Relatório de Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL PARA ENGENHARIA
SEMESTRE 2021.1
PRÁTICA 3 – MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
ALUNO: LÍVIA CHRISTINE SOARES PINHEIRO
MATRÍCULA: 510203
CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA
TURMA: T21
PROFESSOR: LUCIANO VIEIRA DE AGUIAR
1. Objetivos
– Determinar o deslocamento, a velocidade e a aceleração de um móvel com movimento retilíneo uniformemente variado.
– Representar graficamente a posição, a velocidade e a aceleração em função do tempo de um movimento retilíneo uniformemente variado.
– Representar graficamente a posição em função do tempo ao quadrado de um movimento retilíneo uniformemente variado.
– Verificar a influência da massa na aceleração do movimento de queda livre. 
2. Material
– Link para a simulação Queda Livre: <https://www.laboratoriovirtual.fisica.ufc.br/queda-livre>
3. FUNDAMENTOS
3.1 INTRODUÇÃO AO MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO.
3.1.1 Contextualização histórica.
Em virtude das adversidades relacionadas ao ensino de ciências na contemporaneidade, cabe a importância de ressaltar a importância da compreensão da abordagem histórica do objeto de estudo deste relatório. Diante disso, é válido citar que Mach (1883/1960, p. 306) afirma que:
A investigação histórica do desenvolvimento da ciência é extremamente necessária a fim de que os princípios que guarda como tesouros não se tornem um sistema de preceitos apenas parcialmente compreendidos ou, o que é pior, um sistema de pré-conceitos. A investigação histórica não somente promove a compreensão daquilo que existe agora, mas também nos apresenta novas possibilidades. 
Sob o exposto, vale apontar as contribuições do matemático e físico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647), filho primogênito nascido em Roma (FRANK, 2013), para o estudo do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, de tal maneira que é homenageado com uma equação em seu nome. 
Dado um excepcional desempenho no estudo de matemática e filosofia em uma escola jesuíta de Faenza, Torricelli é enviado para Roma pelo seu tio com o intuito de estudar com Benedetto Castelli, o pupilo favorito de Galileu Galilei, sendo convidado a ser seu secretário particular posteriormente. (FOX, 1912). 
Conforme destaca Gliozzi (2007), em 1641 Torricelli abordou Castelli sobre um tratado que ampliava a doutrina em relação a movimento de projéteis exposto por Galileu Galilei em sua obra Discorsi e dimistrazioni matematiche intorno a due nouve scienze, livro científico publicado em Leinden no ano de 1638. Com veemência, Castelli o enviou para os cuidados de Galileu, com quem manteve-se até sua morte no ano seguinte. Depois, foi convidado a juntar-se ao grão-duque Ferdinando II da Toscana, sendo alojado no palácio dos Médice. Durante o período subsequente, desenvolveu diversos projetos científicos, em especial um sobre o movimento das águas, publicado em sua obra Opera Geometrica, dividida em três partes, no ano de 1644. 
Ademais, na segunda parte de Opera Geometrica, Torricelli expõe ideias que complementam o estudo de Galileu em relação ao movimento de projéteis as quais são deveras utilizadas na cinemática na conjuntura hodierna, como ressaltado em Macêdo (2011):
· Em um movimento parabólico de projéteis, se a força que acelera um corpo é suspendida, o projétil se moverá de forma tangente à trajetória;
· Em um gráfico de distância em função do tempo, a tangente do ângulo horizontal em qualquer ponto da trajetória mede a velocidade instantânea do corpo.
Outrossim, ao analisar o movimento das águas, Torricelli empenha-se a descobrir a velocidade de saída de um jato d’água de um pequeno orifício de um recipiente (Figura 1). Segundo ele, a parábola formada alcançaria a altura original se a resistência do ar fosse desconsiderada. De tal maneira, o físico conseguiu determinar a relação entre a velocidade de escoamento das parábolas, as quais eram proporcionais às suas medidas. 
Figura 1 - Exemplificação original do experimento supracitado de Opera Geometrica.
Fonte: Bistafa, 2010.
Torricelli também tenta encontrar o ponto sublime de E (Figura 2), a partir de onde o móvel cai, partindo do repouso de E, descrevendo a parábola AB.
Figura 2 – Exemplificação original 2 do experimento supracitado de Opera Geometrica.
Fonte: Bistafa, 2010.
Segundo Bistafa (2010, p.118):
Numa abordagem atual, este mesmo resultado poderá ser obtido observando que a velocidade horizontal que um móvel adquire em A, caindo de E, é dada por v=√2gEA (g é a gravidade). A distância horizontal percorrida pelo móvel animado desta velocidade será dado por t√2gEA (t é o tempo). O tempo t de interesse, é o da queda do móvel na vertical desde A até H e dado por . Logo, a distância percorrida pelo móvel na horizontal será dada por 2√EA. AH, que é o dobro da média proporcional dos segmentos EA e AH , e igual à amplitude HB da semiparábola; ou seja: HB=2AG
Por conseguinte, a partir de suas experiências, Torricelli chega à conclusão de que “velocidade de efluxo de um jato é igual à que uma única gota do líquido teria de pudesse cair livremente no vácuo do nível acima do líquido em relação ao orifício do efluxo” (PARIZOTTO). Entende-se, ainda, que o efluxo de um jato se assemelha ao fenômeno da queda livre.
3.1.2 Conceptualização inicial.
A Cinemática é um campo de estudo dentro da Física Mecânica que estuda o comportamento do movimento de partículas ou corpos, desconsiderando a influência de forças nos corpos, focando apenas em determinados elementos tais como velocidade, aceleração e posição (WHITTAKER, 1904). 
É simples constatar que a maioria dos objetos em movimento no cotidiano possuem determinada velocidade que varia ao longo do tempo. Tais movimentos podem ser classificados como acelerados ou variados. Quando estes procedem de maneira uniforme, ou seja, no qual a velocidade aumenta ou diminui na mesma proporção em intervalos de tempo iguais, podemos chamá-los de Movimentos Uniformemente Variados. 
Ainda, esses movimentos podem ser classificados como acelerados (Figura 3), no qual há o aumento do módulo da velocidade, ou retardados (Figura 4), no qual há a diminuição do módulo da velocidade.
Figura 3 – Movimento Uniformemente Variado Acelerado.
Fonte: Guia do Estudante. Disponível em < https://guiadoestudante.abril.com.br/curso-enem-play/movimento-retilineo-uniformemente-variado/> Acesso em 08/07/2021.
Figura 4 – Movimento Uniformemente Variado Retardado.
Fonte: Guia do Estudante. Disponível em < https://guiadoestudante.abril.com.br/curso-enem-play/movimento-retilineo-uniformemente-variado/> Acesso em 08/07/2021.
3.1.2.1 Função horária da velocidade.
Segundo Halliday, Resnick e Walker (2012), ao considerar o instante inicial como na equação da aceleração, tem-se a seguinte equação:
 			 (1)
sendo a = aceleração;
v = velocidade final;
= velocidade inicial;
t = tempo inicial.
Explicitando a velocidade:
 				 (2)
Na expressão 2, os valores constantes são a velocidade inicial e a aceleração a. Desta maneira, a velocidade v é diretamente proporcional ao tempo t. Ao conhecer a velocidade v do ponto material, pode-se descobrir o instante de tempo t relacionado a ela e vice-versa.
3.1.2.2 Função horária da posição.
De acordo, ainda, com Halliday, Resnick e Walker (2012), pode-se escrever a equação da velocidade média de tal forma:
 			 (3)
sendo = velocidade média;
x = distância inicial;
 =distância final;
t =tempo final;
 = tempo inicial.
Ao isolar a distância x, considerando 0, tem-se:
 				(4)
Ainda, para a função linear da equação 2, a velocidade média é a média aritmética entre a velocidade inicial e a velocidade final. Portanto, tem-se a equação:
				 (5)
Substituindo a velocidade inicial pelo seu valor expresso na equação 2, obtém-se:
 				(6)
Finalmente, substituindo a equação 6 na equação 4, chega-se na função horária de posição, expressa por:
				(7)
3.1.2.3 Equação de Torricelli.
Ao combinar as equações 2 e 7, chega-se na equaçãode Torricelli, expressa por:
 				(8)
Sendo v = velocidade final;
= velocidade inicial;
A =aceleração;
= variação do deslocamento escalar.
3.2. ANÁLISE DO MOVIMENTO DE QUEDA LIVRE.
O movimento de queda livre dos corpos, estudada tanto por Galileu quanto por Torricelli como supracitado, pode ser considerado como Movimento Uniformemente Variado (MRUV) no qual há a desconsideração das resistências externas (NUSSENZVEIG, 2013). Desta maneira, o valor do módulo da aceleração utilizada nos cálculos se refere à gravidade do ambiente no qual a ocorrência desta queda se dá. Portanto, se o local de referência for a Terra (Figura 5), o valor utilizado é aproximadamente .
Figura 5 – Paraquedistas em queda livre.
Fonte: Blog do Enem. Disponível em https://blogdoenem.com.br/queda-livre-fisica-enem/ Acesso em 09/07/2021.
Como citado anteriormente, o movimento da queda livre é caracterizado por ser MRUV. Logo, pode-se utilizar as equações já expostas para trabalhar com os elementos deste movimento.
	Considerando o deslocamento inicial na equação 7, tem-se:
 					(9)
	Ao explicitar a aceleração g:
	 					(10)
	Considerando a velocidade inicial na equação 2, chega-se em uma equação capaz de calcular a velocidade instantânea no final de cada percurso x:
 					(11)
4. Procedimento
Nesta seção, aplicaremos os conceitos supracitados em um experimento de queda livre, cujo link está registrado na lista de materiais, caracterizado pelos dois procedimentos seguintes: 
4.1 Primeiro procedimento: Estudo do movimento de queda livre na Terra.
Neste procedimento, o ambiente considerado para a análise da queda livre foi a Terra, cuja gravidade é, aproximadamente, . Ademais, a massa do objeto observado foi de 45 gramas. Assim como a Tabela 1 mostra, foram anotados os intervalos de tempo que a massa pontual demora para percorrer diferentes medidas de comprimento, como 10 cm, 20 cm, 30 cm, 50 cm, 70 cm e 100 cm. Para haver a diminuição dos riscos de erro e para atingir uma melhor precisão, os intervalos de tempo foram medidos três vezes e a média deles foi utilizada para o cálculo da velocidade.
Tabela 1 – Resultados experimentais.
	N0 
	y 
(cm) 
	Medidas de t 
(s) 
	Média de t 
(s) 
	Quadrado de t 
(s2) 
	v = 2y/t (m/s) 
	 
1 
 
	 
10 
 
	0,146 
	 
0,146
 
	 
0,021
 
	
1,36
	
	
	 0,148
	
	
	
	
	
	 0,147
	
	
	
	 
2 
 
	 
20 
 
	0,204
	 
0,205 
 
	 
0,042
 
	
1,95 
	
	
	 0,206
	
	
	
	
	
	 0,205
	
	
	
	 
3 
 
	 
30 
 
	0,252
	 
 0,252
 
	 
0,063
 
	
2,38
	
	
	 0,254
	
	
	
	
	
	 0,250
	
	
	
	 
4 
 
	 
50 
 
	0,320 
	0,319
 
 
	0,101 
 
 
	 3,13
	
	
	 0,319
	
	
	
	
	
	 0,317
	
	
	
	 
5 
 
	 
70 
 
	0,369 
	 
0,373
 
	 
0,139 
 
	
3,75 
	
	
	0,374 
	
	
	
	
	
	 0,375
	
	
	
	 
6 
 
	 
100 
 
	0,452 
	 
0,451 
 
	 
 0,203
 
	
 4,43
	
	
	 0,451
	
	
	
	
	
	 0,450
	
	
	
Na Tabela 2, utiliza-se os dados obtidos na Tabela 1 para que haja o cálculo da aceleração média de determinados deslocamentos que se refere à gravidade do local no qual o estudo foi realizado. 
Tabela 2 – Análise dos resultados da Tabela 1 para o cálculo da aceleração. 
	Deslocamento 
	Δt (s) 
	Δv (m/s) 
	a = Δv/Δt (m/s2) 
	y = 0 a y = 10 cm 
	0,146
	 1,36
	 9,3
	y = 10 a y = 20 cm 
	0,059
	 0,59
	 10
	y = 20 a y = 30 cm 
	 0,047
	 0,43
	9,14 
	y = 30 a y = 50 cm 
	0,067
	0,75
	11,1
	y = 50 a y = 70 cm 
	0,054
	0,038
	11,4
	y = 70 a y = 100 cm 
	0,078
	0,68
	8,8 
4.2 Segundo procedimento – Verificação da influência da massa na aceleração do movimento de queda livre.
Neste procedimento, foram anotados os tempos de queda de objetos de massa de 15, 30 e 45 gramas durante o percurso de 100 e 50 centímetros (Tabela 3). Ao comparar os resultados, chega-se na conclusão de que a massa não interfere na determinação do intervalo de tempo. Isso também pode ser concluído a partir da análise das equações utilizadas nos cálculos que se referem à queda livre (Equações 9, 10 e 11) haja vista que em nenhuma delas há o aparecimento da variável massa.
Tabela 3 – Influência da massa no tempo de queda.
	 
	Massa 15 g 
	Massa 30 g 
	Massa 45 g 
	Tempo de queda em segundos para y = 100 cm 
	0,447 s 
	0,447 s 
	 0,447 s
	Tempo de queda em segundos para y = 50 cm 
	0,333 s 
	0,333 s 
	0,333 s 
5 Questionário
1- Trace o gráfico “y contra t” para os dados obtidos da Tabela 1.
2- Trace o gráfico “y contra t2” para os dados obtidos da Tabela 1.
3- O que representa o coeficiente angular do gráfico “y contra t”? Justifique.
É de grande relevância afirmar que o gráfico de uma equação do segundo grau, representada por uma parábola, não apresenta como característica, primariamente, o coeficiente angular haja vista que este está relacionado à equações lineares, representadas por uma reta. Entretanto, quando se correlaciona o estudo das derivadas à esta interpretação, pode-se declarar que existe, de fato, uma equação derivada resultante da equação da parábola (Gráfico da questão 1) que é representada por uma reta tangente à curva. Esta, por sua vez, permite o cálculo da velocidade instantânea do objeto de estudo (tanto que este fato foi citado no texto na apresentação da equação 11) e é diretamente proporcional a aceleração do movimento. 
4- O que representa o coeficiente angular do gráfico y contra t2? Justifique.
A priori, cabe informar que o coeficiente angular se caracteriza como sendo a declividade de uma reta em relação a abscissa, ou seja, é o valor dado pela tangente do ângulo de inclinação. Portanto, o cálculo do coeficiente angular se dá através da fórmula , que, ao ser analisada, demonstra ser relacionada à expressão representada na equação 9. Desta maneira, tem-se .
5- Trace o gráfico da velocidade em função do tempo com os dados da Tabela 1.
6- Trace o gráfico da aceleração em função do tempo, para os dados obtidos da Tabela 2.
7- Determine a aceleração:
(a) pelo gráfico y contra t2;
Primeiramente, se utiliza na equação do coeficiente angular os melhores pontos para descobrirmos seu valor: 
Como deduzido anteriormente, o coeficiente angular é resultado da divisão da aceleração (gravidade) por dois, logo:
(b) pelo gráfico v contra t.
Assim como o item anterior, a aceleração será deduzida através da equação do coeficiente angular:
Substituindo:
8- Determine a função que relaciona a altura da queda e o tempo de queda (f = y(t)).
Assim como já descrito anteriormente, a função que relaciona a altura da queda e o tempo de queda pode ser obtida através da função horária de posição do MRUV . Ao considerar o deslocamento inicial como 0, tem-se: 
9- O tempo de queda depende da massa? Justifique.
Não pois em nenhuma equação analisada neste relatório possui alguma variável que representa a massa do objeto de estudo ao se mover em queda livre. Ademais, isso é possível de ser deduzido através da Tabela 3, que mostra que diferentes tipos de massa obtiveram o mesmo tempo de queda.
6. CONCLUSÃO
Em virtude dos fatos expostos, por meio da contextualização histórica do estudo do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado por físicos de grande renome, como Galileu Galilei e Evangelista Torricelli, e da conceptualização inicial sobre este tópico da Cinemática, é válido ressaltar a relevância do aprendizado de Física Experimental vide sua grande importância dentro da área de Engenharia de Produção Mecânica. Com o encerramento desta prática, pode-se, enfim, determinar as principais características do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado – movimento de natureza retilínea cuja velocidade varia proporcionalmente em relação ao intervalo de tempo – além de um caso especial da temática, o movimento de queda livre.
Nesse contexto, é possível após esta prática compreender e estipular os cálculos fundamentais no estudo do MRUV e, principalmente, da queda livre, como a determinação da velocidade instantânea, aceleração média, intervalo de tempo e altura/deslocamento. Do mesmo modo, também pode-se tomar conclusões acerca da independência do intervalo de tempo da massa do objeto que se move em queda livre.
Outrossim, pode-se, ainda, salientar a presençade possíveis erros ao longo desta prática. Levando isto em consideração, é prudente evidenciá-los. Um destes erros está relacionado a percepção visual ao deslocar a massa pontual para as posições Y estipuladas pois, mesmo com a régua ao dispor do usuário que acessa o link listado na lista de materiais para realizar o experimento, há uma margem de erro considerável que permite o prejuízo à plena análise da queda livre. Outrossim, como o ambiente virtual desconsidera quaisquer forças externas e o intervalo de tempo é calculado pelo próprio sistema, erros que poderiam ocorrer em um laboratório real foram evitados, como a influência dessas forças no experimento e a inexatidão ao cronometrar o tempo.
Portanto, esta prática foi útil no quesito de compreender os conceitos relacionados ao MRUV e na percepção de que há a possibilidade de ocorrer erros que prejudicam a análise apropriada dos resultados obtidos durante o experimento, de tal forma que ajuda aos engenheiros em formação a evitá-los a qualquer custo, seja em ambiente físico ou virtual. 
REFERÊNCIAS 
BISTAFA, S. R. A lei de Torricelli v=√2𝑔ℎ: Uma tradução comentada de sua origem no De Motu Aquarum (Do Movimento das Águas). Revista Brasileira de História da Ciência, v. 7, p. 110-119, 2014. 
FOX, W. Evangelista Torricelli. The Catholic Encyclopedia. Vol. 14. New York: Robert Appleton Company, 1912. Disponível em <http://www.newadvent.org/cathen/14784a.htm>. Acesso em 08/07/2021
HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos de Física: Mecânica. Vol. 1. 9ª ed. Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda: Rio de Janeiro, 2012.
MACÊDO, M. A. R. A equação de Torricelli e o estudo do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 32, n. 4, 4307 (2010)
MACH, E. The Science of Mechanics: A critical and historical exposition of its principle Cambridge University Press: New York, 2013. 
MAGILL, F. N. The 17th and 18th Centuries: Dictionary of World Biography. Vol. 4. Routledge: New York, 2013.
PARIZOTTO, C.E.A., Evangelista Torricelli. Disponível em <http://www.fem.unicamp.br/∼em313/paginas/ person/torricel.htm.> Acesso em 07/08/2021.
WHITTAKER, E. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies. 4ª ed. Cambridge University Press: England, 1937.