aproxima de -1). • Negativa perfeita quando ρX ,Y = −1. • Positiva forte quando ρX ,Y varia entre 0 e 1 (neste caso, as duas varia´veis se movem na mesma direc¸a˜o e a relac¸a˜o entre elas sera´ mais forte quanto mais ρX ,Y se aproxima de 1). • Positiva perfeita quando ρX ,Y = 1. Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais Varia´veis Aleato´rias Discretas Sejam X e Y duas varia´veis aleato´rias quaisquer, enta˜o Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ] + 2Cov(X ,Y ). Se X e Y forem independentes, Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ]. Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais Varia´veis Aleato´rias Discretas Sejam X1,X2, . . . ,Xn varia´veis aleato´rias, enta˜o Var [ n∑ i=1 Xi ] = n∑ i=1 Var [Xi ] + 2 ∑∑ i<j Cov(Xi ,Xj). Se X1,X2, . . . ,Xn forem independentes, Var [ n∑ i=1 Xi ] = n∑ i=1 Var [Xi ]. Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas Existe uma func¸a˜o cont´ınua conjunta para as varia´veis X e Y , se existe uma func¸a˜o densidade de probabilidade f (x , y) para todo x ∈ A e y ∈ B , tal que P [X ∈ A,Y ∈ B ] = ∫ B ∫ A f (x , y)dxdy , ou seja, F (a, b) = ∫ b −∞ ∫ a −∞ f (x , y)dxdy . Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas Para as varia´veis cont´ınuas X e Y , a func¸a˜o de probabilidade conjunta possui as seguintes propriedades: • f (x , y) ≥ 0,∀x , y ∈ <; • ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ f (x , y)dxdy = 1. Essas propriedades podem ser generalizadas para qualquer nu´mero de varia´veis aleato´rias. Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas Func¸a˜o densidade marginal de X : fX (x) = ∫ ∞ −∞ f (x , y)dy . Func¸a˜o densidade marginal de Y : fY (y) = ∫ ∞ −∞ f (x , y)dx . Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas Func¸a˜o densidade condicional de X dado Y = y : fX |Y (x |y) = f (x , y) fY (y) , fY (y) > 0. Func¸a˜o densidade condicional de Y dado X = x : fY |X (y |x) = f (x , y) fX (x) , fX (x) > 0. Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas Se X e Y sa˜o independentes, fX ,Y (x , y) = fX (x)fY (y). Logo fX |Y (x |y) = fX (x) e fY |X (y |x) = fY (y). Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas Exemplo • Func¸a˜o densidade conjunta de X e Y f (x , y) = { 4 9 xe−2y 0 < x < 3, 0 < y <∞ 0 nos outros casos • Func¸a˜o marginal de X fX (x) = 2x 9 . • Func¸a˜o marginal de Y fY (y) = 2e −2y . Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas • E [X ] = ∫ 3 0 xfX (x)dx = ∫ 3 0 x 2x 9 dx = ( 2 9 )( x3 3 ) |30 = 2. • E [X 2] = ∫ 3 0 x2fX (x)dx = ∫ 3 0 x2 2x 9 dx = ( 2 9 )( x4 4 ) |30 = 9 2 . • Var [X ] = E [X 2]− (E [X ])2 = 9 2 − 4 = 1 2 = 0, 5. Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas • E [Y ] = ∫ ∞ 0 yfY (y)dy = 2 ∫ ∞ 0 ye−2ydy = 1 2 . • E [Y 2] = ∫ ∞ 0 y2fY (y)dy = 2 ∫ ∞ 0 y2e−2ydy = 1 2 . • Var [Y ] = E [Y 2]− (E [Y ])2 = 1 2 − 1 4 = 1 4 = 0, 25. Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas • E [XY ] = ∫ ∞ 0 ∫ 3 0 xyf (x , y)dxdy = ∫ ∞ 0 ∫ 3 0 4 9 x2ye−2ydxdy = 1. • Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ]E [Y ] = 1− 2 ( 1 2 ) = 0. • Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ] = 0, 5 + 0, 25 = 0, 75. Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais