Prova de Estatística Resolvida

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2º NPC sobre Probabilidade – 5CD/M 
 
1ª Questão 
Suponha um espaço amostral Ω constituído de 4 elementos: Ω = {𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; 𝑥4}. Qual das 
funções abaixo (itens) define um espaço de probabilidade em Ω, ou seja, que atende os axiomas 
da probabilidade? 
A) 𝑃(𝑥1) = 
1
2
; 𝑃(𝑥2) =
1
3
; 𝑃(𝑥3) =
1
4
; 𝑃(𝑥4) =
1
5
. 
B) 𝑃(𝑥1) = 
1
2
; 𝑃(𝑥2) =
1
8
; 𝑃(𝑥3) =
1
8
; 𝑃(𝑥4) =
1
8
. 
C) 𝑃(𝑥1) = 
1
2
; 𝑃(𝑥2) =
1
4
; 𝑃(𝑥3) =
1
8
; 𝑃(𝑥4) =
1
8
. 
D) 𝑃(𝑥1) = 
1
2
; 𝑃(𝑥2) =
1
2
; 𝑃(𝑥3) =
1
4
; 𝑃(𝑥4) =
1
8
. 
Solução: 
A) Opção falsa porque a soma dos valores das probabilidades dá maior que 1, ferindo o 
segundo axioma: ∑ 𝑃(𝑥𝑖) =
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
=
30+20+15+12
60
=
77
60
≅ 1,28333. 
B) Opção falsa porque a soma dos valores das probabilidades dá menor que 1, ferindo o 
segundo axioma: ∑ 𝑃(𝑥𝑖) =
1
2
+
1
8
+
1
8
+
1
8
=
4+1+1+1
8
=
7
8
= 0,875. 
C) Opção correta pois todos os valores são positivos e a soma dos valores de probabilidade 
dão igual a 1(um): ∑ 𝑃(𝑥𝑖) =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
8
=
4+2+1+1
8
=
8
8
= 1 → (V); 
D) Opção falsa porque a soma dos valores das probabilidades dá maior que 1, ferindo o 
segundo axioma: ∑ 𝑃(𝑥𝑖) =
1
2
+
1
2
+
1
4
+
1
8
=
4+4+2+1
8
=
11
8
= 1,375. 
 
 
2ª Questão 
Determine a probabilidade de, aproximadamente, em cinco jogadas de uma moeda, aparecer 3 
caras e duas coroa? 
A) 0,0313 B) 0,1563 C) 0,3125 D) 0,1876 
 
Solução: 
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑋 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎 → 𝑃(𝑋 = 3) =? 
 𝑝 =
1
2
 → 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 −
1
2
=
1
2
 → 𝑛 = 5 
 𝑃(𝑋 = 𝑥) = (𝑛
𝑥
)𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 ⇒ 𝑃(𝑋 = 3) = (5
3
) (
1
2
)
3
(
1
2
)
5−3
=
5!
3!(5−3)!
(
1
2
)
3
(
1
2
)
2
=
5.4.3!
3!.2.1
(
1
2
)
5
⇒ 
 ⇒ 𝑃(𝑋 = 3) = 10(0,03125) ≅ 0,3125 ⇒ 𝑃(𝑋 = 3) = 0,3125. 
3ª Questão 
Uma urna contém 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 amarelas. Retira-se dessa urna 4 bolas, sem 
reposição. Qual a probabilidade, aproximada, de que duas delas sejam vermelhas, uma amarela e 
a outra, branca? 
A) 
2
33
 B) 
4
33
 C) 
6
33
 D) 
8
33
 
 
Solução: 
 𝑃(2𝑣, 1𝑎, 1𝑏) =
𝑛(2𝑣,1𝑎,1𝑏)
𝑛(Ω)
=
(32).(
5
1).(
4
1)
(124 )
=
60
495
=
4
33
⇒ 𝑃(2𝑣, 1𝑎, 1𝑏) =
4
33
 
 
 
4ª Questão 
Um jogador lança um dado não viciado. Se ocorrer face 1 ou 2 ele perde R$2,00; se ocorrer face 
3 ou 4 ele ganha R$3,00; ocorrendo face 5 ou 6, ele perde R$R$2,00. Determine o resultado final 
do jogo sob o ponto de vista do jogador, ou seja, a esperança matemática do jogo. 
A) – R$0,52 (perde 52 centavos); B) – R$ 0,47 (perde 47 centavos); 
C) – R$0,33 (perde 33 centavos) D) – R$ 0,28 (perde 28 centavos) 
 
Solução: 
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑋 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 "𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜", 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
 𝑋 = 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
 X 1 2 3 4 5 6 
 P(X) 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
ganho -2,00 -2,00 3,00 3,00 -2,00 -2,00 
 
𝐸(𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜) = −2,00.
1
6
− 2,00.
1
6
+ 3,00.
1
6
+ 3,00.
1
6
− 2,00.
1
6
− 2,00.
1
6
= −4,00.
1
6
+ 6,00.
1
6
− 4,00.
1
6
= −8,00.
1
6
+ 6,00.
1
6
= −2,00.
1
6
= −0,33 ⇒ 
 ⇒ 𝐸(𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜) = −0,33. Ou seja, o jogador perde R$0,33 centavos. 
 
 
 
 
5ª Questão 
Os depósitos efetuados num determinado Banco durante o mês de maio são distribuídos 
normalmente, com média de R$10.000,00 e desvio padrão de R$1.500,00. Um depósito é 
selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. Qual a probabilidade de que 
esse depósito esteja entre R$8.000,00 e R$12.000,00? 
A) 0,8164 B) 0,7846 C) 0,8753 D) 0,5387 
 
Solução: 
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑋 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜𝑠 
𝜇 = 𝑅$10.000,00 
𝜎 = 𝑅$1.500,00 
𝑃(8.000,00 ≤ 𝑋 ≤ 12.000,00) =? 
𝑃 (
8.000,00 − 10.000,00
1.500,00
≤ 𝑍 ≤
12.000,00 − 10.000,00
1.500,00
) = 𝑃(−1,33 ≤ 𝑍 ≤ 3,33) = 
= 𝑃(0 ≤ 𝑍 ≤ 1,33) + 𝑃(0 ≤ 𝑍 ≤ 1,33) = 0,4082 + 0,4082 = 0,8164 ⇒ 
⇒ 𝑃(8.000,00 ≤ 𝑋 ≤ 12.000,00) = 0,8164 
 
 
6ª Questão 
Em um teste de biologia, atribuem-se as notas 0, 1, 2, 3, ..., 10, de acordo com o número de questões 
respondidas corretamente, em um total de 10. A nota média foi 6,7 e o desvio padrão foi 1,2. 
Admitindo a distribuição normal das notas, determine a menor nota dentre as 10% mais altas da 
classe (considerar 𝑍0,10 = 𝑍0,40 = 1,28). 
A) 7,3 B) 8,9 C) 7,8 D) 8,2 
Solução: 
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑋 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑎 
𝜇 = 6,7 𝑃(𝑋 ≥ 𝑋0) = 10% = 0,10 ⇒ 0,5 − 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋0) = 0,10 ⇒ 
𝜎 = 1,2 ⇒ 𝑃 (0 ≤ 𝑍 ≤
𝑋0−6,7
1,2
) = 0,5 − 0,10 = 0,40 
 𝐷𝑒𝑣𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑍0 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑗𝑎 0,40 → 𝑍0 = 1,28 
 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
𝑋0−6,7
1,2
= 1,28 ⇒ 𝑋0 = (1,2). (1,28) + 6,7 = 1,536 + 6,7 ≅ 8,236 = 8,2 
 𝑂𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 10% 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑠𝑒𝑟 8,2 
7ª Questão 
Em 40 jogadas de uma moeda, apareceram 24 “caras”. Quais os limites de confiança de 96% para 
a proporção de “caras” em uma sequência limitada de jogadas? (Considere 𝑍𝛼
2⁄
= 2,05). 
A) 06 ± 0,1736 B) 06 ± 0,1487 C) 06 ± 0,1588 D) 06 ± 0,1869 
 
Solução: 
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑋 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑜𝑐𝑜𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎 
𝑛 = 40 
𝑋 = 24 
⇒ �̂� =
𝑋
𝑛
=
24
40
= 0,6 
(1 − 𝛼) = 96% = 0,96 → 𝛼 = 4% = 0,04 → 
𝛼
2
=
0,04
2
= 0,02 → 
→ 𝑍𝛼
2
= 𝑍0,02 = 𝑍0,48 = 2,05 
𝑃 (�̂� − 𝑍𝛼
2
√
�̂�(1 − �̂�)
𝑛
≤ 𝑃 ≤ �̂� + 𝑍𝛼
2
√
�̂�(1 − �̂�)
𝑛
) = 0,96 ⇒ 
⇒ 𝑃 (0,6 − 2,05. √
0,6(1 − 0,6)
40
≤ 𝑃 ≤ 0,6 + 2,05. √
0,6(1 − 0,6)
40
) = 0,96 ⇒ 
⇒ 𝑃(0,6 − (2,05). (0,078) ≤ 𝑃 ≤ 0,6 − (2,05). (0,078)) = 0,96 ⇒ 
⇒ 𝑃(0,6 − 0,1588 ≤ 𝑃 ≤ 0,6 + 0,1588) = 0,96 → [0,6 ± 0,1588]. 
 
 
OBS: Todas as questões foram baseadas nos NTI’s e nos deveres de casa, como se pode 
observar.