vas_multidimensionais

aproxima de -1).
• Negativa perfeita quando ρX ,Y = −1.
• Positiva forte quando ρX ,Y varia entre 0 e 1 (neste caso, as
duas varia´veis se movem na mesma direc¸a˜o e a relac¸a˜o entre
elas sera´ mais forte quanto mais ρX ,Y se aproxima de 1).
• Positiva perfeita quando ρX ,Y = 1.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Sejam X e Y duas varia´veis aleato´rias quaisquer, enta˜o
Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ] + 2Cov(X ,Y ).
Se X e Y forem independentes,
Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ].
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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Sejam X1,X2, . . . ,Xn varia´veis aleato´rias, enta˜o
Var [
n∑
i=1
Xi ] =
n∑
i=1
Var [Xi ] + 2
∑∑
i<j
Cov(Xi ,Xj).
Se X1,X2, . . . ,Xn forem independentes,
Var [
n∑
i=1
Xi ] =
n∑
i=1
Var [Xi ].
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Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Existe uma func¸a˜o cont´ınua conjunta para as varia´veis X e Y , se
existe uma func¸a˜o densidade de probabilidade f (x , y) para todo
x ∈ A e y ∈ B , tal que
P [X ∈ A,Y ∈ B ] =
∫
B
∫
A
f (x , y)dxdy ,
ou seja,
F (a, b) =
∫ b
−∞
∫ a
−∞
f (x , y)dxdy .
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Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Para as varia´veis cont´ınuas X e Y , a func¸a˜o de probabilidade
conjunta possui as seguintes propriedades:
• f (x , y) ≥ 0,∀x , y ∈ <;
•
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f (x , y)dxdy = 1.
Essas propriedades podem ser generalizadas para qualquer
nu´mero de varia´veis aleato´rias.
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Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Func¸a˜o densidade marginal de X :
fX (x) =
∫ ∞
−∞
f (x , y)dy .
Func¸a˜o densidade marginal de Y :
fY (y) =
∫ ∞
−∞
f (x , y)dx .
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Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Func¸a˜o densidade condicional de X dado Y = y :
fX |Y (x |y) =
f (x , y)
fY (y)
, fY (y) > 0.
Func¸a˜o densidade condicional de Y dado X = x :
fY |X (y |x) =
f (x , y)
fX (x)
, fX (x) > 0.
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Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Se X e Y sa˜o independentes,
fX ,Y (x , y) = fX (x)fY (y).
Logo
fX |Y (x |y) = fX (x) e fY |X (y |x) = fY (y).
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Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Exemplo
• Func¸a˜o densidade conjunta de X e Y
f (x , y) =
{ 4
9
xe−2y 0 < x < 3, 0 < y <∞
0 nos outros casos
• Func¸a˜o marginal de X
fX (x) =
2x
9
.
• Func¸a˜o marginal de Y
fY (y) = 2e
−2y .
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Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
• E [X ] =
∫ 3
0
xfX (x)dx =
∫ 3
0
x
2x
9
dx =
(
2
9
)(
x3
3
)
|30 = 2.
• E [X 2] =
∫ 3
0
x2fX (x)dx =
∫ 3
0
x2
2x
9
dx =
(
2
9
)(
x4
4
)
|30 =
9
2
.
• Var [X ] = E [X 2]− (E [X ])2 =
9
2
− 4 =
1
2
= 0, 5.
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Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
• E [Y ] =
∫ ∞
0
yfY (y)dy = 2
∫ ∞
0
ye−2ydy =
1
2
.
• E [Y 2] =
∫ ∞
0
y2fY (y)dy = 2
∫ ∞
0
y2e−2ydy =
1
2
.
• Var [Y ] = E [Y 2]− (E [Y ])2 =
1
2
−
1
4
=
1
4
= 0, 25.
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Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
• E [XY ] =
∫ ∞
0
∫ 3
0
xyf (x , y)dxdy =
∫ ∞
0
∫ 3
0
4
9
x2ye−2ydxdy =
1.
• Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ]E [Y ] = 1− 2
(
1
2
)
= 0.
• Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ] = 0, 5 + 0, 25 = 0, 75.
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