
Por tanto, la menor de las partes es:
A = 4(600) = 2400
3. Repartir 252 800 en partes DP a 3; 4 y 6 e IP 
a 5; 5 y 7. Determinar la diferencia entre la 
mayor y menor de las partes.
R eso luc ión :
Partes: A; B y C a S = A + B + C = 252 800 
Como: A; B :C IP 5 ; 5; 7
a A;B; C DP
5 5 7 
MCM (5; 7) = 35; luego:
A DP 3 A A DP DP f . 3 5 = 21
5 5
B DP 4 a B DP 1 , B DP - .3 5 = 28 
5 5
C DP 6 A C DP 1=>C DP y .35 = 30
a S¡ = 21 + 28 + 30 = 7 9 a k = ^ | |5 ° = 3200
Por lo tanto, la diferencia entre la mayor y me­
nor parte es:
C - A = 30k — 21 k = 9(3200) = 28 800 
REGLA DE COMPAÑÍA
En este caso se reparten las ganancias (G) o pér­
didas directamente proporcionales a los capitales 
(C) aportados y los tiempos (T) de imposición de 
cada uno de los socios, respectivamente.
Es decir:
G DP C (T constante) y G DP T (C constante)
_G_
CT
G-| G2
C1T1 C2T2 C,
En particular, si:
1. C-j = C2 = ... = Cn, entonces:
Gi _ G2 _ _ Gn _
T ™ " ' = \ 1
• G DP C.T =
En general:
= k (constante) 
G„
■ = k
2 4 | C o lec ció n El Po s tu la n te
2. T-i = T2 = ... = Tn, entonces:
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dos pastores que llevan 5 y 3 panes respecti­
vamente, se encuentran con un cazador ham­
briento y comparten con este los 8 panes en 
partes iguales. SI el cazador pagó S/.8.00 por 
su parte. ¿Cómo deben repartirse los pasto­
res el dinero entre si?
R eso luc ión :
Total de panes = 8 
1,er pastor tiene: 5 
2 ° pastor tiene: 3 
Como c/u de los 3 come 8/3
o y
El 1 ,er pastor ayuda con: 5 - — = —
El 2.° pastor ayuda con: 3 - ^
Entonces el reparto se hace en forma DP a lo 
que cada uno ayuda.
O sea: 1.° DP 7
El primero recibe: 7 soles 
y el segundo recibe: 1 sol
2. Repartir 154 en partes directamente propor­
cionales a 2/3; 1/4; 1/5; 1/6.
R eso luc ión :
S = 154 
Partes:
1.a DP —x 6 0 = 40
3
2.a D P -1 x 6 0 = 15
4
3.a DP | x 6 0 = 12
5 ’
4.a DP 4 x 60 = 10
6 W 7
k = 154
77
Observación: 60 = MCM (3; 4; 5 y 6)
Luego:
1.a -► 80; 2.a -> 30; 3.a — 24; 4.a — 20
3. Una persona dispuso en su testamento que 
se entrega a 3 sobrinos suyos la cantidad 
de S/.19 695 para que se repartan propor- 
clonalmente a las edades que cada uno de 
ellos tenga el día que falleciera. Uno de ellos 
tenía 36 años el día que su tío falleció y le 
correspondió S/.7020 pero renunció a ellos y 
el reparto se hizo entre los otros 2, también 
proporcionales a sus edades, por lo que a uno 
de ellos le correspondió S/.2700 adicionales. 
Calcular las edades.
R eso luc ión :
Primer reparto (19 695)
DP
36 ->• 36 x — — = 7020 
36 + (a + b)
entonces: a + b = 65
Segundo reparto (7020)
DP
a —> a x Z°20 = 2700 ^ a = 25 
65
b = 40
.-. Las edades son: 36; 25 y 40
4. Un hombre decide repartir una herencia en 
forma proporcional al orden en que nacieron 
sus hijos. La herencia total es S/.480 000; adi­
cionalmente deja S/.160 000 para el mayor, 
de tal modo que el primero y último hijo reci­
ban igual herencia. ¿Cuál es el mayor número 
de hijos que tiene este personaje?
R eso luc ión :
S = 480 000 
Orden:
1.° 2.° 3.°
i
mayor
Les toca: k; 2k; 3k; ...; nk 
De donde:
k + 2k + 3k + ...+ nk = 480 000 
n(n + 1)
k x — —— - = 480 000 ...(1)
n.°
i
menor
A r itm é t ic a | 2 5
Además, por dato:
k + 160 000 = nk ■ > (n - 1)k = 160 000 ...(2) 
Dividiendo (1) (2):
n2 - 5n + 6 = 0
(n - 3 )(n -2 ) = 0 => ^ = 3; n2 = 2 
Mayor número de hijos = 3
5. Se reparte 738 en forma directamente pro­
porcional a dos cantidades de modo que ellas 
están en ia relación de 32 a 9. Hallar la suma 
de las cifras de la cantidad menor.
R eso luc ión :
Por condición del problema:
A = 32 A = 32K
B 9 B = 9K
Entonces: A + B = 41K = 738 
K = 18 
Luego: A = 32(18) = 576 
B = 9(18) = 162 
Suma de cifras de menor cantidad:
1 + 6 + 2 = 9
[^EJERCICIOS PROPUESTOS l
1. Efectuar el reparto de 7227 en forma inversa­
mente proporcional a 4; 8 y 12. Dar la diferen­
cia entre la mayor y menor de las partes que 
se obtiene.
a) 2828 b) 2728 C) 2628
d) 2840 e) 2943
2. Se reparte una cantidad N en forma DP a los 
números 2; 3; 5 y 7. La tercera cantidad repar­
tida (en orden ascendente) resultó 600. Hallar 
la suma de las cifras de la cantidad total.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
3. Se desea repartir $7200 en partes DP a las 
raíces cuadradas de los números 200; 392 
y 288. Dar como respuesta la menor de las 
partes.
a) $2000 b) $2800 c )$ 1 2 0 0
d) $2400 e ) $3200
4. Repartir 1240 DP a 2400; 2401; 2402; 2403 y 2404. 
Hallar la suma de cifras de la mayor parte.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15
5. Repartir 648 en forma DP a 4 y 6 y a la vez en 
forma IP a 3 y 9. Dar la diferencia de las partes 
obtenidas.
a) 214 b) 215 c )216
d) 217 e) 218
6 . El profesor de aritmética decidió premiar a 
sus mejores alumnos regalándoles $9200 en 
forma directamente proporcional al número de 
problemas que resuelven de la guía. El prime­
ro resolvió 17 problemas, el segundo 15 y el 
tercero 14. Indica cuánto le tocó al segundo.
a) 3000 b) 3400 c) 2800
d) 3500 e) 4000
7. Repartir 28 380 en partes IP a los números
2/7; 4/5; 6/7 y 12/15. Dar como respuesta la
menor de las partes.
a) 3000 b) 3400 c) 2800
d) 4620 e) 4000
8 . Repartir 580 en partes DP a los números 6 ; 8 
y 9 e IP a los números 5; 4 y 12, además DP 
a los números 10; 7 y 4 Indicar la diferencia 
entre el mayor y la menor de las partes.
a) 180 b) 160 c) 200
d) 250 e) 220
9. Se reparten 1000 en tres partes inversamen­
te proporcionales a 183; 64 y 242. Dar como 
respuesta una de las partes.
a) 144 b) 288 c) 576
d) 324 e) 162
10. Descomponer 304 000 en tres partes de ma­
nera que los 2/3 de ¡a primera sea igual a los 
5/6 de la segunda y los 4/9 de la segunda 
igual a los 8/7 de ia tercera. Dar como res­
puesta la menor parte.
a) 44 200 b) 44 400 c) 44 600
d) 44 800 e) 45 000
2 6 I C o lec ció n El Po s tu la n te
11. Al repartir N en tres partes A, B y C de manera 
que A es a B como 3 es a 4 y B es a C como 
7 es a 3, se obtuvo como parte mayor 1400. 
Calcular el valor de N.
a) 2000 b) 6400 c) 3050
d) 2300 e) 3250
12. Se reparte una herencia en forma proporcio­
nal a las edades de 3 personas y recibieron 6 ; 
12 y 24 millones, respectivamente. ¿Cuánto le 
habría tocado al segundo, si el reparto hubie­
ra sido Inverso a sus edades?
a) 6 millones b) 12 millones
c) 24 millones d) 9 millones
e) 18 millones
13. Hallar tres números que sumen 472 y que sus 
cuadrados sean proporcionales a 1/8; 1/50 y 
1/98. Dar el mayor,
a) 180 b) 430 c) 120
d) 280 e) 320
14. Tres automovilistas deciden repartirse $3100 
en forma proporcional a las velocidades de 
sus vehículos. Si luego de una competencia 
se observó que el primero de demoró 2 h,
el segundo 3 h y el tercero 5 h en llegar a la
meta. Hallar cuánto le tocó al primero.
a) 1500 b) 1200 c) 1300
d) 600 e) 900
15. Al repartir $76 700 en 3 partes DP a 3; 5 y 
6 y DP a f72\ V128 y V200, respectivamen­
te. ¿Cuál es la diferencia entre las 2 mayores 
partes?
a) 10 000 b) 11 000 c) 12 000
d) 13 000 e) 14 000
16. Una cantidad es repartida en forma proporcio­
nal a tres números y son 96; 32 y 24. ¿Cuál 
habría sido la mayor de las partes; si el repar­
to se hubiera hecho en forma inversamente 
proporcional a los mismos números?
a) 76 b) 42 c) 48 d) 72 e) 60
17. Las edades de siete hermanos son números 
consecutivos. Si se reparte una cantidad de so­
les proporcionalmente a sus edades, el menor 
recibe la mitad del mayor y el tercero 80 000 
soles, ¿cuántos soles recibe el quinto?
a) 64 000 b) 72 000 c) 80 000 
d) 100 000 e) 96 000
18. Dos agricultores tienen 4 y 3 hectáreas de 
terreno que trabajarán en conjunto. Para con­
cluir más rápido contratan a un obrero que 
cobra 70 soles. Se desea saber lo que cada 
uno debe pagar al obrero, si al final los tres 
trabajan igual.
a) 50 soles y 20 soles
b) 40 soles y 30 soles
c) 60 soles y 10 soles
d) 45 soles y 25 soles
e) 60 soles y 10 soles
1 . c 5. c 9. b 13. d
2 . c 6 . a 1 0 . d 14. a
3. a 7. d 11 . c 15. d
4. a 8 . e 1 2 . b 16. a
17. d
18. a
REGLA DE TRES
Es una aplicación de la proporcionalidad donde 
al comparar dos o más magnitudes se determina 
un valor desconocido. Se considera como magni­
tud dependiente a la magnitud que contiene a la 
incógnita.
REGLA DE TRES SIMPLE (R3S)
Resulta de compararse dos magnitudes directa­mente proporcionales o dos magnitudes inversa­
mente proporcionales.
R3SD. Sean A y B dos magnitudes DP.
Entonces = k, luego: 
B
~ = -— (x, es incógnita) 
bi b2
Disposición práctica: 
Magnitudes:
Valores correspondientes
2 a
t r 1t>1
%
x ) b2 ) b.
R3SI. Sean A y B dos magnitudes IP, entonces: 
A x B = k, luego:
bi= xb2 => x = a t —
Disposición práctica: 
Magnitudes:
Valores correspondientes
A) B
a, b,
x ) b2;
bi
REGLA DE TRES COMPUESTA (R3C)
Resulta de compararse más de dos magnitudes. 
Se compara siempre la magnitud dependiente con 
otra, independiente de las demás.
Sean A, B y C tres magnitudes, donde B es la mag­
nitud dependiente (contiene a la incógnita).
Consideremos A y B dos magnitudes DP
a 1 a 2 _x_ _ £2 
b, ~ x ^ b-i ~~ ai 
B y C dos magnitudes IP
. . . (2 )
X ^1b-tC-i = XC2 =* — = —
b, c2
De (1) y (2):
_x_
bi
b, — -
Disposición práctica: 
Magnitudes:
Valores correspondientes
X = bll f
c y iú J z i:
Al compararse una magnitud que hace obra 
(hombres, operarios, obreros, máquinas, 
etc.) con la magnitud tiempo (días, horas, 
h/d, minutos, etc.) siempre serán inversa­
mente proporcionales.
EJERCICIOS RESUELTOS
Una guarnición de 400 soldados situados en 
un fuerte, tienen víveres para 180 días si con­
sume 900 gramos por hombre y por día. Si 
recibe un refuerzo de 100 soldados pero no 
recibirá víveres antes de 240 días, ¿cuál de­
berá ser la ración de un hombre por día para 
que los víveres puedan alcanzarles?
R eso luc ión :
Por regla de tres compuesta:
Soldados días Ración / día H 
400 / 180 / 900 »t
500 ^ 240 ^ x
Luego: x = 900 x
a 500 240
x = 540 gramos
Se emplearon m obreros para ejecutar una 
obra y al cabo de a días hicieron 1/n de aque­
lla. ¿Cuántos obreros hubo que aumentar 
para terminar la obra en b días más?
R eso luc ión :
obreros días 
m a
obra
1
m + x
2 8 | C o lec c ió n El Po s tu la n te
o (n - 1) n
m + x = m x f - x - X 7
b n 1
x = m x § ( n - 1 ) - m ^
x = -^-(an - a - b) 
b
3. Un contratista dice que puede term inar un tra­
mo de autopista en 3 días si le proporcionan 
cierto tipo de máquinas; pero que con 3 má­
quinas adicionales de dicho tipo puede hacer 
el trabajo en 2 días. Si el rendimiento de las 
máquinas es el mismo. ¿Cuántos días em­
pleará una máquina para hacer el trabajo?
R eso luc ión
Suponemos que ¡nicialmente hay N máquinas 
de dicho tipo; entonces:
máquinas días
N t 3 ) ^ N + 3 = N x - |
N + 3 ' 2 * 2
2N + 6 = 3N => N 
Luego: máquinas
H
x = 3 x — => x = 18 
1
4. Quince obreros han hecho la mitad de un tra­
bajo en veinte días. En ese momento abando­
nan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tar­
darán en terminar el trabajo los obreros que 
quedan?
R eso luc ión :
Obreros días
15 ( 20
10 V x /
=> x = 20 X — => x = 30 
10
5. Un reloj se adelanta minuto y medio cada 24 
horas. Después de 46 días 21 horas 20 minu­
tos. ¿Cuánto se adelantó el reloj?
R eso luc ión :
Expresando todo en horas, tenemos:
46 días 21 h 20 min = horas
Luego: tiempo (horas) adelanto mínimo
24 ¿
3376 ( 2 )
3
x = mjn = 1 h 10 min 20 s 
3
6 . Una obra debía terminarse en 30 días em­
pleando 20 obreros, trabajando 8 horas dia­
rias. Después de 12 días de trabajo, se pidió 
que la obra quedase terminada 6 días antes 
de aquel plazo y así se hizo. ¿Cuántos obreros 
se aumentaron teniendo presente que se au­
mentó también en dos horas el trabajo diario?
R eso luc ión :
Inicialmente debían hacer la obra en 30 días;
lo que indica que en un día hacen
1 12 2 — ; entonces en 12 días hacen: — = —
30 30 5
2 3Faltando asi: 1 - — = -p, luego:
5 5
Obreros días h/d obra
20 f 30 
20 + x
f 3 ° ) 8 ) 1 \
V 12 / 10 i 3/5 )
=> 20 + x = 20 x f ^ x — x ~ 
12 10 5
20 + x = 24 = *x = 4
7. Un reloj marca la hora a las 0 horas de un cier­
to día; si se sabe que se adelanta 4 minutos 
cada 12 horas. ¿Cuánto tiempo transcurrirá 
para que nuevamente marque la hora exacta?
R eso luc ión :
Si durante 12 horas adelanta 4 minutos, en­
tonces en un día adelanta 8 minutos.
Así: adelanto n.° días
8 t720 \ x /
=> x = 1 x = 90 días 
8
'[^EJERCICIOS PROPUESTOS" ]
Si 64 obreros pueden construir una carretera 
en 24 días, ¿cuántos obreros podrán hacer la 
misma carretera en 48 días?
A r itm é tic a | 2 9
a) 16 b) 24 c) 32
d) 36 e) 30
2. Carlos puede hacer un trabajo en 18 horas. 
¿En qué tiempo podrá hacer un trabajo 1,4 
veces más difícil?
a) 36,2 horas b) 43,2 horas
c) 25,2 horas d) 40,2 horas
e) 28,2 horas
3. 24 taladros en 8 horas pueden hacer 7680 
agujeros. ¿Cuántos taladros en 9 horas de 
trabajo podrán hacer 7200 agujeros?
a) 20 b) 18 c) 16 d) 24 e) 25
4. Por pintar una pared de 4,5 m por 3,6 m me 
cobran $36. ¿Cuánto me cobrarán por pintar 
tres paredes de 2,4 m por 7,5 m?
a) $90 b) $105 c) $108
d) $111 e) $120
5. Para su comercialización, la harina de trigo
se distribuye en cajas cúbicas de diferentes
dimensiones. Si una caja de 6 dm de arista,
conteniendo harina de trigo, cuesta 216 soles, 
¿cuánto costará una caja de 8 dm de arista?
a) 288 soles b) 360 soles c) 464 soles
d) 512 soles e) 560 soles
6 . Si a obreros pueden hacer una obra en b días 
¿en cuántos días pueden hacer una obra de 
triple dificultad, ei doble de obreros, cada uno 
de ellos de doble habilidad que los anteriores?
a) | b) | b c) b
d) 2b e) 3b
7. A y B pueden hacer una obra én tres días. Si 
A trabaja solo, se demora siete dias. El primer 
día solo trabajó B, y a partir del segundo día 
los dos trabajaron juntos. La cantidad de días 
que demoraron en hacer la obra es:
3 ) 2 y b ) 2 y C ) 4 y
d) 3 y e) 3 y
8 . Un grupo de 12 alumnos resuelve 120
problemas de Física en dos horas. ¿Cuántos
problemas resolverá otro grupo de ocho 
alumnos, el doble de eficientes que los 
anteriores, en cinco horas?
a) 136 b) 100 c) 480
d) 400 e) 800
9. Si ocho bolitas de 0,4 mm de radio pesan 256 
gramos, con siete bolitas del mismo material 
que los anteriores, pero con radio 0,6 mm, 
¿qué peso tendrán?
a) 960 g b) 1000g c) 1020g
d) 1140 g e) 1180 g
10. Treinta obreros pueden hacer una obra en 48 
días. Si 18 de ellos disminuyen su rendimiento 
en su tercera parte, ¿en qué tiempo harían la 
misma obra todo el grupo?
a) 60 . b) 24 c) 36
d) 54 e) 72
11. Juan compra 15 kg de arroz para 18 días para
su familia que está compuesta de 5 personas 
en total. Sin embargo, pasados 6 días llegan 
3 familiares más. ¿Cuánto durará el arroz en 
total?
a) 12 días b) 15 días c) 13,5 días
d) 10 días e) 12,5 días
12. Si Manuel puede hacer 24 problemas en tres 
horas, ¿cuántos problemas cuya dificultad es 
a la de los anteriores como 6 es a 5, podrá 
hacer Manuel en el mismo tiempo?
a) 28 b) 29 c) 24 d) 18 e) 20
13. Sesenta obreros hacen los 3/8 de una obra
en 27 días. Si se retiran 24 obreros y los res­
tantes concluyen la obra, ¿qué tiempo en total 
duró la obra?
a) 75 días b) 72 días c) 45 días
d) 102 días e) 62,5 días
14. Veinticuatro obreros pueden hacer una obra 
en 60 días, si trabajan 9 horas diarias. 20 días 
luego de iniciado el trabajo se enferman 6 
obreros y los restantes trabajan 10 horas dia­
rias hasta terminar la obra. ¿Cuánto duró la 
obra en total?
3 0 | C olección E l Po s tu la n te
a) 48 días b) 60 días c) 72 días
d) 68 días e) 64 días
15. Una secretaria escribe 48 palabras por minu­
to. ¿Cuántas palabras escribirá en 6 minutos, 
si disminuye su velocidad en su cuarta parte?
a ) 108 B) 162 C) 180
d ) 200 E ) 216
16. Tres campesinos pueden cosechar un terreno 
de 80 m2 de área. ¿Cuántos campesinos se­
rán necesarios para cosechar un terreno de 
1,2 hectáreas?
a) 300 b) 540 c) 320
d) 400 e) 450
17. Cuarenta y cinco obreros pueden construir 
600 m de un muro de 1,5 m de alto. ¿Cuántos 
obreros construirán 1150 m de un muro de 1.6 m 
de alto?
a) 84 b) 88 c) 92
d) 96 e) 98
18. Ocho obreros cavan una zanja de 1,6 m de 
diámetro y 12 m de profundidad. ¿Cuántos
obreros podrán cavar una zanja de 2 m de 
diámetro y 24 m de profundidad?
a) 24 b) 25 c) 28 d) 15 e) 18
19. 27 obrerospueden hacer una obra en 42 días, 
si trabajan 8 horas diarias. ¿Cuánto tardarián 
16 obreros, trabajando 7 horas diarias, para 
hacer una obra cuya dificultad es a la anterior 
como 4 es a 3?
a) 72 días b) 84 días c) 88 días
d) 96 días e) 108 días
20. Dieciocho obreros pueden hacer una obra en 
15 dias. Si luego de haber trabajado 5 días se 
retiran 3 obreros, ¿cuál será el tiempo total de 
duración de ia obra?
a) 12 días b) 15 días c) 17 días
d) 20 días e) 21 días
1 . c 5. d 9. d 13. d 17. c
2 . c 6 . b 1 0 . a 14. d 18. b
3. a 7. d 11 . c 15. e 19. e
4. e 8 . d 1 2 . e 16. e 2 0 . c
PORCENTAJES - MEZCLAS
PORCENTAJES
Regla del tanto por cuanto. En algunas oportu­
nidades es necesario dividir lo que tenemos en 
partes ¡guales para hacer una distribución de estas 
partes.
Ejemplo:
Se tiene una bolsa con 40 manzanas el cual se 
desea dividir en 8 partes iguales y se han de tomar 
6 de ellas.
R eso luc ión :
El procedimiento a seguir es:
Dividiendo 40 en 8 partes iguales.
T -
Tomamos 6 de estas partes:
6(5) = 30
Interpretación:
El 6 por 8 de las 40 manzanas es 30 manzanas. 
Matemáticamente:
6 ( 4 ^ = 30
En general si tenemos N objetos. ¿Cuál será el a 
por b de N?
Se toman a partes
Matemáticamente: a /—
\ b
De aquí podemos señalar que el tanto por cuanto 
viene a ser un procedimiento aritmético que con­
siste en dividir un todo en partes ¡guales y tomar 
tantos de ellos como se Indique.
En la vida diaria el tanto por cuanto más utilizado 
es aquel que divide al todo en 100 partes ¡guales y 
al que se le denomina: tanto por ciento.
Ejemplo:
Calcule el 15 por ciento de 400.
1 5 ( t 7 í 7t ) = 6 0V1 oo /
En general si una cantidad se divide en 100 partes, 
cada parte representa (1/ 100 ) del total a la cual 
llamaremos el 1 por ciento y lo denotaremos: 1%
100 partes ¡guales
1 1 1 1 1 1
100 100 100 100 100 100
Uno por ciento 
Entonces:
A por ciento < > A% < >
60 partes O 6o (— W > 60% O f 
F \ 100 / 5
10 partes O 1 0 Í — W > 10% O - L 
\ 100 / 10
40 partes O 40% < > §
25 partes O 25( — ) < > 25% O 1 
1100/ 4
100 partes O 100% 1
Además:
40% de 400 = |(4 0 0 ) = 160 
5
75% de 560 = |(5 6 0 ) = 420
25% de 900 = -1(900) = 225
15% de 600 = A (600) = '90
65% de 400 = | | ( 4 0 0 ) = 260
Porcentaje. Es el resultado de aplicar el tanto por 
ciento a una cantidad.
Ejemplo:
Halle el 20% de 400
20%(400) = 80
tanto porcentaje 
por ciento
Operaciones con porcentajes
1. a%N + b%N = (a + b)%N
Ejemplos:
• 12%N + 34%N = 46%N
• 118%N + 60%N = 178%N
• 30%N + 11,5%N = 41,5%N
• N + 13%N = 113%N
3 2 | C ole c c ió n El Po s tu la n te
2. x%N - y%N = (x - y)%N 
Ejemplos:
• 74%N - 24% N = 50%N
• 169%N - 29% N = 140%N
• 112%N - 64%N = 48%N
• N - 14%N = 86%N
3. a x (b%N) = (a x b)%N 
Ejemplos:
• 3(50%N) = 150%N
• 4(75 %N) = 300%N = 3N
• 5,5(2%N) = 11 %N
4. El a% del b% del c% de N es: a%b%c%N 
Aplicación comercial
Un comerciante compró un pantalón en S/.50 (P0) 
y fija para su venta un precio de S/.80 (PF). Sin 
embargo lo vende en S/.70 (Pv) debido a que hizo 
una rebaja de S/.10 (R).
Aparentemente está ganando S/.20 (GB), pero esta 
operación le generó gastos por un valor de S/.5, (gas­
tos) por lo cual realmente esta ganando S/.15 (Gn).
GB = S/.20
Gn = S/.15 gastos = SI. 5 R = S/.10
Pe Pv Pf
S/.50 S/.70 S/.80
c Y lo ta /: ........................................ ................................
| Las ganancias (o pérdidas) se representan
l como un tanto por ciento del precio de costo.
| Las rebajas se representan como un tanto
I por ciento del precio fijado.
'> Pv = Pe + ganancia
MEZCLA
Es la reunión de dos o más sustancias (ingredien­
tes) en cantidades arbitrarias conservando cada 
una de ellas su propia naturaleza.
Regla de mezcla. La regla de mezcla se origina 
por el deseo de los comerciantes en determinar
el precio de venta de una unidad de medida de la 
mezcla. Para ello se vale de algunos procedimien­
tos aritméticos, lo cual en su conjunto constituye la 
regla de mezcla.
Ejemplo:
Un comerciante hace el siguiente pedido a un dis­
tribuidor mayorista de café:
Café Cantidad en kg Precio unitario
Extra (E) 50 S/.7
Superior (S) 20 S/.5
Corriente (C) 15 S/.4
Para venderlo a sus clientes el comerciante mezcla 
los tres tipos de café.
¿A cómo debe vender el kg de la mezcla para ga­
nar el 20%?
R eso luc ión :
Para determinar dicho precio de venta el comer­
ciante procede del siguiente modo:
1 Determina el costo de su inversión
m » ] l i f H H
Cantidad (kg): 50 20 15
Precios unitarios: S/.7 S/.5 S/.4
Costos parciales: S/.350 S/.100 S/.60 
Costos totales: S/.510 
Peso total = 50 + 20 + 15 = 85 kg
Calcula el costo por unidad de medida (kg) de 
la mezcla. A este costo por kg se le denomina 
precio medio (Pm) ya que es un precio que no 
genera ni ocasiona pérdida.
Costo por 1 
kg de mezcla
= Pm
S/.510
85
= S/.6
Se observa también que:
S/.4 < S/.6 < S/.7
Precio menor Precio medio Precio mayor
Si comparamos los precios unitarios con el 
precio medio se tiene:
Cantidades
50 kg
E
20 kg
s
Precios unitarios S/.7 S/.5
Precio medio: S/.6 S/.6
Pierde Gana 
Por 1 kg: S/.1 S/.1
15 kg
c
S/.4
S/.6
Gana
S/.2
A r itm é tic a | 3 3
Pero la pérdida y ganancia es aparente ya 
que al final estas se compensan.
Pérdida = Ganancia 
50(1) = 20(1) + 15(2)
S/.50 = S/.50
Sobre el precio medio el comerciante determ i­
na el precio de venta considerando su ganan­
cia respectiva.
Precio de venta = S/.6 + 20%(S/.6) = S/,7,20 
Luego:
El comerciante debe vender el kilogramo de la 
mezcla en S/,7,20 para ganar el 20%.
En general para k sustancias:
H H H - H
Cantidades: C,
Precios unitarios: P-i
Se cumple lo siguiente:
C,
P2
C3
P3
C k
Pk
Precio C ÍP1 + C 2P2 + C 3P3 + ... + CkP|< 
medio = C ,+ C2 + C3 + . . .+ Ck
Mejor aún:
Precio _ Costo total 
medio Peso total
Promedio 
ponderado de 
precios
Precio menor < precio medio < Precio mayor
Ganancia aparente = Pérdida aparente
IV. Precio venta = precio medio + ganancia
Comercialmente la pureza alcohólica se ex­
presa en grados y para ello convencionalmen­
te se tiene que: (%) O (°)
volumen de
Grado de mezcla = alcoho1 puro x (100°) 
volumen total
Ejemplo:
Se mezclan 80 L de alcohol de 25° con 120 L 
de 40°. Calcula el grado de la mezcla.
R eso luc ión :
Se procede de manera análoga que para el 
cálculo del precio medio.
Tipo de alcohol:
I I
Volumen: 80 L 120 L
Grado: ,25° 40°
8 0 (2 5 )+ 120(40)
Grado medio = —— ——-------
80 + 120
En general para k tipos de alcohol:
= 34°
Tipo: 1
Volumen: V, 
Grado: G-i
V 2
G2
V3
G3
Vk
Gk
Grado V|G-| 4- V2G2 ■+■ V3G3 + ... + N^G^
medi° ñ̂ + ^ t w + t t + h
Aleación. Es la mezcla de dos o más metales me­
diante el proceso de fundición. En las aleaciones 
por convencionalismo los metales se clasifican en:
a. Finos. Oro, plata, platino.
b. Ordinarios. Cobre, hierro, zinc.
La pureza de una aleación se determina mediante 
la relación entre el peso del metal fino empleado y 
el peso total de ia aleación, a dicha relación se le 
conoce como la ley de la aleación.
Ejemplo inductivo:
Se tiene una aleación de 36 g de plata pura con 
12 g de zinc, ¿cuál es la ley de la aleación?
R eso luc ión :
Plata■
Peso: 36 g 12 g
Total 
48 g
=> Ley = PesoP1̂ = 36 = Q.750
Peso total 48
La aleación del peso del metal ordinario con el 
peso total se le conoce como la liga de la aleación:
L i g a = Pes° zinc = 12 = 025Q 
Peso total 48
Se deduce que:
Ley + Liga = 0,750 + 0,250 = 1
En general 
Para una aleación:
Peso t 
fino j
rnetaJj] Peso me ta i] 
)0 .:í f | ord inarió 'fl
3 4 | C o lec ció n El Po s tu la n te
Ley = 
Liga =
Peso metal fino 
Peso total 
Peso metal ordinario
Peso total
III. 0 < ley de la aleación < 1
Comercialmente la ley del oro se expresa en qui­
lates y para ello convencionalmente se establece 
que si la aleación contiene solo oro puro es de 24 
quilates.
Una sortija de 14 quilates significa que el peso 
total se divide en 24 partes iguales y 14 de 
ellos son de oro puro.En el ejemplo anterior vamos a determinar su 
ley en quilates.
Oro
9 g :
Cobre
[13
x 2 l
* 18 
Ley = 18 quilates 
Ley =
Total
12 g
X 2 ) X 2
24 partes
Q 1Q
— . = — ; de donde se obtiene: 
12 24
Ley =
(Peso metal fino) n.° de quilates 
(Peso total) 24
EJERCICIOS RESUELTOS
Un fabricante reduce 4% el precio de los artí­
culos que fabrica. Para que aumente en 8% la 
cifra total de sus ingresos, sus ventas tendrán 
que aumentar en:
R eso luc ión :
Sean P el precio y N el número de artículos; 
entonces:
Ingresos = P x N
Después:
P disminuye en 4%; ahora tiene: 96%P y N 
aumenta en x%; ahora es:
(100 + x)%N 
Para que los Ingresos aumenten en 8%
108 96 (100 + x )
Así: -¡zjg-x PN = j ^ - P x . . . N
100 100 100
10 800 = 9600 + 
1200 = 96x 
x = 12,5%
96x
Se estima que una mezcladora de concreto 
sufre una depreciación de 10% por cada año 
de uso, respecto al precio que tuvo al comen­
zar cada año. SI al cabo de 4 años su precio 
es de S/. 131 220; hallar el costo original de la 
mezcladora.
R eso luc ión :
La depreciación no es sino la pérdida del valor 
del bien. Así, si el costo inicial es de N soles.
Depreciación Queda
1 .er año 10% N 90% N = P
2 .° año 10% P 90% P = R
3.er año 10% R 90% R = S
4 ° año 10% S 90% S
Por dato: — x S = 131 220 
100
— x ^ - x U ; X ^ - x N = 131220 
100 100 100 100
N = S/.200 000
El Ingreso promedio del sector obrero en una 
empresa es de 300 000 mensuales. En el mes 
en curso hay un Incremento de haberes del 
10% del haber anterior más bonificación gene­
ral de 60 000 soles, pero se decreta un des­
cuento del 5% del haber actualizado, profondos 
de reconstrucción. Hallar el promedio actual.
R eso luc ión :
Ingreso actual: 300 000 
1 o
Se Incrementa e n : -------x 300 000 = 30 000
100
Por concepto de bonificaciones 60 000, en­
tonces, su haber actualizado es 390 000.
Pero se descuenta:
5 
100
x 390 000 = 19 500
Entonces recibe:
390 000 - 19 500 = 370 500 soles
A r itm é tic a ¡ 3 5
4. Un mayorista vende un producto ganando 
el 20% del precio de fábrica. Un distribuidor 
reparte estos productos a las tiendas de co­
mercio ganando una comisión del 15% del 
precio por mayor. La tienda remata el artículo 
haciendo un descuento del 10% del precio de 
compra (del distribuidor). ¿En qué porcentaje 
se eleva el precio de fábrica del producto?
R eso luc ión :
Sea PF el precio de fábrica
El mayorista vende en 120% PF al distribuir.
El distribuidor vende en 115% (120%PF) a la 
tienda.
El tendero lo remata en (pierde 10%)
90%[115%(120%PF)j
Es decir; se vende en:
7?7ñx 7HRx W x P F = 124,2%PF 100 100 100
entonces, el PF se ha incrementado en 24,2%.
5. E! presidente de un club de basketball obser­
va que por partido, en promedio, un tercio de 
las entradas se quedan sin vender, pero afir­
ma que todas las entradas se venderían si se 
rebajase en un 30% el precio de la entrada. 
Suponiendo correctas las hipótesis del presi­
dente del club. ¿Qué sucederá?
R eso luc ión :
Sea 3N el total de entradas y P el precio de la 
entrada.
1.° vende; 2N; queda: N 
venta total: 2NP
2.° el nuevo precio es 70% P, entonces: 
venta total = (70%P)(3N) = 2,1 x NP
La recaudación aumenta.
6 . Pedro tiene una casa que vale 100 000 soles 
y se la vende a Juan con una ganancia del 
10%. Juan revende la casa a Pedro con una 
pérdida del 10%, siendo así:
R eso luc ión :
Costo de la casa: 100 000 soles
Pedro vende ganando (10%) o sea en 110 000
Gana 10 000
Juan lo vende a Pedro, perdiendo 10% de su 
costo que es 110 000 .
qo
Luego lo vende en: x 110 000 = 99 000
M 100
Pedro gana 1000 soles más 
Ganancia total: S/.11 000
7. Un arquitecto ha previsto un recubrimiento de 
locetas circulares para una cierta pared. Si to­
das las locetas son ¡guales, ¿cuál es el máxi­
mo porcentaje de área de la pared que puede 
ser cubierto con dichas locetas?
R eso luc ión :
Gráficamente:
a locetas
Largo: L = (2R)b; ancho: A = (2R)a 
Área de la pared: L x A = 4R2ab 
Área de cada loceta: tiR2 
Total de locetas: a x b 
Área cubierta por locetas: ab/iR2
Nos piden: ~ ^ -4 R 2ab = abitR2100
x = 78,5%
Hallar la cantidad de onzas de agua que se 
necesita para rebajar al 30% el contenido de 
alcohol de un frasco de loción de afeitar de 9 
onzas, que contiene 50% de alcohol.
R eso luc ión :
Si hay 9 onzas de 50% de alcohol, entonces 
tiene:
alcohol = 4,5; agua = 4,5
Si aumentamos x onzas de agua, entonces,
por dato:
30 
1 0 0 '
27
-(9 + x) = 4,5 
3x = 45 x
9. Una persona pregunta en una tienda qué des­
cuento le pueden hacer sobre el precio de un 
repuesto, le responde que el 20%; va a otra
3 6 | C o lec c ió n El Po s tu la n te
tienda y compra el mismo repuesto con un 
descuento del 25%; ahorrándose así S/.35. 
¿Cuánto costaba el repuesto?
R eso luc ión :
Sea P el costo del repuesto 
En la 1.a tienda desct.: 20%
En la 2.a tienda desct.: 25%
Ahorro: 5%
Al comprar en la segunda tienda ahorra:
5
100
x P = 35 P = S/.700
10 . Para la construcción de un edificio se compra­
ron ladrillos a S/.1200 el millar. Se inutilizan 
por diversas causas 3600 ladrillos equivalen­
tes al 0.1% del total comprado. ¿Cuánto se 
invirtió en la compra?
R eso luc ión :
Por dato del problema:
0,1 %T = 3600 
T: total de ladrillos 
Entonces:
0,1 
100 '
T = 3600
1000
: 3600
T = 3 600 000; que es equivalente a 3600 mi­
llares.
Como costo/millar ladrillo = 1200 
Costo total = 3600 x 1200 = S/.4 320 000
11. ¿Cuál deberá ser la pureza de alcohol que de­
berá añadirse a 80 litros de alcohol de 96% de 
pureza, para obtener un hectolitro de alcohol 
de 90% de pureza?
R eso luc ión :
Recuérdese un hectolitro tiene 100 litros, en­
tonces para completar faltan solo 20 litros. 
Así:
grado
medio
80 x 96% + 20x% 
100
= 90%
1 2 .
7680 + 20x = 9000 
20x = 1320 « x = 66%
¿Qué cantidad de cobre debe añadirse a una 
barra de plata que pesa 635 g y tiene 0,920 de 
ley, para que resulte una aleación de 0,835 de 
ley?
R eso luc ión :
Cantidad
635
Ley
0,920 - \ r 0,835
Lm = 0,835
635
x
0 _ / Y_ 0,085
835 = 635 x 85
85 ^ 835
13.
x = 64,64 kg
Se hace una mezcla de vinos de S/.70 el litro y 
S/.60 el litro, con agua; la mezcla tiene un pre­
cio de S/.50. Se sabe que la cantidad de agua 
es los 2/5 de la cantidad de vino de S/.60. ¿En 
qué relación está la cantidad de vino de S/.70 
a la cantidad de vino de S/.60?
R eso luc ión :
Consideremos:
Vino (1): x L; de S/.70 y 
Vino (2): 5V L de S/.60
Agua: -|(5V ) = 2V de 0 soles
Luego:
70x + 60(5V) + 0(2V)
= é r t r 1 — = 5 0
70x + 300V = 50x + 350V 
20x = 50V
x
5V
10
20
0,50
14. A 215 litros de un vino que importa a S/,0,40 
c/u, se añaden 5 litros de alcohol de a S/.2.50 
el litro. En cuánto debe venderse el litro de la 
mezcla para ganar el 20% sobre el precio de 
compra.
R eso luc ión :
Tenemos:
C, = 215 L P-, = 0,40
C2 = 5 L P2 = 2,50
2 1 5 x 0 ,4 0 + 5 x 2 ,5 0
98,50 
220 :
220
197
440
A r itm é tic a | 3 7
Como gana el 20% sobre el Pm (que es. lo mis­
mo que Pc)
D _ 1 20 ^ 1 97 
Entonces. Pventa - 100 x 440 : S/. 0,537
15. Si 30 litros de una solución contienen 12 litros 
de alcohol, ¿cuántos litros de agua debemos 
agregar para obtener una solución al 25%?
R eso luc ión :
Si agregamos N de agua se obtiene:
12 O C O / 12 = 1 
30 + N 4
■ = 25%
3 0 + N 
48 = 30 + N =5 N = 18 L
16. Un lingote contiene 5 kg de plata pura y 3 kg 
de cobre. ¿Qué cantidad de plata pura es pre­
ciso agregar a este lingote para fabricar mo­
nedas de plata de S/.5; cuya ley es 0,900?
R eso luc ión :
Tenemos:
Ag = 5 kg J Ley = ^ = 0,625 
Cu = 3 kg
Luego:
Cantidad (kg) 
P
Leyes 
1 0,275
Lm = 0,900
p 0,275 
8 " 0,100
P = 22 kg
0 ,6 2 5 _ / V_ 0,100 
2 7 5 x 8P =
100
[ " e jer c ic io s propuestos" |
1. Vendí un artículo ganando el 24% del costo. 
¿Cuál es el costo, si lo vendí a $217?
a) $165 
d ) $175
b) $172 
e ) $164
c) $170
¿Qué número aumentado en 14% da como 
resultado 45,6?
a) 42 b) 40 c) 36 d) 41 e) 38
3. ¿Qué porcentaje debo disminuir a 450 para 
obtener el 10%menos de 400?
a) 20% b) 16% c) 18% d) 25% e) 15%
4. En una sesión de maestros se vio que el 65% 
trabaja en colegios nacionales, 220 en cole­
gios particulares y 2 0% en colegios particula­
res y nacionales. ¿Cuantos eran en total?
a) 400
d) 700
b) 500 
e) 800
c) 600
Al comprar un artículo me hacen dos des­
cuentos sucesivos de 12% y 2 0%, de manera 
que ahorro $74. ¿Cuál era el precio original 
del artículo?
a) $200 
d) $280
b) $240
e) $250
c) $320
Un futbolista ha hecho 30 goles en 75 par­
tidos. ¿Cuántos goles debe hacer en los 25 
partidos siguientes para que su porcentaje de 
goles por partido aumente en 5%?
a) 12 b) 15 c) 10 d) 16 e) 20
Indica si las siguientes afirmaciones son ver­
daderas (V) o falsas (F), respectivamente:
I. a%(N) + b%(N) = (a + b)%(N)
II. m%(N) - n%(N) = (m -n )% (N )
III. a (b% (N )) = (ab)%(N) 
abMNIV. a%(M) b%(N) =
10 000
c) VFVFa) V W F b) V V W
d) VFFF e) VVFV
Un terreno tiene 500 m2 de área. Vendo el 
20% de dicho terreno y luego el 38% del res­
to. ¿Cuánto usaré para sembrar arroz, si para 
este fin utilizaré la mitad de lo que me queda?
a ) 248 m2 
d) 112 m2
b) 124 m2 
e) 180 rn2
c) 62 m2
El precio de lista de un artículo es $600. Al 
comprarlo me descuentan el 18% y para ven­
derlo gano el 18%. ¿A cuánto lo vendí?
a) $590,25 
d) $585,0
b) $600,00 
e) $575,6
c) $580,56
10. En un vaso preparo ron con gaseosa y limón, 
El 25% de la mezcla es ron y el 80% del vaso 
contiene líquido. ¿Qué porcentaje del vaso es 
limón, si este representa el 10% del ron?
a) 2% b) 1 % c) 0,5%
d) 1,5% e) 2,5%
11. ¿En cuánto excede el a% de b/3 al b% de a/4, 
si ab = 36 000?
a) 30 b) 300 c) 900
d) 1000 e) 3000
12. Un comerciante decide vender un artículo, ga­
nando el 10%. Un cliente acude a comprar y 
solicita un rebaja de 10%. Si el comerciante 
le hace la rebaja solicitada, con lo cual pierde 
S/:200. ¿A cuánto se vendió el artículo?
a) S/.20 000 b) S/.19 800 c)S/.19 000
d) S/.19 700 e) S/.18 900
13. Al dictar mi clase de matemáticas, en la piza­
rra dejo libre a cada extremo el 5% del largo 
y el 4% del ancho. ¿Qué área efectiva de la 
pizarra uso?
a) 78,6% b) 80,4% c) 81,2%
d) 82,8% e) 84%
14. Un depósito está lleno totalmente. Si se ex­
traen 256 litros, su volumen disminuye en 
80%. ¿Cuál es el volumen total?
a) 480 L b) 250 L c) 300 L
d) 350 L e) 320 L
15. La edad de Miguel aumentada en su 75% es 
igual a 63 años. ¿Cuál era su edad hace 7 
años?
a ) 36 años b) 31 años c) 29 años
d) 30 años e) 28 años
16. En una granja de aves, el 40% es de gallinas. 
Si se ha vendido el 20% de gallinas, ¿en qué 
porcentaje ha disminuido el número de aves?
a) 10% b) 6% c) 8% d) 12% e) 7%
17. Un número aumenta sucesivamente en 20%, 
25% y 40%. ¿En qué fracción debe disminuir 
para regresar a su valor original?
3 8 ¡ C o lec c ió n El Po s tu la n te -------------------------------------
a) 11/10 b) 1/11 c) 11/21
d) 1/10 E) 7/11
18. Si el largo de un terreno se acorta en 40%, 
y el ancho se Incrementa en 40%, ¿en qué 
porcentaje varía su área?
a) Aumenta en 12%
b) Disminuye en 12%
c) Aumenta en 16%
d) Disminuye en 16% •
e) No varía
19. En un país la producción aumenta el 10% 
anual. Si en el año 1998 la producción era de 
18 000 unidades, ¿cuál será le producción en 
el año 2001?
a) 20 362 u b) 18 268 u c) 24 398 u
d) 23 958 u e) 26 718 u
20. La dirección ha comprado dos tipos de tizas 
en iguales cantidades. Los profesores usan 
en clases 80% de un tipo y 75% del otro tipo. 
¿Qué porcentaje de la cantidad total se quedó 
sin usar?
a) 45% b) 22,5% c) 15%
d) 30% e) 67,5%
21. Se compran dos latas iguales de leche para 
el desayuno. SI de la primera se consume el 
25% y de la segunda se consume el 50%, 
¿Qué porcentaje del total de la leche compra­
da queda sin consumir?
a) 75% b) 25% c) 62,5%
d) 37,5% e) 32,5%
22. En un aula el 63% del total de alumnos es de 
letras, el 2 % es de arquitectura y el resto es 
de ciencias. Si de los alumnos de ciencias, el 
80% son varones, ¿qué porcentaje del total 
son mujeres que estudian ciencias?
a) 7 b) 14 c) 21
d) 28 e) 35
23. De una cierta cantidad de dinero que tenía, 
me robaron el 12%. Si de lo que me quedaba 
presté el 25%, ¿Qué porcentaje del total de 
dinero que tenía antes del robo me quedará?
A r itm é tic a | 3 9
a) 55% b) 66% c) 88%
d) 62% e) 75%
24. Se sabe que al extraer 40 litros de un depósito 
que estaba lleno hasta el 60%, queda reduci­
do al 50% de su capacidad. ¿Cuál es la capa­
cidad del depósito?
a) 260 L b) 400 L c )1 6 0 L
d) 100 L e) 200 L
25. SI se calcula el 75% de la suma de 1/4 de 256 
con el 60% de los 2/3 de 400, resulta:
a) 172 b) 168 c) 206
d ) 186 e) 602
26. Si al vender un articulo se gana el 50% del 
costo, ¿qué porcentaje del precio de venta se 
debe rebajar para ganar 25% del costo?
a) 25% b) 20% c) 30%
d) T % e)
27. El costo de vida de un país sube cada mes 
en un 20%. Si en enero gastaba una cantidad 
a para vivir, ¿cuánto gastaré en agosto para 
vivir de la misma forma?
a) (0 ,2a )7 b) (1 ,2 )7a c ) ( 1 ,2 )6a
d) a + (0 ,2)7 e) (0 ,2)7 a
28. En un país el 35% d e ja población se encuen­
tra en la capital. En la capital el 6% de las per­
sonas son analfabetos y en el interior el 24% 
de la población son analfabetos. Hallar qué 
porcentaje son los analfabetos con respecto 
al total.
a) 16% b) 17,7% c) 15,6%
d) 19.2% e) 15,8%
29. Compro un articulo en 240 soles y lo vendo a 
312 soles. ¿ qué porcentaje del costo gané?
a) 20% b) 24% c) 30%
d) 33% e) 33,3%
30. Un vendedor logra colocar los 3/4 de su 
mercadería en clientes fijos y un 1/8 en 
clientes eventuales. ¿Qué porcentaje de su 
mercadería aún no ha colocado?
a) 8% b) 10% c) 12,5%
d) 15% e) 16%
tn
w
1 . d 7. b 13. d 19. d 25. b
2 . b
-Q00 14. e 2 0 . b 26. e
> 3. a 9. c 15. c 2 1 . c 27. b
< 4. a 1 0 . a 16. c 2 2 . a 28. b
ü 5. e 11 . a 17. c 23. b 29. c
6. b 12 . b 18. d 24. b 30. c
INTERÉS - DESCUENTO
REGLA DE INTERES
Identificación de los elementos
• Capital de préstamo (C). Llamado común­
mente capital, es la cantidad de dinero que su 
poseedor va a acceder en forma de préstamo 
para obtener ganancias.
Tiempo (t). Es el periodo durante el cual va 
a ceder o imponer un capital. Para calcular el 
interés se considera generalmente:
1 mes comercial tiene 30 días 
1 año comercial tiene 360 días 
1 año común tiene 365 días 
1 año bisiesto tiene 366 días
Interés (I). Es ia ganancia o beneficio que 
produce el capital de préstamo, durante cierto 
tiempo.
Tasa de interés (r%) o rédito. Es la ganancia 
que se obtiene por cada 100 unidades mone­
tarias en una unidad de tiempo. Por ello se ex­
presa generalmente como un tanto por ciento.
i
Ejemplo:
• 5% mensual, significa que por cada mes 
se gana el 5% del capital prestado.
• 2 1% trimestral, significa que por cada tres 
meses se gana el 2 1% del capital.
• Cuando no se indique la unidad de tiem­
po referida a la tasa, se asumirá una tasa 
anual.
Tasas equivalentes
4% bimestral 
6% trimestral 
8% cuatrimestral 
12% semestral 
24% anual 
% diario
30
Monto (M). Es ia suma recibida al final del pe­
ríodo y es igual al capital más el interés que 
genera el mismo.
r% = 2% mensual O
[M = C + 11
Clases de interés
Interés simple. Es cuando el interés o ganan­
cia que genera el capital de préstamo no se
acumula al capital. Con otro ejemplo práctico 
podemos observar un caso de interés simple 
y al mismo tiempo deducir una relación entre 
los elementos que intervienen.
Ejemplo:
Se depositó en un banco S/.4000 durante 3 
años siendo la tasa anual de 10%. ¿Cuánto 
será el interés ganado y el monto obtenido?
R eso luc ión :
C = S/.4000 
t = 3 años 
r% = 10% anual
Cada año se gana: 10%(4000) = S/.400 
Esquema
S/.4000
Interés: S/.400 S/.400 S/.400
Luego al final de los 3 años se tiene: 
Interés = 400 + 400 + 400 
Interés = 3[10%(4000)j = S/.1200 
En general:
Interés = Tiempo x Tasa x Capital
No debemos olvidar que el análisis se hizo 
año por año, porque el interés se prestó con 
una tasa anual, lo cual nos da una idea quesi 
las condiciones de tasa en que se prestó fue­
ran mensuales, el análisis se debería realizar 
en tiempos mensuales.
Las fórmulas para calcular el interés simple 
son:
C.r.t
100 '
C.r.t 
36 000
t en años I
, t en días
C.r.t
1200 , t en meses
Interés compuesto. Es cuando el interés que 
genera el capital prestado, se acumula al capi­
tal en intervalos de tiempo especificados. Ob­
servamos el ejemplo pero en condiciones de 
un préstamo a interés compuesto o conocido 
también como un proceso de capitalización.
A r itm é tic a | 4 1
Ejemplo:
Se presta un capital de S/.1000 durante 3 
años a una tasa anual de 10% y capitalizable 
anualmente. Calcula el monto obtenido.
R eso luc ión :
Observación: capitalizable anualmente signifi­
ca que después de cada año el interés produ­
cido se acumula al capital, siendo el monto ob­
tenido el nuevo capital para el siguiente año.
S/.1100 S/. 1210 S/.1331
Capital 
S/.1000
I, = 10% (1000) l2 = 10% (1100) l3 = 10% (1210) 
l ,= S /.1 0 0 i2 = S/.110 l3 = S/.121
El interés en los 3 años es:
Interés = s / 10Q + Q/ m + s / 1 2 1 = s / 331 
compuesto
Luego:
Monto en general = 1000 + 331 = S/.1331 
En general:
M = (1 + r%)n. C
Donde:
n nos indica el número de períodos de capitali­
zación contenidos en el tiempo de imposición. 
El período de capitalización determina las uni­
dades de la tasa y tiempo que se debe utilizar 
necesariamente.
REGLA DE DESCUENTO
Identificación de ¡os elementos
Letra de cambio. Es un documento de crédi­
to que se utiliza para resolver transacciones 
comerciales a plazo, en el cual una persona 
denominada deudor se compromete (median­
te su firma y datos) a pagar el importe a otra 
persona denominada acreedor al cabo de 
cierto tiempo.
• Valor nominal (Vn). Es el valor que asume un 
documento comercial para ser cancelado en 
una fecha determinada, por tanto, va impreso 
o escrito con claridad en una zona destacada 
del mismo documento.
• Fecha de vencimiento. Fecha límite que in­
dica el final del plazo para hacer efectivo el 
valor nominal de un documento comercial.
Valor actual (Va). Es el valor que pagamos 
por un documento comercial por hacerlo efec­
tivo antes de su fecha de vencimiento.
Descuento (D). Es un beneficio para el deu­
dor por cancelar un documento comercial an­
tes de la fecha de vencimiento; está represen­
tado por la diferencia entre el valor nominal y 
el valor actual del documento.
D = Vn - V,
• Tiempo de descuento (t). Es el comprendido 
entre la fecha de negociación y la fecha de 
vencimiento.
Clases de descuento
En la presente teoría consideramos dos clases de 
descuento según el capital que se asume como re­
ferencia, si éste es el valor nominal se denominará 
descuento comercial, si la referencia es el valor ac­
tual se denominará descuento racional.
Descuento comercial (Dc). Es el interés que 
generaría el valor nominal bajo una cierta tasa 
durante el tiempo de descuento.
También se le denomina descuento externo 
o descuento abusivo, ya que la deducción de 
interés es sobre un valor futuro.
Vn.r.t ^
Dr = —— ; t en anos 
c 100
Vn.r.t t
D„ = — ; t en meses
c 1200
Vn-r-t . 
36 000 ’
t en días
Ejemplo:
Tenemos una letra de cambio de S/.540 que 
vence en 4 meses. Si hoy negociamos la letra 
a una tasa de descuento del 24%. ¿Cuánto es 
el valor del descuento comercial?
¿Cuánto nos pagarán por dicha letra?
R eso luc ión :
Para hallar el valor que nos pagarán por la 
letra, es necesario, restar los intereses que 
corresponden a los 4 meses siguientes, es­
tos intereses se han calculado a partir de un 
capital inicial, pero, en e! descuento comercia! 
se calculan del capital final que viene a ser el 
valor nominal.
| C o le c c ió n El Po s tu la n te
4 meses
Por tanto, el cálculo de Interés será:
f£ % x 540 x 4 = S/,43,2
12
tasa de valor tiempo descuento
descuento nominal (interés calculado
del V„)
Finalmente, el valor efectivo del documento es: 
S/.540 - S/,43,2 = S/,496,8
valor descuento valor actual 
nominal
Resumiendo: Vac = S/.496,8 
Dc = S/,43,2 
Podemos concluir que:
r% Vnt = Vn - Va[
Vac: valor actual comercial
El descuento comercial es proporcional al 
tiempo de descuento.
Descuento racional (Dr). Es el interés que 
generaría el valor actual de un documento co­
mercial a una tasa de descuento y durante el 
tiempo de vencimiento.
También se le denomina descuento interno o 
descuento matemático.
Vart
D, = —— ; t en anos 
r 100
Vart
Dr = —2— ; t en meses 
1200
(Descuento interno o matemático) 
V ,rt
Dr = — 2— ; t en días 
r 36 000
Ejemplo:
Tenemos una letra de cambio de S/.540 que 
vence en 4 meses. SI hoy negociamos la letra 
racionalmente a una tasa del 24%. ¿Cuál será 
su valor actual? ¿Cuánto vale el descuento 
racional?
R eso luc ión :
En este caso también restaremos del valor 
nominal los intereses pero, ahora el interés se
calcula a partir del valor actual (cuyo yalor no 
es dato del ejemplo), entonces:
| | % X VaR X 4 = S/.540 - VaR
tasa de valor tiempo valor valor
descuento actual nominal actual
mensual racional racional
Luego: VaR = 500
Finalmente el descuento racional es:
Dr = 540 - 500 = 40 
Resumiendo:
VaR = S/.500 
Dr = S/.40
Podemos concluir que:
~Dr = r% Vart = V„ - Var
Var: valor actual racional 
Comparando los resultados de los dos ejem­
plos se tiene que:
Comercial Racional
Descuento: S/.43,2 > S/.40
Valor actual: S/,496,8 < S/.500
Observación:
Los descuentos han sido aplicados a la mis­
ma letra y a tasas ¡guales para un mismo tiem­
po de descuento.
Propiedades de la regla de descuento
En este segmento del capítulo planteamos algunas 
propiedades que surgen a partir de la comparación 
de los resultados obtenidos en los cálculos relati­
vos al descuento comercial y al descuento racional 
de una misma letra a tasas y tiempos ¡guales.
Dado que Vn > Va, entonces: Dc > Dr 
además Vac < Var
La diferencia de valores actuales (comercial y 
racional) es igual a la diferencia de sus des­
cuentos.
Vsr - Vac = Dc - Dr
Es posible calcular el descuento racional 
a partir del valor nominal de un descuento 
(como veremos). Sabemos que:
Dc = r% Vn t ...(a)
Dr = r% Var t ...((3)
Restando (p) de (a):
A ritm é tic a | 4 3
Dc - Dr = (Vn - Var) r% I 
Dr
Obtenemos:
Dc - Dr = Drr% t
Luego, reemplazando el Dc por su equivalente 
en la expresión anterior. 
r%Vnt ~ Dr = Drr% t 
r%Vnt = Dr (1 + r% t) 
y obtenemos:
Vnr%t
1 + r%t
Luego, la expresión obtenida en (3) la multipli­
camos por el Vn.
Vn (Dc - Dr) = Dr r% tVn
Dc
y obtenemos:
" Dc - Dr
C am bio de letras. Es usual que un deudor no 
pueda cumplir con sus obligaciones (por diversos 
motivos), es por esto que tratará de replantear 
sus pagos modificando los montos y los plazos en 
acuerdo con el acreedor. También se presenta la 
figura en la cual el acreedor (tenedor de la letra) 
canjea ésta por otra u otras con distintas caracte­
rísticas.
Para ello es necesario que a la fecha del canje 
los valores de los documentos (valores actuales) 
reemplazados y reemplazantes sean equivalentes.
E jem plo:
Lolo tiene una letra de S/.200 que vence dentro de 
60 días y Tito tiene otra letra de S/.225 que vence 
dentro de 120 días. Si ambos intercambian sus le­
tras, ¿quién de ellos se perjudica? Considere que 
se aplica en ambos casos una tasa de descuento 
del 5% mensual.
R eso luc ión :
Recordemos que el valor nominal de un documen­
to es el valor que se pagará en la fecha de venci- 
•miento, pero hoy el valor de cada letra es menor, 
calculemos los valores actuales:
Como la tasa es mensual podemos considerar el 
tiempo en número de meses.
D=1 == 200 < 5% <2 => Dc1 = 20
° c2 = 225 > 5% x 4 - d c2 = 45
V n D v a
Letra de Lolo 200 20 180
Letra de Tito 225 45 180
Comparamos resultados y notamos que hoy el va­
lor de cada letra es S/.180 por lo cual se pueden 
Intercambiar sin beneficio ni perjuicio de Lolo o de 
Tito.
V encim ien to com ún. Es un caso particular que se 
presenta en un cambio de letras con las siguientes 
condiciones:
1. Se reemplazaráun conjunto de letras de cam­
bio por una sola.
2. El valor nominal de la letra reemplazante es 
igual a la suma de los valores nominales de 
las letras reemplazadas.
3. Todas las letras son descontadas comerclal- 
mente y a una misma tasa.
cy ia ta . ': ....................— ----------- „
1. Dc > Dr pues: Vn > Va
De donde: Vac > Vn - Dc; Var > Vn - Dr ;
y de aquí: Var > Vac j
2. Tanto la tasa como el tiempo, deben ser ;
i cantidades que no hagan al descuen- j
to una situación absurda. Por ejemplo j 
el tiempo no puede ser 200 años, 500 I 
años, etc.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. ¿Cuál es la suma que al 5% de interés simple 
anual se convierte en 3 años en 3174 soles?
R eso luc ión :
Datos: r = 5%; t = 3 años
M = 3174 
C + I = 3174
C + = 3 1 7 4 
100
— C = 3174 =A C = 2760 on
4 4 | C o lec c ió n El Po s tu la n te
Carlos Impone los 4/7 de su capital al 4% y 
el resto al 5% y resulta un interés anual de 
S/.3100. Diga cuál es la suma impuesta al 4%.
R eso luc ión :
Sea C el capital
• Coloca y C al 4%
. 4 x C x 4 x 1 16 ^
7 x 1 0 0 
Coloca | c al 5%
700
I?
3C x 5 x 1 _ 15 ( 
7 x 1 0 0 ” 700
Por dato:
I, + l2 = 3100
16rC + 4 Í r C = 3100
700
-3 L (
700
700 
: 3100 C = 70 000
Al 4% se colocó: y x 70 000 : 40 000
3. El valor nonimal de una letra es los 4/5 del va­
lor de la otra. Se han descontado comercial­
mente al 4% la primera por un mes y 16 días y 
la segunda por 3 meses. El descuento de esta 
fue de S/.20,50. ¿Cuál fue el descuento de la 
otra?
R eso luc ión :
Consideremos V n = 5V„, entonces 
Vn = 4Vn
Por condición: DC2 = ■
5V„ x 4 x 3
= 20,50
1200 
Vn = 410
= 20,50
1200
De aquí deducimos: Vn = 1640
Luego: Dc =
DC1 =
Vn, x r x t 
36 000
1 6 4 0 x 4 x 4 6 
36 000
DCl= 8,38 soles
4. Un capital de S/.40 000 estuvo impuesto du­
rante un cierto número de años, meses y días. 
Por los años se cobró el 5% anual, por los me­
ses el 4% y por los días el 3%. Calcular la utili­
dad producida por dicho capital sabiendo que 
si se hubiera tenido impuesto durante todo el 
tiempo al 5%, habría producido S/.3840 más 
que sí hubiera colocado todo el tiempo al 3%.
R eso luc ión :
Consideremos un total de t días.
Por dato del problema: 
ls% ~ b% = 3840
= 38404 0 000 x 5 x t - 40 000 x 3 x t 
36 000
40000 x 2 x t = 384Q ^ t = .|728 días 
36 000
es decir: t = 4 años, 9 meses y 18 días
Luego, nos piden, laños ^meses ”f Idías
4 0 0 0 0 x 5 x 4 4 0 0 0 0 x 4 x 9 , 4 0 0 0 0 x3 x1 8 
100 1200 + 36 000
= 8000 + 1200 + 60 = 9260 soles
El monto de un capital impuesto durante
8 años es S/.12 400. Si el mismo capital se 
hubiera Impuesto ai mismo rédito durante
9 años, 6 meses, el monto sería S/.12 772. 
¿Cuál es el capital?
R eso luc ión :
Para el primer monto: 12 400 soles 
C x r x 8M, = C +
100
12 400 soles ...(1)
Para el segundo monto: 12 772 soles 
C x r x 9 ,5
100
= 12 772 (2)
Restando (2) - (1), se obtiene: 
C x r (9 ,5 - 8 )
100
■= 12 7 7 2 - 12 400
1,5
100
(C x r) = 372 => C x r = 24 800
Reemplazando en (1): 
24 800 xC + 
C +
100
1984 = 12 400
12 400
C = 10 416 soles
A r itm é t ic a | 4 5
6 . Calcular el valor nominal de una letra, sabien­
do que su descuento comercial es 388,25 so­
les y su descuento Interno 385 soles.
R eso luc ión :
Por dato se sabe que:
Dc = 388,25 y Dr = 385 
Además por propiedad:
^ Dc x D r 388 ,2 5 x3 8 5
. n “ Dc - Dr n = 3^25
Vn = 45 992,69 soles
[ " e jer c ic io s PROPUESTOS 1
1. Calcular el interés que producirá S/.1600 de­
positado durante 2 años al 25% trimestral ca­
pitalizadle semestralmente.
a) 5100 b) 5200 c) 5400
d) 6500 e) 6800
2. Un capital produce un cierto Interés al cabo 
de un tiempo en el cual se observa que la di­
ferencia entre el capital y el Interés equivale al 
42% de dicho capital. ¿Qué interés produce 
un capital de S/.30 000 en la tercera parte del 
tiempo anterior y con una tasa 50% menor?
a) 2900 b) 3000 c )3100
d) 3200 e) 3300
3. Un capital se tiene Impuesto al 4% anual de 
interés simple. Al final del primer año se re­
tiran los intereses y además otro tanto como 
los Intereses, al final del segundo año se repi­
te la misma operación y se observa que el ca­
pital ha disminuido en S/.6272. Hallar el valor 
del capital original (en soles).
a) 71 000 b) 82 000 c) 80 000
d) 89 000 e ) 9000
4. Una persona posee S/.45 000, una parte la 
coloca al 36% anual y el resto al 35%. Si las 
tasas a las que están impuestas se permuta­
ran, al término de un año se produciría S/.50 
más de interés. Hallar la diferencia entre los 
intereses anuales.
a) SI. 1000 b) SI. 1550 c) S/.3000
d) S/.5000 e) S/.6000
5. Carmelo tiene una peluquería hipotecada y 
anualmente tiene que pagar el 6% de su va­
lor. Dicho pago lo hace con los intereses que 
le produce un bono de $75 000 al 4%, donde 
estos intereses están sujetos a un descuento 
del 20%. Determinar el valor de la hipoteca.
a) $35 000 b) $40 000 c) $45 000
d) $50 000 e) $55 000
6 . Un capital aumenta la mitad de su valor al cabo
de cierto tiempo. ¿Cuál es este, sabiendo que 
expresado en años es igual a la mitad del tanto 
por ciento al cual se impuso el capital?
a ) 4 años b ) 5 años c ) 6 años
d ) 7 años e ) 10 años
7. Determinar a qué tasa mensual debo imponer 
mi dinero, sabiendo que tengo S/.1200 y den­
tro de 8 meses debo comprar un artefacto que 
actualmente cuesta S/.1400 y que al cabo de 
dicho tiempo su precio aumentará en un 20%.
a) 5% b) 10% c) 12%
d) 15% e) 17,5%
8 . Un capital impuesto a una tasa mensual du­
rante cierto tiempo produce S/.1800 más que 
si se hubiera Impuesto a una tasa semestral 
numéricamente igual a la anterior. ¿Qué in­
terés se hubiera producido si la tasa fuera 
anual?
a) S/.160 b) S/.175 • c)S /.180
d) S/.195 e) S/.200
9. El gráfico corresponde al monto (M) obtenido 
en función del tiempo (t) a partir de un cierto 
capital impuesto a interés simple con una tasa 
de r% anual. Calcular: a + b + c + r
4 6 ¡ C o lec ció n El Po s tu la n te
10. El monto obtenido al imponer un capital duran­
te 8 meses es S/.24 800. Si el mismo capital 
se hubiera impuesto a la misma tasa durante 
9 meses y 15 días el monto sería S/.25 544. 
Hallar el capital (en soles).
a) 18 350 b) 19 900 c) 20 832
d) 21 540 e) 22 345
11. Determinar el tiempo al que fue impuesto un 
capital a una tasa de 60%, sabiendo que el 
capital, interés y monto más capital forman 
una proporción geométrica continua, donde la 
media proporcional es el Interés.
a) 35 meses b) 37 meses
c) 38 meses d) 39 meses
e) 40 meses
12. Dionisio se presta $42 000 al 10% de interés 
mensual sobre el saldo deudor de cada mes. 
El primer y segundo mes no se amortiza nada, 
pero el tercer y cuarto mes se paga una mis­
ma cantidad igual a N dólares. Hallar N para 
que la deuda quede cancelada al cuarto mes; 
dar la suma de sus cifras.
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
13. Se tiene S/.306 000 divididos en 3 partes pro­
porcionales a los números a; b y c; las cuales al 
ser colocadas a la tasas de (a + 1 )%; (b + 2 )% 
y (c 4 3)%, en ese orden, al cabo de un año 
generan montos proporcionales a a2, b2 y c2 
respectivamente. Hallar la mayor de las partes 
en que fue dividida la cantidad inicial.
a) S/. 100 500 b) S/.102 000
c) S/.103 000 . d) S/. 106 000
e) S/.110 000
14. Ullses quiere comprar una guitarra, pero le 
falta tanto como lo que tiene, así que decide 
comprarla dentro de 10 meses, por lo que 
deposita lo que tiene en un banco al 15% se­
mestral y después de 4 meses deposita S/. 115 
más. Si cuando retira todo su dinero, el precio 
se había incrementado en 20% de su valor, 
pero a pesar de ello logra comprarla sin tener 
excedente. Hallar el precio final de la guitarra.
a) 276 d) 300 c) 360
d) 380 e) 408
15. Un capital de abcOO dólares es colocado du­
rante 10 meses a una tasa de 9,6%, siendo el 
monto, interés y capital proporcionales a 27, b 
y c2. Hallar a + b + c, si se sabe además que 
el monto fue a(b + c)c00 dólares.
a) 13 b) 14 c) 15 d )1 6 e )1 7
16. Un capital se imponeal 40% anual durante 3 
años, de manera que cada año se reciben las 
ganancias y la mitad de ellas se suman al capi­
tal. Si al final del tercer año se recibe S/.100 800, 
¿cuál fue el capital depositado?
a) 40 000 b) 42 000 c) 45 000
. d) 48 000 e) 50 000
17. Cada año se deposita SI. 160 000 en una cuenta 
bancaña que produce 5% de interés semestral 
y con el mismo periodo de capitalización, ¿qué 
capital se tendrá inmediatamente después de 
haberse efectuado el tercer depósito?
a) 502 120 b) 517 464 c) 525 734
d) 528 460 e) 530 881
18. Edy va al banco y pide un préstamo por una 
cierta cantidad al 8% anual y 4 meses más 
tarde pide otro préstamo por otra cantidad 
pero al 5% anual. Cinco meses después lo 
que entrega al banco por capitales e Intereses 
producidos por cada préstamo son iguales, 
determinar el valor del primer préstamo.
a) 450 b) 480 c) 520 d) 640 e) 720
19. Un capital de S/.175 200 fue impuesto al 30% 
anual de interés simple durante 7 meses se­
guidos. Determinar cuál fue el primer mes de 
imposición si se sabe que con el año común 
habría un beneficio extra de S/.300 con res­
pecto al interés que se obtendría consideran­
do el año comercial.
a) Mayo b) Junio c) Julio
d) Agosto e) Septiembre
20. Se deposita S/.3125 en un banco a una tasa 
de 20%, capltalizable anualmente. Si el inte­
rés total generado fue S/.3355, determinar el 
tiempo que estuvo depositado dicho capital.
a) 2 años b) 3 años c) 4 años
d ) 5 años e ) 6 años
A r itm é tic a I 4 7
21. Una persona por error impone su capital al 5% 
durante 4 años a interés simple, debiendo im­
ponerlo al r% de Interés compuesto durante el 
mismo tiempo, perdiendo de esta manera el 
546/625 de su capital. Hallar el valor de r.
a) 15 b) 20 c) 25 d) 35 e) 40
22. Tito se presta cierta cantidad, comprometién­
dose a pagar el 5% de interés mensual ca- 
pltalizable bimestralmente. Si el primer pago 
de S/.1430 lo realiza al cabo de 2 meses y 
cancela sus adeudados meses después con 
S/.363; ¿a cuánto ascendía el préstamo?
a) SI. 1200 b) SI. 1600 c) SI. 1640
d) S/.1740 e) S/.1800
23. Un negociante recibe anualmente una ganan­
cia de S/.20 000 que proviene de dos de sus 
negocios que le producen Intereses que están 
en la relación de 2 a 3. Si las tasas de interés 
son 16% y 18%, respectivamente, hallar la di­
ferencia de los capitales empleados en cada 
negocio.
a) S/.90 00 b) S/.95 000
c) S/.96 000 d) S/.98 000
e) S/.100 000
24. Hace 8 meses se Impuso cierto capital, cuyo 
monto actualmente es S/.4650. Si dentro de 
un año el monto será S/.4875, hallar la tasa 
anual de imposición.
a) 3% b) 5% c) 7% d) 9% e) 11%
25. Hace 3 años una persona depositó cierta 
suma de dinero al 10% semestral capitaliza- 
ble anualmente y con el dinero acumulado 
hoy ha comprado una casa que planea ven­
der en S/.220 320 con una ganancia del 20% 
sobre el precio de venta. ¿Cuál fue el interés 
obtenido?
a) S/.74 256 b)S /.103 960
c) S/.105 920 d) S/.108 050
e) S/. 110 980
26. Vladlmiro deposita abcOOO dólares en un ban­
co de Ginebra que le paga 7,3% anual, y otro 
capital de xyzOOO dólares lo coloca en una
financiera de Gran Caimán la cual le da un 
beneficio de 8,2% anual. Luego de 11 años 
el monto originado por ambos capitales es el 
mismo. Calcular a + b + c + x + y + z.
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
27. Un capital de $72 000 es dividido en 9 partes, 
siendo las 8 primeras: 1/2 1/6 ; 1/ 12 ; 1/20 ; ...; 
1/72 de dicho capital, las cuales son impues­
tas durante un año al 0,4% diario, y el resto se 
Impone también durante un año a! 15% men­
sual. Determinar el monto total obtenido.
a) 150 480 b) 150 400 c) 152 400
d) 156 800 e) 178 560
28. Al dividir un capital en tres partes, se impone 
la primera al 3% bimestral, la segunda al 12% 
semestral y la tercera al 1% mensual. Anual­
mente producen el mismo Interés y además 
se sabe que el total Invertido es de S/.26 000, 
obtener la mayor de las partes.
a) 6000 b) 10 000 c) 11 000
d) 12 000 e) 18 000
29. Se impone un capital C a interés simple de la 
siguiente manera: el primer mes al 5% men­
sual, el segundo mes al 6 % mensual y así su­
cesivamente durante n meses. Hallar n si al 
cabo de ese tiempo se produjo un Interés que 
es Igual al 45% del capital C.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
30. Un cierto capital se impone a un plazo fijo de t 
meses al r% anual de Interés simple y cuando 
ha trascurrido un tiempo igual al 60% del tiem­
po que falta, la tasa aumenta un 20% de su 
valor, obteniéndose una tasa aumenta un 20% 
de su valor, obteniéndose una tasa efectiva 
que es x% mayor que r. Hallar el valor de x.
a) 10,5 b) 11 c) 12 d) 12,5 e) 15
tn
Lü
1 . d 7. a 13. c 19. c 25. a
2 . a 8 . c 14. a 2 0 . c 26. a
> 3. c 9. d 15. a 2 1 . b 27. e
<j 4. b 10 . c 16. e 22 . b 28. d
u 5. b 11 . e 17. e 23. e 29. b
6. e 1 2 . d 18. a 24. b 30. d
NUMERACIÓN - CONTEO
NUMERACIÓN
Es parte de la aritmética que se encarga del estu­
dio de la correcta formación, lectura y escritura de 
los números.
Número. Es un ente matemático que nos permite 
cuantificar los elementos de la naturaleza, el cual 
nos da la idea de cantidad.
Numera!. Es la representación simbólica o figura­
tiva del número mediante determinados símbolos 
o guarismos.
E j e m p l o : | | |, ^ , 3
Cifra (dígito). Son los símbolos que convencional- 
mente se utilizan en la formación de los numerales 
y estos son:
0; 1; 2; 3; ...
Sistema posicional de numeración. Es el con­
junto de normas, leyes, principios, reglas y conve­
nios que nos permiten la correcta formación, lectu­
ra y escritura de los números.
Principios fundamentales 
De! orden. Toda cifra que forma parte de un nume­
ral ocupa un orden determinado, el cual se indica 
de derecha a izquierda, por ejemplo el numeral:
7 5 4 2
Cifra Orden
2 0
4 1
5 2
7 3
o también
Órdenes
5 4 3 2 1 0
9 1 0 4 7 3
Aplicación 1
¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual se cum­
ple que su cifra de tercer orden está ocupando el 
cuarto lugar?
De la base
Todo sistema de numeración tiene una base que 
es un número entero mayor que la unidad, el cual 
nos indica la cantidad de unidades necesarias y 
suficientes de un orden cualquiera para formar una 
unidad del orden inmediato superior.
*
Por ejemplo, si la base es 10 (en ese caso se dice 
que el sistema de numeración es decimal) y quere­
mos representar el siguiente conjunto de unidades 
simples en dicho sistema.
Se empieza agrupando las unidades en el orden 
0 y cada 10 unidades se va pasando al orden 1 .
Órdenes 
1 0
Utilizando las cifras para formar el numeral tendremos: 
Orden
1 0
2 6
textualmente diremos que se tiene veintiséis uni­
dades y de acuerdo al orden decimos que se tiene: 
6 unidades de orden 0 
2 unidades de orden 1 
Ahora expresamos las unidades simples en el sis­
tema de numeración de base 5.
2 1 ^ '~'v 0
•
•
A r itm é t ic a | 4 9
Utilizando las cifras, tenemos: 
Orden
(5)
textualmente diremos que se tiene uno, cero, uno 
en el sistema de base 5 y de acuerdo al orden:
1 unidad de orden 0 
0 unidades de orden 1 
1 unidad de orden 2
Podemos resumir el proceso del siguiente modo 
(para ello nos valemos del sistema decimal el cual 
conocemos más).
El proceso consiste en Ir agrupando las unidades 
de acuerdo a la base en cada orden, luego:
1 0
26 |_5_ 
1 5
1 1
Queda Pasa
5 [_5_ 
0 1 
i i
Queda Pasa
1
1 0 1
.-. 2 6 = 101 (5)
SI se tuviera 39 unidades y se desea expresarlo 
en base 5 (se sobreentiende que es el sistema de 
numeración).
2 1 0
39 [_5_ 
4 7
i 1
Queda Pasa
7 L A
2 1 4
i 1
Queda Pasa
1 2 4
Este proceso podemos reducirlo un poco más, 
para hacerlo práctico, así:
39 LA.© 7 L_5_
V @ ©
Luego: 39 = 124(5,
Conclusiones
I. Toda cifra que forma parte de un numeral es 
un número menor que la base.
Así en el sistema de base n se pueden utilizar 
n cifras diferentes las cuales son:
máxima 
0; 1; 2; 3; ...; (n - 1)
significativas
II. A mayor numeral aparente le corresponde 
menor base.
SI: 143(n) = 53(kj 
Como: 143 > 53 
Entonces: n < k
Sistemas de numeración másusuales
Base Nombre del sistema
2 Binarlo
3 Ternario
4 Cuaternario
5 Quinario
6 Senario
7 Heptanario
8 Octanario
9 Nonarlo
10 Decimal
11 Undecimal
12 Duodecimal
Cuando las cifras a utilizar superan a 9 con- 
venclonalmente se utilizan letras mayúsculas 
para su representación, es así que:
cifra letra
10 O A
11 o B
12 o C
39 = 124(6) Ejemplos: A5BC3(15,
5 0 | C o lec ció n El Po s tu la n te
Significa que se tiene:
3 unidades de orden 0 
C = 12 unidades de orden 1 
B = 11 unidades de orden 2 
5 unidades de orden 3 
A = 10 unidades de orden 4
Del valor de las cifras. Toda cifra que forma parte 
de un numeral tiene dos valores.
Valor absoluto (VA). Por la cantidad de unidades 
simples que representa.
Valor relativo (VR). Por el orden que ocupa en el 
numeral.
Vamos a determinar cuántas unidades simples tie­
ne una unidad en cada orden.
En base 10
3 2 1 0 ■* orden
103 102 10 1
x 10 x 10 '.10
1 unidad contiene la siguiente canti­
de orden dad de unidades simples
0 1 = 10°
1 10
2 102
3 103
En base 7
3 2 1 0 < ------orden
73 72 7 1
x7 x7 x7
1 unidad contiene la siguiente cantidad
de orden de unidades simples
0 1 = 1°
1 7
2 72
3 73
o el numeral 87534 Indica el valor de sus ci-
Cifra Valor absoluto (VA)
4 4 unidades simples
3 3 unidades simples
5 5 unidades simples
7 7 unidades simples
8 8 unidades simples
Cifra Valor relativo (VR)
4 4 unidades de orden 0: 4 x 10°
3 3 unidades de orden 1: 3 x 101
5 5 unidades de orden 2: 5 x 102
7 7 unidades de orden 3: 7 x 103
8 8 unidades de orden 4: 8 x 104
Para el numeral 714653(9), indica el valor de sus 
cifras.
Cifra VA VR
3 3 3 x 9 °
5 5 5 X 9 1
6 6 6 x 92
4 4 4 x 93
1 1 1 x 94
7 7 7 X 95
Representación literal de los números
Cuando no se conocen las cifras de un numeral 
estas se representan mediante letras minúsculas, 
teniendo en cuenta que:
I. Toda expresión entre paréntesis representa 
una cifra.
II. La cifra de mayor orden debe ser diferente de 
cero.
III. Letras diferentes no necesariamente indican 
cifras diferentes, salvo que lo señalen.
Ejemplos:
Un numeral de dos cifras en base 10. 
ab t {10; 11; 12; ...; 99}
Un numeral de tres cifras en base 7. 
xyz(7) e { 100(7); 10 1 (7)1 102(7); ... 666(7)}
(a - 3)(a + 2)(2a - 1)(g)
• (n — 1 )(n — 1 )(n)
abab(k)
A r itm é tic a | 5 1
Numeral capicúa
Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes 
son ¡guales.
Ejemplos:
3223; 454,8,; 66 ,7,; aba,^)
Descomposición polinómica de un numeral 
Simple. Es la suma de los valores relativos de 
las cifras que conforman dicho numeral.
Ejemplos:
415 = 4 x 102 + 1 x 1 0 + 5
723(8) = 7 x 8 2 + 2 x 8 + 3 
5142,7, = 5 > 73 + 72 + 4 x 7 + 2
En general:
abcde,n) = an4 + bn3 + en2 + dn + e
Por bloques 
Ejemplos:
3143,5) = 31,5) x 52 + 4 3 ,5)
24351,7) = 24(7) x 73 + 35(7) X 7 + 1 
454545,e) = 45,6) x 64 + 45,8, x 62 + 45,6) 
abab,n, = ab(n, x n2 + áb,n)
Cambios de base en los sistemas de numeración
Primer caso: de base n a base 10 
Procedimiento: descomposición polinómica
Ejemplo:
543,6, = 5 x 62 + 4 x 6 + 3 = 207
Segundo caso: de base 10 a base n 
Procedimiento: divisiones sucesivas
Ejemplo:
Representar 298 en el sistema quinarlo.
Propiedades:
Numeral de cifras máximas: 
9 = 10 - 1 
99 = 102 — 1
999 = 103 — 1
99 ...9 = 10k - 1 
k cifras
• 7,8, = 8 - 1
77(8, = 82 - 1 
777,8, = 83 - 1
77 ... 7(8, = 8k - 1 
k cifras
Bases sucesivas:
13,n, = n + 3 
1513(n) = n + 3 +5
' 12i5i3,n) = n ' t ' 3 + 5 + 2
Luego:
17., = k + 2 + 5 + 3 + 2 + 7
13
15
12m
En general:
1a = n + a + b + c + ... + x
1b_
1c
'ÍX(n)
C antidad de num erales con cierta cantidad de 
cifras
¿Cuántos números de 3 cifras existen en el siste­
ma de base 10; y base 7?
Base 10: sea el numeral abe 
abe 6 {100; 101; 102; ...; 999}
Cantidad de numerales: 999 - 99 = 900 
Luego: 102 < abe < 103
Base 7: sea el numeral xyz 
x y z e (100,7); 101,7); 102,7); ...;666,7))
Cantidad de numerales:
666,7, - (100 ,7 ,- 1) = 294 
Luego: 72 < xyz < 73
En general: SI N,b, tiene k cifras, se limita del 
siguiente modo:
bk_1 N,b, < bk
5 2 | C o lec c ió n El Po s tu la n te
Casos especia les en los cam bios de base de 
los s is tem as de num eración
P rim er caso: de base n a base n \ k e 
Procedimiento:
• ' El numeral se descompone en bloques de k 
cifras a partir de! orden cero.
Cada bloque se descompone polinómicamen- 
te y el resultado es la cifra en la nueva base. 
E jem plo:
Expresar 120221 (3) en el sistema nonario. 
R eso luc ión :
Como 9 = 32 cada bloque debe tener 2 cifras.
12 02 21
1 / 3 + 2 0 x 3 + 2 2 x 3 + 1
5 2 7
.-. 120221 (3) = 527,9,
Segundo caso: de base nk a base n, k e Z + 
Procedimiento:
Cada cifra del numeral genera un bloque de k 
cifras.
Las cifras de cada bloque se obtienen me­
diante las divisiones sucesivas.
Ejem plo:
Exprese 547(9) en el sistema ternario. 
R eso luc ión :
Como 9 = 32 el bloque debe tener 2 cifras.
5 4 7
5 | 3 4 L3_ 7 L3_
2 1 1 1 1 2
1 2 1 1 2 1
547(9) = 121121(3,
C 0N T E 0 DE NÚMEROS
Fórmula para hallar el número de términos en una 
progresión aritmética.
n.° de _ último término - anterior al primero 
términos ~ razón
Ejem plos:
Determinar el número de términos en: 
24; 27: 30; ...; 726
3 3
-> n.“ de términos = — — = ^95. _ 235
3 3
44; 51; 58; ...; 2438
=» n.° de términos = = ^ 0 1 = 343
Cantidad de cifras de una serie natural
Dado la sucesión:
1; 2 ; 3; 4; 5; (N - 1); N
N numeral de k cifras, entonces:
=> n.° de cifras = (N + 1)k - 11...111 
k cifras
Ejemplo:
¿Cuántas cifras se usan en la numeración de un 
libro de 350 hojas?
R eso luc ión :
350 hojas = 700 páginas 
La numeración es: 1; 2; 3; 4; ...; 700 
n.° cifras = 701 x 3 - 111 = 2103 - 111 
n.° cifras = 1992
Método combinatorio 
Ejemplos:
¿Cuántos números pares de 3 cifras existen? 
¿Cuántos números capicúas de 5 cifras tie­
nen un solo 6 en su escritura?
¿Cuántos números de la forma 
a(a + 3)(b - 2)(b + 1) existen?
R eso luc ión :
abe • a b c b a
100 1 0 6
212 21
324 3 2
6
8 6 6 —► se excluyen
99 9 9
9 " x l0 " x 5 = 450 8 x 9 x 1 = 72
a(a + 3)(b - 2)(b + 1)
1 2
2 3
3 4
6 8
6 x 7 = 42
A r itm é tic a j 5 3
¿Cuántos números de 3 cifras, se escriben 
con un 8, con 9 y alguna otra cifra diferente de 
las anteriores?
R eso luc ión :
casos:
8 9 a 8 a 9 a 8 9
0 0 1
1 1 2
2 2 3
3 3 4
4 4 5
5 5 6
6 6 7
7 7
8 x 8 x T x
5 2 2 2
Te- T éT u -i y 9
Cantidad de números: 46
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar la representación binaria del número 
100 del sistema decimal.
R eso luc ión :
Cambios de base:
1 0 0 -v base (2)
Por divisiones sucesivas:
Se desea repartir S/.1 000 000 entre un cierto 
número de personas de tal modo que lo que 
les corresponda sea S/.1; S/.7; S/.49; S/.343; 
etc. y que no más de 6 personas reciban la 
misma suma. Determinar cuántos fueron los 
beneficiados.
R eso luc ión :
Lo que van a recibir las personas, son poten­
cias de 7: 7o: 71; 72; 73; ...
Entonces, 1 000 000 lo expresamos en base 7. 
Asi:
© ©
1 000 000 = 11 333 311,7i 
= 1 X 77 + 1 >: 76 + 3 X 75 + 3 X 74 + 3 X 73 
+ 3 X 7 2 + 1 x 7 + 1 
N.° de personas = 1 + 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1
+ 1 = 16
3. Un número está formado de dos cifras cuya 
suma de los valores absolutos es 9. Cuando 
se invierte el orden de ías cifras se obtiene un 
segundo número que excede en 9 ai cuádru- 
pio de! primero. ¿Cuál es este número?
R eso luc ión :
Sea ab ei número, por dato.
1.° a + b = 9
2.° ba = 4 x ab + 9
Per descomposición polinómica:
10b + a = 40a -+- 4b + 9 
6b = 39a + 9
Reemplazando b = 9 + a, se obtiene:
54 - 6a = 39a + 9 
45 = 45a ~ a = 1; b = 8 
.-. El numeral es 18
4. ¿Cuál de las siguientes expresiones, dadas 
en sistemas de numeración distintos repre­
senta e! número mayor?
I. 43¡6) i!. 212,3, III. 10 110,2;
IV. 24(9) V. 10,25)
R eso luc ión :
Expresando cada uno de ios numerales en 
base 10, tenemos:
I. 43(5) = 4 x 5 + 3 = 23
5 4 I C olec ción El Po s tu la n te
II. 212(3) = 2 x 32 + 1 x 3 + 2 = 23
III. 10 110,2)=1 x 24 + 1 x 2 2 + 1 x 2 = 22
IV. 24(9) = 2 x 9 + 4 = 22
V. lOps, = 1 x 2 5 + 0 = 25
Respuesta: V
*
5. Escribiendo en base 11 el número 1 010 011 
del sistema binario, se obtiene:
R eso luc ión :
Tenemos:
1.° 2.°
1010 011(2) —> base10 —> base 11
1.° Por descomposición pollnómica:
1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 2 + 1 = 83 (base 10)
2.° Por divisiones sucesivas:
83 ¡_11_
(6 ) (7 ) - 83 = 76(11)
6. El número 1331en base x es un cubo perfecto 
si y solo si:
I. x es 8
II. x es 7
III.x es 10
IV.x es entero mayor que 3 
R eso luc ión
Por dato: 1331 (x) = k3
Por descomposición polinómlca:
x3 + 3x2 + 3x + 1 = k3
( x + 1 ) 3 = k3
.-. x > 3
7. Si N = 2(17)4 + 4(17) + 2(17)3 + 26 
¿cómo se escribe el número N en base 17?
R eso luc ión :
Tenemos el numeral:
N = 2(17)4 + 4(17) + 2(17)3 + 26
N = 2(17)4 + 2(17)3 + 0(17)2 + 4(17) + 1 7 + 9
N = 2(17)4 + 2(17)3 + 0(17)2 + 5(17) + 9
N = 22059(17)
8. ¿Cuántos números de tres cifras existen, que
tengan por lo menos una cifra par y por lo me­
nos una cifra impar?
R eso luc ión :
Los números que cumplen la condición, son 
todos los números de tres cifras (900) menos 
los números de 3 cifras que tienen todas sus 
cifras pares o todas sus cifras Impares, 
todas pares todas impares
a b e a b e
2 0 0 1 1 1
4 2 2 3 3 3
6 4 4 5 5 5
8 6 6 7 7 7
8 8_______ 9 9 9
4 x 5 x 5 = 100 5 x 5 x 5 = 125
Cumplen la condición: 900 - 225 = 675
9. Hallar la suma de 0,2046(7) + 0,13(5)en base 6. 
R eso luc ión :
Hallando la generatriz de cada sumando: 
0,2046,7) =
2046 ,7) 3
6666 (7 ) 10
13,5)— 1 7
° ’1 3 <3> = ^ ¿ r = á j
Sumamos 0,2046 (7) + 0,13 (5)
A + _L = 0,65 
10 20
Pasando a base 6
6 5 x 6 
90 x 6 
4 0 x 6 
4 0 x 6
Periódica 
0,65 = 0,352,6)
10. El número abed es m últiplo de 8 y cuando se 
cambia al sistema de numeración de base 8, 
el último cociente es 6; el penúltimo residuo 
es 6 y el último residuo es 7. Hallar la suma
de a + b + c + d.
R eso luc ión :
Por dato:
abed
A r itm é tic a | 5 5
• ábcd = 6760(8) 
abcd = 6 x 83 + 7 /. 82 + 6 x 8 
abcd = 3072 + 448 + 48 
abcd = 3568
a + b + c + d = 22
11. Al responder una encuesta, un ganadero es­
cribe en la ficha lo siguiente:
n.° de toros: 24
n.° de vacas: 32
Total de cabezas: 100
Hallar el sistema de numeración que utiliza el
ganadero.
R eso luc ión :
Sea n la base del sistema de numeración, en­
tonces:
24(n) + 32(n) = 1 00(n)
2n + 4 + 3n + 2 = n2
6 = n2 - 5n
6(1) = n(n - 5) 
n = 6
12. A es el conjunto de los números de 2 cifras en 
base 7; B es el conjunto de los números de 3 
cifras en base 4. Hallar el número de elemen­
tos que tiene la Intersección de A y B.
R eso luc ión :
En base 7:
Se tiene: 10(7); ■ ■■i ®^(7)
A = {7; 8; ...; 48}
En base 4:
Se tiene: 100(4); ...; 333(4)
B = {16 ; 17; ...; 63}
Luego:
A n B = {16; 17; 18; ...; 48}
.-. n (A n B) = 33
[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS 1 [
1. El numeral EDGAen el sistema hexadeclmal, 
¿cuántos ceros tiene en el sistema binarlo?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10
2. Hallar el mayor número de tres cifras, que sea 
Igual a 55 veces la suma de sus cifras. Dar 
como respuesta la suma de sus cifras.
a) 13 b) 15 c) 17
d) 18 e) 19
3. SI: abab(n) = 850, hallar: (a + n)
a) 21 b) 27 c) 29
d) 32 e) 35
4. En un corral hay abO patos, aOb pavos y aab 
gallinas. La diferencia entre patos y pavos es 
9; además el número de gallinas excede en 11 
al de patos. ¿Cuántas aves hay en el corral?
a) 632 b) 745 c) 856
d) 902 e) 982
5. La suma de un número de 2 cifras con su in­
versa es 132. Hallar el menor valor del pro­
ducto de los números.
a) 18 b) 20 c) 22 d) 27 e) 32
6. Un número de 3 cifras diferentes sumado con su 
inversa es b(2b)b. ¿Cuántos valores puede to­
mar la suma de las unidades con las centenas?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7. El menor número de 4 cifras de base n se ex­
presa como a1b en el sistema decimal. Hallar
(a + b)n.
a) 35 b) 38 c) 42 d) 45 e) 48
8. Si 2a6n(8) = ab65(r,), hallar a + b + n.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e)18
9. Si se sabe que: a0ab(6) = bb(2b)
¿cuántos valores puede tomar b?
a) 1 b) 2 c) 3 ’ d) 4 e) 5
10. Se cumple que:
2b02(n) = b00b00b0(a) = nna(2r,)
De tal manera que a y ji^ son números pares 
consecutivos, además aa + nn = 66.
Hallar abn en el sistema nonario.
A) 257 B) 572 C ) 275
D ) 527 E ) 725
5 6 | C o lección El Po s tu la n te
11. Si se sabe que: a0a0a(x) = aaa(y) 
hallar la razón entre y y x2.
a) x + 1 b) 1/4 c) 0,5
d)1 e) y
12. En un sistema de numeración se cumple que 
el mayor número de 3 cifras es igual a 57 ve­
ces la mayor cifra del sistema de numeración. 
¿Cuál es la base de este sistema?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
13. Edy tiene ab soles pero al escribir invierte el 
orden de las cifras, obteniendo una cantidad 
que excede en 5 al doble de lo que tiene. 
¿Cuánto le queda a Edy si pierde 3 soles en 
una apuesta?
a) 10 b) 13 c) 16 d) 19 e) 28
14. En la siguiente progresión, hallar el vigésimo 
término.
123(n); 128(n); 132(n); ... -
a) 241 (n) b) 1AA(n) c )A 1A (n)
d)A A 1(n) e) 8A9(n)
15. Si 1010(101 ) = 3F2(16); hallar: x + 2
(*)
a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 13
16. Si ab + 1 = 1414l4(s); hallar: a + b
a) 10 b) 12 c) 18 d) 15 e) 14
hallar: n - a
a) 6 b) 10 c) 13 d) 15 e)19
18. Un número se convierte a 2 sistemas de nu­
meración cuyos números son 454 y 353 en 
bases consecutivas. Hallar la suma de las ci­
fras del número en el sistema decimal.
a) 8 b) 6 c) 10
d) 12 e) 15
19. Un número capicúa de 3 cifras en base 4, es 
igual a otro número capicúa de 3 cifras en 
base 5, si la suma de las cifras mayores es 7. 
Hallar el número en el sistema senario.
a) 123 b) 132 c) 235
d) 143 e) 114
20. La diferencia de un número de 3 cifras con el 
número con las cifras invertidas del número 
original es 6xy, además se sabe que la suma 
de las cifras de las unidades y las centenas 
es 9. Hallar la suma de las cifras del número 
mayor.
a) 12 b) 14 c) 15
d) 18 e) 21
1. c 5. d 9. d 13. a 17. e
2. d 6. b 10. a 14. b 18. c
3. b 7. e 11. d 15. c 19. e
4. a 8. c 12. c 16. a 20. d
[ " e jer c ic io s PROPUESTOS 2 l
1. ¿Cuántos números se pueden escribir con las 
cifras 0; 2; 4; 6 y 8, de tal manera que sean 
mayor que 400 y menores o igual que 8000?
a) 376 b) 390 c)421
d) 450 e) 472
2. ¿Cuántos números diferentes entre sí se pue­
den escribir en el sistema senario;.de tal ma­
nera que tengan 4 cifras?
a) 100 b) 200 c) 300
d) 400 e) 500
3. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo 
menos una cifra 7 en su escritura?
a) 252 b) 264 c) 285
d) 302 e) 316
4. ¿Cuántos números pares de 3 cifras se pue­
den escribir en el sistema octal?
a) 250 b) 224 c )310
d) 330 e) 350
A r itm é tic a | 5 7
5. ¿Cuántos números de 4 cifras que sean pares 
se pueden escribir en el sistema heptal y en el 
sistema senario?
a) 185 b) 203 c) 246
d) 257 e) 305
6. En qué sistema de numeración hay 3840 nú­
meros de 3 cifras diferentes entre sí.
a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 e)17
7. ¿Cuántos números de 4 cifras significativas 
(sin el cero) tienen por lo menos una cifra par 
y una cifra impar en el sistema quinario?
a) 195 b) 224 c) 256
d) 278 e) 307
8. En qué sistema de numeración se utiliza 1470 
cifras para escribir todos sus capicúas de 5 
cifras.
a) Binario b) Terciario c) Senario
d) Heptal e) Octal
9. ¿Cuántos números pares de la forma 
a(a/2)b(b + 6) existen en el sistema octal?
a) 12 b) 20 c) 3 d )2 9 e) 35
10. Los números de la forma (a - 1)(2b)abc exce­
de en 28 números a los números de la forma 
(a + 1)(b/2)abc (n). Hallar n.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8
11. SI se cumple que:
aba(n) + aba(n + + aba(n +2) = 38 números.
Hallar la suma total de las cifras de los números.
a) 114 b) 119 c) 127
d) 142 e) 175
12. ¿Cuántos números de 3 cifras tiene solamen­
te 2 cifras cinco en el sistema hexadecimal?
a) 2950 b) 3005 c)3120
d) 3150 e) 3270
13. ¿Cuántos números pares de la forma 
(a/2)(a)(b)(a + 5)c hay?
a) 90 b) 100 c) 120
d) 150 e) 180
14. ¿Cuántos números existen al sumar números 
de 3 cifras que terminan en 3 en la base 5 con 
los números de 4 cifras que terminan en 5 enla base 7?
a) 207 b) 302 c)310
d) 314 e) 327
15. ¿Cuántos números de la forma a(a - 2)b(6 - b) 
existen en el sistema nonario?
a) 21 b) 49 c) 27 d) 32 e) 36
16. ¿Cuántos números de 3 cifras existen en base 
8, en donde una cifra se repite exactamente 2 
veces?
a) 21 b) 25 c) 27 d) 32 e) 36
17. En 2 sistemas de numeración uno de los tér­
minos tiene 42 números capicúas de 3 cifras 
más que el otro. Hallar el sistema de base me­
nor si la suma de las bases es 15.
a) Quinario b) Senario c) Heptal
d) Octal e) Nonario
18. ¿Cuántos números capicúas Impares de 5 ci­
fras existen?
a) 200 b) 300 c) 400
d ) 500 e) 600
19. ¿Cuántos números de la forma
(a + 3)(b/3 + 2)(a - 2)(b + 5)c existen?
a) 100 b) 32 c) 36 d) 40 e) 45
20. ¿Cuántos números pares capicúas de 5 cifras 
existen cuya cifra central es siempre impar en 
el sistema decimal?
a) 100 b) 150 c) 200
d ) 400 e) 800
1. d 5. c 9. c 13. b 17. b
2. c 6. e 10. d 14. d 18. d
3. a 7. b 11. a 15. b 19. a
4. b 8. d 12. d 16. c 20. c
CUATRO OPERACIONES
INTRODUCCIÓN
Dado el conjunto A = {2: 3; 4}; el conjunto producto 
A x A = {(a; b) / a g A a b g A )}
=* A x A = {(2; 2): (2; 3); (2; 4); (3; 2); (3: 3); (3; 4); 
(4; 2); (4; 3); (4; 4)}
Incluye relaciones binarias tales como:
R, = {(a; b) / a = b}
=> R-i = {(2; 2); (3; 3); (4; 4)}
R2 = {(a; b) / a > b}
=> R2 = {(3; 2): (4: 2); (4; 3)}
R 3 = {(a ; b ) / a < b }
=» R3 = {(2; 3); (2; 4); (3: 4)}
R4 = {(a: b) / a + b = par}
- a , = «2; 2); (2; 4): (3; 3): (4: 2); (4; 4)}
LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA
Consideremos el conjunto no vacio A = {2; 3}, si 
a cada par de elementos que pertenecen al con­
junto A se hace corresponder otro elemento que 
pertenece al mismo conjunto, se dice que hemos 
establecido una ley de composición interna en A. 
Nótese que las parejas que se pueden formar con 
los elementos de A son pares ordenados dei con­
junto A x A.
A x A = {(2;2); (2; 3); (3; 2): (3: 3)}
Ahora, si mediante cierta condición que represen­
tamos con (*) asignamos un único elemento a cada 
par tendremos:
* ) (
(2; 2) —> (2 * 2) = 2
operación
(2: 3) -> (2 * 3) = 2
(3; 2) -> ( 3 * 2 ) = 3
(3; 3) — (3 * 3) = 3
Par ordenado Elemento asignado
*: es el operador matemático
Entonces hemos determinado la operación interna 
"asterisco" para definir la característica principal 
de la ley u operación que produce el resultado; se
consideran criterios lógico-m atem áticos o arbitra­
rlos y que pueden presentarse mediante una tabla 
de doble entrada:
2 2 
3 3
En este ejemplo podemos expresar la operación (*) 
en forma genérica para dos elementos: a y b
a * b = a
Definición:
Dado un conjunto no vacío A, una ley de compo­
sición Interna en A es cualquier función de A x A 
en A.
*: A x A ^ A
También se le denomina operación binaria en A ya 
que relaciona dos elementos de dicho conjunto. Se 
entiende que si m e A y n e A, entonces existe un 
único p e A tal que m * n = p.
OPERACIONES BINARIAS
La adición es una operación binarla, la cual es 
representada mediante la ayuda del símbolo + y 
asigna a cada pareja de elementos un tercer nú­
mero como resultado de la operación.
2 y 3^ — ¿+_3_
' i j operación 
pareja de numeración
elementos asignado como
resultados
Si utilizamos el concepto de par ordenado, podemos 
expresar la noción anterior de la siguiente forma:
(2; 3) (+ ) 2 + 3̂
par ordenado operación de resultado 
adición (considere el 
orden)
Sin embargo es usual que la expresemos así:
2 (+ ) 3 = 5
primer
elemento
segundo resultado 
elemento
operador 
elemento de 
la adición
A r itm é tic a | 5 9
En el caso de los sistemas de números, para res­
petar la terminología tradicional, usaremos simple­
mente la palabra "operación" en lugar de "opera­
ción binaria" que a fin de cuentas es una "ley de 
composición interna".
Se denomina conjunto de los números naturales 
al conjunto:
IN = {0; 1; 2; 3; ...}
ADICIÓN
Dados dos números naturales a y b se llama suma 
de a y b y se denota (a + b) al número natural S, 
tal que a + b = S. Se denomina adición a la opera­
ción que se hace corresponder a ciertos pares de 
números naturales (a; b) su suma a + b.
Ejemplo:
3 + 5 + 9 = 1 7 
Sum andos Sum a
Adición en otros sistemas de numeración 
Ejemplo:
Halla la suma de 435(7); 164(7) y 416(7) 
R eso luc ión :
Los sumandos son colocados en forma vertical 
para efectuar la operación de acuerdo al orden que 
ocupan sus cifras.
b 2 ! 1 ! 0 <- orden
4 3 5(7)
sumandos 1 6 4(7)
4 1 6(7)
Suma:
Orden Procedimiento
0
5 + 4 + 6 = 1 5 = 2> 7 + 1 
| queda 
se lleva
1
3 + 6 + 1 + 2 = 12 = 1 x 7 + 5
| queda 
se lleva
2
4 + 1 + 4 + 1 = 10 = 1 x 7 + 3
j queda 
se lleva
SUSTRACCION
Dados dos números naturales a y b se llama dife­
rencia de a y b y se denota (a - b) al número natural 
D, si existe, tal que a - b = D. Se denomina sustrac­
ción a la operación que hace corresponder a ciertos 
pares de números (a; b) su diferencia (a - b).
Ejemplo:
->■ diferencia
34 21 = 13 
— — ► sustraendo 
------------->■ minuendo
Sustracción en otros sistemas de numeración
Ejemplo:
Halla la diferencia de los siguientes números: 
432(5) y 143(5)
R eso luc ión :
Se disponen los términos de manera vertical, para 
trabajar de acuerdo al orden:
+- orden2 1 0
minuendo 4 3 2(5,
sustraendo 1 4 3(5)
diferencia
Trabajaremos en forma ordenada:
Orden Procedimiento
0
Com o a 2 no se le puede disminuir en 3 lo 
que se hace es regresar al orden 1 una vez 
la base (es decir 5).
Luego: 5 + 2 = 4 (queda)
1
Com o se ha regresado 1 vez la base, quiere 
decir que en este orden se tiene ahora 
3 - 1 = 2 , pero a 2 no le podem os disminuir 
en 4, luego el orden 2 regresamos una vez a 
la base (es decir 5)
5 + 2 - 4 = 3 (queda)
2
Aquí se tenia 4 veces la base, como regresa­
mos una vez la base aquí quedó.
4 - 1 - 1 = 2 (queda)
Luego se tiene que:
435,
164,
416,
1351
Al final se tiene que:
432,
143,
234,(5)
6 0 ¡ C o lec ció n E l Po s tu la n te
Analizando se llega a ¡a siguiente conclusión:
abc,k) -
cba(k) = x + z = y = k - 1 
xyz(k!
COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)
Se denomina complemento aritmético de un núme­
ro natural a la cantidad que le falta a dicho número 
para ser igual a una cantidad del orden Inmediato 
superior, a su cifra de mayor orden.
E jem plos:
1. Halla el CA de 748: 5136 y 30 479 
R eso luc ión :
I. 3 2 1 0
t ~ o o ~ i r -
7 4 8
2 5 2
CA(748) = 252
N. 4 3 2 1 0
1 0 0 0 0 -
5 1 3 6
4 8 6 4
CA(5136) = 4864
ML 5 4 3 2 1 0 
1 0 0 0 0 0 
3 0 4 7 9
6 9 5 2 1
CA(30 497) = 69 521
2. Halla el C A de los números: 53(7); 218(9) 
R eso luc ión :
I. 2 1 0
1 0 0(7, -
5 3 (7)
— r ^ 7)
C A (53(7)) = 14(7)
II. 3 2 1 0
1 0 0 Ojg) —
2 1 8í9)
6 7 1 (9|
CA(218(9)) = 671(9)
— orden
— CA
<— orden 
.«— CA
— orden 
- — CA
 orden
* CA
— orden 
<— CA
Forma práctica para calcular el CA de los números
A partir del menor orden se observa la primera cifra 
significativa, la cual va a disminuir a la base y las 
demás cifras disminuyen a la base menos 1.
Ejem plos:
9 9 10
CA­ (7 4 8) = 252
9 9 9 10
CA (5 1 3 6) = 4864
9 9 10
CA (7 0 4 0) = 2960
8 8 9
CA (2 1 8,9)) = 671(9)
6 6 7
CA (3 5 1 0(7)) = 3160,
MULTIPLICACIÓN
Dados dos números naturales a y b, se llama pro­
ducto de a y b la cual se denota ab al número natu­
ral P, tal que ab = P.
Se denomina multiplicación a la operación que 
hace corresponder a ciertos pares de números na­
turales (a; b) su producto a x b
Ejemplos:
1 1 5 x 1 2 = 180
í ' 1| producto 
multiplicador 
multiplicando
2. multiplicando -----*• 5 2 4 x
multiplicador — ► ____________ g_ 7
productos | 3 6 6 8
parciales { 3 1 4 ___4_______
producto final — ► 3 5 1 0 8
Multiplicación en otros sistemas de num eración 
Ejemplo:
Efectúa 243(7) x 36(7,
Procedimiento
Los términos son colocados en la forma siguiente, 
para efectuar ¡a operación de acuerdo al orden que 
ocupan sus cifras:
2 1 0 •*— orden
2 4 3(7) > _— multiplicando
 3 67> -«— multiplicador
A r itm é tic a | 6 1
R eso luc ión :
Para lacifra de orden 0 del multiplicador:
6 x 3 = 18 = (2 ) x 7 + (4 ) . — queda
L se lleva
6 x 4 + 2 = 26 = 0 x 7 + 0 - . queda
L se lleva
6 x 2 + 3 = 15 = 0 x 7 + 0 queda
L se lleva
Para la cifra de orden 1 del multiplicador:
3 x 3 = 9 = (T) x 7 + ( 2) queda
* se lleva
3 x 4 + 1 = 13 = 0 x 7 + @ — queda
L se lleva
3 x 2 + 1 = 7 = 0 x 7 + @ queda
t se lleva
Al final se tiene que:
multiplicando 
multiplicador 
productos 
parciales 
producto final
3(7)
3(7)
5 4,
A l
(7)
1 1 0 4,(7)
DIVISION
Dados los números naturales a y b # 0 se llama co­
ciente de a y b, se denota a/b o, al número natural 
c, si existe, tal que a = be.
Se llama división a la operación que hace corres­
ponder a ciertos pares (a; b) de números naturales 
su cociente a/b.
Ejem plo:
Divida 104 entre 11 
R eso luc ión :
dividendo (D) divisor (d)
L - * 104 | 11
99 
5
residuo (r) — f
t _ cociente (q)
Además: 104 = 11 (9) + 5
algoritmo de la división
CLASES DE DIVISIÓN 
Exacta. (Residuo = 0)
30 |_5_ D
0 6 0
30 = 5(6)
Inexacta. (Residuo + 0)
Defecto 
75 jjT I_
9 6
75 = 11(6) + 9
En donde: 9 + 2 = 11
En general:
Defecto
D [_d_ ¡_____
r q r* q + 1
D = d x q
Exceso 
75 [_I1_
2 7
75 = 1 1 (7 ) -2
Exceso 
D I d
D = dq + r D = d(q + 1) - r *
Donde: r + r* = d
Propiedades de la división inexacta
1. Cero < residuo < divisor
2. Residuo mínimo = 1 
Residuo máximo = divisor - 1
3. Residuo defecto + residuo exceso = divisor
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de 
agua pesa 1175 gramos. ¿Cuántas botellas 
semejantes serán necesarias para vaciar en 
ellas el contenido de un barril de 225 litros?
R eso luc ión :
Pbot = 425 g
425 + Pagua = 1175 g => Pagua = 750 g
6 2 ¡ C o le c c ió n E l Po s tu la n te
Pero: 225 L = 225 000 g
Luego: n.° de bot. = 225 000 = 300 
750
2. Dos personas deben hacer un mismo recorri­
do de 28 km. La primera está a pie y hace 5 km 
por hora, la segunda a caballo y hace 12 km 
por hora. Si la primera parte a las 5 a. m. ¿A 
qué hora deberá partir la segunda para llegar 
al mismo tiempo a su destino?
R eso luc ión :
La persona que viaja a pie emplea:
28 km = 28 h 
5 km 5
La persona que viaja en caballo emplea:
28 km = 7 h 
12 km 5
Para que ambas personas lleguen al mismo 
tiempo; el que viaja en caballo debe salir:
( t Í- - = ttt h = 3 h 16 min, después del
\ 12 3 / 1o
otro: o sea a las 8 h 16 min.
3. Se ha pagado una deuda de 265 soles, con 
monedas de 5 y de 2 soles. El número de mo­
nedas de 2 soles es mayor que el de 5 soles 
en 17 monedas. ¿Cuánto suman las monedas 
de 2 y de 5 soles?
R eso luc ión :
Como hay 17 monedas más de 2 soles, hacen 
un total del 17 x 2 = 34 soles.
Es decir, 265 - 34 = 231 se pagan con igual 
número de monedas de 5 y 2 soles. O sea
231 | 7
33
Luego: hay 33 monedas de 5 soles y 50 mo­
nedas de 2 soles.
En total 83
4. Un obrero trabajó durante 2 meses con su hijo 
en una misma fábrica. El primer mes, por 14 
días del padre y 24 del hijo recibieron S/. 118; 
el segundo mes por 21 días del padre y 19 del 
hijo recibieron S/.143. ¿Cuál es la diferencia 
de jornales diarios del padre y del hijo?
R eso luc ión :
Consideremos A el sueldo del padre y B el 
sueldo del hijo, entonces:
14A + 24B = 1 1 8 ^ 7 A + 12B = 59 ...(1)
21A + 19B = 143 ...(2)
Luego: 3 ( 1 ) - ( 2 )
36B - 19B = 177 - 143
17B = 34 => B = 2 soles 
A = 5 soles
A - B = 3 soles
5. La suma de 4 números diferentes es 24; la 
suma de los 2 mayores es el doble de la suma 
de los 2 menores; la suma del menor con el 
mayor es igual a la suma de los otros 2 núme­
ros. Hallar la suma de las diferencias del mayor 
con el menor y de los intermedios mayor con 
menor. (Suponer que M es el número mayor).
R eso luc ión :
Por condición se tiene: 
a < b < c < M 
a + b+ c + M = 24
c + M = 2(a+b) 
a + m = b + c 
De (1) y (2): 
a + b = 8 ; c + M = 16 
Luego:
(M - a) + (c - b) = (M + c)
(M - a) + (c - b) = 1 6 - 8 
(M - a) + (c - b) = 8
6. Dos jinetes corren en un hipódromo de 90 m 
de circunferencia y en el mismo sentido. El 
primero que tiene 18 m de adelanto corre con 
una velocidad de 2,90 m/s, y el otro 2,54 m/s. 
Calcula la suma de las distancias recorridas 
hasta su encuentro.
R eso luc ión :
El primero tiene adelantado 18 m, por tanto para 
alcanzar al otro debe superar 72 m; además en 
cada segundo supera 2,90 - 2,54 = 0,36 m. 
Luego, por regla de tres 
Tiempo (s) Adelanto
1 0,36
t 72
t = 1 x => t = 200 s
0,36
...(1)
...(2)
...(3)
- (a + b)
A r it m é t ic a | 6 3
Finalmente:
distancia (1,°) = 2,90 > 200 = 580 m 
distancia (otro) = 2,54 x 200 = 508 m 
distancia total = 1088 m
7. Ei producto de dos números impares es 925. 
Si se divide el número mayor entre el menor 
se obtiene un cociente 1 y residuo 12. Halla 
dichos números.
R eso luc ión :
Sean a y b los números:
Por dato: 
a x b = 925 
a | b => a - b = 12 
12 1
De (1) y (2): a = 37; b = 25
8. Se divide el número 927 entre 22. ¿Cuál es el 
producto de la cantidad máxima en que pue­
de aumentarse el dividendo de manera que el 
cociente no varíe, por el nuevo residuo que se 
genera?
R eso luc ión :
Tenemos: 927 122 
3 42
Por propiedad el resto máximo es 21, es decir, 
la máxima.cantidad de aumentarse al dividen­
do es 18.
Luego: 1 8 x 2 1 = 378
9. Un_ número de tres cifras abe es tal que 
abe - cba = mn3. Si se sabe que la cifra de 
las decenas es igual a la suma de las otras 
dos cifras. Hallar: a2 + b2 + c2
R eso luc ión :
De: abe - cba = mn3, por propiedad m = 6 y
n = 9: entonces:
abe - cba = 693 (b = a + c)
a - c = 7 (tanteo)
8 1 = b = 9
9 2 =» b = 11 (falso)
Luego: a2 + b2 + c2 = 82 f 92 + 12 = 146
10. Si abe - cba = 1 dg y a + c = 12
calcula: a + 2c
R eso luc ión :
De: abe - cba = 1 dg
Por propiedad: d = 9 A g = 8
Entonces: abe - cba = 198
de donde: a - c = 2
y como: a + c = 12
^ a = 7 A C = 5
Luego: a + 2c = 7 + 2(5) = 17
11. El cociente de dos números es exactam en­
te 7, y su producto es 50 575. ¿Cuál es el 
mayor?
R eso luc ión :
Por dato del problema: a = 7b
Además:
a x b = 50 575
7b2 = 50 575
b2 = 7225
b2 = 852 => b = 85; a = 595
12. Un cierto número multiplicado por 2, por 3 y 
por 7, da tres nuevos números cuyo producto 
es 55 902. ¿Cuál es este número?
R eso luc ión : -*
Sea el numeral N 
Por dato:
(2N)(3N)(7N) = 55 902 
42N3 = 55 902 
N3 = 1331 
N3 = 113 =>N = 11
13. El dividendo de una cierta división es 1081. 
SI el cociente y el residuo son iguales, y el 
divisor es el doble del cociente, ¿cuál es el 
divisor?
R eso luc ión :
Por dato del problema:
1081 |2q 
q q => 1081 = (2q)q +q 
1081 = q(2q + 1)
23 < 47 = q(2q + 1) 
q = 23 
d = 2q = 46
14. La diferencia de dos números es 64 y la divi­
sión del mayor entre el menor da cociente 3 y 
por residuo 18. ¿Cuál es el mayor?
6 4 | C o lec ció n El Po s tu la n te
R eso luc ión :
Sean a y b ios números (a > b) 
a - b = 64 ...(1)
a [b__
18 3 =4 a = 3b + 18 ...(2)
Reemplazando (2) en (1):
3b + 18 - b = 64 
2b = 46
b = 23 A a = 87
15. La suma de dos números es 74 y su cociente 
9, dando de residuo 4. ¿Cuál es el número
menor?
R eso luc ión :
Sean a y b los números (a > b) 
a + b = 74 ...(1)
a | b
4 9 =4 a = 9b + 4 ...(2)
Reemplazando (2) en (1):
74 - b = 9b + 4
70 = 10b => b = 7; a = 67
16. En cierto número menor que 100 el cociente de 
la cifra de ias decenas entre la de las unidades 
es 3 y el residuo es 1. SI la suma de las cifras 
del número es 9. ¿Cuál es su diferencia?
R eso luc ión :
Sea ab el numeral 
Por dato:
a + b = 9 ...(1)
a [_b_
1 3 => a = 3b + 1 .. (2)
Reemplazando (2) en (1):
3b + 1 + b = 9
4b = 8 =4 b = 2: a = 7 
a - b = 5
17. La suma de dos números es 611, su cociente 
es 32 y el residuo de su división el más grande 
posible. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos 
números?
R eso luc ión :
Sean a y b los números (a > b)
a + b = 611 ...(1 )
a | b => a = 32b + b 1 
b - 1 32 a = 33b - 1 ...(2)
Reemplazando (2) en (1):
33b - 1 + b = 611 
34b= 612 
b = 18 =4 a = 593 
Luego: a - b = 575
18. La suma de tres números es 24. El cociente 
de dos de ellos es 3 y la suma de éstos divi­
dido entre el tercero es Igual a 5. ¿Cuál es el 
tercer número?
R eso luc ión :
Por dato:
A + B + C = 24
^ = 3 =4 A = 3B 
B
= 5 => A + B = 5C
C
Reemplazando (3) en (1):
5C + C = 24 =4 C = 4
19. En una división, el cociente es 8 y el residuo
20. Sumando el dividendo, el divisor, el co­
ciente y el residuo se obtiene un total de 336. 
¿Cuál es el dividendo?
R eso luc ión :
Por condición del problema:
D [_d_
20 8 =4 D = 8d + 20 (d > 20)
D + d + 8 + 20 = 336 
(8d + 20) + d + 28 = 336
9d = 288 « d = 32
Luego:
D = 8 x 32 + 20 = 276
[ " e j e r c ic io s p r o p u e s t o s T ]
1. Calcule la suma de cifras de la siguiente adición: 
8 + 98 + 998 + ... + 999...998
50 cifras
...(1)
...(2)
...(3)
A r itm é tic a | 6 5
2.
a) 47 
d) 50
b) 48 
e) 51
c) 49
¿Cuántas cifras tiene el menor número escrito 
en base 13, cuya suma de cifra es 169?
a) 15 
d) 16
b) 14 
e) 18
c) 13
3. Calcula (a + b + c) si:
a la + a2a + ... + aaa = 8bc1
a) 17 
d) 20
b) 18 
e) 21
Calcule n s ¡:1 + 2 + 3 + 4 +
a) 20 
d) 80
b) 40 
e) 90
5. Calcula (n/2), si: 2 + 4 + 6 +
a) 40 
d) 50
b) 80 
e) 20
c) 19
+ n = 3240 
c) 60
+ n = 1640 
c) 60
6. Calcula (n + 1), si: 1 + 3 + 5 + 7 - - n = 225
a) 15 
d) 30
b) 225 
e) 16
c) 29
7. Calcula (n + 1)2s i:1 + 3 + 5 + 7 + ... + n = 225
a) 15 
d) 225
b) 29 
e) 900
c) 30
Calcula E = 1xy + x6z + yz4 + zyx, si: 
x + y + z = 13.
a) 1540 
d ) 1666
b) 1509 
e) 1556
c) 1607
9. Si (a + b + c)2 = 144, calcula abe + bea + cab.
a) 1332 
d) 1232
b) 444 
e) 1222
c) 1333
10. Si ( V á T b T c ) 2 = 16,
calcula: abe + bea + cab + abe + cab + bea
a) 1666 
d) 3542
b) 1776 
e) 3552
c) 3452
11. Calcula: A = 22,
a) 111(3) 
d )11003
(3) T 11(3)
b ) 110(3, C) 100 ,3 ,
e) 1000 ,3,
12. Calcule el valor de S, si:
S = 5 + 8 + 13 + 20 + ... + 229
a) 1300 
d ) 2040
b) 1640 
e) 1240
c) 1500
13. Si (a + b + c)2 = 225, calcule abe + bea + cab
a ) 1665 
d ) 1666
b) 1555 
e) 1556
c) 1565
14. La suma de 15 números impares consecuti­
vos es 525. Calcule el primer número impar 
en dicha suma.
a) 19 b) 21 c) 23 d) 25 e) 17
15. La suma de 15 números pares consecutivos 
es 510. Calcule el último pa ren dicha suma.
a) 48 b) 50 c) 52 d) 46 e) 44
16. En una división la diferencia entre el divisor y 
el resto es 4. Si el cociente es 12 y el dividen­
do más el divisor es 80, hallar el dividendo.
a) 69 b) 65 c) 74 d) 72 e) 79
17. En una división inexacta el cociente es 15 y el 
resto 9. Si el dividendo se aumenta en 100 y 
se vuelve a dividir, se obtiene 13 por residuo y 
27 por cociente. Hallar el dividendo original.
a) 129 
d) 135
b) 120 
e) 150
c) 140
18. ¿Cuántos números de tres cifras existen tales 
que al dividirlos entre 21 den un residuo que 
es el doble del cociente?
a) 38 
d) 42
b) 39 
e) 45
c) 40
19. En una división por defecto, al residuo le falta 
7 unidades para ser máximo y será mínimo al 
restarle 29. Hallar el dividendo si el cociente 
es ia tercera parte dei resto.
6 6 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
a) 360 b) 390 c) 290
d ) 370 e) 400
20. En una división dos números enteros positivos 
se obtiene 7 por residuo y 15 de cociente. Si 
el dividendo excede al divisor en una cantidad 
igual al quíntuplo del residuo, hallar el divisor.
a) 36 b) 37 c) 39
d) 25 e) 41
21. En una división inexacta la suma de los tér­
minos es 1073. Si se triplica el dividendo y el 
divisor, la suma de los tres términos es 3153. 
Hallar el cociente.
a) 40 b) 30 c) 11
d) 22 e) 33
22. Si al dividendo y al divisor de una división 
inexacta de residuo 14 se le multiplica por 5, 
¿cuál es el nuevo residuo?
a) 10 b) 35 c) 50
d) 70 e) N. A.
23. En una división inexacta, la suma de los tér­
minos es 130. Si duplicamos el dividendo y el 
divisor, la suma de los cuatro términos resulta 
ahora 270. Hallar el cociente.
a) 5 b) 7 c) 9 d) 12 e) 10
24. En una división inexacta el divisor es 38 y el
residuo es el triple del cociente. Hallar el máxi­
mo valor que puede tomar el dividendo y dar 
la suma de cifras.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15
25. En una división, el cociente es 14, el divisor 
es el doble del cociente y el residuo el máximo 
posible. Hallar la suma de cifras del dividendo.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
26. ¿Cuántos números enteros menores que 300
pueden ser dividendo de una división cuyo co­
ciente es 13 y su residuo 17?
27. En una división inexacta él divisor es 13 y el 
cociente 27. Hallar el dividendo si el residuo 
es mínimo.
a) 351 b) 349 c) 352
d) 350 e) 500
28. Al sumar dos números se obtiene 112 y al di­
vidirlos se obtiene 3 como cociente y 4 como 
residuo. Hallar el mayor de ellos.
a) 27 b) 50 c) 74
d) 85 e ) 112
29. La suma de 2 números es 1069, su cociente 
es 13 y el resto 61. Calcular la suma de las 
cifras del mayor.
a) 20 b) 12 c) 27
d) 23 e) 25
tn
tii
1. c 7. e 13. a 19. b 25. c
2. a 8. c 14. b 20. b 26. e
> 3. b 9. a 15. a 21. e 27. c
<j 4. d 10. e 16. c 22. e 28. d
ü 5. a 11. b 17. a 23. e 29. e
6. d 12. a 18. b 24. e
[ " ejercicios PROPUESTOS_2_
1. Un número es tal que multiplicado por 2, por 
3 y por 7, da tres números cuyo producto es 
72 576. ¿Cuál es el número?
a) 12 b) 14 c) 6
d) 15 e) 18
2. El producto de un número capicúa de 4 cifras 
por 23 termina en 11. Halla la suma de sus 
cifras.
a) 20 , b) 24 c) 30
d) 28 e) 32
3. Halla la última cifra del producto:
P = 2(2 + 1)(22 + 1)(22 + 1 )... (2n + 1) 
donde: n = 1371
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 a) 5 b) 3 c) 1 d) 0 e) F. D.
A ritm é tic a | 6 7
4. Al dividir A entre B se obtiene resto máximo. 
Si el dividendo se disminuyera en 170, el co­
ciente disminuirá en 3 unidades y el resto se 
volvería mínimo. Hallar B.
a) 30 b) 35 c) 48
d) 42 e) 43
5. El resto por exceso de una división es el tri­
ple del resto por defecto; dar el divisor si el 
cociente es 15 y la suma del dividendo con el 
divisor es 520.
a) 36 b) 32 c) 28
d) 40 e) 26
6. SI en una división el residuo por exceso, el 
residuo por defecto, el divisor y el cociente 
por defecto son números pares consecutivos. 
¿Cuál es el valor del dividendo?
a) 50 b) 52 c) 53
d) 54 e) 60
7. Halla (a+b+c), si; abe x cb3 = ...402
a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 19
8. Al multiplicar un número de 3 cifras por 52, la 
suma de sus productos parciales es igual a 
8.89. Halla dicho número.
a) 120 b) 127 c )130
d) 134 e) 140
9. En una división inexacta el residuo es 37 y el 
cociente 13. Calcula el valor del dividendo sa­
biendo que es menor que 560 y que termina 
en 4. Dar la cifra mayor como respuesta.
a) 7 b) 5 c) 9
d) 8 e) 4
10. En cierta división inexacta el resto por defec­
to, el resto por exceso, el cociente por exceso 
y el divisor forman una progresión aritmética 
de razón 3. Calcula el dividendo.
11. Halla un número tal que multiplicando por 11, 
39; 12; 34 y 27 dé como productos; abede, 
eabed, deabe, edeab y bedea, sabiendo ade­
más que:
a + b + c + d + e = 27
a) 2430 b) 2432 c) 2450
d) 2439 e) 2451
12. La suma de los 4 términos de una división en­
tera es 353 si se multiplican el dividendo y el 
divisor por 7 la suma de los nuevos términos 
es 2375. Calcula el valor de la mayor cifra del 
cociente.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
13. En una división inexacta el divisor es 24 y el 
resto 15. Si triplicamos el dividendo y hace­
mos nuevamente la división. ¿Qué ocurre con 
el cociente?
a) Se triplica
b) Se triplica y aumenta en 3
c) Se triplica y aumenta en 1
d) Se triplica y aumenta en 21
e) Se triplica y aumenta en 2
14. En una división entera inexacta el dividendo 
es mpr, el divisor es pr, el cociente es 14 y el 
resto mínimo. Halla el producto (mpr).
a) 18 b) 81 c) 63
d) 26 e) 144
15. En una división entera el producto del dividen­
do por el resto termina en 28. Sabiendo que el 
divisor es un número de dos cifras, el dividen­
do termina en 23 y el cociente en 79. Halla la 
suma de cifras del divisor.a) 8 b) 9 c) 6 d) 7 e) 5
16. Si al dividir_a7b entre ab se obtiene cc de 
cociente y 1b de residuo. El número ab está 
comprendido entre:
a) 55 y 65 b) 70 y 80 c) 65 y 75
d) 43 y 54 e) 90 y 96
a) 171 b) 180 c) 189
d) 193 e) 195 i 17. Si: CA ((a + 4)(a + 2)) x CA(mn) = ...7
6 8 | C o lec ció n El Po s tu la n te
Además: (a + 4)(a + 2) + mn = ...2 
Calcula (a + m + n) máximo.
a) 20 b) 21 c) 22
d) 19 e) 23
18. En el producto de dos números si a uno se le 
quita 3 decenas, el nuevo producto disminuye 
en 10 830. Halla uno de estos números.
a) 350 b) 360 c) 361
d) 380 e) 392
19. En una división inexacta el dividendo esta 
comprendido entre 200 y 300, el divisor es 25. 
Además, el residuo por defecto excede del re­
siduo por exceso en 23. Halla el mayor valor 
que puede tomar el cociente.
a) 9 b) 19 c) 13
d) 11 . e) 15
20. En una multiplicación la suma de los 3 térmi­
nos es 1997, si al multiplicador se le multiplica 
por 3, la suma de sus 3 nuevos términos es 
5845. Halla la cifra de las decenas del multi­
plicando.
a) 3 b) 4 c) 6
d) 7 e) 5
1. a 5. b 9. b 13. c 17. b
2. b 6. b 10. a 14. a 18. c
3. d 7. e 11. d 15. a 19. d
4. e 8. b 12. e 16. a 20. d
DIVISIBILIDAD
DIVISIBILIDAD EN 2
Un número entero A es divisible entre otro número 
entero positivo B si al dividir A entre B el cociente 
es entero y el residuo igual a cero.
Simbólicamente:
Si: A e Z; B <e Z y k e 2Z
A A es divisible entre B
0 k B es divisor de A
Sin embargo ios elementos de la división se pue­
den representar mediante su algoritmo, esto es:
A = B(k) => A es múltiplo de B 
B es módulo de A
Ejem plos:
1. 40 l 8 => 40 es divisible entre 8
0 5 8 es divisor de 40
40 = 8(5) => 40 es múltiplo de 8
8 es módulo de 40
2. -5 1 ¡ 3 =5 - 51 es divisible entre 3
0 3 es divisor d e -51
-51 = 3(— 17) =» - 51 es divisible entre 3 
3 es módulo de -5 1
3. 13 | 13 => 13 es divisible entre 13
0 1 13 es divisor de 13
13 = 13(1)=» 13 es múltiplo de 13
13 es módulo de 13
4- 0 |_7_ =* 0 es divisible entre 7
0 0 7 es divisor de 0
0 = 7(0) => 0 es múltiplo de 7
7 es módulo de 0
De estos ejemplos podemos sacar algunas conclu­
siones:
I. Si el número entero N es múltiplo de 12, sig­
nifica que N se va a obtener de multiplicar 12 
por un entero k, 12 tiene divisores, lo cual per­
mite expresar 12 de diferentes modos:
N = 12k = 2(6k) = 6(2k) = 3(4k) = 4(3k) se 
observa que en cada caso podemos tomar un 
módulo como referencia, es decir, podemos 
afirmar también que N es múltiplo de 3,4, 6 y 2.
De aquí se concluye:
Todo número entero es múltiplo de sus diviso­
res enteros positivos.
E jem plo:
N es múltiplo de 15, como: 15 = 3 x 5 
Luego se puede afirmar que:
N es múltiplo de 3 o N es múltiplo de 5
II. El cero es múltiplo de todo módulo, pues,
0 es múltiplo de 5 porque: 0 = 5(0)
0 es múltiplo de n porque: 0 = n(0), donde: n e Z+
cY h o ia •:.........................................................................._
; En la multiplicidad para lo cual se tiene una
| notación. Si A es múltiplo de B lo denotamos
| así:
i A = B |
E jem plos:
20 = 5(4) => 20 = 5 o 20 = 4 
- 1 8 = 3(—6) = 6(—3) => -1 8 = 3 0 - 1 8 = 6 
5a + 7b = 5 + 7b = 5a + 7, donde: a y b son Z+ 
A = 7 = 7 + 14 = 7 - 21 = 7 + 7n, n e Z 4
Hasta el momento, solo hemos visto los múl­
tiplos de un móauío, sin embargo también se 
tienen números que no son múltiplos de al­
gún módulo. Y esto sucede porque no se está 
cumpliendo la definición, es decir, ia división 
resulta inexacta y de esta se tiene dos tipos.
E jem plos:
68 no es divisible entre 7, porque al dividir 68 
entre 7 la división es inexacta, efectuándola por: 
Defecto Exceso
- 68 [_7_ 68 | 7
5 9 2 10
por el algoritmo de la división:
68 = 7(9) + 5 68 = 7(10) - 2
Usando ia notación de la multiplicidad, para 
trabajar solo con el módulo, obtenemos:
68 = 7 + 5 68 = 7 - 2
Además: 5 + 2 = 7 (propiedad)
En general, si tenemos la siguiente división 
inexacta:
70 | C o lec ció n El Po s tu la n te
Por defecto 
A [_B_
Tde k
Por exceso 
A |_B_
R.y k + 1
A - B + r^e 
Propiedad:
A = B
Eje ■ rex ^
Esto significa que la representación se puede 
dar en función del residuo por defecto o el re­
siduo por exceso.
Ejemplos:
i. 43 = 8 + 3 o 43 = 8 - 5; (3 + 5 = 8)
||. 54 = 7 + 5 o 54 = 7 - 2; (5 + 2 = 7)
En situaciones concretas nos encontraremos 
con números que no son múltiplos de algún 
módulo y será necesario operar y trabajar con 
ellos. Para esto necesitamos algunas herra­
mientas que nos permiten dar respuestas a la 
situación planteada. Esta necesidad nos lleva 
a conocer algunos principios de la divisibilidad.
PRINCIPIOS BÁSICOS DE DIVISIBILIDAD
Las operaciones aritméticas elementales respecto 
a los múltiplos de un módulo.
Adición
Ejemplo:
35 + 14 = 49 
7(5) + 7(2) = 7(7)
7 + 7 = 7
Luego, sio los sumandos son 7, entonces, la 
suma es 7; en general:
n + n = n
¿Qué sucede con los sumandos si la suma es n?
Ejemplo:
42 = a + b
7 30 12 -» no múltiplos de 7
Analicemos el segundo caso, ya que el primer 
caso lo hemos visto, expresado cada número 
en función del módulo.
a = 30 = 7 + 2 
b = 12 = 7 - 2 
Luego: a + b = 7
Observamos que el residuo por defecto de 
uno de los sumandos es igual al residuo por
exceso del otro sumando y es por ello que el
resultado es 7.
En general; si a + b = n se van a presentar 
dos casos:
o 0
I. a = n II. a = n + r
cII-Q b = n - r
• Sustracción 
Ejemplo:
25 - 15 = 10
5(5) - 5(3) = 5(2)
5 - 5 = 5
Luego, si el minuendo (M) y el sustraendo (S) 
son múltiplos de 5, entonces, la diferencia (D) 
es 5.
En general: M - S = D 
n - n = n
¿Qué sucede con el minuendo y el sustraen- 
do si la diferencia es n?
Ejemplo:
M - S = 15 = 5
5 o
Múltiplos de 5: 35; 20 
No múltiplos de 5: 33; 18
Analicemos el segundo caso, ya que el primer 
caso se ha visto expresado al minuendo y 
sustraendo en función del módulo.
M = 33 = 5 +3 
S = 18 = 5 +3 
Luego: M - S = 5
Observamos que los residuos por defecto del 
minuendo y sustrendo son iguales es por ello 
que el resultado es 5.
En general, si M - S = n tendremos dos casos:
A r it m é t ic a | 7 1
M = n
S = ñ
M
S
Efectuamos las siguientes divisiones:
47 |_5_ 
2 9
22 |_5_ 
2 4
47 = 5 +2 22 = 5 + 2
Dado que los residuos son ¡guales se afirma 
que los números 47 y 22 son congruentes res­
pecto al módulo 5 y su notación es:
47 = 22 (mod 5)
En general s ia = n + r y b = n + r entonces a 
y b son congruentes respecto al módulo n y se 
denota:
a = b (mod n)
Multiplicación
Ejemplo
15X 7 = 105 = 3(35): 5(21) = 7(15)
15 15 3 5 7
Se observa que s( la multiplicamos un 15 por 
7 el resultado es 15 o 7.
En general:
- n; a e TL
n x a :
(n x a); a e TL
Ejemplo:
Calcula el residuo de dividir (147 < 228) entre 5. 
R eso luc ión :
1 4 7 x 2 2 8 = 5 + R ...(a)
Representando a 147 y 228 en función de mó­
dulo 5.
147 = 5 + 2 A 228 = 5 + 3
(1 4 7 x 2 2 8 ) [_5_
R q 
Luego en (a):
(5 + 2)(5 + 3) = (5 + R)
5(5) + 5(3) + 2(5) + j2 )(3 ) = 5 + R 
5 + 5 + 5 + 6 = 5 + R
5 + 5 + 1 = 5 + R 
5 + 1 = 5 + R
. R = 1
En general:_________________________
(n + a)(n + b)(n + c) = n + abe
Potenciación
Ejemplo:
83 = 8 x 8 x 8 = 512
4* 4' 4 4-
(4)3 = 4 4 4 = 4
Luego; en general:
(n)k = n, donde: k e Z +
El numeral 31 241 (5) puede ser descompuesto 
polinómicamente en bloques, así:
31 241(5) = 314(5) x 5 + 1 
31 241,5, = 3124(5) v 52 + 41(5,
31 241,5, = 31,5, x 53 + 241,5,
Aplicando la notación de multiplicidad para 
cada caso se tiene:
31 241,5, = 5 + 1 = (52) + 41,5, = 53 + 241(6) 
Asimismo:
N = ... 12,7, = 49 + 12,7, = 4°9 + 9
O
En general: /
,— n + e
abcde(n) = - n2 + de(n)
n3 + cde,n.
Observación:
(lmpar)par = 8 + 1
Si un número es múltiplo de varios módulos, 
entonces, será múltiplo del menor múltiplo co­
mún de los módulos.
Ejem plo:
N = 4 A N = 6 
4
N = 2 x 2 v 3 x k = 1 2 =3. k = 12 
^~6
Se observa que 12 es el menor número múlti­
plo de 4 y 6.
A = 1°0 1 J 0 ^ ^ 6 ^
A = 8 A = 5^ 2 a 2 24x 3 x K = 12QK = 120 
A = 6 | 8
R = a ]
R = b l R= m 
R = c j
7 2 | C o lec ció n E l Po stu lan te
Donde m es el menor múltiplo común de a, b y c. 
De Arquím edes:
o o o
SI: AB = n a A # n; entonces: B = n 
Donde: A y B e ZZ+
Ejem plos:
I. 7N = 9; como: 7 # 9: entonces: N = 9
0 0 o
II. 6A = 11; como: 6 # 11; entonces: A = 11
III. Si: 11ab = 13; hallar los valores de ab.
IV. Analicemos lo siguiente:
12N = 1°5 = 15k
12 y 15 tienen 2 divisores comunes el 1 y 3 
lo cual nos induce a simplificar al máximo 
de dichos números:
3(4N) = 3(5k)o
(4N) = 5k = 5; pero: 4 V 5
Luego: N = 5
V. 20A = 28 (dividiendo entre 4)
5A = 7
A = 7
Vi. 3N = í l + 6 ...(a)
3N - 6 = 1°1
o o
3(N - 2) = 11 como 3 ^ 1 1 entonces 
N - 2 = 1°1 
N = 11 + 2
Se puede abreviar el proceso si la igual­
dad (a j se divide entre 3:
3N = 11 + 6 =» N = 1°1 + 2
Los valores positivos que asume N son:
N = 2; 13; 24; ...
Vil. 5R = 13 + 3
5R = 13 - 10 (entre 5) => R = 1°3 - 2
VIII. 7A = 8 + 5 + 2(8)
7A = 8 + 21 (entre 7 ) = > A= 8 + 3
DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON
Ejem plo:
Calcula e! residuo ai dividir (154 x 319) entre 5.
R eso luc ión :
1 5 4 x 3 1 9 = 5 + R
(5 + 4)(5 + 4) = 5 - 
(5 + 4)2 = 5 + R 
5 + 42 = 5 + R 
5 + 16 = 5 + R 
5 + 5 + 1 = 5 + R 
5 + 1 = 5 + R 
R = 1
Otros casos
(1°1 + 2 )1 
(9 
(?
i5 = 
l3 = !
,4 _ :
+ 25 = 1°1 + 32 = 1°1 + 10
43 = 9 + 64 = 9 + 1
34 = 8 + 81 = 8 + 1
25 = 7 - 32 = 7 - 4 = 7+ 3
13 + 1
- 1)51 == 5 - 1 = 5 + 4
(7 - 2)5 = 7 - 
(13 + 1 )2000 =
(5 + 4)51 = (£
En general, sean los enteros positivos: a; r y n
(a+ r)n = 
(a - r)n =
a + r
a + r": n es par 
a - rn: n es impar
RESTOS POTENCIALES
Ejemplo:
Halla los residuos al dividir cada una de las poten­
cias sucesivas de 5 entre 8.
R eso luc ión :
Lo que se desea es: 5n = 8 + rn, n e5Zo 
Dando valores a n obtenemos:
5n o rn 
5o = 1 = 8 + 1 
51 = 5 = 8 + 5 
52 = 25 = 8 + 1
53 = 125 = 8 + 5
54 = 625 = 8 + 1
1; 5; 1; 5; 1 ;... se denomina restos potenciales de 5 
respecto al módulo 8, la cual se observa que se re­
pite en forma periódica y que el primer residuo es 1.
En general:
Si {b, m} c Z +
{n, r} c Z j
además: b" = m + rn
A r itm é tic a | 7 3
Luego, al conjunto formado por los restos: r0; r+ r¿ 
se le denomina restos potenciales de b respecto 
al módulo m, siendo esta periódica desde un iugar 
en adelante (con período menor a m).
E jem pio:
Calcula los restos potenciales de 2 respecto al mó­
dulo 7.
R eso luc ión :
2" = 7 + rn 
2" rn
2° = 7 + 1
21 = 7 + 2
22 = 7 + 4
23 = 7 + 1
24 = 7 + 2
25 = 7 + 4
26 = 7 + 1
Los restos potenciales son:
1; 2; 4; 1; 2; 4: 1; ...
Se observa que los restos potenciales {2: 4; 1} se 
repiten periódicamente. A la cantidad que nos in­
dica el número de términos del período (3) se le 
denomina Gaussiano, además los exponentes y 
restos potenciales se pueden relacionar a través 
del Gaussiano, del siguiente modo:
23 = 7 + 1 => 215 = 7 + 1
• 23 T 1 = 7 + 2 => 261 = 7 + 2
23 + 2 = 7 + 4 =» 229 = 7 + 4
CASOS QUE SE PRESENTAN AL ANALIZAR LOS 
RESTOS POTENCIALES
Si se tiene; bn = m + rn
Caso l
b contiene algunos de ios divisores del módulo, 
pero no a todos.
Ejem plo:
Analicemos los restos potenciales de:
a) 6 respecto al módulo 10
b) 15 respecto al módulo 20
c) 4 respecto al módulo 7
Caso II
b contiene a todos los divisores primos del módulo 
E jem plo:
Analicemos los restos potenciales de:
a) 12 respecto ai módulo 18
b) 10 respecto ai módulo 20
c) 12 respecto al módulo 8
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un criterio de divisibilidad es una relación que debe 
cumplir las cifras de un determinado numeral para 
que este sea divisible por otro, si no lo es, nos per­
mitirá calcular el residuo a partir de elias. Cada sis­
tema de numeración tiene sus propios criterios de 
divisibilidad y para conocerlos nos valemos de los 
restos potenciales.
PRINCIPALES CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
7 4 | C olec ció n El Po s tu la n te '------------------------
Por 2 abcde = 2 + e. Si e = 2 (e e {0: 2; 4: 6; 8}) => abcde = 2
Por 4 abcde = 4 + de. Si de = 4 (de e {00 ; 04; 08; 12; ...; 96}) => abcde = 4
Por 8 abcde = 8 + cde. Si cde = 8 (cde e {000; 008; 016; ...992}) =* abcde = 8
Por 5 abcde = 5 + e. Si e = 5 (e e {0 ; 5}) => abcde = 5
Por 25 abcde = 25 + de. Si de = 25 (de e {00; 25; 50; 75}) => abcde = 25
Por 125 abcde = 125 + cde. Si cde = 125 (de e {00 , 25, 50, 75}) => abcde = 125
Por 3
abcde = 3 + a + b + c + d + e. S ia + b + c + d + e = 3 
[(a + b + c + d + e) e {3 ; 6; 9; 12; ...}] — 3
tu
w
<
m
z
ni
Por 9
abcde = 9 + a + b + c + d + e.
Si a + b + c + d + e = 9 [(a + b + c + d + e) e {9 ; 18; 27; ...}] = 9
Por 11
abcde = 11 + e - d + c - b + a.
S i a - b + c - d + e = 11=> abcde = 11
Por 7
abcdefgh
31231231
N
= 7 + (3a + b) - (2c + 3d + e) + (2f + 3g + h). Si N = 7 =» abcdefgh = 7
Por 13
abcdefgh
31431431
- + ' r '+ N
= 13 - 3a + (b + 4c + 3d) - (e + 4f + 3g) + h. Si N = 13 =» abcdefgh = 13
Por 33 abcde = 33 + a + be + de. Si a + be + de = 33 => abcde = 33
Por 99 abcde = 99 + a + be + de. Si a + be + de = 99 => abcde = 99
<
ac
uu
z
LU
O
Por n - 1 
en base n
abcde(n) = (n - 1) + a+ b + c+ d+ e.
Si a + b + c +d +e = (n - 1) =» abcde(n _ 1} = (n - 1)
Por n + 1 
en base n
abcde(n) = (n + 1 ) + a - b + c - d + e.
S i a - b + c - d + e = (n + 1 ) ^ abcde(n + ^ = (n + 1)
A r itm é tic a | 7 5
EJERCICIOS RESUELTOS
1. ¿Cuál es la suma de las cifras que deben sus­
tituir al 2 y 3 del número 52 103 para que sea 
divisible por 72?
R eso luc ión :
Tenemos el numeral 52 103; sustituimos 2 por 
a y 3 por b, entonces resulta:
5a10b = 72
Mod(8): Tob = 8=>100 + b = 8 ^ b = 4 
Mod(9): 5a104 = 9 =» a + 1 = 9 ^ a = 8 
a + b = 12
2. Hallar el múltiplo que siempre resulta de la 
diferencia del cubo de un número entero y el 
número mismo.
R eso luc ión :
Sea N el número 
N3 - N = N(N2 - 1 )
= N(N - 1 )(N + 1) = 6
 2
3
3. Halla el residuo que resulta al dividir el pro­
ducto de los 100 primeros números primos 
entre 4.
R eso luc ión :
Consideremos al producto:
N = 2 x 3 x 5 x 7...
99 números primos
Nota: (n.° ¡mpar)(n.° impar) = (n.° impar)
N = 2(n.° impar)
N = 2(2K + 1)
N = 4K + 2 = 4 + 2 Residuo = 2
4. Un número al dividirlo por 10 da un residuo de 
9, cuando se divide por 9 da un residuo de 8 
y cuando se divide por 8 da un residuo de 7, 
etc. y cuando se divide por 2 da un residuo de 
1, halle el número.
R eso luc ión :
Sea N el numeral:
10 + 9 = 10 - 1 
9 + 8 = 9 - 1
N N = M C M (10: 9; 8; 2) - 1 
8 + 7 = 8 - 1
2 + 1 = 2 —1
N = 360 - 1 => N = 360 x t - 1
Para: t = 1 =» N = 359
t = 2 =» N = 719
t = 3 => N = 1079
t = 4 ^ N = 1439
t = 7 =» N = 2519
Si al cuadrado de un número de dos dígitos 
se le resta el cuadrado del número formado 
por los dos dígitos en orden invertido. ¿El re­
sultado será divisible por la diferencia de los 
dígitos del número?
R eso luc ión :
Sea ab el numeral 
Por dato: ab2 - ba2 
(ab + ba)(ab - ba)
* [11 (a + b)][9(a - b)]
=> 32 x 11 x (a + b)(a - b)
.-. Si será divisible por a - b.
En el sistema de base 7, hallar ¡a cifra de las 
unidades del número: (1459)26
R eso luc ión :
Por dato del problema:
(14 59)26 = ...X (7);
(1459)25 = (,..)7 + x = 7 + x 
En efecto:
14 5 925 = (7 + 3)25 = 7 + 325 = 7 + (33)8 x 3 
145925 = 7 + (7 - 1)®x 3 = 7 + (7 + 1 ) x 3 
145925 = 7 + 3 => x = 3
Sea la diferencia entre un número de 3 cifras 
y otro número obtenido escribiendo el interior 
con las cifras en orden invertido. ¿Qué múlti­
plo tendrá siempre esta diferencia?
R eso luc ión :
Sea abe el numeral, entonces:
7 6 | C o lec ció n El Po s tu la n te
10.
abe - cba = 100a + 10b + c -(1 0 0 c + 10b +a) 
=> 99a - 99c = 99 x (a - c) = 32 x 11 (a - c) 
=> 3; 9; 11: 33: etc.
Si n2 es un número divisible entre 3 y r es el 
resto de dividir n entre 3, hallar el resto.
R eso luc ión :
=> Si n2 = 3; entonces: n = 3 r = 0
Cuando el número 673 se eleva a la potencia 
5642, hallar la cifra en que termina el resultado.
R eso luc ión :
Analizando la terminaciónde las potencias de 
673, tenemos:
673° = ...1; 6731 = ...3; 6732 = ...9
6733 = ...7; 6734 = ...1; 6735 = ...3 
En general:
6734 = ...1 
Luego:
6 7 35642 = 67 35640 x 67 32 = (...1)(...9)
6736642 = g
Se tiene cierto número N, de! cual se sabe 
que al dividirlo entre 3, 4, 5, 6 y 9 deja residuo 
1. Pero al dividirlo entre 7 deja residuo 0. Ha­
llar ¡a suma de cifras del menor número que 
cumple con tal condición.
R eso luc ión :
3 A- 1
4 +-1
5 + 1
6 + 1 
9 + 1
N = MCM(3; 4; 5: 6; 9) + 1 
N = 180 + 1 = 180t + 1
Además se sabe que: 
N = 180t + 1 = 7 
t = 7 + 4
^ c ifras - 1 0rEJERCICIOS PROPUESTOS T ' |
¿Cuántos números son múltiplos de 17 en los 
3000 primeros enteros positivos?
a) 175 
d) 178
b) 176 
e) 180
c) 177
2. ¿Cuántos múltiplos de 6 terminados en 2 exis­
ten entre 120 y 1236?
a) 18 
d) 37
b) 19 
e) 38
c) 36
3. Por qué número es siempre divisible un nú­
mero de la forma: N = ab(2a)(2b)
a) 13 
d) 19
b) 15 
e) 31
c) 17
4. Si: a + b + c = 6
entonces: abe + cab + bea; ¿de qué número 
siempre será múltiplo?
a) 11 
d) 13
b) 74 
e) 27
c) 7
A una convención de profesionales asistieron 
400 personas entre americanos y europeos 
entre los europeos ¡os 2/7 son médicos, los 
5/6 son ingenieros y los 3/5 son abogados. 
¿Cuántos americanos asistieron a dicha con­
vención?
a) 190 
d) 180
b) 110 
e) 120
c) 150
6. A un evento deportivo asisten una cantidad de 
personas menor que 300: si 2/11 de los asis­
tentes son mayores de edad; los 5/17 de los 
mismos son limeños. ¿Cuántos no son lime­
ños?
a) 22 
d) 132
b) 55 
e) 158
c) 77
7. Si (11 + 3 )2 + A +11 + 9 + 3 3 x 4 = 1 1 . 
el menor valor de A (positivo).
Halla
a) 4 
d) 7
b) 5 
e) 8
c) 6
En ün salón de 50 alumnos se observa que 
la séptima parte de las mujeres son rubias 
y la 11.a parte de los hombres usan lentes. 
¡ Cuántos hombres no usan lentes?
A r it m é t ic a ¡ 7 7
a) 22 b) 28 c) 2
d) 20 e) 4
9. Del 1 al 5000, ¿cuántos son divisibles entre 
13 pero no entre 6?
a) 340 b) 341 c) 320
d) 321 e) 319
10. A una fiesta de promoción asistieron 400 
personas entre varones y mujeres. Del total 
de las mujeres asistentes se observó que la 
sexta parte de ellas tienen cabello largo, que 
ios tres octavos de ellas usan aretes y que los 
cinco onceavos son rubias. ¿Cuántos varones 
asistieron a la reunión?
a) 128 b) 132 c) 136
d ) 264 e) 252
11. ¿Cuántos números de 3 cifras (base 7) son 
múltiplos de 5?
a) 57 b) 58 c) 59
d) 60 e) 61
12. ¿Por qué número no siempre es divisible el 
numeral abcabc?
a) 7 b) 13 c) 11
d) 9 e ) 77
13. Calcula. ¿Cuántos términos de la siguiente 
serie son 15 + 2?
8; 17; 26; 35; ..; 908
a) 20 b) 30 c) 15
d) 25 e) 28
o o
14. Un numera! es 19 + 16; otro numeral es 19 + 5; 
si el primero se divide entre el segundo el 
residuo es cero. ¿Cuál es el menor positivo 
cociente?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
15. Si prq3 = 7
pqr4 = 8 
pqr5 = 9 
halla el mayor valor de (p + q + r).
a) 20 b) 21 c) 22 d) 14 e) 18
16. Al dividir aba entre 7 el resto fue 2 y al dividir 
abb entre 7 el resto es 5. Calcula el resto de 
dividir abab entre 7.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
17. El número 3216 se convierte al sistema octal, 
¿cuál es la última cifra de dicha representación?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
18. En una reunión donde asistieron 222 perso­
nas se observó que la 17.a parte de los hom­
bres tenían reloj, que la tercera parte de las 
mujeres usaban falda y que la quinta parte de 
las mujeres usaban pantalón. ¿Cuántos no 
usaban falda?
a) 40 b) 60 c) 80
d) 54 e) 24
19. Halla el mayor número par de 3 cifras, que di­
vidido entre 7 da un resto igual a 1 y al dividirlo 
entre 15 el resto es 9. Dar como respuesta la 
cifra central.
a) 2 b) 8 c) 4 d) 3 e) 0
20. Un número capicúa de cinco cifras es divisible 
por 55; si sus millares enteros son divisibles 
entre 19. ¿Cuál es el valor de la cifra central?
3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
1. b 5. a 9. c 13. a 17. c
2. d 6. d 10. c 14, c 18. c
3. c 7. d 11. d 15. c 19. d
4. b 8. d 12. d 16. b 20. b
[ " ejercicios PROPUESTOS 2 l
1. Halla la suma de valores de x si:
52x3x1 = 3
a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e)21
2. Si 7a4a3 = 7, halla el valor de a.
7 8 ¡ C o le c c ió n E l P o s tu la n te
a) 3 
d) 6
b) 4 
e) 8
c) 5
Si a532 = 9 y 3b58 = 11, halla (a + b).
c )7a) 4 
d) 8
b) 6 
e) 9
Calcula x, si: 2xx5x es divisible entre 7.
c) 4a) 2 
d) 6
b) 3 
e) 7
5. ¿Cuál es el residuo de dividir entre 7 un nú­
mero formado por 345 cifras 4?
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
Al dividir a2853a entre 13 se obtuvo como res­
to 2, halla a.
a) 1
d) 3
b) 2 
e) 7
c) 4
7. Dar el valor de a en: a577n = 72
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)-6
Calcula (m x n), si: 7m46n es divisible por 56. 
a) 4 b) 8 c) 35 d) 49 e) 56
9. Halla (a x b), si: a713b es divisible por 88. 
a) 20 b) 24 c) 25 d) 18 e) 16
10. Halla ab sabiendo que el número 2a3b26a es 
divisible entre 72.
a) 64 b) 24 c) 26 d )4 6 e) 36
11. Sabiendo que: abe = 8, bea = 5, ab = 17, halla
(a + b+ c).
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
12. Si 6aba4b es divisible por 88, halla la suma de 
a y b.
a) 7 b) 9 c) I d) 11 e) 10
13.
16.
¿Cuántos números de la forma abba son divi­
sibles entre 7?
a) 16 
d) 27
b) 18 
e) 24
c) 20
14. Sabiendo que_5b3cc = 1 1 , ¿cuántos valores 
puede admitir be si b y c son diferentes entre 
si?
a) 6 
d) 10
b) 8 
e) 18
c) 9
15. Calcula (a + b - c). Si abe = 7 y ab = 8c
c) 5a) 5 
d) 4
b) 7 
e) 3
¿Cuántos números de la forma 3a3b son múl­
tiplos de 36?
a) 1 
d) 3
b) 5
e) 2
c) 4
17. Halla un número de 3 cifras que sea igual a 
5 veces, el producto de sus cifras. Da como 
respuesta la cifra de mayor orden.
a)1 
d) 4
b) 2 
e) 5
18. Si mmpp = 63, halla (m - p).
a) 0 
d) 2
b) 4
e) 1
c) 3
c) 3
19. Calcula: (p + q + r) 
si: pqp8pr = 1375
a) 6 b) 8 c) 13 d) 7 e) 20
20. Si abe se multiplica por 11 se obtiene: 9n8n, 
halla: (a + b + c)
a) 14 b) 12 c) 11 d) 16 e) 15
1. c 5. c 9. d 13. b 17. a
2. c 6. c 10. d 14. c 18. e
3. d 7. b 11. c 15. d 19. e
4. d 8. b 12. b 16. e 20. d
NÚMEROS PRIMOS
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS 
POSITIVOS
Dado el conjunto numérico:
Z + = {1; 2; 3: 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...}
Los números que conforman el conjunto pueden 
ser clasificados teniendo en cuenta alguna carac­
terística que presenten en particular como por 
ejemplo, el de la paridad (por su divisibilidad entre 
dos), se tiene:
Números pares: {2; 4; 6; 8; 10; 12; ...} 
Números impares: {1; 3; 5; 7; 9; 11; ...}
En genera!, podemos afirmar que:
Número Forma
Par 2n = 2
Impar 2n - 1 = 2 - 1
En este capítulo vamos a considerar la cantidad de 
divisores enteros positivos que tiene cada número. 
Encontremos los divisores de algunos números del 
conjunto:
Números Divisores Cantidad de 
divisores
1 1 1
(D 1 2 2
© 1 3 2
4 1 2 4 3
© 1 5 2
6 1 2 3 6 4
© 1 7 2
8 1 2 4 8 4
9 1 3 9 3
10 1 2 5 10 4
© 1 11 2
12 1 2 3 4 6 12 6
De ahí se observa que:
1 tiene un solo divisor
2; 3; 5; 7; 11; ... tienen solo dos divisores
4; 6; 8; 9; 10; 12;... tienen más de dos divisores
Luego los TL+ se clasifican en dos conjuntos de
números:
Simples (1; 2; 3; 5: 7; 11: ...}
Compuestos: {4; 6; 8; 9; 10; 12; ...}
NÚMEROS SIMPLES
Son aquellos números que tienen a lo más dos di­
visores.
La unidad. Es el único Z + que tiene un solo divisor 
También se le llama primo relativo
Primos absolutos. Son aquellos números que 
poseen exactamente dos divisores, usualmente se 
dice número primo.
{2; 3; 5; 7; 11; ...}
NÚMEROS COMPUESTOS
Son aquellos números que tienen más de dos di­
visores.
(4; 6: 8; 9; 10; 12; ...}
Todo número compuesto tiene por lo menos un di­
visor primo.
En esta primera parte vamos a realizar un estudio 
amplio sobre el conjunto de los números primos: 
{2; 3; 5; 7; 11; ...}
Los cuales presentan las siguientes propiedades:
1. El conjunto de los números primos es infinito y 
todavía no se encuentra fórmula alguna para 
determinar todos los números primos.
-n
Fermat supuso que el número (2" + 1 ) es pri­
mo; donde n es un entero positivo.
n 22" + 1 Número
1 5 primo2 17 primo
3 257 primo
4 65 537 primo
5 4 294 967 297 compuesto
641(6700 417)
II. Todos los números primos, a excepción del 2 
son impares.
III. Los únicos números consecutivos que son pri­
mos es el 2 y el 3. ¡Demostrarlo!
IV. Todo número primo mayor que 2 es de la for­
ma (4 + 1) o (4 - 1).
8 0 | C o le c c ió n E l P o s tu la n te
Número primo Forma
3 4 - 1
5 4 + 1
7 4 - 1
11 4 -1
lo contrario no siempre se cumple:
25 es 4 + 1 pero no es primo.
Todo número primo mayor que 3 es de la for­
ma (6 + 1 ) o ( 6 - 1)
Número primo Forma 
5 6 - 1
7 6 + 1
11 6 - 1
13 °6 + 1
Demuéstrelo analíticamente.
Lo contrario no siempre se cumple.
49 es 6 + 1 pero no es primo.
En muchas oportunidades se nos presenta un 
número, por ejemplo 163; 221 o 317 y se nos 
pregunta si es primo, evidentemente que con­
testar la pregunta nos demandaría algún tiem­
po, pues tendríamos que determinar si es o no 
divisible por algún entero, inferior a! número. 
Para estos casos se tiene un procedimiento 
práctico.
ALGORITMO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO 
ES PRIMO
1.er paso. Se calcula la raíz cuadrada aproximada 
(por defecto) dei número, se toma la parte entera 
de dicha raíz.
2.° paso. Se indican todos los números primos me­
nores o igual a la raíz cuadrada aproximada.
3.8r paso. Se determina si el número es o no divi­
sible entre cada uno de los números primos indica­
dos en el paso anterior, de menor a mayor.
Se dirá que el número es primo, si no resulta 
ser divisible por ninguno de los primos indi­
cados.
Se dirá que el número es compuesto si por lo 
menos en un caso resulta divisible.
Ejemplos:
1. ¿163 es un número primo?
1.er paso: 7163 = 12,...
2.° paso: (2; 3; 5; 7; 11)
3.er paso: 1 6 3 = 2 + 1
163 = 3 + 1 
163 = 5 + 3 
163 = 7 + 2 
163 = 1 1 + 9 
Conclusión: 163 es número primo.
2. ¿221 es un número primo?
221 = 2 + 1
221 = 3 + 2
221 = 5 + 1
221 = 7 + 4
221 = 1°1 + 1
221 = 13 = 13 x 17
Conclusión: 221 no es número primo
CLASIFICACIÓN POR GRUPO DE NÚMEROS
Números primos entre sí (PESÍ). Se les denomina 
también primos relativos o coprimos y son aquellos 
que tienen como único divisor común a la unidad.
Ejemplos:
1. ¿8; 12 y 25 son PESÍ?
Número Divisores
8 © 2
00
12 © 2 3 4 6 12
25 © 5 25
I ► único divisor común
.-. 8; 12 y 25 son PESÍ
2. ¿9; 15 y 21 son PESÍ?
Número Divisores
9 © © 9
15 © © 5
21 © © 7
I—♦ dos divisores comunes 
.-. 9; 15 y 21 no son PESÍ
A ritm é tic a | 8 1
Números primos entre sí 2 a 2. Son aquellos 
grupos de números que al ser tomados de 2 en 2 
estos pares de números son PESi.
Ejemplo:
¿8; 9 y 25 PESÍ 2 a 2?
PESÍ PESÍ PESI
8 15 8 21 15 21
©
©©
© © ©
2 3 2 3 3 3
4 5 4 7 5 7
8 15 8 21 15 21
y 21 son PESÍ 2 a 2
Propiedades:
I. SI varios números son PESÍ dos a dos, enton­
ces son PESÍ. Lo contrario no siempre ocurre.
II. Dos o más números consecutivos siempre 
son PESÍ.
III. Tres números impares consecutivos siempre 
son PESÍ dos a dos.
IV. Dos o más impares consecutivos siempre son 
PESÍ.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
Todo número entero positivo mayor que la unidad 
se puede expresar como la multiplicación Indicada 
de sus divisores primos diferentes elevados cada 
uno de ellos a exponentes enteros positivos, esta 
representación es única y se le denomina descom­
posición canónica del número.
Ejemplo:1
Descomponer canónicamente el número 1400 
R eso luc ión :
1400 2 => 1400 = 23 X 52 x 7
700 2 descomposición canónica (DC)
350 2
175 5
35 5
7 7
1 1
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO
Tabla de divisores
Ejemplo:
Elaborar una tabla de los divisores de: 200
R eso luc ión :
200 = 23 x 52
Divisores
D iv isores de 2 3
2° 21 22 23
5° = 1 1 2 4 8
51 = 5 5 10 20 40
52 = 25 25 50 100 200
de 5
De aquí en adelante trabajaremos en función del 
número:
N = p í 'p ^ p f ...p? DC
CANTIDAD DE DIVISORES [CDN] 
Ejemplos:
1. Halla la CD de los números:
a) 200 b) 540
R eso luc ión :
(a) 200 = 23 x 52 (DC)
.'.CD,(2 0 0 ) : (3 + 1)(2 + 1) = 4 x 3 = 12
(b) 540 = 22 x 33 x 5
CD(540) = (2 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 3 x 4 x 2 = 24
2. Analice los divisores de 72. 
R eso luc ión :
72 = 23 x 32 =» CD(72) = 4 x 3 = 12 
Los divisores son: 
simples compuestos
1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72 
primos
propios
CD72 = 12 
C^simples = 3
C ̂ compuestos — ^
Divisor elemental: 2 
En general:
CDpr¡mos — 2
C D p ro p io s — 11
c d n (a-, + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)...(ak + 1)
8 2 | C o lec ció n El Po s tu la n te
Además:
CDn — CDs¡mp|6S + CDcompuestos
3. Dado el número 360 determinar su cantidad 
de divisores:
a) simples Rpta .:4
b) compuestos Rpta.: 20
c) impares Rpta.: 6
d) múltiplos de 5 Rpta.: 12
e) múltiplos de 12 Rpta.: 8
f) PESÍ con 3 Rpta.: 8
g) múltiplos de 2 pero PESÍ con 5 Rpta.: 9
SUMA DE DIVISORES [SD(N)]
Ejemplo:
Calcula la suma de los divisores de 200 y 2205
R eso luc ión :
200 = 23 x 52
.■.SD(200) = y — 1x - | — 1 = 1 5 x 3 1 = 4 6 5
__ 33 - 1 . 52 - 1 . 73 - 1 s d (2205) - — < 5 _ 1 x 7_ 1
SD(2205) — 4446 
En general:
p“ 1+1- 1 p22+1- 1 Pk — 1
SD(N) = ^ — x ------- x-^ -------—
1 ' Pi - 1 P2 - 1 Pk - 1
SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES 
[SID(N)]
Ejemplo:
Calcula la SID de 200 
R eso luc ión :
200 = 23 x 52 sus divisores son:
1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 25; 40; 50; 100 y 200
Sumando sus inversas:
q in - 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + J - + J - 
SIDpoo, - 1 2 4 5̂ 8 1 0 20
j _ j _ J L _ L
+ 25 + 40 + 50 + 100 + 200
- 200 + 100 + 50 + 40 + 25-h 20 + 10 + 8 + 5 + 4 + 2 + 1 
200
cirx _ SD(2oo) _ 465 _ 93 
SID(200) - - 200 - 40
En general:
PRODUCTO DE LOS DIVISORES [PD(N|]
Ejemplo:
Calcula el producto de los divisores de 72.
R eso luc ión :
72 = 23 x 32 
CD(72) = 4 x 3 = 12 
Observemos estos divisores:
1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72
Multiplicando 2 a 2 los divisores equidistantes, te­
nemos:
1 x 7 2 = 72 4 x 18 = 72
2 ^ 36 = 72 6 x 12 = 72
3 x 24 = 72 8 x 9 = 72
De aquí inducimos que:
PD(72) = 72 < 72 x 72 x 72 x 72 x 72 = 726
PD(72)= 7212,2 = / ^
En general:
PD(N) = Jn cd»n>
FUNCIÓN DE EULER [<|>(n): cp(n)]
Se define para todos los enteros positivos N y re­
presenta la cantidad de números enteros positivos 
entre dos múltiplos consecutivos de N y que son 
primos relativos (PESÍ) con N.
Algunas veces la función es llamada indicador de N.
Ejemplos:
1. Calcula 4>(7), 0(13)
R eso luc ión :
1; 2; 3; 4; 5; 6; (7)
1; 2; 3; 4; ...; 12; (13)
A r itm é tic a | 8 3
Cada uno de los enteros positivos menores que 7 
es PESi con 7, asimismo sucede con 13.
<j>(7) = 6y<K13) = 12
En general
Si P es primo, entonces:
<KP) = P - 1
2 . Calcula <j)(8); <K9) y (K625)
R eso luc ión :
8 = 23; 9 = 32 y 625 = 54
<j)(23) = 23 - 22 = 22(2 - 1) = 4
<j>(32) = 32 - 3 = 3(3 - 1) = 6
(|)(54) = 54 - 53 = 53(5 - 1) = 500
En general:
Si p es número primo y a es un entero positi­
vo, entonces:
<Kp“ ) = pu - 1(p - 1)
3. Halla <(>(72), <|>(200)
R eso luc ión :
72 = 23 x 32
<t>(23 x 32) = (f)(23) x (j)(32)
<(>(23 x 32) = 4 . 6 = 24 
<)>(72) = 24
200 = 23 x 52
<t>(23 x 52) = 22(2 - 1 ) 5 (5 -1) = 4 x 20 
<t>(200) = 80 
En general:
Si N = p“ 1p“ 2p“ 3...p“ k DC 
Entonces:
4>(N) = p(-'-1(P l- 1 ) p ' f - 1(P 2 -1 )...p ^-1(Pk- l )
Si: n > 1, entonces, la suma de los enteros 
positivos menores o iguales que n y PESl con 
n es:
^ x n x<(>(n)
4, Calcula la suma de los números enteros posi­
tivos menores o iguales y PESl con n, donde: 
n = 200
R eso luc ión :
200 = 23 x 52; <|)(200) = 80 
S = 4 x 200 x 80 = 8000
EJERCICIOS RESUELTOS
Entre los números 180, 756 y 900, ¿cuál es el 
que tiene tantos divisores como 360?
R eso luc ión :
Descomponiendo canónicamente a todos los 
números, tenemos:
360 = 23 x 32 x 5 CD(360) = 4 x 3 x 2 = 24
180 = 22 x 32 x 5 CD(180) = 3 x 3 >; 2 = 18
756 = 22 x 33 x 7 CD(756) = 3 x 4 x 2 = 24
900 = 22 x 32 x 52 CD(900) = 3 x 3 x 3 = 27
¿Cuántos divisores menos tiene el número 
360 que el número 1800?
R eso luc ión :
Canónicamente los numerales resultan:360 = 23 x 32 x 5 CD(360) = 4 x 3 x 2 = 24
1800 = 23 x 32 x 52 CD(1800) = 4 x 3 x 3 = 36 
CD(1800)- CD(360) = 12
Diga ¿cuántos de los siguientes números son 
primos absolutos en base 7?
13(7); 31(7); 61(7); 25(7)
R eso luc ión :
Tenemos a los números:
13(7)1 31(7)1 61(7)1 25(7)1 (base 7) 
i i i i 
10; 22; 43; 19 (base 10)
son primos solo: 61(7) y 25(7)
Halla la suma de las inversas de todos los di­
visores de 360.
R eso luc ión :
Sabemos que: 360 = 23 x 32 5
Luego:
24 - 1 33 - 1 , 52 - 1SD,(360) ' 2 - 1 3 - 1 5 - 1
SD(360) — 1 5 x 13 x 6
8 4 | C o lec ció n El Po s tu la n te
Finalmente:
S°(360) 15 x 1 3 x 6
SID,(360) : 360 360
SID(36q) — 3,25
¿Cuántos divisores tiene el número 914 760?
R eso luc ión :
Canónicamente resulta:
914 760 = 23 x 33 x 5 x 7 > 112
CD!914 760) = 4 x 4 x 2 x 2 x 3 = 192
6. ¿Cuántos números enteros existen que sean 
primos relativos con 104 menores que 104?
R eso luc ión :
En este caso, es suficiente con aplicar el indi­
cador del número 104 (función Euler)
Así: 104 = 24 x 54 
entonces:
<H104) = 23(2 - 1)53(5 -1 ) = 4000
7. Halla la suma de las cifras de un número ente­
ro N, sabiendo que admite solo 2 divisores pri­
mos, que el número de sus divisores simples y 
compuestos es 6 y la suma de ellos es 28.
R eso luc ión :
Por condición: N = a“ x bp (a y b primos) 
Como: CD{nj = (ct + 1)(p+ 1) = 6;oc = 1 ,p = 2 
o a = 2, p = 1 
además:
SD(N) = ^ - ^ x -^— -4 = 28
1 b - 1
(a - 1)(a + 1) ( b - 1 ) ( b 2 + b + 1)
. X i 4
a - 1 b - 1
r _2(a + 1)(b + b + 1) = 4 x 7
— nzz____ j
b2 + b + 1 = 7 = » b = 2 
a + 1 = 4 = » a = 3 
. . N = 3 x 22 = 12
Halla el valor de n para que el número de divi­
sores de N = 30" sea el doble del número de 
divisores de M = 15 x 18".
R eso luc ión :
N = 30" = 2" < 3" x 5"
CD(N) = (n + 1)(n + 1)(n + 1) = (n + 1)3
M = 15 x 18" = 2n x 3 2n + 1 x 5
CD(M) = (n + 1)(2n + 2)2 = 4(n + 1)2
Además, por dato del problema:
CD(N) = 2 x CD(M)
(n + 1 )3 = 2 x 4(n + 1 f 
n + 1 = 8 =» n = 7
9. Calcula la raíz cuarta del producto de todos 
los enteros positivos menores que 2500, que 
tengan exactamente 5 divisores positivos. 
(Sugerencia: vea cuál es la forma de los nú­
meros enteros positivos que tienen exacta­
mente 5 divisores)
R eso luc ión :
Si tienen 5 divisores positivos, son de la for­
ma: p4: p: primo
Luego, por dato: 
p4 'x 2500 
P < 7 , ...
P = 2; 3; 5; 7
Piden: 4̂ 24 x 34 x 54 x 74 = 210
10. Sean p, q y r enteros de 1, 2 y 3 cifras respec­
tivamente, que son primos absolutos y están 
en progresión aritmética de razón t, siendo r 
el menor primo absoluto de 3 cifras. ¿Cuántos 
divisores tiene t?
R eso luc ión :
Como r es el menor primo absoluto de 3 ci­
fras, r = 101
Además p; q; r están en progresión aritmética 
de razón t.
Luego: q = 101 - t (2 cifras)
p = 101 — 2t < 10 (1 cifra)
t > 45,5
Para t = 48, q = 53 y p = 5
Finalmente t = 48 = 24 x 31
CD(t) = 5 x 2 = 10
A r itm é tic a | 8 5
[ " e jer c ic io s propuestos ' ' ¡
1. Al descomponer canónicamente 4400 se ob­
tiene (2x)(5y)(11z). Halla x + y + z.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
2. ¿Cuántos divisores tiene 4400?
a) 8 b) 20 c) 16
d) 30 e) 12
3. ¿Cuántos divisores primos tiene 4400?
a) 3 b) 4 c) 5
d ) 2 e ) 7
4. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 4400?
a) 27 b) 12 c) 15
d) 17 e) 26
5. Calcula n, si 16n x 35n, tiene 81 divisores.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. ¿Cuántos divisores tiene 1410 - 148?
a) 99 b) 72 c) 648
d ) 1146 e) 729
7. Si el siguiente número N = 9 x 10n tiene 44 
divisores compuestos. Calcula n.
a) 1 b) 2 c) 3
d ) 4 e ) 6
8. ¿Cuántos divisores de 720 son múltiplos de 6?
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 16
9. Determinar el número de divisores pares del 
numeral 36 000.
a) 45 b) 40 c) 60
d) 65 e) 70
10. ¿Cuántos divisores de 4400 son impares?
a) 4 b) 6 c) 10
d) 12 e) 16
11. ¿Cuántos ceros se deben poner a la derecha 
de 9 para que el resultado tenga 239 divisores 
compuestos?
a) 6 b) 8 c) 9
d ) 5 e ) 4
12. S i P = 1 0 8 x 108 x 108 x ... x 108
n factores
tiene 114 divisores compuestos1 hallar n. 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 7
13. Si el número 12n x 28, tiene 152 divisores
compuestos. Halla el valor de n.
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
14. Halla la suma de los dígitos del menor número
impar N que tiene 4 factores primos y tiene 24 
divisores.
a) 9 b) 12 c) 15
d) 18 e) 21
15. Determinar N sabiendo que admiie solo 3 di­
visores primos que sumados resulta 16. Dar 
como respuesta el menor valor que adopta N, 
si este tiene 30 divisores.
a) 1500 b) 1584 c) 1600
d) 1700 e) 1728
16. Si: A = 8k + 8k ' 2, tiene 88 divisores, halla k.
a) 6 b) 5 c) 4
d) 7 e) 8
17. Al multiplicarse N = 22 x 2a por 27 su número
de divisores se incrementa en 27. Caicula N.«
a) 50 b) 100 c) 75
d) 225 ' e) 150
8 6 | C o lec c ió n El Po s tu la n te
18. Si el menor número de la forma aaa tiene 12 
divisores. Calcula el residuo al dividir aaa en­
tre 9.
a) 8 
d )5
b) 7
e) 4
c) 6
19. Determina el valor de n si se sabe que el nú­
mero 1960", tiene 105 divisores.
3)1 
d) 4
b),3
e) 5
c )2
20. ¿Cuántos divisores tiene N = 9n - 9n 
161" + 2 tiene n6 divisores?
a) 49 b) 50 c) 64
d) 65 e) 81
1. b 5. b 9. c 13. c 17. b
2. d 6. c 10. b 14. d 18. c
3. a 7. c 11. b 15. b 19. c
4. e 8. e 12. b 16. d 20. b
MÁXIMO COMÚN DIVISOR - MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Dado un conjunto de cantidades se define al MCD 
de estas como aquel número que cumple las si­
guientes condiciones:
I. Es un divisor común de las cantidades
II. Es el mayor de los divisores comunes.
Ejemplos:
1. Sea los números: 30 y 45 
Hallando sus divisores:
30: 1; 2 ; 3; 5; 6: 10; 15; 30 
45: 1; 3; 5; 9; 15; 45
Divisores comunes: 1; 3; 5; (15) —> Máximo 
MCD(30; 45) = 15 
Divisores de 15: 1; 3; 5 y 15
2. Sean los números 24; 60 y 84 
Hallando sus divisores:
24: 1; 2 3; 4; 6; 8; 12; 24
60: 1; 2 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60
84: 1; 2 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84
Divisores comunes: 1; 2; 3; 4; 6; (12) -> Máximo 
MCD(24: 60: 84) = 12 
Divisores de 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12
Observación:
Los divisores comunes de un conjunto de can­
tidades son los divisores de su MCD.
El MCD está contenido en los números.
En general:
Para los números A, B y C
MCD(A; B; C) = k
Ejemplos:
1. Halla el MCD de: 8; 10 y 15
R eso luc ión :
8; 10 y 15 son PESÍ 
.-. MCD(8; 10; 15) = 1
Si A, B y C son PESÍ 
.-. MCD(A; B; C) = 1
2. Calcula el MCD de: 18; 6 y 30
R eso luc ión :
18 = 6 x 3 y 30 = 6 > 5
MCD(18; 6; 30) = 6
SÍA = B a C = B 
MCD(A; B; C) = B
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Dado un conjunto de cantidades se define el MCM 
de estas como aquel que cumple lo siguiente:
I. Es un múltiplo común de las cantidades.
II. Es el menor de estos múltiplos comunes.
Ejemplos:
1. Sean 4 y 6.
Hallemos sus múltiplos.
4: 4; 8; 12; 16: 20; 24; 28; 32; 36; 40;...
6: 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42;...
Múltiplos comunes: (12); 24; 36; ...
Mínimo
MCM(4; 6) = 12 
Múltiplos de 12: 12; 24; 36;...
2. Sean 10; 15 y 30 
Observemos sus múltiplos.
10: 10: 20: 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100;.... 
15: 15; 30; 45: 60; 75; 90; 105; 120; 135;...
30: 30; 60; 90; 120, 150; 180;...
Múltiplos comunes: (30); 60; 90;...
MCM(10; 15; 30) = 30 
Múltiplos de 30: 30; 60; 90;...
O bservación :
Los múltiplos comunes de un conjunto de can­
tidades son múltiplos de su MCM.
El MCM es un número que contiene a los nú­
meros.
Ejemplo:
Halla el MCM de: 8 y 9
R eso luc ión :
8 y 9 son PESÍ
.-. MCM(8; 9) = 8 x 9 = 72
Si dos números A y B son PESÍ 
Entonces MCM(A; B) = AB
SI los números A, B y C son PESÍ dos a 
dos entonces:
MCM(A; B, C) = ABC
8 8 | C o lec ció n El Po s tu la n te
METODOS PARA EL CALCULO DEL MCD Y MCM
Descomposición simultánea
Ejemplos:
1. Calcula el MCM y MCD de 80; 120 y 200 
R eso luc ión :
I. Hallando el MCD 
80 - 120 - 200 
40 - 60 - 100 
20 - 30 - 50 
10 - 15 - 25 
2 - 3 - 5
2 
2 
2 
5
23 x 5 = 40
x
son PESÍ 
MCD(80; 120; 200) = 40
Cada número del conjunto de números se 
puede expresar en función al MCD del con­
juntode números:
80 = 40 x (2) \
120 = 40 x ( 3 ) - A son PESl 
200 = 40 x (5) /
En general: sean los números A, B y C. 
MCD(A; B; C) = k, luego:
A = k x 0 ,
B = k x @ - A son PESÍ
C = k x ® ^
II. Hallando el MCM:
80 - 120 - 200 40
2 - 3 - 5 2
1 - 3 - 5 3
1 - 1 - 5 5
1 - 1 - 1 1200
MCD(80; 120; 200) = 1200
Expresamos al MCM en función de cada nú­
mero:
1200 = 80 X 0
1200 = 120 x @ 0 son PESÍ 
1200 = 200 x ( í )
En general: sean los números A, B, C 
donde MCM(A; B; C) = m. Luego: 
m = A x ®
m = B x @ A son PESÍ
m = C x 0 '
2. Calcula el MCD y MCM de 60 y 96. 
R eso luc ión :
60 - 96 2
30 - 48 2
15 - 24 3
5 - 8 22 x 3 = 12
60 - 96 12
5 - 8 5
1 - 8 8
1 - 1 1 2 x 5 x 8
Luego: MCD(60; 96) = 12 
MCM(60;96) = 1 2 x 5 x 8 
MCM(90; 96) = MCD(60; 96) x 5 x 8
Además: 60 = 12 x 5 
9 6 = 1 2 x 8 
60 x 96 = 12 x 12 x 5 x 8 
60 x 96 = (MCD)(MCM)
En general, para dos números A y B 
SI MCD(A; B) = k 
A = k x ® x
X > PESl
B = k x © /
MCM(A; B) = m 
Entonces:
I. m = kpq
II. AB = km
3. Analicemos que sucede con el MCM y MCM 
de los números: 60; 90; 105 
MCD(60; 90; 105) = 15 
6 0 = 1 5 x 4 = > 6 0 x 8 = 1 5 x 8 x 4 
90 = 1 5 x 6 = > 9 0 x 8 = 1 5 x 8 x 6 
105 = 1 5 x 7 = > 1 0 5 x 8 = 1 5 x 8 x 7 
MCD(60 x 8; 90 x 8; 105 x 8) = 15 x 8
A r itm é tic a | 8 9
Si MCD(A; B; C) = k 
MCD(An; Bn; Cn) = kn 
Donde: n e ZZ+
MCM(60; 90; 105) = 1260 
1260 = 60 x 21 => 1260 x 6 = 60 x 6 x 21 
1260 = 90 x 14 => 1260 x 6 = 90 x 6 x 14 
1260 = 105 x 12=» 1 2 6 0 x 6 = 1 0 5 x 6 x 12 
MCM(60 x 6; 90 x 6; 109 x 6) = 1260 x 6
Si MCM(A; B; C) = m 
MCM(An; Bn; Cn) = mn 
Donde n e í
DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA 
Ejemplo:
Halla el MCD y MCM de los números A, B y C don­
de:
A = 25 x 32 x 53 
B = 23 x 34 x 52 x 72 
C = 24 x 36 x 5 x 11
Entonces:
MCD(A; B; C) = 23 x 32 x 5 
MCM(A; B; C) = 25 x 36 x 53 x 72 x 11
En general: Dadas las descomposiciones canóni­
cas de varios números:
El MCD de dichos números es el producto de 
sus divisores primos comunes elevados cada 
uno de sus menor exponente.
El MCM de dichos números es el producto de 
sus divisores primos comunes y no comunes 
elevados cada uno a su mayor exponente.
DIVISIONES SUCESIVAS 0 ALGORITMO DE EUCÜDES
Teorema: En toda división entera inexacta el MCD 
del dividendo y el divisor es el MCD del divisor y 
el residuo.
Si: D [_d_
r q => MCD(D: d) = MCD(d; r)
Ejemplo:
Calcula el MCD de 156 y 120.
156 1120
36 1 =» MCD(156; 120) = MCD(120; 36)
120 [36_
12 3 =» MCD(120; 36) = MCD(36; 12)
36 [12.
0 3 => MCD(36; 12) = 12
.-. MCD(156; 120) = 12
Euclides ordenó todas estas divisiones del siguien­
te modo:
cocientes
1 3 3
156 120 36 12 <— MCD
36 12 0
residuos
En general: sean los números A y B donde 
A > B.
di d2 d3 d4 cocientes
A B ri r2 r3 MCD
h r2 É3 0 residuos
.-. MCD(A; B) = r3
No olvidar que las divisiones se pueden realizar 
por defecto o exceso.
E jem plo:
Calculamos el MCD de 144 y 56.
Divisiones por defecto Divisiones por exceso
144 156 144 [56
32 2 24 3
56 [3 2 _ 56 [2 4 _
24 1 16 3
32 [2 4 _ 24 |_16_
8 1 8 2
24 l 8 16 )_ § _
0 3 0 2
Por defecto:
2 1 1 3 - cocientes
144 56 32 24 © - MCD
32 24 8 0 - residuos
.-. MCD(144; 56) = 8
9 0 I C o lec ció n El Po s tu la n te
Por exceso:
3 3 2 2 t - cocientes
144 56 24 16 ® MCD
24 16 8 0 <— residuos
MCD(144; 56) = 8 
Propiedad:
Sean los números: 
a cifrasA = n - 1
B =
C =
(n - 1)(n - 1)(n - 1)n
__________b cifras
( n - 1 ) ( n - 1 ) ( n - 1 ) . . . ( n - 1 ) n
c cifras
-= nb - 1
( n - 1 ) ( n - 1 ) ( n - 1 ) . . . ( n - 1 ) n 
MCD(A; B; C) = nMCD(a; b; c) - 1
nc - 1
EJERCICIOS RESUELTOS
1. ¿Cuáles son los dos números primos entre sí, 
cuyo MCM es 330 y su diferencia 7?
R eso luc ión :
Sean A y B los números, por dato:
A - B = 7
i i
da - dp = 7 = d(a - p) = 7 ...(1)
MCM(A; B) = 330
4
d x a x p = 2 x 3 x 5 x 1 1 ...(2)
De (1) y (2): d = 1 además:
A - B = 7
A x B = 1 5 x 2 2 A = 2 2 , B = 15
2. Hallar el mayor de dos números tales que su 
máximo común divisor sea 36 y su mínimo co­
mún múltiplo sea 5148.
R eso luc ión :
Por dato:
MCD(A: B) = 36 
MCM(A: B) = 5148
d a p = 5148=» 36a x p = 5 1 4 8 
a x p = 1 4 3 = » a x p = 11> 13 
a = 13 y p = 11 (pues son PESÍ)
El mayor número es: 36 x 13 = 468
3. Tres reglas de 200 milímetros de longitud c/u, 
están uniformemente graduadas; la primera 
cada milímetro, la segunda cada 16/25 de 
milímetro y la tercera cada 18/23 de milímetro. 
SI se les hace coincidir en toda su extensión. 
¿A qué distancia del origen coincidirán tres 
trazos de las reglas?
R eso luc ión :
Sea L la longitud de la coincidencia entonces: 
1
L = M C M Í 1 ; 1 | ; | | ) ...(1)
MCM(1; 16; 18) 144
M C D (1;25;23) ~ 1
M C M ( 1 ;1 | ; ^ | 
\ 25 23
Reemplazando en (1):
L = 144 y como L < 200 144 mm
4. Las longitudes de las circunferencias de las 
ruedas delanteras y traseras de una locomo­
tora son, respectivamente 250 y 425 centíme­
tros. ¿Qué distancia tendrá que recorrer la lo­
comotora para que una de las ruedas de 2870 
vueltas más que la otra?
R eso luc ión :
Gráficamente:
= o - Q = o - Q
'------------- L------------- '
Calculando el MCM de 250 y 425 
MCM(250; 425) = 4250; entonces:
4250La rueda menor da: . . . = 17 vueltas
La rueda mayor da:
250
4250
425
10 vueltas
Es decir, la rueda menor da 7 vueltas más que la 
mayor; cuando la locomotora recorre 4250 cm.
A r it m é t ic a | 9 1
Luego:
Distancia (cm) Dif. vueltas
/ 4250 7 ►
\ x ----------- 2870 /
=» x = 4250 x = 1 742 500 cm 
x — 17 425 m
5. El MCD de 2 números A y B es 248 y el menor 
de ellos es 2976. Sabiendo que el MCM está 
comprendido entre 59 520 y 89 500. ¿Cuán­
tas soluciones hay para el mayor de dichos 
números?
R eso luc ión :
MCD(A; B) = d = 248 y el menor es:
248 x a = 2976 => a = 12, de donde el mayor 
B = 248(3, (3 debe ser PESÍ con 12.
Además: 59 520 < MCM(A; B) < 89 500 
59 520 < 248 v 12 x |3 < 89 500 
20 < (3 < 30, ... 
entonces: p = 23: 25; 29
6. El MCD de 2 números es 13, se desea cono­
cer cuáles son estos números sabiendo que 
los cocientes sucesivos que se obtienen al 
hallar el MCD son 11; 9; 1; 2.
R eso luc ión :
Por el algoritmo de Euclides:
11 9 1 1 2
A B 65 39 26 13
65 39 26 13 0
MCD(A; B) = 13
De la tabla: B = 9 x 65 + 39 = 624
A = 11 x 6 2 4 + 65 = 6929
7. Sea M el MCM de a y b
Si: — = 110; — =21 y el MCD de 7a y 7b es 
a b
840. Calcula M.
R eso luc ión :
Por dato del problema:
MCD(7a; 7b) = 840
=* 7MCD (a; b) = 840 
MCD(a; b) = 120; además:
M = n o =, ^ = 110 => p = 110
a da
M = 2 1 ^ = 2 1 ^ a = 21 
b dp
Luego: MCM(a; b) = d
M = d x a x p
M = 120 x 110 x 21 = 277 200
8. Determinar el menor número entero que es 
MCM de 25 números enteros diferentes, que 
no sea múltiplo de 3 y tenga raíz cuadrada 
exacta (cuadrado perfecto).
R eso luc ión :
Si N = k2 es el MCM de 25 números diferentes, 
quiere decir que k2 tiene 25 divisores, es decir 
debe ser de la forma: k2 = a4 > b4; k2 = a24 
Ahora, como N debe ser el menor posible, en­
tonces: a = 2 y b = 5, pues, por dato: a, b + 3 
Así: N = k2 = 24 x 54 = 10 000 
En el caso N = k2 = a24 = 224 (es muy grande)
9. La suma de los números a y b es 651; el cocien­
te entre su MCM y MCD es 108; hallar a - b.
R eso luc ión :
Sabemos que:
m c m = 1 0 8 ^ M = 108
MCD d
a x p = 22 x 33 => a = 2 7 y p = 4 
a + b = 651 => d(a + p) = 3 x 7 x 31 
d x 31 = 3 x 7 x 31 => d = 21 
Luego: a - b = d(a — P) = 21 x 23 = 483
10. El producto de dos números enteros positivos 
es 360. La suma de los cocientes obtenidos 
al dividir cada uno de ellos por su máximo co­
mún divisor es 7, y el producto de estos co­
cientes es 10. Hallar el valor absoluto de la 
diferencia de estos números.
R eso luc ión :
Por condición del problema:
A x B = 360 ...(1), además:
J A | V » U L t l _ U U I \ C.L r U S I U U M N I t
=> a + |3 = 7
y a x p = 10 = 5 x 2 , de donde: a = 5 y p = 2 
Reemplazando en (1):
(d x 5)(dx 2) = 360, entonces: d2 = 36
=> d = 6
Luego: A - B = d(a - p) = 6 x 3 = 18
11. Sean A y B dos números enteros cuyo MCD 
es 12 y la d ife rencia de sus cuadrados es 
20 880. H allar A - B.
R eso luc ión :
MCD(A; B) = 12; además:
A2 - B2 = 20 880
i i
(da)2 - (dp)2 = 20 800 
d2(a2 - b2) = 20 800 
144(a2 - P2) = 20 800 
a 2 - p2 = 145 
1 1 
172 - 122 = 145
0 sea: a = 17; p = 12 
Luego:
A - B = d(a - P) = 12(5) => 60 = A - B
12. Halla la diferencia de 2 números enteros sa­
biendo que su MCD es 48 y que su suma es 
288.
R eso luc ión :
Por dato: MCD(A: B) = d = 48 
Además: A + B = 288 
48a + 48p = 288 
48(a + P) = 288 
a + p = 6
1 i
5 1
a = 5 y p = 1, luego:
A - B = d(a - p) = 48 x 4 = 192
[ " ejercicios PROPUESTOS j
1. Determinar dos enteros sabiendo que la suma 
de sus cuadrados es 3492 y su producto es 
216 veces su MCD. Dar su diferencia como 
respuesta.
a) 13 b) 6 c) 9
d) 12 e) 15
2. Determinar dos enteros sabiendo que el co­
ciente de su suma por su MCD es 8 y el co­
ciente de su producto por su MCD es 840. Dar 
al número de soluciones.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. La suma de dos números enteros positivos es 
4320 y tiene 24 divisores comunes: ¿Cuántos 
pares de números cumplen dicha condición?
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
4. El MCD de 1a7a y b3(b + 2) es un capicúa de 
dos cifras ¿Cuál es la suma de a + b?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
5. ¿Cuántos números menores que 7680 tiene 
en el un MCD Igual a 24.
a) 128 b) 130 c) 132
d) 134 e) 136
6. Al calcular el MCD de dos números mediante
el algoritmo de Euclides se obtuvo como co­
cientes sucesivos 1; p; 3 y 2. Calcular el valor 
de p; si la suma de los números es igual 53 
veces el MCD.
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
7. Tres números de forma p5p, q7qr27 poseen 
como MCD a 11. Calcular (p + q +r).
a) 19 b) 20 c) 21
d) 22 e) 23
8. El número entero de tres cifras y su CA tiene 
como MCD a 100. ¿Cuántos números cum­
plen esta condición?
a) 1 b)2 c)3 d) 4 e) 5
9. Al calcular el MCD de dos números A y B por 
el método del algoritmo de Euclides se obser­
vó que los dos primeros fueron 54 y 36, ade­
más la suma de los cocientes Sucesivos fue
17. Si el número A es el mayor posible. ¿Cuál 
es su valor?
A r itm é tic a | 9 3
a) 2596 
d ) 2690
b) 2856 
e) 2876
c) 2952
10. Calcular n si el MCD de:
n(n + 1)(n + 2) y (n + 3)(n + 4)(n + 5) es 9. 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
11. La relación de dos números es 5/8 y su MCM 
es 840. ¿Cuál es el mayor?
a) 152 
d) 176
b) 160 
e) 184
c) 168
12. El MCM de tres números naturales que su­
man 255 es 1785. Si e! MCD de cada par de 
ellos es 17 ¿Cuál es el mayor?
a) 119 
d) 170
b) 136 
e) 102
c) 153
13. La suma de dos números es 581 y el cociente 
de su MCM por su MCD es 240. ¿Cuál es la 
diferencia de dichos números?
a) 531 
d) 537
b) 533 
e) 539
c) 535
14. MCM(A; B) = A2 = 324. Determinar la suma 
de cifras del MCD.
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
15. El MCM de cuatro números consecutivos es 
5460. Calcular la suma de los dígitos del me­
nor de los números si este es múltiplo de 3.
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
16. ¿Cuál es el menor número que es: (m5 + 2), 
(m6 + 1), (m7 + 2), (m8 + 5). Dar como res­
puesta la suma de sus cifras.
17.
18.
20.
a) 24 
d) 21
b) 23 
e) 20
c) 22
Determinar el mayor número de cuatro cifras 
que al dividirlo entre 6, 7, 8 y 9 nos da residuos 
¡guales, tal que este sea el máximo posible.
a) 9589 
d) 9583
b) 9587 
e ) 9581
c) 9585
Determinar la superficie del menor terreno 
rectangular que puede ser dividido en lotes 
rectangulares de 12 m; 10 m; 20 m; 8 m; 16 m; 
24 m. Sabiendo que las primeras dimensiones 
representan el largo y las segundas el ancho.
a) 28 800 m2 
c) 25 000 m2 
e) 57 600 m2
b) 14 400 m2 
d) 72 000 m2
19. A un número de tres cifras m6 se le agrega 
uno y se convierte en m7 y si agrega una uni­
dad mas se convierte en m8. Determinar la 
suma de cifras de todas las soluciones.
a) 48 
d) 66
b) 54 
e) 72
c) 60
Se divide dos números y el cociente exacto 
resulta igual a su MCD; la suma del MCD y 
MCM resulta ser igual a 56. Determinar el pro­
ducto de ambos números.
a) 256 
d) 343
b) 289 
e) 450
c) 320
1. d 5. c 9. b 13. e 17. e
2. b 6. b 10. b 14. c 18. a
3. b 7. e 11. c 15. a 19. d
4. a 8. b 12. a 16. c 20. d
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
POTENCIACIÓN
Es una operación matemática que consiste en mul­
tiplicar un número por si mismo varias veces.
Ejemplos:
625 = 5 x 5 x 5 x 5 = 54
Es una potencia perfecta de grado 4.
729 = 9 x 9 y 9 = 93
Es una potencia perfecta de grado 3.
729 = 32 x 32 x 32 = 36
Es una potencia perfecta de grado 6 .
729 = 27 x 27 = 272
Es una potencia perfecta de grado 2.
En general:
P = K x K x K ... K = Kn n e f 
n veces K e Z
Donde: K es la base
n es el exponente
P es la potencia perfecta de grado n.
TEOREMA FUNDAMENTAL
Para que un número entero positivo sea una po­
tencia perfecta de grado n, es condición necesaria 
y suficiente que los exponentes en su descomposi­
ción canónica sean múltiplos de n.
Si P = P “ 1P “ 2P “3 DC
pn _ p nai p nc<2 p na3
Pn es una potencia perfecta de grado n.
CASOS PARTICULARES
1. Potencia perfecta de grado 2 (cuadrado perfecto) 
Ejemplos:
64 = 26 = (23)2 = 82 
144 = 24 x 32 = (22 x 3 )2 = 122 
2025 = 34 x 52 = (32 ,< 5)2 = 452 
En general:________________________
Si P = P 2" 'P 22u2P32cl3 
P = ( P ? 'P ? P ? f 
P es un cuadrado perfecto
Observación: los siguientes números son cuadra­
dos perfectos:
A = 22 2- 34 CDa = 3 x 5 = 15
B = 34 x 52 x 72 =3 CDB = 5 x 3 x 3 = 45
C = 22 x 52 =* CDc = 3 x 3 = 9
Si: N = P 2aiP 2a2P32a3
CDN = (2a, + 1)(2a2 + 1)(2a3 + 1) = Número impar.
 %
i Todo cuadrado perfecto tiene una cantidad 
( impar de divisores.
2. Potencia perfecta de grado 3 (cubo perfecto) 
Ejemplos:
125 = 5 x 5 x 5 = 53 
64 = 26 = (22)3 = 4 3 
216 = 23 x 33 = (2 x 3)3 = 63 
n = 5673 = (52 ■ 7 )3 = 1753
En general si:
p = P13aip 3',2p 33H3 DC 
P = ( p “ r p “ 2 p “ 3)3
P = K3 forma general
CRITERIOS DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN DE CUA­
DRADOS Y CUBOS PERFECTOS
1. Según su última cifra
k ...0 ...1 ...2 ...3 ...4 ...5 ...6 ...7 ...8 ...9
k2 .. .0 ...1 ...4 ...9 ...6 ...5 ...6 ...9 ...4 ...1
k3 .. .0 ...1 ...8 ...7 ...4 ...5 ...6 ...3 ...2 ...9
Si un número termina en la cifra 2; 3; 7 u 8 no 
es un cuadrado perfecto en los demás casos 
tiene la posibilidad de serlo.
Un cubo perfecto puede terminar en cualquier 
cifra.
2. Por su terminación en cifras ceros 
Ejemplos:
14 400 = 144 x 102 = 122 x 102 
64 000 = 64 x 103 = 82 x 103
A r it m é t ic a | 9 5
125 000 = 125 x 103 = 53 x 103 
216 000 000 = 216 x 106 = 63 x 106
ab ... 00 ... 00
cuadrado 2n ceros 
perfecto
- 1,2
ab ... 000 ... 000 = k3
cuadrado 3n ceros 
perfecto
Por su terminación en cifra 5 
Ejemplos:
1225 = 35 
3025 = 552 
7225 = 852 
13 225 = 1152
abc25 = n5
3375 = 153 
15 629 = 253 
428 875 = 353 
91 125 = 453 
abcd5 = n53
12 = 3 x 4
30 = 5 ' 6 
72 = 8 - 9 
132 = 11 x 12
abe = n(n + 1) =
..0
..2
..6
d = 2; si n: par 
d = 7; si n: impar
4. Por criterios de divisibilidad
I. Divisibilidad por 4 
Ejemplos:
1 2 = 4 =» 122 = 4
o o *
1 7 = 4 + 1 =» 172 = 4 + 1 
22 = 4 + 2 => 222 = 4
35 = 4 + 3 =» 352 = 4 + 1
16 = 4 =» 163 = 4 
9 = 4 + 1 =» 93 = 4 + 1 
10 = 4 + 2 => 103 = 4
1 5 = 4 + 3 => 153 = 4 + 3 = 4 -
En general
o O o o
N 4 4 + 1 4 +2 4 + 3
N2 4 4 + 1 4 4 + 1
N3 4 4 +1 4 4 + 3
Divisibilidad por 9 
N N2
o o O
9 9 9
O O O
9 + 1 9 + 1 9 + 1
o O
9 + 2 9 + 4 9 - 1
o o O
9 + 3 9 9
O o O
9 + 4 9 + 7 9 + 1
0 o o
9 + 5 9 + 7 9 - 1
o 0 o
9 + 6 9 9
o O o
9 + 7 9 + 4 9 +1
o o O
9 + 8 9 + 1 9 - 1
RADICACION
Es una operación matemática inversa a la poten­
ciación que consiste en que dados dos números 
llamados índice y radicando se calcula un tercer 
número llamado raíz, donde este último elevado al 
Indice reproduzca el radicando. Así tenemos:
R = nf o k = R" 
Donde:
k es el radicando 
n es el Indice 
R es la raíz enésima
Ejemplos:
1225 = 15 =» 152 = 225
3V2Í6= 6 =» 63 = 216
V625 5 = 625
Luego: toda potencia perfecta de grado n posee 
raíz enésima exacta.
CASOS PARTICULARES
1. Raíz cuadrada
a. Exacta
V 529 
0
23
529 = 23
\ [Ñ ~ h
0
N = k2
9 6 | C o lec ció n El Po s tu la n te
b. Inexacta
Defecto Exceso
V 540 23 V 540 24
11 36
540 = 232 + 11 540 = 242 -
V N k V N k +
R c!uf f"exc
N = k2 + R d e f = (k + 1)2 C x c
R d e f " f l"exc 2k + 1
Observemos las siguientes raíces y los resi­
duos:
V 143
22
V 624 
48
11
24
V Ñ P
2K
143 + 1: cuadrado perfecto 
22: residuo máximo
624 + 1: cuadrado perfecto 
48: residuo máximo
N + 1 = cuadrado perfecto
!—*• Residuo máximo
2. Raíz cúbica 
a. Exacta
3i--------
V 512
0
512 = 83
\ [ Ñ U
0
N = k3
b. Inexacta
\ l 829 
111
10
k + 1
V 829 
100
'vrÑT|
*"def
N = k + rdef = (k + 1) - rexc
r d e f ■*" ^exc = 3 k ( k + 1 ) + 1
Observemos las siguientes raíces y los re­
siduos:
31-3.----
V 6 3 
36
3 x 3 x 4
V 124 
60
3 x 4 x 5
3/----
n/TÑT N + 1 = cubo perfecto 
rmax = 3 K ( K + 1)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. ¿Cuál es el número de cuatro cifras cuyas dos 
primeras cifras de la izquierda son 2 y 2; que 
es un cuadrado perfecto?
R eso luc ión :
Sea el número 22ab
Por dato: 22ab = k2, entonces:
22’ab 47
16 — - 7 u 8
6a'b 8
609 87 x 7 = 609
0 88 > 8 = 704 (no sirve)
k2 = 472 = 2209
2. Hallar el número por el cual hay que dividir a 
108 675 para que el cociente sea un cuadrado 
perfecto.
R eso luc ión :
Por dato 
108 675 |_N_
0 k 2 
108 675 = N x k2
Descomponiendo en factores a 108 675 se 
obtiene:
108 6 75 = 32 x 52 x 7 x 23 x N = k 2 
/ 4375 x 52 
108 675 4 - 12 075 x 32 
\ 483 x 152 
De las altérnativas, solo cumple N = 483
3. Las raíces cúbicas de 614 125 y 205 379 se 
diferencian en:
R eso luc ión :
Extrayendo la raíz cúbica, en ambos casos:
614 125 85 V 205 379 59
512 1021 * 125 803 _ n
102 125 3 x 82 80 379 3 x 52
102 125 19 200 + 80 979 7500 +
0 1200 0 1350
25 81
20 425 8931
5 9
102125 80 379
Nos piden: 85 - 59 = 26
A r itm é tic a | 9 7
4. Para recorrer 302,50 metros, Juan da tantos 
pasos como milímetros tiene cada uno de 
ellos. ¿Cuál es la longitud del paso?
R eso luc ión :
Sea A el número de pasos que da; entonces, 
cada paso mide N milímetros.
Luego: N x N = 302,5 m 
N2 = 302 500 mm 
N = V302 500 = 550 mm
5. Hay 1849 árboles en un bosque. El número de 
árboles en una fila es Igual al número de filas. 
Halla el número de filas.
R eso luc ión :
Sea N el número de filas del bosque; cada fila 
tiene N árboles, entonces, en total hay N2 ár­
boles.
O sea: N2 = 1849 
N = 43
6. Una persona nacida en la primera mitad del 
siglo diecinueve tenía x años en el año x2. Di­
cha persona nació en:
R eso luc ión :
Sea 18ab el año de su nacimiento.
Por dato: 18ab + x = x2 
18ab = x(x - 1)
1640 = 40 x 40 (no cumple)
1722 = 42 x 42 (no cumple)
1806 = 43 x 42 (cumple)
1892 = 44 x 43 (no cumple)
Nació en 1806
7. Para pavimentar un patio cuadrado se em­
plean losetones de 50 x 50 cm. SI el patio tu­
viera un metro más por cada lado, se habrían 
necesitado 140 losetones más. ¿Cuánto mide 
cada lado del patio?
R eso luc ión :
Sea L la longitud del lado del patio.
[2
Inicialmente: n.° losetas = -------
2500 cm2
(L + 100)2Después: n. losetas = —
2500 cm2
■ = 140
Por dato:
(L + 1 0 0 )2 [
2500 cm2 2500 cm 2
200 L + 10 000 = 350 000 
200 L = 340 000 
L = 1700 cm 
L = 17 m
SI se extrae la raíz cuadrada de 11,9494069; 
hallar el residuo que queda.
R eso luc ión :
Extrayendo la raíz cuadrada, se obtiene:
V 11,94940690 
_9_
29'4
256
3894
3425
46 906 
41 436 
547 090 
483 889
3,4569
64 x 4 = 256
685 x 5 = 3425
6906 x 6 = 41 436
69 1 2 7 x 7 = 493 889
63 201
.-. Residuo = 0,0063201
Dos números impares consecutivos son tales 
que la diferencia de sus cuadrados es 8000. 
Hallar los números.
R eso luc ión :
Sean los números: (2n + 1) y (2n - 1)
Por dato:
(2n + 1)2 - (2n - 1)2 = 8000
(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 8000
(4n)(2) = 8000
n = 1000
Luego los números son: 2n + 1 = 2001 
2n - 1 = 1999
10. Con S/.16 464, se han comprado latas de sar­
dinas en cierto número de cajones cada uno 
de los cuales contiene un número de latas 
triples del número de cajones. Cada lata de 
sardinas cuesta un número de soles doble del 
número de cajones. ¿Cuántas son las latas de 
sardinas?
9 8 I C o lec ció n El Po s tu la n te
R eso luc ión :
Sea n el número de cajones
• cada caja contiene: 3n latas
• cada lata cuesta: 2n soles
En total invierte: n(3n)(2n) = 16 464 
n3 = 2744 
n3 = 143 => n = 14 
número de latas = 42
11. Hallar los cuadrados perfectos de la forma: 
n2 = aabb e indicar a + b.
R eso luc ión :
Por dato: aabb = k2
Descomponiendo polinómicamente:
1100a + 11b = k2 
11 (100a + b) = k2
11 x t
entonces: 100a + b = 11 
(Í1 + 1) a + b = Í1 
a + b = 11
a + b = 11 (única posibilidad)
12. Se quiere cercar un terreno de forma cuadra­
da cuya superficie es de 15 625 m2, con una 
cerca de tres hileras de alambre. Se desea 
saber cuánto costará toda la obra si el metro 
de alambre cuesta S/. 15,50 y la mano de obra 
total: S/.4225
R eso luc ión :
Área total = 15 625 m2, entonces, cada lado 
tiene V15 625 = 125 m
Perímetro total del terreno: 500 m 
Costo del metro de alambre: 15,50 
Costo de 500 m de alambre:
15,50 x 500 = 7750 soles
En las tres hileras gasta:
3 x 7750 = 23 250 soles +
4225 (mano de obra)
Total = 2 7 475
[ T jercicios propuestos i |
1. ¿Cuántos de los siguientes numerales no son 
cuadrados perfectos?
I. 297 II. 196 III. 128
IV. 372 V. 400
a) 2 b) 3 c) 4
d ) 1 e ) 5
2. ¿Cuántos cuadrados perfectos están com­
prendidos entre 144 y 900?
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
3. ¿Cuántos cubos perfectos de tres cifras hay? 
A) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
4. ¿Cuántos cubos perfectos de dos cifras hay? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5. ¿Cuántos cubos perfectos hay entres 20 y 
150?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
6. Si: N = 640a es un cuadrado perfecto; calcular: a
a) 0 b) 1 c) 2
d ) 4 e ) 6
7. ¿Cuántos cubos perfectos hay entre 27 y 
8000?
a) 16 b) 15 c) 14
d) 17 e) 18
8. Los números que tienen raíz cuadrada exacta 
y están comprendidos entre 269 y 412; calcu­
lar cuántos números son.
a) 6 b) 5 c) 2
d) 4 e) 3
9. ¿Cuántos cuadrados perfectos hay entre 80 y 
160?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
A r itm é tic a | 9 9
10. Calcular la suma de los dos mayores cuadra­
dos perfectos de dos cifras.
a) 120 b) 145 c) 160
d) 170 e) 180
11. ¿Cuál es el menor número natural por el que 
se debe multiplicar a N para que sea un cua­
drado perfecto, si N = 22 x 15 x 49?
a) 8 b) 15 c) 25
d) 49 e) 60
12. La diferencia de los cuadrados de las raíces de
dos números es 24 y la suma de las raíces de 
dichos números es 12. ¿Cuál es el menor de 
dichos números, si son cuadrados perfectos?
a) 16 b) 25 c) 36
d) 49 e) 81
13. Entre dos cuadrados perfectos consecutivos 
hay 26 números enteros. Determinar el prime­
ro de los números comprendidos entre tales 
cuadrados perfectos.
a) 171 b) 170 c) 168
d) 172 e) 195
14. Sea N = 3 x 72 x 11, ¿Cuál es el menor nú­
mero natural por el que se debe multiplicar a 
N para que sea un cuadrado perfecto?
a) 3 b) 11 c) 33
d) 66 e) 75
15. El cubo de un número, aumentado en el propio 
número resulta 222. ¿Cuál es su cuadrado?
a) 49 b) 25 c) 81
d) 64 e) 36
16. El cuadrado de un número aumentado en el 
propio número resulta 156. Hallar la suma de 
las cifras de dicho número.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
17. ¿Cuál es el menor número entero por el que 
se debe multiplicar a 64 350 para que el pro­
ducto sea un cuadrado perfecto?
a) 143 b) 22 c) 28 600
d ) 26 e) 286
18. ¿Cuál es el menor número entero por el que 
se debe multiplicar a 648 para que su produc­
to sea un cuadrado y cubo perfecto a la vez?
a) 36 b) 72 c) 144
d ) 56 e ) 112
19. ¿Cuál es el menor número entero tal que si 
dividimos el número 157 339 entre dicho nú­
mero se obtiene una división exacta con un 
cociente que es un número entero y cuadrado 
perfecto?
a) 13 b) 37 c) 19
d) 17 e) 9120. La suma de la tercera y cuartas parte de un 
número es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el 
menor número que cumple esta condición?
a) 12 b) 24 c) 48
d) 84 e) 96
21. Para que un número N sea cubo perfecto se 
le debe multiplicar por 18 y para que sea cua­
drado perfecto se le debe multiplicar por 15. 
¿Cuál es el menor valor que puede tener N?
a) 225 b) 216 c) 2000
d) 1500 e) 375
22. Entre dos cuadrados enteros, determinar el 
mayor de dichos cuadrados.
a) 1024 b) 961 C)1156
d) 1089 e) 900
23. La diferencia de los cuadrados de dos núme­
ros es 1128, mientras que la diferencia entre 
ellos es 6; uno de ellos es:
a) 89 b) 91 c) 93 d) 95 e) 87
tn 1. b 6. b 11. b . J. c 21. d
u 2. c 7. a 12. b 17. e 22. d
< 3. d 8. a 13. b 18. c 23. b
j 4. b 9. d 14. c 19. c
u 5. b 10. d 15. e 20. d
1 0 0 | C o lec ció n El Po s tu la n te
[ " ejercicios PROPUESTOS 2 1
1. Al extraer la raíz cuadrada a: 70ab, se obtiene 
14 de resto. Calcular: a + b
a) 6
calcular: K + a
b) 7
53a9 K
10
c) 10 d) 13 e) 15
a) 64 
d) 85
b) 71 
e) 89
c) 76
3. Si: (2a)6a(2a) = K¿
hallar la suma de cifras K.
a) 12 
d) 14
b) 18 
e) 16
c) 15
Si: 4aa5a = K 
hallar: a2 + K (a es par)
a) 69 
d) 104
b) 70 
e) 81
5. Hallar (a +b), si aabb = K2
a) 5 
d) 13
b) 6 
e) 14
c) 72
c) 11
SI: 11112 = PERUREP, hallar: PERU
a ) 3456 
d ) 4321
b) 1235 
e) 1234
c) 2345
7. Si: xxx2 = 12 321, hallar: xx + 13
a) 24 
d) 22
b) 25 
e) 26
c) 23
8. Si: 3c2= ab25, hallar a + b + c. 
a) 7 b) 8 c) 6 d) 9
9. Si z52 = 4xxy, hallar: xy + xz
e) 10
a) 49 
d) 52
b) 50 
e) 53
c) 51
10. Si: 1bb5 es un cuadrado perfecto, calcular b2.
c) 16a) 4 
d) 25
b) 9 
e) 36
11. Sea 10 < A < B < 100 donde A y B son cua­
drados perfectos. Si la suma de las raíces cua­
dradas de A y B es Igual a 13, entonces, hallar 
la suma de las cifras del menor valor de A.
a) 6 
d) 10
b) 7 
e) 12
c) 9
12. Calcular a + b si al extraer la raíz cuadrada 
a un número que no tiene raíz exacta de la 
forma: 16ab, se obtuvo un resto mínimo.
a) 6 
d) 12
b) 7 
e) 14
c) 10
13. Al extraer la raíz cuadrada a: abb(b - 1) se 
obtiene 37 como raíz y un resto máximo. Cal­
cular a + b.
a) 5 
d) 9
b) 7 
e) 12
c) I
14. Al extraer la raíz cuadrada a: 75ab3 se obtuvo 
como resto 8. Calcular ab.
a) 15 
d) 24
b) 18 
e) 32
c) 20
15. Calcular K + R en:
V 1232 
R
a) 35 
d) 60
b) 42 
e) 72
c) 45
16. Calcular el valor de K + R en:
V 1200 [ K
R
a) 70 
d) 81
b) 75 
e) 83
c) 78
17. Al extraer la raíz cuarta de: 41006bc, se obtu­
vo como raíz a5. Calcular a + b + c.
A r itm é t ic a | 1 0 1
a) 9 b) 10 c) 11
d) 13 e) 14
18. Al extraer la raíz cuadrada a N se obtuvo un 
resto máximo igual a 38. Si M es el mayor cubo 
perfecto pero menor que N, Calcular N - M.
a) 17 b) 35 c) 42
d) 48 e) 56
19. ¿Cuántos números naturales tienen como 
raíz cuadrada entera a 42?
a) 83 b) 84 c) 85
d) 91 e ) 90
20. Con las cifras: 5; 0; 3 y 2 se forma un número 
de 4 cifras que tenga raíz cuadrada exacta. 
Calcular la suma de las cifras de la raíz.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 15
21. ¿Cuántos números de 4 cifras, tienen raíz cú­
bica exacta?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
22. Al encontrar la raíz cúbica de un número se 
obtuvo como residuo el máximo posible: 2610. 
¿Cuál es el radicando? Dar su mayor cifra.
a) 8 b) 6 c) 9
d) 5 e) 7
23. Determinar el valor de a + b si el numeral 
22ab es un cuadrado perfecto.
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
24. Determinar el valor de a + b si ei numeral 
12ab es un cuadrado perfecto.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
25. Al extraer la raíz cuadrada de un número ob­
tuvimos 23 de resto y al extraer la raíz cuadra­
da de su cuádrupío obtuvimos 19 de resto. La 
suma de cifras de! números es:
a) 14 b) 15 c) 17
d) 23 e) 25
U) 1. b 6. e 11. b 16. c 21.
A
c
til 2. c 7. a 12. c 17. c 22. c
S
< 3. d 8. b 13. a 18. e 23. a
j 4. c 9. c 14. b 19. b 24. b
Ü 5. c 10. a 15. b 20. c 25. a
TEORÍA DE CONJUNTOS
CONJUNTO
Es un ente matemático por lo cual se puede tener 
una ¡dea subjetiva de ello, como colección agrupa­
ción o reunión de objetos abstractos o concretos 
denominados elementos.
Ejemplos:
• ' Los días de la semana.
Los países de América del Sur.
Los jugadores de un equipo de fútbol.
NOTACIÓN DE UN CONJUNTO
Generalmente se denota a un conjunto con símbo­
los que indiquen superioridad y a sus elementos 
mediante variables o letras minúsculas separados 
por comas y encerrados con llaves.
Ejemplos:
A = {a, e, i, o, u}
B = {los días de la semana}
Q = {cara, sello}
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Se establece esta relación solo de elementos o 
conjuntos y expresa si el elemento indicado forma 
parte o no del conjunto considerado.
... pertenece a ...: 6 
... no pertenece a...: (f 
Esto quiere decir que dado un elemento y un con­
junto:
Ejemplo:
C = {1; 2; {1; 2} ; 5; {6 }}
• 2 t C 
8 £ C
• {1; 2 } e C 
5 t C
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Consiste en precisar correctamente que elementos 
forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos 
formas:
Por extensión (forma tabular). Cuando se indica 
generalmente a todos y cada uno de los elementos.
Ejemplos:
A = {a, e, i, o, u}
D = {2; 4 ; 6: 8}
Es evidente que el orden en el cual son listados 
los elementos del conjunto no afecta el hecho de 
que pertenezcan a el. De este modo en el conjunto
A = {a, e, i, o, u} = {a, o, u, i, e}
no todos los conjuntos pueden ser determinados 
por extensión, entonces, se recurre a otra forma de 
determinación.
Por comprensión (forma constructiva). Cuando 
se enuncia una propiedad que caracteriza a todos 
los elementos del conjunto, de tal manera que 
cada objeto que goza de la propiedad pertenece al 
conjunto y todo elemento del conjunto goza de la 
propiedad mencionada.
Esquema:
tal que 
F = ......}
Forma general Características o
de elemento propiedad común
de la variable que 
forma el elemento
G = {n/n es una vocal}
H = {los números pares menores que 13}
J = {n2 - 11 / n es entero A 1 < n < 7}
CLASES DE CONJUNTOS
Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la 
cantidad de elementos diferentes que poseen, se­
gún esto tenemos:
Finito. Si posee una cantidad limitada de elemen­
tos, es decir, el proceso de contar sus diferentes 
elementos termina en algún momento.
Ejemplo:
K = {3n + 2 / n e Z Z A l < n < 4 }
K es finito pues, el número de elementos de K es: 4 
L = {x / x es un día de la semana}
L = es finito pues, el número de elementos de L 
es: 7
Infinito. Sí posee una cantidad ilimitada de ele­
mentos, es decir, el proceso de contar sus diferen­
tes elementos no termina nunca.
Ejemplo:
M = { x / x e ® A l < x < 2 }
M es infinito pues, el número de elementos de M
es: oc
A r itm é t ic a | 1 0 3
TÚ = {1; 2; 3; 4; 5; ...}
TÚ es infinito pues, el número de elementos de TÚ
es: oo
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Conjunto de los números naturales
IN = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
0,3 £IN , 17 g IN
Conjunto de los números enteros
TL = - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0; 1; 2; 3; ...}
I - i IN, -2 1 £ 2 
5
Conjunto de los números racionales
© = { — / a e Z A b e Z A b V O } 
b
2 e ®, porque: 2 = j
0,5 e ©, porque: 0,5 = —
10
0,333... g ©, porque: 0,333 ... = -|
it = 3,141592... £ ©, porque: n A —
b
CARDINAL DE UN CONJUNTO
Es el número de elementos diferentes que posee el 
conjunto considerado. Cuando se trata de elemen­
tos abstractos para objetos concretos se toman en 
cuenta a todos.
Notación:
|A| o n(A): número de elementos diferentes de A 
A = {a; e; i; o; u} => |A| = n(A) = 5 
P = {2; 2; 3; 3; 3; 5; 7} =* n(P) = 4
NÚMERO ORDINAL
Teniendo en cuenta una disposición de los elemen­
tos dentro del conjunto del cual forman parte, cada 
uno determina su número ordinal como el lugar 
que ocupa en el orden establecido.
Notación:
Ord(x): número ordinal de x
S = {7; a; A; 13}
Ord(a) = 2 Ord(A) = 3
CUANTIFICADORES
Sea el enunciado abierto: x2 + 1 > 4 y el conjunto 
A = {2; 3; 4}
Dando valores, del conjunto A, a la variable x se 
obtiene:
Si x = 2 => 22 + 1 > 4 (V)
Si x = 3 => 32 + 1 > 4 (V)
Si x = 4 => 42 + 1 > 4 (V)
Esto es, paratodo valor de x que pertenece al con­
junto A se cumple que x2 + 1 > 4 es verdadero. 
Luego afirmamos que:
Para todo x t A s e cumple que: x2 + 1 > 4 
Si bien es cierto x2 + 1 > 4 no es proposición, al 
anteponerle para todo x e A, se cumple que se 
convierte en proposición. A este proceso se le de­
nomina cuantificación.
Trataremos los dos principales tipos de cuantificadores.
Universal. Se denota por V y se lee: para todo o 
para cualquier. Si P(x) es una función proposicio- 
nal, V x e A; P(x) es una proposición que será ver­
dadera cuando para todos los valores de x e A se 
cumple P(x).
Ejemplos:
Si: A = { 2 ; 4; 6; 8}
P(x) = x es un número par 
P(y) = 3y - 2 > 4 
Luego:
Vx g A: x es un número par (V)
Vy g A: 3y - 2 > 4 (F)
Existencial. Se denota por 3 y se lee existe por 
io menos un. Si P(x) es una función proposicional, 
3x e A / P(x) es una proposición que será verda­
dera si existe por lo menos un elmento de A, que
cumple P(x).
Ejemplos:
Si: B = {1; 4; 5; 7}
P(x) = x es un número impar 
P(y) = (y - 4)2 = 4 
Luego:
3x g B / x es impar (V)
3y g B / (y — 4)2 = 4 (F)
Negación de los cuantificadores. Cuando afir­
mamos la proposición: todos los peruanos son 
morenos su negación afirmaría que no todos los 
peruanos son morenos, en símbolos: 
p: v x g A: x es moreno;
A = {todos los peruanos}
-p : 3x g A / x no es moreno
1 0 4 | C o lec ció n El Po s tu la n te
En general se cumple:
- [ V x e A ; P(x)] = 3x e A / -P (x )
Análogamente:
- [ 3 x e A / P(x)] e V x e A: -P (x )
DIAGRAMAS DE VENN-EULER
Es la representación geométrica de un conjunto 
mediante una región de plano limitado por una fi­
gura cerrada y en cuyo Interior se indican los ele­
mentos que forman el conjunto.
Ejemplo:
A = {a; i: o; e; u}
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 
Inclusión (c). Se dice que un conjunto está in­
cluido en un segundo conjunto, cuando todos los 
elementos del primero forman parte del segundo 
conjunto.
c : incluido o contenido 
A c B: A está contenido en B 
A es subconjunto de B 
B contiene a A 
A está incluido en B
Ejemplos:
i. A = {todos los gatos}
B = {todos los mamíferos}
A c B
II. D = {2 ;4 ; 6}; E = {1 ;2 ; 3; 5}
Se observa que D no está contenido en E, ese 
caso se denota: D Ct E
Igualdad. Se dice que dos conjuntos son iguales 
cuando ambos poseen los mismos elementos.
Ejemplo:
A = {3n + 2 / n e Z A l < n < 4} 
B = {5; 14; 8; 11} 
se observa: A = B
A = B o A c B a B c A
Comparables. Se dice que dos conjuntos son 
comparables cuando solo uno de ellos está inclui­
do en el otro.
Ejemplo: dados los conjuntos:
A = {3; 5}
B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
C = {2; 4: 6; 7}
D = (4; 7}
Son conjuntos comparables: A y B; B y C; B y D; 
C y D.
Disconjuntos o ajenos. Dos conjuntos se deno­
minan disjuntos cuando no poseen ningún elemen­
to común.
Ejemplos:
C = {x / x es un hombre}
D = {x / x es una mujer}
.-. C y D son disjuntos
Si dos conjuntos son disjuntos ambos serán dife­
rentes.
Si dos conjuntos son diferentes, entonces, no 
siempre serán disjuntos.
Ejemplos:
E = {2; 5; a; b}; F = {3; 4; c; d}
E y F son disjuntos => E A F 
G = {1; 3; c; d; 7}; H = {2; 8; e; f; c}
G ^ H , pero G y H no son disjuntos 
A = {2; 3; a; b}; b = {2; 3; c; d} son diferentes 
pero no disjuntos.
Coordinables o equipotentes. Dos conjuntos se 
dirán que son coordinables cuando se pueda esta­
blecer una correspondencia uno a uno entre todos 
y cada uno de los elementos del primer conjunto 
con los del segundo conjunto. A dicha correspon­
dencia se le denomina blunívoca y como conse­
cuencia de estos se tiene que los cardinales de 
estos conjuntos son iguales (si son finitos).
Ejemplo:
I = {Lima, Caracas, Bogotá, Santiago}
A r itm é tic a ¡ 1 0 5
J = {Venezuela, Colombia, Perú, Chile}
Se observa que es posible establecer ¡a correspon­
dencia biunívoca:
!...es capital de...!
De ahí que I y J son coordinables mas aún: 
n(l) = n(J)
CONJUNTOS ESPECIALES
Vacío o nulo. Es aquel conjunto que carece de 
elementos.
Notación: o ; { }
Ejemplo:
A = {x / 0 < x < 5 A x2 = 100} = { } = 0
Observaciones:
VA: 0 c A 
0 V {0}
El vacío 0 es subconjunto de todo conjunto.
Unitario o singletón (singular). Es aquel conjunto 
que tiene un solo elemento.
P = {x / x > 0 a x2 = 9} = {3}
Universal. Es un conjunto referenclal para el es­
tudio de una situación particular, que contiene a 
todos, los conjuntos considerados. No existe un 
conjunto universal absoluto y se le denota gene­
ralmente por U.
Ejemplo:
A = {2; 6; 10; 12}
B = {x + 3 / x es impar A 0 < x < 10} 
podrán ser conjuntos universales para A y B:
U = {x/x e 1N A x < 13}
U = {0; 2; 4; 6; 8; ...}
CONJUNTO DE CONJUNTOS
También se le denomina familia de conjuntos o cla­
se de conjuntos; es aquel conjunto cuyos elemen­
tos son todos conjuntos.
Ejemplos:
C = «2; 3}; {3}; {a}; {6; b}; 0 }
D = {{a; b; c}; {2; 3; 6}; {6}; c; 8}
Se observa que:
C es familia de conjuntos 
D no es familia de conjuntos
CONJUNTO POTENCIA
El conjunto potencia de A, llamado también con­
junto de partes de A, es aquel que está formado 
por todos los subconjuntos posibles que posee el 
conjunto A.
Notación: P(A)
Ejemplo:
A = {x; y}
P(A) = {0; {x}; {y}; {x; y}} 
n[P(A)j = 4
Los subconjuntos 0 , {x}, {y} son denominados pro­
pios.
B = {x / x es primo y x < 10}
B = {2; 3; 5; 7} =» n(B) = 4
[Número de subconjuntos de B] = 24 = 16
[Número de subconjuntos propios de B] = 24 - 1 = 15
PAR ORDENADO
Es un conjunto de dos elementos para los cuales 
se considera el orden en que están indicados.
Notación: (a; b)
Se lee: par ordenado a, b 
a: primer componente 
b: segundo componente
(a; b) = (c; d) » a = c A b = d
■Ejemplo: (7; 2) ± (2; 7)
( 11; 8 ) = (11; 8 )
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Unión (u). La unión de dos o más conjuntos es 
aquel conjunto conformado por la agrupación de to­
dos los elementos de los conjuntos que intervienen.
A u B = { x / x e A v x e B }
U
AC O D B
1 0 6 I C o le c c ió n El P o s tu la n te
Ejemplo:
A = {2; 3; 5} B = {1; 7; 5} 
A u B = {2; 3; 5: 1; 7}
S i A c B s A U B = B
Intersección (n). La intersección de dos conjuntos 
A y B es el conjunto formado por ios elementos que 
pertenecen a A y B a la vez.
A n B = { x / x e A ó x e B }
U
Ejemplo:
A = {2; 3; 4; 5; 6}
B = {4; 6; 7; 9}
A n B = (4; 6}
S i A c B =» A n B = A
Si A y B son disjuntos, A n B = o
Diferencia ( - ) . El conjunto diferencia (A - B), en 
ese orden, es aquel que esté formado únicamente 
por los elementos exclusivos de A, es decir no de­
ben de pertenecer a B.
A - B = {x / x e A a x í B}
U
AC 2 3 B
Ejemplo:
A = {2; 4; 5; 6: 7; 8}
B = {1; 3; 6; 7; 9}
.-. A - B = {2; 4; 5; 8}
B - A = {1; 3; 9}
Observación:
Si A y B son disjuntos A - B = A y B - A = B
Diferencia simétrica (A). La diferencia simétrica 
de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por 
los elementos que pertenecen a A o B pero no a 
ambos.
A A B = { x / x e ( A u B ) A x í ( A n B ) }
Ejemplo:
A = {2; 4; 5; 6; 7; 8}
B = {1; 3; 6; 7; 9}
A A B = {2; 4; 5; 8; 1: 3; 9}
S i A c B ^ A A B = B - A 
Si A y B disjuntos, A A B = A u B
Complemento de A (CA; Ac; A; A’). El comple­
mento de A es el conjunto formado por los elemen­
tos que pertenecen al conjunto universal (U) pero 
no al conjunto A.
Ac = { x / x e U a x í A) = U - A
Ejemplo:
U = {x / x e IN A x < 8}
A = {1; 3; 4}
.-. Ac = {0; 2; 5; 6; 7}
CONJUNTO PRODUCTO 0 PRODUCTO CARTESIANO (X)
Dados los conjuntos A y B se define el conjunto 
producto como:
A x B = {(a; b) / a e A A b e B}
Ejemplo:
A = {a: b; c}; B = {1; 3}
A x B = {(a; 1); (a; 3); (b; 1); (b; 3); (c; 1); (c; 3)} 
B x A = {(1; a): (1; b); (1; c); (3; a); (3; b); (3; c)} 
Si A = B = > A x B = B. x A 
Si A y B son finitos, entonces: 
n(A x B) = n(A) x n(B)
S i A x B = B x A => A = B v A = 0 V B = o
DIAGRAMAS PARA A x B 
Cartesiano
(a; 3) (b: 3) (c; 3)
-T---------t --------- t
j(_b, 1_)_ J(c; 1)
I I I
_1------------L---------- 1---------►
a b c a
B A
3 -------
1 -------
A r itm é t ic a | 1 0 7Sagital
Diagrama de carrol (para conjuntos)
A Á
A n B B - A B
A - B Á n B B
LEYES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 
Idempotencia
A U A = A 
A n A = A
Conmutativa
A u B = B u A 
A n B = B n A
Asociativa
(A u B) u C = A u (B u C)
( A n B) n C = A n (B n C)
Distributiva
A u (B n C) = ( A u B) n ( A u C)
A n ( B u C) = ( A n B ) u ( A n C)
De Morgan
(A u B)c = A c n B°
(A n B)c = A c u Bc
Del complemento
A u A c = U 
A n A c = 0 
(Ac )c = A
De la unidad
A U U = U 
A n U = A
A u 0 = A 
A n 0 = 0
De absorción
A U (A n B) = A 
A n (A u B) = A 
A u (Ac n B) = A u B 
A n (Ac u B) = A n B
Adicional
A - B = A n Bc 
(U)c = o 
(0 ) c = U
RELACION BINARIA
Considera el conjunto A = {2; 3; 5} la representa­
ción gráfica mediante un diagrama cartesiano deí 
producto A x A es el siguiente:
A |
5
3
2
(2; 5) (3; 5) (5; 5)
<2;3J - ) 5; 3>
I I
(2;2) |(3 ;2 ) 1(5:2)
■ - - T f
¿Cuáles son los elementos del conjunto de A x A 
tal que la suma de sus componentes es 6 o mayor 
que 6?
Llamemos R a ese conjunto de pares ordenados 
que cumplen dicha condición, entonces:
R = {(2: 5); (3: 3); (3: 5); (5; 2); (5; 3); (5: 5)} 
Decidimos que R es una relación binaria definida 
sobre e! conjunto A.
Si R es una relación binarla y (a; b) e A x A, tal que 
(a; b) e R, entonces, se denota; a R b y se lee: a se 
relaciona con b o a está relacionado con b.
Del ejemplo anterior:
2 R 5, 3 R 3, 2 R 5, 3 R 5, 5 R 2, 5 R 3, 5 R 5.
PROPIEDADES QUE PUEDE PRESENTAR UNA RE­
LACIÓN BINARÍA
A. Propiedad reflexiva
Considere el conjunto A = {1; 2; 3; 5} y en el la 
relación R c A x A, tai que:
(a; b ) E R » a + b, número par 
Es decir: a R b » a + b: número par. 
Entonces: R = ((1: 1): (2: 2 ): (3:3): (5 :5 ): (1:3); 
(1 :5); (3; 1); (3; 5); (5; 1); (5; 3)}
Se observa que por medio de la relación R, 
todo elemento del conjunto A se relaciona 
consigo mismo. Por esta razón, se dice que la 
relación R posee la propiedad reflexiva.
En general: una relación R definida sobre 
un conjunto A posee la propiedad reflexiva,
1 0 8 j C o lec ció n El Po s tu la n te
cuando todo elemento de A esta relacionado 
consigo mismo.
B. P ropiedad s im é trica
Considera el conjunto B = {2; 3; 4; 5} y la re­
lación R definida por: a R b, si y solo si, ab es 
un número par, es decir: 
a R b o a b : número par 
Entonces:
R = {(2; 2); (2; 3): (2; 4); (2: 5); (3; 2); (3; 4):
(4; 2); (4: 3); (4: 4); (4: 5); (5: 2); (5: 4)} 
Observa los pares:
(2; 3) (3; 2)
(2; 4) (4:2)
(2; 5) (5:2)
(3; 4) (4:3)
(4; 5) (5; 4)
Donde si un elemento se relaciona con otro, 
este se relaciona con el primero. Por ello la 
relación R posee la propiedad simétrica.
En genera l: una relación R definida sobre un 
conjunto A posee la propiedad simétrica: Si 
cuando (a; b) e R, entonces (b; a) e R, lo que 
es lo mismo; a R b => b R a.
C. Propiedad tran s itiva
En el conjunto C = {17; 12; 27; 47}, considere 
la relación R, definida por: a R b; si y soio si, a y 
b tienen la misma cifra de unidades, entonces: 
R = {(17; 17); (17; 27): (17; 47); (27; 17); (27; 27);
(27; 47); (47; 17); (47; 27); (47; 47)}
Se observa que, si:
(17; 27) y (27; 47) luego (17; 47) e R
(27; 47) y (47; 17) luego (27; 17) e R
(47; 17) y (17; 27) luego (47; 27) e R
I L J j
Por ello se afirma que la relación R posee la 
propiedad transitiva.
En g e n e ra l: una relación R, defin ida en el 
con junto A posee ia propiedad trans itiva ,
si cuando (a: b) e R y (b; c) e R, entonces, 
(a; c) e R.
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
Consideremos ei conjunto: A = {3; 4; 6; 7} y en ia 
relación dada por el siguiente criterio: ios números 
de A están relacionados, si al dividirlos entre 3 dan 
el mismo resto.
Observemos las divisiones:
3 L l _ 4 L 3- 6 L l _ 7 La _
0 1 1 1 0 2 1 2
Los números de 3 y 6 dan el mismo resto (0), 
luego están relacionados.
Los números de 4 y 7 dan el mismo resto (1), 
luego están relacionados.
Formando ei conjunto R con los números que 
se relacionan:
R = {(3; 3); (6; 6); (3; 6): (4; 4): (7; 7); (4; 7);
(7; 4)}
Se observa que R posee las propiedades: re­
flexiva, simétrica y transitiva, se dice por elio 
que es una relación de equivalencia.
Ademas los elementos de A que están relacio­
nados entre si, se llaman elementos equiva­
lentes, en A lo son:
3 y 6 (resto 0)
4 y 7 (resto 1)
En genera l: una relación R definida sobre un con­
junto A se dice que es de equivalencia, si tiene las 
propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.
Es decir si:
a R a, para todo a e A
a R b =» b R a
si a R b y b R c, luego a R c
Si R es de equivalencia y a R b, decimos que
a es equivalente a b.
CLASES DE EQUIVALENCIA
Consideramos de nuevo ia relación de equivalen­
cia definida en el conjunto A = {3; 4; 6; 7}
Los subconjuntos formados por los elementos que 
están relacionados entre sí (elementos equivalen­
tes) se llaman clases de equivalencia.
En ei conjunto A:
3 y 6 están relacionados, luego conforman 
una clase de equivalencia.
A r itm é t ic a | 1 0 9
4 y 7 están relacionados, luego conforman 
otra clase de equivalencia, es decir, se tienen 
dos clases de equivalencia.
C i = {3; 6}
O-, es la clase de 3 o 6.
Otra notación es:
[3] = [6] = {3: 6}
C2 = {4; 7}, luego:
[4] = [7] = {4; 7}
Gráficamente:
Observa que estas clases de equivalencia tie­
nen las siguientes propiedades:
1. Todas las clases tienen algún elemento, es 
decir, ninguna clase es el conjunto vacio.
2. Las clases distintas son disjuntas, es de­
cir, no tienen elementos comunes.
3. La unión de las clases de equivalencia es 
el conjunto A.
Toda relación de equivalencia establecida en 
un conjunto, determina en este conjunto una 
clasificación o partición en clases de equiva­
lencia.
Hemos visto que los elementos de:
A = {3; 4; 6; 7} han quedado clasificados en 
dos subconjuntos o clases de equivalencia C-i 
y C2 por la relación R: dan el mismo residuo al 
dividir entre 3.
Considera el conjunto cuyos elementos sean 
las clases de equivalencia {C-i, C2}.
Este nuevo conjunto se llama conjunto co­
ciente de A respecto a la relación R y se re­
presenta por:
A = { C l;C 2} = { [3 ],[4 ]}
= {[6 ], [7 ]}
EJERCICIOS RESUELTOS
Un estudiante salió de vacaciones por n días, 
tiempo durante el cual:
Llovió 7 veces en la mañana o en la tarde.
• Cuando llovía en la tarde, estaba despeja­
da la mañana.
Hubo 5 tardes despejadas.
• Hubo 6 mañanas despejadas.
Según esto, hallar n.
R eso luc ión :
Como al llover en la tarde no llueve en la ma­
ñana, es imposible que llueva todo el día, en­
tonces:
Mañanas despejadas despejadas llueve
n
0 Ü
a
Tardes despejadas llueve despejadas
n b
- t u -
Por dato: 
a + b = 7
4 T
n - 6 + n - 5 = 7 
2n = 18 => n = 9
En un grupo de 55 personas, 25 hablan in­
glés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres Idio­
mas. ¿Cuántas personas del grupo hablan 
dos de estos idiomas?
R eso luc ión :
Usando los diagramas de Venn-Euier
b + n + p = 27 
c + m + p = 28
1 1 0 | C o lec ció n El Po s tu la n te
Sumando:
a + b + c + 2(m + n + p) = 75 ...(a)
Pero: a + b + c + m + n + p = 50 
En: (a)
50 + m + n + p = 75 
m + n + p = 25
3. ¿Cuántos subconjuntos se formarán con 6 
elementos?
R eso luc ión :
El número de subconjuntos que tiene un con­
junto A, es igual al número de elementos que 
tiene el conjunto potencia de A.
Es decir:
n(P(A)) = 2niA) = 26 = 64
4. A, B y C son tres conjuntos tales que satisfa­
cen las condiciones siguientes:
• A está contenido en B y B está contenido 
en C.
Si x es un elemento de C, entonces, x tam­
bién es un elemento de A.
¿Qué concluimos de las condiciones?
R eso luc ión :
De las condiciones deducimos que:
A c B A B c C ^ A c C (transitiva) ...(1)
51 x e C => x e A =» C cA (in c lu s ió n ) ...(2) 
De (1) y (2) concluimos que:
A = B = C
5. Sean A, B dos conjuntos contenidos en un 
universo. Si: (A - B) u (B - A) = A u B 
¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? 
I. A = A - B II. A n B V 0
III. B c A ' IV. (A n B)' d A u B
R eso luc ión:
Si (A - B) U (B - A) = A u B, quiere decir que 
A y B son conjuntos disjuntos. Analizando al­
ternativas:
I. A = A - B (verdadero)
II. (A n B) ^ 0 (falso)
III. B c A '(verdadero)
IV. (A n B)c d (A u B) (verdadero)
Respuesta: II
6. Una persona come huevos y/o tocino en su 
desayuno cada mañana durante el mes de 
enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 
18 mañanas. ¿Cuántas mañanas comió hue­
vos y tocino?
R eso luc ión :
Gráficamente:
huevos (18) tocino (25)
Como todo ocurre en el mes de enero (31 
dias), entonces:
18 - x + x +25 - x = 31 => x = 12
7. El circulo A contiene a las letras a, b, c, d, e, f. 
El círculo B contiene a las letras b, d, f, g, h. 
Las letras del rectángulo C que no están en A 
son h, j, k y las letras de C que no están en B 
son a, j, k. ¿Cuáles son las letras que están en 
la figura sombreada?
R eso luc ión :
Por dato sabemos que:
C
A = {a, b, c, d, e, f}
B = (b, d, f, g, h}
C — A = (h, j, k}
C - B = (a, j, k}
Entonces:
A n B = {b, d, f}, luego del gráfico. 
Figura sombreada: (a, b, d, f, h}
A r itm é tic a | 1 1 1
rEJERCICIOS PROPUESTOS I I
1. Coloca el valor de verdad a cada proposición, 
si: A = {8; 3; {2}; {1; 3}}
I. 3 e A II. 2 e A III. 8 e A
IV. {3} V A V. 3 e { 1 ; 3 } VI. 4 V A
Indicar la cantidad de proposiciones verdade­
ras:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Dado el conjunto: A = {o ; 3; {O }; {2; O}} 
¿Cuántas proposiciones son verdaderas?
I. 0 e A II. 0 c A III. 1 c A
IV. { 3 } c A V. {o }e P (A ) V l . o e P ( A )
V I I . Oc P ( A )
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7
3. Dado el conjunto:
A = {2; {3}; {3; 5}}
B = {3x / x es un número natural entre 0 y 5} 
C = {x / x es un subconjunto propio de A} 
¿Cuál de las siguientes proposiciones es ver- 
dera?
I. {3; 5} c A il. ( 3 ) e B
III. {3; 6 } e P(B) IV. {2: {3}} c P(A)
V. {3: 6} c P(B) VI. {3} e P(C)
VII.C c A
a) I 
d) VI
b) II
e) VII
c) I
4. Halla el cardinal del conjunto:
M = { x e I N / 1 0 < 3x2 < 39}
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
5. Dado el conjunto: B = {x + 3 / x e TL\ x2 < 9}, 
calcula la suma de los elementos del conjunto B.
a) 3 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18
6. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene:
A = {x / x e 2; - 7 < 4x + 1 < 21}?
a) 64 
d) 15
b) 63
e) 31
c) 16
7. Determina por extensión el conjunto
„ 3
A = x / x = -
12 + x
; x e N
a) {0; 4} b) {4}
d) { -3 ; 4} e) { -3 }
SI:
A = í — - — / - e IN; 1 < x < 9 
1 3 2
B = / n e Dí, 2 < n < 6
c ) { - 3 ; 0; 4}
Halla el número de elementos comunes entre 
A y B.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
9. Representar por extensión los siguientes con­
juntos
A = j i i ! ± l / 0 < x < 7 A
B = Jx2 /1 < 2 L ± ! < 2 ,x e 2
Halla el n[P(C)j donde:
C = {x / x e A a x e B}
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8
10. Indicar el número de elementos del conjunto:
A = jx + 1 / ,J 3x_f_1 £ M . x < 24}
a) 194/3 b) 68/3 c) 34/3
d) 196/3 e) 109/3
11. SI se cumple que:
A = {2a + b; 17}
B = {b + 1; 3a - b} 
son conjuntos unitarios.
Halla la suma de todos los elementos de A y B.
a) 25 b) 27 c) 30 d) 35 e) 42
12. Sabiendo que el conjunto:
A = {a + b; a + 2b - 2; 10}
es un conjunto unitario. Dar el valor de a2 + b2.
a) 16 b) 80 c) 68 d) 58 e) 52
112 | C o lec ció n El Po s tu la n te
13. Si p y q son números enteros y 
{p2 + q; q + 2} = { -9 ; 10}
Calcula el menor valor que puede tomar p + q.
a) 10 b) 11 c) - 1 2 d) 12 e ) - 1 0
14. Si A y B son conjuntos dlsjuntos; además:
4 n(A) + n(8) _ -j g3
Calcula n(A u B)
17.
a) 8
16.
b) 12 c) 16 d) 18 e) 32
15. Sea A = {a + b; 15; b2 + c}
B = {a + 3; d2 - 1}
Si A es singleton e igual a B. Calcula el míni­
mo valor del promedio de a; b; c y d.
a) 6,25 
d) 4,25
b) 6 
e) 4,05
c) 5,05
La suma del número de subconjuntos unita­
rios con el número de subconjuntos binarios 
de A es igual a 55.
Halla n(A).
a ) 5 b) I c) 10 d) 12 e) 15
Para 2 conjuntos comparables donde uno de 
ellos tiene 3 elementos más que el otro, se 
cumple que la suma de los cardinales de sus 
conjuntos potencia es 576. ¿Cuántos elemen­
tos tiene el que está incluido?
a) 8 b) 10 c) 7 d) 6 e) 9
U1
lll 1. d 5. d 9. c 13. c 17. d
> 2. e 6. b 10. d 14. c
<
1 3. c 7. a 11. a 15. d
□ 4. c 8. c 12. c 16. c
[ "e je rc ic io s PROPUESTOS 2 \
Para 3 conjuntos A, B y C se cumple: 
n(B) = 60, n(B - A) = 38, n(B n C) = 20 
Además: 3n(A n B) = 11 n(A n B n C)
Halla: n[(a A b) n (A u C)']
A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27
2. Se tienen 2 conjuntos comparables A y 
donde se cumple que: 
n (A u B) + n (A n B ) = 30 
n[P(A - B)] = 256 
Halla: nP[Ac n (A u (A A B))]
a) 32 
d) 1
b) 2048 
e) 256
c) 64
Considere 3 conjuntos A; B y C contenidos en 
U tales que:
B n A = B; n(C - A) = 50 
n ( A n C ) = 2n(B - C) 
n [(A n B)' - C] = n(C) = 90 
Halla: n(U)
a) 180 
d) 135
b) 195 
e) 140
c) 200
Para 2 subconjuntos A y B de U se tiene:
• n(A) - n(B) = 3
• n [P (A u B)] = 2048
• n[P(A n B)] = 16
• n(B') = 9 
Calcula: n[P(A')j
a) 32 
d ) 1024
b) 64 
e) 512
c) 128
Durante el mes de enero, Juan salió a pasear 
con Ana o Bety. Si 16 días paseo con Ana y 
22 días con Bety. ¿Cuántos días paseo con 
ambas?
a) 5 b) 6 c) 7 d ) l e) 9
Sí un conjunto A tiene n elementos y un con­
junto B que tiene 2n elementos origina 992 
subconjuntos más que A.
¿Cuántos subconjuntos tiene (A A B) si se 
sabe que (A n B) tiene 3 elementos?
a) 64 
d) 512
b) 128 
e) 1024
c) 256
De 52 estudiantes, 30 son hombres y 12 mu­
jeres tienen 20 años. Si 20 de dichos estu­
diantes tienen 20 años. ¿Cuántos hombres no 
tienen 20 años?
a) 10 
d) 22
b) 20 
e) 132
c) 30
A r it m é t ic a | 1 1 3
8. En un salón de la PRE hay 43 alumnos: 5 son 
mujeres que estudian aritmética, 28 son hom­
bres y el número de hombres que no estudian 
aritmética es el doble del número de mujeres 
que no estudia aritmética.
¿Cuántos hombres estudian aritmética?
a) 5 b) 8 c) 10 d) 20 e) 18
9. De 76 alumnos; 46 no estudian Álgebra, 44 no 
estudian Física y 28 no estudian ni Álgebra ni 
Física, entonces, ¿cuántos alumnos estudian 
Álgebra y Física?
a) 18 b) 16 c) 14 d) 20 e) 12
10. En una óptica de una muestra de clientes se 
sabe que el 45% son varones; el 80% tiene 
ojos verdes y el 30% son varones con ojos 
verdes. Calcula el porcentaje de clientes mu­
jeres, que no tienen ojos verdes.
a) 31,5% b) 30% c)27,6%
d) 40% e) 29,8%
11. Se realizaron las 3 primeras prácticas de la 
PRE a la cual se presentaron 300 alumnos. 
Además se sabe que: 170 aprobaron la 
primera prueba, 150 la segunda y 130 la 
tercera, 50 aprobaron la primera y la segunda, 
70 la primera y tercera, 80 la segunda y 
tercera y 10 no aprobaron ninguna. ¿Cuántos 
escolares fueron admitidos, si solo necesitan 
aprobar 2 pruebas?
a) 160 b) 130 c) 126
d) 154 e) 182
12. En una encuesta a un grupo de 130 personas,
se encontró la siguiente información: 10 muje­
res no tenían hijos, el número de hombres sin 
hijos era el triple de las mujeres que tenían hijos 
y esta cantidad era la mitad de hombres que 
tenían hijos. ¿Cuántos hombres tenían hijos?
a) 38 b) 40 c) 42
d) 48 e) 54
13. De una muestra de 100 artículos se realiza 
un estudio de su calidad considerándose 3 
defectos A, B, C como los más importantes. 
Obteniéndose el siguiente resultado:
41 tienen el defecto A o B pero no C 
46 tienen el defecto B o C pero no A
42 tienen el defecto A o C pero no B
39 tienen exactamente dos defectos, los que 
tienen 3 defectos son la tercera parte de los 
que no tienen ninguno.
¿Cuántos artículos tienen por lo menos un de­
fecto?
a) 45 b) 84 c) 88
d) 90 e) 92
14. De un grupo de 200 personas se determina . 
que 80 eran mudos, 70 eran cantantes y 90 
eran ciegos, de estos últimos los mudos eran 
tantos como los cantantes. ¿Cuántos de los 
que no son ciegos son cantantes, si los que 
no son cantantes ni mudos ni ciegos son 20?
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
15. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con 
minifaldas, 28 varones con corbata, 40 porta­
ban casaca, 17 varones con corbata no tenían 
casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no 
minifaldas. ¿Cuántos varones con casacano 
llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaban 
minifalda ni casaca y 28 señoritas no llevaron 
casaca?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 11 e) 13
1. b 5. c 9. c 13. c
2. d 6. d 10. e 14. d
3. c 7. d 11. a 15. c
4. d 8. b 12. b
NÚMEROS RACIONALES
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Se conoce que las operaciones de adición, sus­
tracción y multiplicación están bien definidas en el 
conjunto de los número enteros TL, es decir, que la 
suma, diferencia y producto de dos números ente­
ros, es otro entero (ley de clausura o cerradura).
E jem plo:
Sean los números enteros 13 y 7 
Luego:
13 + 7 = 20 ...(20 e Z )
1 3 - 7 = 6 ...(6 e TL)
1 3 x 7 = 91 ...(91 e TL)
Sin embargo la división es una operación que está 
parcialmente definida, pues el cociente no siempre 
es entero.
Por ejemplo:
^ = 4 ( 4 e 2 ) • ^ = c ( c í í )
5 7
Como en la vida diaria se van a dar estos casos, 
es necesario ampliar el conjunto de los números 
enteros.
Empezaremos tomando a los números enteros en 
pares ordenados, denotándolo a través de la divi­
sión, como por ejemplo:
• (5; 3) = | - ( - 8 ; 2 ) = z ^
• (0 ;9 ) = | • (7:0) = J
indeterminado
Luego hay que tener cuidado que la segunda com­
ponente del par ordenado no sea cero.
Formemos el conjunto TL x TL*, donde:
TL = {...; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0; 1; 2; 3; ...}
ZZ* = { ...-3 ; - 2 : - 1 ; 1; 2; 3; ...}
Gráficamente:
TL x TL* = {(a; b) / a e TL A b e TL* }
(a; b) representa ^ 
b
Observando algunos pares y denotando las 
componentes mediante la división:
...(2 :4 ) (4; 8) (6; 12)
2 4
4 8 12
son equivalentes
La observación nos permite indicar que estos 
cocientes son equivalentes; pero si nos pre­
guntaran: ¿los cocientes 18/24 y 15/20 son 
equivalentes?
Necesitamos un fundamento teórico para res­
ponder dicha pregunta.
En el conjunto TL x TL*\ definimos la siguiente 
relación:
(a; b) = (c; d) cuando ad = be 
Luego a/b = c/d
Ejem plos:
• ^ = ^ , porque 8(10) = 16(5)
• ^ = - ^ , porque ( -9 ) ( -4 ) = 6(6)
Se puede probar que la relación » es una re­
lación de equivalencia en el conjunto TL x TL*, 
por verificar las propiedades: reflexiva, simé­
trica y transitiva.
Al ser a una relación de equivalencia, deter­
mina en TL x TL* una clasificación en clases de 
equivalencia y en cada clase están todos los 
pares equivalentes entre sí.
Por ejemplo:
• ~ (_ 2; - 4 ) = ( -1 ; - 2 ) ~ (1; 2) = (2; 4) a
( 3 : 6 ) * . . .
.. - 2 „ - 1 1 . 2 . 3.
- 4 ~ - 2 2 ~ 4 ~ 6 ’ " '
Luego todos ellos conforman una clase de 
equivalencia:
I 1
V " - 4 ~ - 2 ~ 2 4 6 ’ j
A r it m é t ic a ¡ 1 1 5
Asimismo, cualquiera de ellos puede ser to­
mado como un representante de la clase, por 
ejemplo: 2/4 y la notación sería en ese caso.
[21 | - 2 . -1 . 1. 2. 3- IUJ [ - 4 ’ - 2 ’ 2 ’ 4 ’ 6’"'|
f l l - í zA- - 2 . 2. 4. 1UJ 1-6’ - 3 ’ 3 ’ 6’ 9 ’ " j
En cada clase de equivalencia de los infinitos 
representantes que tiene, hay uno en particular, 
aquel cuyas componentes son primos entre sí, 
el cual es denominado representante canónico. 
Por ejemplos, en la siguiente clase de equivalencia. 
[61 = f ^ 6 . ^_3. 3. 6. _9_. 1 
[ 8 J V —8 ’ - 4 ’ 4 ’ 8 ’ 12’ J
| ^ j es el representante canónico de las clase,
porque: 3 y 4 son PESÍ.
Cada una de las clases de equivalencias de­
terminadas en Z x Z* es denominado número 
racional, luego son número racionales:
[21 [ ~ 4 [. [ 21. [61. 
í 4 J’ [ 3 J’ Í3J’ [ 8 J'
Observación:
No hay un par que esté en 2 clases.
El conjunto cociente:
2i x 7 l *
— 7 — cuyos elementos son las clases de
equivalencia, es decir, los números raciona­
les, se representa por ©.
Zx ^ * = © = j | | J / (a; b) e Z x TL * j
— : número racional 
I b J
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE © COMO PARTI-
Observaciones:
1. El conjunto © es un conjunto de conjuntos, 
donde cada número racional (clase) tiene infi­
nidad de representantes.
2. La gráfica de cualquier clase — ' son puntos
LbJ
que pertenecen a una recta que pasa por el 
origen y cuya pendiente es b/a.
Se tiene que:
(1; 2) a (2; 4) a ( -1 ; - 2 ) = ...
1 2 - 1
2 4 - 2
1 _ 2 _ - 1 
2 4 - 2
(Forma usual)
De modo que cuando hablemos del número
r 1 1racional — simplemente diremos:
1 2 - 1— 0 — 0 —— o...
2 4 - 2
ses 7 con n e Z ; luego: Z e® .
El conjunto Z coincide con ei conjunto de cla- 
n]
J J
DENSIDAD DE UN CONJUNTO
Un conjunto A es denso respecto a la relación de 
orden (< ), si para dos elementos cualquiera a y b 
de A (a < b), existe un elementos c de A, tal que 
a < c < b.
Es importante darse cuenta que sea cual fuera el 
punto que se elija hay una infinidad de números 
racionales próximos a él. Pese a lo anterior, no es 
posible que los números cubran toda la recta nu­
mérica, es decir todavía presenta vacíos los cuales 
corresponden a otros números llamados números 
irracionales (conjunto denotado como ©* o H), por 
ejemplo:
72; — 72; V3; — / 3 ; ...
Los cuales no provienen de dividir 2 números en­
teros.
NÚMEROS FRACCIONARIOS
Son aquellos números racionales :¡ue no son en­
teros.
J L - 11- ^ 1 -
- 3 ’ 5 ’ 4 ' - 3
Son números no son números
fraccionarios fraccionarios
1 1 6 | C o lec ció n El Po s tu la n te
FRACCION
Son aquellos números fraccionarios cuyos térmi­
nos son positivos.
10. _5_. 7. _4_. -16. J2_. -_10 
8 ’ 2 0 ’ 3 ’ 18 ’ - 4 ’ - 8 ' - 6
Si F es fracción: 
l_ _ a •*—-N um erado r 
B ■*— Denominador
Donde: A, B e S+ a A # B
interpretación:
El denominador indica las partes iguales en 
que se divide la unidad (o el todo).
El numerador representa las partes de la uni­
dad (o el todo) que se toman o consideran.
CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES
A
Sea la fracción: —
1. Por la comparación de su valor respecto a 
la unidad
Propia Impropia
CQV 
<V
 
< 
| CQ ro
|> V > V
 
OD
4. 5. 16 
7 ’ 9.’ 18
20. 12. 16 
8 ’ 9 ’ 10
cVlata:
Una fracción impropia también se puede ex­
presar del siguiente modo:
20 [_8_
4 2
20 = 2 i 
8 8
fracción mixta
2. Por su denominador
Siendo k un entero positivo.
Decimal Ordinaria
OIICQ B A 10k
_3_. 25_. _32_ 
10’ 102’ 103
3. 18. 25 
7 ’ 12' 15
3. Por ia cantidad de divisores comunes de 
sus términos
Irreducible Reducible
A y B son PESÍ 
MCD(A; B) = 1
A y B no son PESÍ
MCD(A; B) A 1
10. 15. 23 
13' 32 ’ 16
18. 20. 20 
12’ 36 ’ 16
Observaciones:
AI. Si: F = — es un fracción reducible, enton­
ces: MCD(A; B) = d 
A = d x p ; B = d x q
t__________ í
son PESÍ
F = A = d£ = P 
B dq q
F = — irreducible
q
A partir de un fracción irreducible se pue­
den obtener todas las fracciones equiva­
lentes a ellas.
_6_
10
_9_
15
1 1 
20 '
3n
5n
; (n 6 T )
4. Por grupo de fracciones
Homogéneas Heterogéneas
Todos tienen igual 
denominador
Al menos un deno­
minador es distinto 
a los demás.
3 . 5 . 11. 20 
12’ 12’ 12’ 12
10. 2. 6. 7 
8 ’ 8 ’ 8 ’ 3
De un grupo de fracciones homogéneas será 
mayor aquella que presenta mayor numerador.
11. 20. 6. 12. 18
— es mayor.
De un grupo de fracciones con igual numera­
dor, será mayor aquella que presente menor 
denominador. De! siguiente grupo:
20 . 2 0 . 2 0 . 20 . 20 
7 ’ 16 ’ 12 ’ 3 ’ 9
20~ es mayor.
A r itm é t ic a I 1 1 7
PROPIEDADES
1. Siendo n e Z T
••• Í1 < h
Ejem plo:
f, = A < 1 y f J L t L = 19.
12 ' 2 12 + 2 14
_8_ < 10 
' ' 12 ' 14
fi > f2 
E jem plo:
fl = 10 > f 10 + 5 = 15
1 4 y 2 4 + 5 9
• 1 9 > 1 9
" 4 9
2. Dadas !as fracciones irreducibles:
fi = r Y h = —. se cumplen que:
b d
Si: ^ = k , entonces: b = d (k e Z)
b a
3. Dadas las fracciones irreducibles:
f, = —. f2 = f3 = -m n p
Se cumpie que: 
M CM (fi;f2; f3) :
MCM(f,; f2; f3) =
MCD(a; b; c) 
MCM(m; n; p) 
M C M (a;b ;c)
MCM(m; n; p)
NÚMEROS AVALES
Son aquellos números que resultan de dividir los 
términos de una fracción en un determinado siste­
ma de numeración.
Fracción Número
■ Z19 = 9 34 2 5 
8 decimal
. 53 125í6;
6~ = 10mi =
exaval
. 8 6 _ 321i5¡
25 100,si 3 ' 21(5)
pentavai
Todo número aval presenta dos partes: 
Parte
Entera Aval
1 5 3 2 . 4 1 3(8¡
coma octava!
En generai:
amam- 1arr¡-2- ■a1a0,aía2— ¡V -' (k>
Cada cifra de la parte entera y aval ocupa un orden. 
De la parte entera empieza del orden 0 y de ¡a par­
te aval del orden -1 de! siguiente modo.
Orden
2 1 0 
N = 4 2 3 4, 
-1
5 2,(6)
-3 - 4
Orden
Orden
1 0 
= 5 2, 3 5 *(7)
-1 - 2 - 3 
Orden
De esto podemos señalar que un número aval ad­
mite una descomposición.
De los números anteriores N y M.
N = 4 x 62 + 2 x 6 + 3 + 4 x 6~1 + 1 x 6~2
+ 5 x 6” 3 + 2 x 6~4 
M = 5 x 7 + 2 + 3 x 7-1 + 5 x 7~2 + 4 x 7“ 3 
La cual también se puede expresar:
ísl = 4 x 62 + 2 x 6 + 3 + — + -4r + ~cr + -%
6 6 6 6
M = 5 x 7 + 2 + | + 4 + 47 72 y 2
Para mayor comodidad en el estudio de ios núme­
ros avales, de aquí en adelante emplearemos nú­
meros que solo presenten parte aval.
E jem plos:
0,315(7) = ^ + -L
0,2323.. '(5 ) ;
1 1 8 | C o le c c ió n E l P o s tu la n te
CLASIFICACION DE LOS NUMEROS AVALES
Dependiendo de la división de los términos de la 
fracción, se tendrá también las clases de los nú­
meros avales.
Ejemplo:
Expresar las fracciones:
7 4 5—: — y — como números decimales y las fraccio-
8 11y 12
7 - 2 
8 ’ 5
11
12
= 0,875
= 0, 3636
11
4 - = 0,411666 
12
como números tetravales
La división fue: 
exacta
0,32,(4)
1 = 0 , 1 2 1 2 ...(4)
11
12
= 0, 3222 ... (4)
inexacta
inexacta
exacta
inexacta
inexacta
Esto quiere decir que los números avales, solo 
pueden ser exactos o inexactos. Para ello trabaja­
remos con la fracción propia e irreductible.
A 
B
F =
Numero aval exacto. Cuando al dividir los térmi­
nos de la fracción la división fue exacta esto impli­
ca que la cantidad de cifras de la parte aval es limi­
tada. Encontrar el numero aval exacto no demanda 
mucho es fuerzo, solo es necesario efectuar la di­
visión de los términos de las fracción. Sin embargo 
determinar que fracción genera el numero aval, re­
quiere de todo un procedimiento, que pasaremos 
a estudiar.
Ejemplos:
= 0,24 
100F, = 2 4
F2 = 0,24 
1000F2 = 24
F3 = 0,23(6)
F ,=
24 _ 6 6
102 25 52
. 875 _ 7 _ 1_
" 103 8 23
(6)
Fs = -
23,(6) _5_ = 5
12 22 x 3
F42 = 0,134(6) 
1000,6)F4 = 134,(6)
F4 = -
134(6) 29
108
29
22 x 33
Luego podemos afirmar que F genera un nú­
mero aval exacto, si y solamente si, B admite 
como únicos divisores primos, o por lo menos 
uno de los divisores primos de la base. 
Además, la cantidad de cifras en la parte aval 
lo indicará el mayor exponente de los factores 
primos de B.
Luego, en general:
k cifras
F = 0 ,a b c .
abc...x,(n)
(n) '
fracción generatriz
Número aval inexacto. Cuando al dividir los térmi­
nos de la fracción la división resulto inexacta, esto 
implica que la cantidad de cifras de la parte aval 
sea limitada.
Ejemplos:
- i- = 0,3636. 
11
El bloque de cifras 36 se repite en forma ordenada 
y periódicamente de aquí que se denomina periodo
— = 0, 41666...
12
La cifra 6 se repite en forma periódica, por lo tanto, 
es el periodo del número aval, sin embargo existe 
el bloque 41 que ya no se repite, a la cual se le 
denomina parte no periódica.
De acuerdo a los resultados, se observa que estos 
números se dividen en dos tipos:
A. Número aval inexacto periódico puro. En
ese caso, también estudiaremos la forma de 
obtener la fracción que genera estos números.
Ejemplos:
F-i =0,242424... = 0,24
x 10'
/ n = u , 
102 F, = 242424. 
0,2424...
(102 - 1 ) F 1 = 2 4
A r itm é tic a | 1 1 9
Fi = - 24 24 8
102 — 1 99 33
F1 = 0,24 = | ^ = 8
x 103
99 33
F2 = 0,135135135... = 0 ,135
103 F2 = 135,135135...
= 0,135135...
(103 - 1 )F 2 = 135
135 135
103 - 1 999 37
.-. F2 = 0,135 =
x 100,5, = 52
135 5
999 37
F3 = 0,3131.,.(5) = 0,31 
5 2 F3 = 31,3131...(5) \
'(5)
F, = 0,3131.
(52 — 1)F3 = 31
■(5)
(5)
F3 =
31 (5) = 31 (5) _ 16 _ 2
2 — 1 44(5, 24 3
••• F3 = 0,31 (5 ) -
(5)
31,
44,
F4 = 0,301301301...(5) = 0,301 (5)
53 F4 = 301,301301.,.(5) A 
F4 = 0,301301.,.(5) J
(53 ~ 1)F4 = 301 (5)
F4 = -
301 (5) 301 (5) _ 19 
3153 - 1 444,5)
301(6) 19
F4 — 0,301(5) —
444 (5) 31
Luego, podemos afirmar que F genera un número 
aval inexacto periódico puro si B no admite como 
divisores primos a ningún divisor primero de la 
base. Además; la cantidad de cifras en el perio­
do estará indicando por la cantidad de cifras del 
menos numeral formado por cifras máximas de la 
base, que contiene a B.
Para trabajar con números decimales (base10) es 
necesario conocer:
9 = 
99 = 3 x 1 1
999 = 33 x 37 
9999 = 32 x 11 x 101
99999 = 
999999
3 x 4 1 x 271
33 x 7 x 11 x 13 X 37
Luego, en general:
F = 0,abc...x(n) = 
k cifras
abc...x,(n)
n - 1
B. Número aval inexacto periódico mixto.
Analizaremos solo el caso para determinar la 
fracción que genera el número.
Ejemplos:
F, = 0,41666... = 0,416
Multiplicamos por 103 y 102 para formar dos
nuevos números:
. 103F, =416,666...
102F, =41,666...
1)F( = 4 1 6 - 4 1102(10 ■
Fi = 4 1 6 - 4 1 
102(1 0 - 1) 
F, = 0,416 =
4 1 6 - 4 1
416
900
900
-41 5
12
_5_
12
F2 = 0,2181818... = 0 ,21 8 
103F2 = 218, 181818... 
10F2 =2,181818...
10(102 - 1) F2 = 218 - 2
F? = 2 1 8 - 2
2 1 8 - 2
10 ( 102 - 
F2 = 0,218 =
i) 990 
2 1 8 - 2 = 12 
990 55
1?.
55
F3 = 0,2313131...(5) = 0,231(5) 
53 F3 = 213, 3131...(5)
F3 = 2,3131 ...(5)
5(52 — 1 )F3 = 231 (5) - 2
231(5)- 2 ( 5) 231
(5)
(5) - (5)
5(52 - 1) 
F4 = 0,13555...
440,(5) 15
(7)
7 F4 135, 555.„(7)
120 I C o lec ció n El Po s tu la n te
72 F4 = 135,555...(7)
■>(7) ~ 1 3(7)7 (7 - 1 )F 4 = 135(7
135(7 ) - 13(7) 135(7) - 13(7) 65
F4 = -
72(7 - 1) 600(7)
135(7) ~ 13(7, _ j35
600,7) 294
294
F4 — 0,135(7) —
(7)
Luego, en general:
F - O .a-^.-.ak b1b2...b(m)
F = ■
a1a2...akb1b2...bm(n) - a ia 2...nk|(n)
■ nk(nm - 1)
CAMBIOS DE BASE EN LOS NUMEROS AVALES
Numeral a base
0,55 =>5 = 0,55 = 0,23(5,
0,24(6) => 8 => 0,24(6) = 0,34(8)
1,43/f0,12,5) = 6 => 0,12,5) J (6)
0,23 (5) = 0,23(5) - 0,48(9)
Fracciones continuas simples (FCS)
Son expresiones de la siguiente forma:
• F, = 2 + — —
4 + i
1 + -
2 + -
F> = 2 -
F4 = 1
1
1
4 +
1
4 + ... 
1
1 + - 1
2 + - 1
1 + 1
2 + ...
Las cuales representantes convencionalmen­
te como:
F1 = [2; 4; 3]
F2 = [1; 3; 2; 4]
F3 = [2; 4; 4; 4;...]
F4 = [1; 1; 2; 1; 2; ...]
En general: 
Términos
Dónde: a0 e ZZ, a¡ e Z+, 1 < i
Si el número de términos de una FCS es finito, 
entonces es dice que la FCS es finita (FCSF). 
Si el número de términos es infinito, entonces, 
al FCS es infinita (FCSI).
Todo número racional y todo número irracio­
nal puede ser expresado como una FCS.
Ejemplo:
Expresar — como una FCS 
31
40 = 1 + _?_= 1 + J L
31 31 31
1 +-
4 ° = 1 + - ^ 
31 3 + ?
¥ 3 + 9
3 + -
2 + i
Por lo tanto:
^ = (1; 3; 2; 4) FCS Finita 
31
Nótese que el divisor en cada paso del proce­
so para expresar 40/31 como una FCS es el 
dividendo en el paso siguiente, por lo tanto, 
el proceso constituye un caso particular en la 
obtención del MCD de dos números enteros.
Términos de la FCS
1 3 2 4
40 31 9 4 1
9 4 1 0
A r itm é tic a | 1 2 1
Teorema
Todo número racional puede ser expresado 
como una FCS finita.
Ejemplo:
Evaluar la FCS F [5; 1; 3; 2] utilizando el algo­
ritmo de Euclides.
5 1 3 2
52 9 7 2 1
7 2 1 0
.-. [5; 1; 3; 2] = 52
Teorema
Toda FCS finita representa un número racional. 
Ejemplo:
Expresar (2 como una FCS 
Se cumple:
■Í2 = 1 + {-Í2 - 1); hacemos: a = (2 - 1 
{2 = 1 + a ...(a)
1 1 , 1Como: a = ¡2 - 1 = -
{2 + 1 2 + a
Reemplazando en (a):
{2 = 1 + -
2 + a
1
2 + - 1
1
1
.-. { 2 = [1; 2; 2; 2; ...] = [1 :2 ]
Teorema
Todo número irracional puede ser expresado 
como una única FCS infinita.
Ejemplo:
Determine el número irracional representado 
por la FCSI [2; 4; 4; 4 ; , , ]
Sea: x = [2; 4; 4; 4 ; , , ]
1x = 2
4 + - 1
■■■(a)
1
x — 2 =
4 + -
Luego en (a): 
x = 2 - 1 = 2 - 1
x = 2 x ± 5 x 2
4 + (x - 2) ' x + 2
2x = 2x + 5
x + 5 
x2 = 5 => x = {5 
Teorema
Toda FCS infinita representa un número irra­
cional.
Teorema
Si p es un entero positivo, entonces, la FCS 
infinita querepresenta a: lp 2 + 1 es [p, 2p]
• m = U 2 + 1 = [4; 8]
• {26 = - /s ^ T Í = [5; 10]
Teorema
Si p es un entero positivo mayor que 1, enton­
ces, FCS infinita que representa a: ■)p2 - 1 es
[(P - 1): 1 .2(p - 1)]
• {8 = { 32 - 1 = [2; 1 4 ]
• {24 = { 52 - 1 = {4; 178}
EJERCICIOS RESUELTOS'
1. Al simplificar la expresión:
( 0 , 5 + 0 ,6 6 .,-0 ,0 5 5 )9 /1 0
E =
3 ,1 1 , - 2 ,0 6 6 ,
Indicar la diferencia entre el denominador y el 
numerador del resultado.
R eso luc ión :
En el numerador:
0,5 = 1 ^ 4 5
2 90 105
0,6 = 6 = M J 90
9 90
0,05 : _5_.
90
_5_
90
1 J = 1 
90 10
1 2 2 | C o le c c ió n E l P o s tu la n te
En el denominador: 
3 1 - 33 , 1=-
2,06 : 206 - 20 
90
Restando 
280 186 _ 94 . 
90 90 90 :
47
45
Luego: E
47
45
45
47
2. Habiendo perdido un jugador la mitad de su 
dinero, volvió al juego y perdió la mitad de lo 
que le quedaba, repitió la mitad de lo que le 
quedaba, repitió lo mismo por 3.a y 4.a vez, 
hasta que le quedó no más que S/.6,00. 
¿Cuándo dinero tenia al comenzar el juego?
R eso luc ión :
Utilicemos el método del cangrejo. Recuerda
que, si pierde la mitad; 
ble de lo que le queda. 
Así:
entonces; tenia el do-
Le queda tenia
4.° 6 12
3.° 12 24
2.° 24 48
1.° 48 96
Hallar la fracción generatriz del número 
0,432
R eso luc ión :
432 - 4 428 _ 214
990
0,432 = ■
990 ' 495
f „ 214
9 495
1- 1 -1 -1 -
’ 2 ’ 4 ’ 8 ’
Si los radios de una sucesión de círculos son 
centímetros, la suma de las 
áreas de tales circuios será:
R eso luc ión :
1 1 1Los radios son: 1;
2 4 8
El área de un circulo es: nR2 
Entonces, la suma del área resulta: 
11 + l + ± + _ + ...|n
4 16 64
Calculando S
1 , 1 , 1
■(1 )
S = 1
S = 1
4 16 64
S
: 1 = s =
4
En (1): suma de áreas: — jt 
3
5. Simplifica el producto:
K ) M ) H ) ~ ( W
R eso luc ión :
1 - 4 V i - 4 -
2 3 4= TC X — X — X
3 4 5 n
1 - 1 V . . Í 1 - 1
n - 1
6. Calcula: j 4 r + -5
121
36 ’ 48 75 3600
R eso luc ión :
Dando denominador común a todas las frac­
ciones es obtiene:
500 + 3 7 5 - 9 6 + 121
900
3600
3600
2
A un radiador de automóvil, lleno con 16 litros 
de agua, se le quitan 4 litros de agua que son 
reemplazados por líquido antioxldante puro. 
Luego se quitan 4 litros de la mezcla resultan­
te, que son reemplazados con liquido antioxi­
dante puro. Lo mismo se hace una tercera y 
luego una cuarta vez. ¿Qué fracción de agua 
queda en la mezcla final?
A ritm é tic a | 1 2 3
R eso luc ión :
Inicialmente tenemos 16 litros.
Se extra de agua queda de agua
1.°
CO
■<-|^
III''t 12
2.° ¿(12) 9
3.° ¿ 9 ) | ( 9 ) = 6,75
4.° ¿ 6 ,7 5 ) ¿ (6 ,75 )
Al final queda de agua:
! < 6 ' 7 5 > = S
Que representa la fracción:
81
16 ^ 81 
16 ^ 256 
1
8. Juan es el doble de rápido que Pedro. Si jun­
tos pueden hacer cierto trabajo en 8 días, 
¿cuánto tiempo le tomaría a Juan hacerlo 
solo?
R eso luc ión :
Como Juan es el doble de rápido que Pedro, 
quiere decir que Pedro emplea el doble del 
tiempo que emplea Juan en hacer un trabajo. 
Entonces:
Si: Juan lo hace en n días
Pedro lo hace en 2n días 
En un día:
i
Juan hace: - 
n
i
Pedro hace: —
2n
Luego, todo lo hacen en:
= 8 =» n = 12 días
9. Un granjero reparte sus gallinas entre sus 
cuatro hijos. El primero recibe la mitad de las 
gallinas, el segundo la cuarta parte, el tercero
Juntos: - + — = — 
n 2n 2n
la quinta parte y el cuarto las siete restantes. 
¿Cuántas gallinas se repartieron?
R eso luc ión :
Sea N el número de gallinas; entonces:
T + T + T + 7 = N 
2 4 5
10N + 5N + 4N 7 = N 
20
-1§-N + 7 = N 
20
7 = - | - N ^ N = 140 
20
10. Los 3/4 de un barril más 7 litros, son de pe­
tróleo y 1/3 menos 20 litros, son de agua. 
¿Cuántos litros son de petróleo?
R eso luc ión :
Sea N la cantidad del barril, entonces:
| n + 7 + J - N - 2 0 = N 
4 3
N = 156
Petróleo: - x 1 5 6 + 7 = 124 
4
11. A un alambre de 91 metros de longitud se le 
da tres cortes de manera que la longitud de 
cada trozo es igual a la del inmediato anterior 
aumentado en su mitad, ¿Cuál es la longitud 
del trozo mas grande?
R eso luc ión :
Tenemos:
1.° 2.° 3.° 4.°
§ L ( i X M K M
Por dato:
l + | l + | l + ^ l = 91 
2 4 8
1 2 4 ¡ C o le c c ió n El P o s tu la n te
— L = 91 =» L = f ± x 8 
8 65
Piden:
— L = 2 7 * 9 1 x 8 = 37,80 
8 8 65
12. El MCD del numerador y denominador de una 
fracción equivalente a 16/72 es 13. ¿Cuál es 
esta fracción?
2 .
R eso luc ión :
f = l 6-
72 f, = ! fB =
2k
9k
Por condición del problema: 
MCD(2k; 9k) = 13 
k x MCD(2; 9) = 13 => k = 13 
26Luego: fe =
117
EJERCICIOS PROPUESTOS 1 |
1. Dos depósitos tienen respectivamente 168 y 
420 litros y cada uno de ellos recibe 4 litros de 
agua por minuto. ¿Dentro de cuánto tiempo 
tendrá el primero 79/142 del segundo?
a) 27 min 
d) 57 min
b) 17 min 
e) 37 min
c) 47 min
Si un jugador en su primer juego pierde 1/3 de 
su dinero, en el segundo pierde 1/4 del resto y 
en el tercero pierde 1/5 del nuevo resto, ¿Qué 
fracción del dinero que tenia originalmente le 
ha quedado?
a) 3/4 
d) 2/4
b) 2/5 
e) 3/7
c)3 /5
3. Si de un depósito que está lleno 1/5 de lo que 
no está lleno, se vacían una cantidad igual a 
1/125 de lo que no se vacía. ¿Qué parte del 
volumen del depósito quedará con líquido?
a) 2/13 
d) 125/756
b) 3/11 
e) 2/6
c ) 1/11
Un padre se familia recibe cierta cantidad de 
dinero por escolaridad. Si gasta los 3/5 de lo 
que recibió y aun le quedan S/.120, ¿Cuánto 
recibió por escolaridad?
a) 200 
d) 350
b) 250
e) 280
c) 300
Calcular una fracción equivalente a 0,8; cuyo 
numerador está comprendido entre 25 y 40; y 
su denominador entre 38 y 53.
a) 36/45 
d) 36/47
b) 34/49 
e) 32/37
c) 32/35
¿Cuántas fracciones irreducibles con denomi­
nador doce son propias?
a) 3 
d) 6
b) 4 
e) 7
c) 5
El denominador de una fracción excede al nu­
merador en 12. Si el denominador aumentara 
en 8, el valor de la fracción sería 1/5, halla la 
fracción.
a) 5/17 
d) 4/5
b) 7/19 
e) 11/23
c) 1/13
8. Determinar el valor de a:
Jo,00a + 2 (0 ,0a) + 0,a = 0 , 7 3
a) 4 b) 3
d) 5 e) 1
c) 2
¿Cuánto le falta a (ABC) 
0,00021? Siendo:
A = 0,002 
B = 0,000040 
C = 0,0000027
para ser igual a
a) 0,00015 
d) 0,0027
b) 0,0015 
e) 0,0018
c) 0,00027
10. Una ¡lave puede llenar una piscina en 3 horas, 
otra en 2 horas y otra en 6 horas. ¿En cuánto 
tiempo llenarán la piscina las 3 llaves, si son 
abiertas al mismo tiempo?
a) 1 hora 
d) 4 horas
b) 2 horas 
e) 1/2 horas
c) 3 horas
A r itm é tic a | 1 2 5
11. Una cañería llena una piscina en 4 horas y 
otra la puede dejar vacía en 6 horas. ¿En 
cuánto tiempo puede llenarse la piscina, si la 
cañería de desagüe se abre 1 hora después?
a) 11 h b) 12 h c) 9 h
d) 10 h e) 13 h
12. Una liebre que da 3 1/4 pasos por segundo, 
huye velozmente al darse cuenta que a su 
lado se encuentra un zorro. Este, al descubrir­
la se lanza en su persecución; 20 segundos 
después, dando 4 1/2 pasos por segundo. 
Calcular el tiempo que demora en alcanzarla.
a) 65 b) 13 c) 52
d) 42 e) 54
13. Se compra limones a 3 por S/.10 y se venden 
a 2 por S/.9. ¿Cuántos limones se deben ven­
der para ganar S/.1400?
a) 1200 b) 2400 c) 3600
d) 600 e) 2200
14. Si 1/3 de lo que caminé equivale a los 2/3 de 
lo que falta caminar, ¿qué fracción del recorri­
do total caminé?
a) 1/3 b) 3/5 c) 3/8
d) 5/8 e) 2/3
15. Si César es el triple de rápido que Arturo, ¿en 
qué tiempo harán una obra si trabajan juntos, 
sabiendo que Arturo hace toda la obra en 6 h?
a) 1 h 20 min b) 1 h 30 min
c) 1 h 45 min d) 1 h 50 min
e) 1 h
16. Se tiene un depósito de 30 m3 de capaci­
dad con dos grifos; uno de suministro y otro
de desfogue de 250 L/h y 125 L/h, respecti­
vamente, ubicados como nuestra la figura. 
¿Cuánto tiempo demorará en llenarse el de­
pósito?
I I
30 m3
a) 100 h b) 200 h c ) 1 5 0 h
d) 130 h e) 160 h
17. A, B y C pueden hacer un trabajo en 10; 5 y 2 
días, respectivamente. El primer día, trabajó 
A solo; el segundo día, se le une B y el tercer 
día trabajan los tres juntos.¿Cuántos días se 
necesitarán para hacer toda la obra?
a) 2,75 b) 2,5 c) 2,5
d) 3 e) 2,65
18. Un tanque está lleno las 3/4 partes. El caño 
A puede llenarlo en 12 min. El caño B puede 
desaguarlo en 8 min. Si ambos caños están 
abiertos, ¿Cuánto tiempo se empleará en 
desaguar el tranque?
a) 14 min b) 22 min c) 16 min
d) 18 min e) 9 min
19. Un tanque que contiene 400 galones de capa­
cidad puede ser llenado por un caño en 15 min 
y vaciado por otro caño en 40 min. ¿En cuánto 
tiempo se llenará el tanque si ambos caños se 
abren?
a) 20 min b) 21 min c) 23 min
d) 24 min e) 26 min
20. Un hombre realiza un trabajo en 6 h. su hijo 
lo hace en 12 h. ¿Cuánto tardarán en hacerlo 
juntos?
a) 4 h b) 6 h c) 9 h
d) 3 h e) 18 h
1. e 5. a 9. a 13. a 17. a
2. b 6. b 10. a 14. e 18. d
3. d 7. a 11. d 15. b 19. d
4. c 8. a 12. c 16. b 20. a
[ " e jer c ic io s PROPUESTOS 2 |
1. Un vendedor tiene 2 canastas de manzanas 
con igual cantidad en cada una. De la primera 
canasta se retira la quinta parte y la coloca en 
la otra, luego de esta regresa la cuarta parte 
a la primera, que con este aumento tendría 44
1 2 6 | C o le c c ió n E l P o s tu la n te
manzanas. ¿Cuántas manzanas tenía cada 
canasta ¡nidalmente?
a) 30 b) 35 c) 40
d) 45 e) 50
2. Una plancha de madera pierde al ser aserra­
da 2/9 de su ancho y 3/10 de su largo, que­
dando así un área de 2744 metros cuadrados. 
Determinar el ancho original de la plancha, 
sabiendo que el largo original era 80 metros.
a) 35 b) 42 c) 49
d) 56 e) 36
3. Hallar la suma de los términos de una fracción 
equivalente a 4/11, si a fu m a r le 11 a cada tér­
mino se obtiene 0,5227.
a) 42 b) 45 c) 48
d) 32 e) 36
4. Katy reparte los caramelos que tiene entre sus 
sobrinos de la siguiente manera: al primero le 
tocó 1/9 del total, al segundo 1/15, al terce­
ro 1/5 y al cuarto por ser su engreído le tocó 
33 caramelos más que a los otros 3 juntos. 
¿Cuántos caramelos le tocó a este último?
a) 72 b) 76 c) 80
d) 84 e ) 86
5. Al venderse una chacra, una señora recibió 
S/.1640 por los 2/7 de su parte. Si la seño­
ra era dueña de 4/9 de la chacra, además 
solo ha recibido los 5/8 del precio de venta. 
¿Cuántos le falta recibir a la señora?
a) S/.4000 b) S/.4100 c) S/.4200
d) S/.4300 e) S/.4400
6. He gastado los 5/8 de mi dinero, si en lugar de 
gastar los 5/8 hubiera gastado los 2/5 de mi 
dinero tendría ahora 72 soles más de lo que 
tengo. ¿Cuánto no gasté?
a) S/.100 b) S/.110 c) S/.120
d) S/.130 e) S/.140
7. En una reunión Timo come la mitad del nú­
mero de pasteles más medio pastel, en la se­
gunda vez la mitad de los que quedaban más 
medio pastel, así sucesivamente, después de
la cuarta vez que comió no quedo ningún pas­
tel. ¿Cuántos pasteles había inicialmente?
a) 12 b) 15 c) 18
d) 21 e) 24
8. De un recipiente que está lleno 2/3 de lo que
no está lleno, se extrae 1/4 de lo que no se 
extrae. Luego se consume 1/2 del resto, que­
dando 12 litros. Hallar la capacidad del reci­
piente.
a) 72 litros b) 75 litros c) 78 litros
d) 81 litros e) 84 litros
9. Tú tienes ¡a mitad de lo que yo tengo y yo 1/3 
de lo que él tiene, si el triple de lo que tú tienes 
más el doble de lo que yo tengo excede en 
S/.5 a los que él tiene, ¿Cuánto tenemos entre 
los tres?
a) S/.30 b) S/.35 c) S/.40
d) S/.45 ' e) S/.50
10. Un caño llena un recipiente en 4 h mientras 
que un caño de desagüe lo desaloja, en 6 h. 
¿Cuánto tiempo demora en llenarse el reci­
piente si están vició se abran los dos caños a 
la vez?
a) 10 horas b) 12 horas c) 14 horas
d) 16 horas e) 18 horas
11. El indicador de un tanque de aceite señala 115 
de su capacidad. Después llega un camión 
cisterna y deposita en el tanque 165 galones 
por lo que el indicador señala las 4/5 partes 
de la capacidad. Hallar la capacidad total del 
tanque.
a) 260 litros b) 265 litros c) 270 litros
d) 275 litros e) 280 litros
12. ¿Cuál es la cantidad entera que debe 
agregarse al numerador y denominador de 
la fracción 4/7 para que la fracción resultante 
este comprendida entre 0,7 y 0,75?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
13. Se vende un edificio y una señora es dueña 
de 2/5 del edificio y recibió S/.a por los 3/4 de 
su parte. ¿A qué precio se vendió el edificio?
A r itm é t ic a | 1 2 7
a) 10a/3 b) 9a/5 c) 7a/3
d)15a /7 e) 10a/7
14. Tres hermanos se repartieron un terreno de 
345 ha de extensión. El hermano mayor que 
había recibido la mayor parte cedió a sus 2 
hermanos 1/15 y 1/6 de lo suyo respectiva­
mente de modo que los tres tuvieran la misma 
extensión de terreno. ¿Qué extensión les co­
rrespondió inicialmente a las dos menores?
a) 95 y 110 b) 90 y 105 c) 95 y 115
d ) 86 y 105 e ) 75 y 95
15. Un tranvía parte con cierto número de pasaje­
ros, en el primer paradero deja la quinta parte; 
en el segundo suben 40 pasajeros, en el ter­
cero bajan los 3/8 de los que iban, en el cuarto 
suben 35, y en el trayecto al último paradero 
déla los 7/9 de los que lleva, llegando a este 
último con 30 pasajeros, ¿con cuántos pasa­
jeros partió el tranvía?
a) 140 b) 145 c) 150
d) 155 e) 160
16. Un grifo vertiendo agua de manera continua
puede llenar cierto depósito en 1 h 17 min. Un 
segundo grifo puede hacerlo individualmente
en 44 min. Estando vacío el depósito se abra 
el segundo grifo durante 11 minutos, al cabo 
del cual se abre el primero. Después de cuan­
tos minutos de haber funcionado los dos gri­
fos se llenara el depósito.
a) 21 min b) 23 min c) 25 min
d) 26 min e) 28 min
17. Hallar una fracción propia e irreducible cuyo 
denominador es 125; sabiendo que su desa­
rrollo decimal está formado por cifras conse­
cutivas crecientes.
a) 37/125 b) 47/125 c) 57/125
e) 67/125 e) 87/125
18. ¿Cuántas fracciones propias e irreducibles de 
denominador 168 existen tales que la suma 
de sus términos sea 11?
7 b) 14 c) 10 d) 5 e) 4
1. c 5. b 9. d 13. a 17. c
2 . e 6 . c 10. b 14. b 18. d
3. b 7. b 11. d 15. c
4. d 8 . b 12. c 16. a
Aritmética
Álgebra
Geometría
Trigonometría
Física
Química
Razonamiento Matemático 
Razonamiento Verbal 
Habilidad Verbal 
Economía y Ed. Cívica 
Lógica y Filosofía 
Historia del Perú 
Historia Universal 
Geografía 
Lengua 
Literatura 
Anatomía 
Psicología 
Biología