vas_multidimensionais

aproxima de -1).
\u2022 Negativa perfeita quando \u3c1X ,Y = \u22121.
\u2022 Positiva forte quando \u3c1X ,Y varia entre 0 e 1 (neste caso, as
duas varia´veis se movem na mesma direc¸a\u2dco e a relac¸a\u2dco entre
elas sera´ mais forte quanto mais \u3c1X ,Y se aproxima de 1).
\u2022 Positiva perfeita quando \u3c1X ,Y = 1.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Sejam X e Y duas varia´veis aleato´rias quaisquer, enta\u2dco
Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ] + 2Cov(X ,Y ).
Se X e Y forem independentes,
Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ].
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Sejam X1,X2, . . . ,Xn varia´veis aleato´rias, enta\u2dco
Var [
n\u2211
i=1
Xi ] =
n\u2211
i=1
Var [Xi ] + 2
\u2211\u2211
i<j
Cov(Xi ,Xj).
Se X1,X2, . . . ,Xn forem independentes,
Var [
n\u2211
i=1
Xi ] =
n\u2211
i=1
Var [Xi ].
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´\u131nuas
Existe uma func¸a\u2dco cont´\u131nua conjunta para as varia´veis X e Y , se
existe uma func¸a\u2dco densidade de probabilidade f (x , y) para todo
x \u2208 A e y \u2208 B , tal que
P [X \u2208 A,Y \u2208 B ] =
\u222b
B
\u222b
A
f (x , y)dxdy ,
ou seja,
F (a, b) =
\u222b b
\u2212\u221e
\u222b a
\u2212\u221e
f (x , y)dxdy .
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´\u131nuas
Para as varia´veis cont´\u131nuas X e Y , a func¸a\u2dco de probabilidade
conjunta possui as seguintes propriedades:
\u2022 f (x , y) \u2265 0,\u2200x , y \u2208 <;
\u2022
\u222b \u221e
\u2212\u221e
\u222b \u221e
\u2212\u221e
f (x , y)dxdy = 1.
Essas propriedades podem ser generalizadas para qualquer
nu´mero de varia´veis aleato´rias.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´\u131nuas
Func¸a\u2dco densidade marginal de X :
fX (x) =
\u222b \u221e
\u2212\u221e
f (x , y)dy .
Func¸a\u2dco densidade marginal de Y :
fY (y) =
\u222b \u221e
\u2212\u221e
f (x , y)dx .
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´\u131nuas
Func¸a\u2dco densidade condicional de X dado Y = y :
fX |Y (x |y) =
f (x , y)
fY (y)
, fY (y) > 0.
Func¸a\u2dco densidade condicional de Y dado X = x :
fY |X (y |x) =
f (x , y)
fX (x)
, fX (x) > 0.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´\u131nuas
Se X e Y sa\u2dco independentes,
fX ,Y (x , y) = fX (x)fY (y).
Logo
fX |Y (x |y) = fX (x) e fY |X (y |x) = fY (y).
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´\u131nuas
Exemplo
\u2022 Func¸a\u2dco densidade conjunta de X e Y
f (x , y) =
{ 4
9
xe\u22122y 0 < x < 3, 0 < y <\u221e
0 nos outros casos
\u2022 Func¸a\u2dco marginal de X
fX (x) =
2x
9
.
\u2022 Func¸a\u2dco marginal de Y
fY (y) = 2e
\u22122y .
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´\u131nuas
\u2022 E [X ] =
\u222b 3
0
xfX (x)dx =
\u222b 3
0
x
2x
9
dx =
(
2
9
)(
x3
3
)
|30 = 2.
\u2022 E [X 2] =
\u222b 3
0
x2fX (x)dx =
\u222b 3
0
x2
2x
9
dx =
(
2
9
)(
x4
4
)
|30 =
9
2
.
\u2022 Var [X ] = E [X 2]\u2212 (E [X ])2 =
9
2
\u2212 4 =
1
2
= 0, 5.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´\u131nuas
\u2022 E [Y ] =
\u222b \u221e
0
yfY (y)dy = 2
\u222b \u221e
0
ye\u22122ydy =
1
2
.
\u2022 E [Y 2] =
\u222b \u221e
0
y2fY (y)dy = 2
\u222b \u221e
0
y2e\u22122ydy =
1
2
.
\u2022 Var [Y ] = E [Y 2]\u2212 (E [Y ])2 =
1
2
\u2212
1
4
=
1
4
= 0, 25.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´\u131nuas
\u2022 E [XY ] =
\u222b \u221e
0
\u222b 3
0
xyf (x , y)dxdy =
\u222b \u221e
0
\u222b 3
0
4
9
x2ye\u22122ydxdy =
1.
\u2022 Cov(X ,Y ) = E [XY ]\u2212 E [X ]E [Y ] = 1\u2212 2
(
1
2
)
= 0.
\u2022 Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ] = 0, 5 + 0, 25 = 0, 75.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais