Unidade III Projetos na Educação Estatística

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Metodologia do 
Ensino de Matemática: 
Tratamento da 
Informação
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Luzinete de Oliveira Mendonça
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin
Projetos na Educação Estatística
• Projetos na Educação Estatística
• Etapas de um projeto de Investigação Estatística
Esta Unidade tem como objetivo promover condições para:
· Compreeder a convergência da perspectiva de projetos com o processo 
de ensino e aprendizagem da Estatística e Probabilidade;
· Entender percepção da importância de uma metodologia para coleta, 
organização e análise dos dados para a compreensão de situações reais;
· Promover aprofundamento de conceitos estatísticos como medidas de 
tendência central e de dispersão para evidenciar informações contidas 
nos dados.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Olá aluno(a)!
Esta Unidade terá como foco a perspectiva de projetos para a implementação da 
Educação Estatística na Educação Básica.
As discussões teóricas trarão subsídios para a compreensão do processo de 
implementação de um projeto para a abordagem da Estatística, da Combinatória e da 
Probabilidade no Ensino Básico. 
Também darão suporte no que se refere a alguns conceitos dessas áreas, os quais ainda 
não foram abordados nas Unidades anteriores desse curso, como: população, amostra, 
medidas de tendência central e de dispersão (variação). 
Também será aprofundada a discussão sobre o processo de investigação estatística, 
desde o planejamento, a coleta, a organização e a análise dos dados. As questões 
éticas relacionadas à pesquisa de modo geral, a coleta de dados e a experimentação 
também serão abordadas.
Já as atividades práticas e as reflexões sugeridas deverão contextualizar a abordagem 
pedagógica por meio de Projetos no contexto da Educação Básica, além de evidenciar 
algumas possibilidades de exploração dos conceitos que envolvem a Educação Estatística.
Dedique-se à resolução das atividades propostas. Reflita juntamente com seus pares 
sobre elas. Não deixe de ler o material indicado no texto teórico e não esqueça de 
conferir as datas das avaliações.
Bons estudos!
ORIENTAÇÕES
Projetos na Educação Estatística
UNIDADE Projetos na Educação Estatística
Contextualização
Os projetos, enquanto perspectiva pedagógica, é uma forma de abordagem de 
conceitos e procedimentos de forma integrada, abrangente e motivadora.
Em Mendonça (2015) está descrito um projeto de investigação estatística em 
que uma Professora de Matemática convidou uma turma de alunos do primeiro ano 
do Ensino Médio para participar de um projeto em que eles poderiam escolher um 
tema e fazer uma investigação sobre ele. 
O tema foi escolhido após uma negociação entre a professora e os alunos, 
que optaram por fazer uma pesquisa para saber a opinião das pessoas (aspecto 
escolhido) da comunidade (inclusive a escola) sobre música.
Foram formados 6 grupos com 5 alunos, sendo que cada um elaborou algumas 
questões para compor o questionário, o qual geraria os dados para a análise 
exploratória. Cada grupo ficou responsável por entrevistar o maior número de 
pessoas possível para garantir uma amostra representativa.
Entre as questões elaboradas foram escolhidas, coletivamente, as oito a seguir:
1- Como você avalia a proposta da professora quanto:
a) à organização do ambiente (amostragem, a formação dos grupos e da sugestão 
de elaboração das questões pelos grupos);
b) ao trabalho desenvolvido pelos estudantes, considerando a perspectiva de 
projetos para implementação da Educação Estatística (tema, tipo e quantidade de 
variáveis escolhidas, instrumento de coleta de dados);
2- Assumindo o papel de Professor, há alguma coisa que você faria diferente? Por quê?
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Expectativa de resposta
Questão 1: os futuros professores deverão observar a forma como o Professor 
organizou o ambiente. Apesar de esta ser uma questão pessoal, é esperado que haja 
uma reflexão sobre o critério de formação dos grupos em relação à produtividade 
e eficiência, além da forma de escolha do tema.
Quanto à questão da amostragem, espera-se que o futuro professor reflita sobre 
a forma aleatória que a amostra foi determinada, considerado as diversas técnicas 
de coleta de dados.
No que tange à sugestão de os alunos elaborarem as questões, as reflexões 
deverão ocorrer no sentido de considerar a autonomia dada a eles para escolher as 
variáveis (as perguntas determinam as variáveis) e a necessidade da disponibilidade 
de uma boa diversidade de variáveis para o estudo dos conceitos estatísticos e para 
a compreensão do tema.
A alternativa b) instiga a reflexão sobre a relevância das perguntas para o objetivo 
da pesquisa (as perguntas elaboradas ajudam a compreender o tema?) e para o 
estudo da Estatística (as variáveis permitem a abordagem dos conceitos estatísticos 
a serem estudados nesse nível de ensino?).
Questão 2: Espera-se que o futuro professor se posicione diante da situação, 
embasado no texto teórico, e avalie a adequação do ambiente proposto, do papel 
da professora na orientação aos estudantes para a elaboração das questões e nas 
possíveis ações desses no grupo, levando em conta os objetivos do projeto. 
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UNIDADE Projetos na Educação Estatística
Projetos na Educação Estatística
O trabalho com projetos tem sido sugerido nos diversos documentos oficiais de 
orientação curricular (BRASIL, 1997; 1998; 2002; 2006) como por pesquisadores 
das mais diversas áreas (HERNANDES, VENTURA, 1998; ABRANTES, 1994; 
ZABALA, 1998; LOPES, 2003), como metodologia capaz de favorecer o processo 
de ensino e aprendizagem, promovendo ambientes cooperativos nos quais os 
estudantes são sujeitos ativos, autônomos e conscientes de sua responsabilidade na 
construção do próprio conhecimento. Porém, há divergências no que se refere ao 
sentido que tem sido dado à ideia de trabalho de projeto.
Embora o trabalho com projeto seja muitas vezes referido como uma metodologia, 
parece ser mais frutuoso encará-lo como uma filosofia ou uma perspectiva pedagógica, 
tanto mais que o seu valor educativo reside essencialmente no caráter aberto, flexível e 
contextualizado das situações de aprendizagem (ABRANTES, 1994, p.85).
Ao adotar a compreensão do trabalho com projetos como uma perspectiva 
pedagógica, assume-se o processo educativo como abrangente, globalizado e 
formador dos sujeitos, o que está de acordo com a visão freiriana, que compreende 
a educação como um processo que se realiza no contato do homem com o mundo. 
Para Freire (1996), tal processo, por ser dinâmico, está em constante 
transformação e é permeado pelo diálogo, e esse supõe troca, a qual se dá 
em vários sentidos: de educando para educando, de professor para educando 
e vice-versa.
Esta perspectiva compreende uma formação na qual os sujeitos são ativos, 
reflexivos, participantes e capazes de estabelecer relações com os diversos 
conhecimentos entre si e destes com as situações encontradas em suas vivências, 
sejam estas pessoais ou de trabalho (HERNÁNDEZ & VENTURA, 1998).
O trabalho pedagógico com projetos favorece a integração dos conceitos no 
que diz respeito tanto ao aspecto disciplinar quanto ao aspecto interdisciplinar, o 
que representa maiores possibilidades de uma formação mais geral e integrada, 
conforme destaca Lopes (2003b):
[...] para compreender um conceito é necessário estabelecermos relações significativas 
com outros conceitos, quanto mais entrelaçada a rede de conceitos, maior a capacidade 
para estabelecer relações e, portanto, para compreender os fatos próprios dessa área 
(LOPES, 2003b, p.24).
Essa idéia se baseia na compreensão de que a interdisciplinaridade que os 
projetos possibilitam favorece ampla visão dos conceitos e ideias, permitindo o 
desencadeamento de situações que englobam diversos conceitos.
Como escolher temas para a investigação em um projeto?
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O mundo fora da sala de aula pode fornecer dados para a elaboração de 
problemas motivadores para os alunos investigarem. São muitas as possibilidadesde questões a serem levantadas sobre os diversos contextos no qual os sujeitos 
estão inseridos, como a comunidade local, notícias de jornais e revistas e discussões 
científicas relevantes para os alunos. 
Esses contextos podem gerar diversos problemas a serem pesquisados, por 
exemplo: como se caracteriza a população do bairro? Muito tempo de uso da internet 
faz mal à saúde? O uso do celular pode provocar câncer? Entre tantos outros.
A investigação de situações reais pode contribuir para o aluno perceber a 
necessidade que motivou a Humanidade a desenvolver os conceitos que hoje 
usamos, o que poderá ampliar sua visão acerca da ciência como um conhecimento 
construído socialmente. Essa visão favorece a desmistificação da ideia de que 
esta ciência é um conhecimento pré-existente na natureza (visão platônica) e, 
portanto, é um conhecimento pronto, acabado e acessível apenas a alguns 
poucos privilegiados intelectualmente.
A efetivação da perspectiva de projeto na sala de aula, conforme Boutinet (2002) 
deve ser concretizada por meio de alguns procedimentos. 
No início do projeto, o autor recomenda que seja feito um diagnóstico 
da situação pedagógica. Neste primeiro momento, o professor, utilizando 
instrumentos apropriados, busca compreender, com objetividade, os diferentes 
aspectos da situação pedagógica a ser proposta. Em seguida, deve determinar um 
objetivo de ação tendo como base o diagnóstico feito. A partir daí, deve descrever 
e hierarquizar as ações necessárias ao desenvolvimento do projeto; determinar os 
meios que serão utilizados e programar as sequências de suas ações para contribuir 
com o trabalho dos alunos e atingir os objetivos propostos.
Durante o desenvolvimento do projeto, o professor deve fazer o controle para 
que se efetivem as ações planejadas, sendo que essas podem ser reorganizadas de 
acordo com os avanços ou necessidades do trabalho. 
E, na última etapa do projeto, faz-se a avaliação final levando em conta os 
critérios previamente estabelecidos.
Como o trabalho com projetos se relaciona com a Educação Estatística?
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As recomendações da didática da estatística atualmente passam pelo uso de 
projetos de investigação, durante o qual os conceitos dessa ciência são desenvolvidos. 
Essa perspectiva compreende:
Em lugar de introduzir os conceitos e técnicas descontextualizadas, ou aplicar unicamente 
problemas abstratos que não se encontram na vida real, trata-se de apresentar as 
diferentes fases de uma investigação estatística: Planejamento de um problema, decisão 
sobre os dados a serem recolhidos, a análise dos dados e obtenção de conclusão sobre 
o problema apresentados (BATANERO, DIAZ, 2004, p.2).
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UNIDADE Projetos na Educação Estatística
No processo de ensino e aprendizagem da Estatística, essa prática pedagógica 
tem como pontos positivos, na perspectiva das autoras:
• A contextualização da Estatística, considerando que os projetos a tornam 
relevante, já que os dados surgem de um problema e demandam interpretação;
• A possibilidade de os alunos escolherem o tema pode contribuir para despertar 
o seu interesse;
• A interpretação de dados reais possibilita a introdução de ideias que não 
aparecem com os dados inventados pelo professor, como precisão, variabilidade, 
confiabilidade, possibilidade de medição;
• Esse tipo de investigação evidencia que a Estatística não se reduz a 
conteúdos matemáticos.
Nessa perspectiva, o aluno assume papel ativo e autônomo na busca de 
compreender um fenômeno ou aprofundar a compreensão sobre um tema.
Como é possível concluir, na prática com projetos na Educação Estatística, os 
dados com os quais os alunos vão desenvolver a investigação devem ser obtidos por 
meio de objetos concretos (experimentação, entrevistas, questionários, observação 
de fenômenos etc.). 
Nessa dinâmica, os alunos poderão “questionar, conjecturar e procurar relações 
quando têm de resolver problemas no mundo real” (CARVALHO, 2001, p.30). Ou 
seja, o trabalho com projetos demanda a investigação sobre situações reais. 
A implementação de um projeto pode ser feita sob diversas perspectivas. Em 
Mendonça, Lopes e Soares (2013), por exemplo, tem-se uma discussão sobre 
o desenvolvimento de um projeto na perspectiva de modelagem matemática, no 
Ensino Médio. Essa discussão pode servir de base para a prática pedagógica com 
projetos nos diversos níveis do Ensino Básico.
Projeto de investigação estatística: um ambiente de modelagem
Disponível em: http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/XIIICIAEM/artigos/1936.pdfEx
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Como se dá a implementação de um projeto na Educação Estatística?
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Diversas configurações são possíveis na implementação de um projeto para a abor-
dagem da Estatística, da Probabilidade e da Combinatória. Apresento a seguir uma 
dessas possibilidades.
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Etapas de um projeto
de investigação estatística
A implementação de um projeto demanda algumas etapas. No que tange à 
Educação Estatística, pode-se considerar o que segue:
1. Escolha do tema
O tema pode ser escolhido pelos alunos (nos grupos) ou juntamente com o 
professor. Ele pode ainda ser proposto pelo professor em função de interesses 
pedagógicos ou pela relevância da discussão para a formação dos estudantes.
Nessa etapa, o professor organiza o ambiente com a formação dos grupos de 
trabalho, de acordo com os critérios que considerar produtivo.
As trocas que fazem a turma avançar:
Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/formacao/trabalho-grupo-427856.shtmlEx
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Para o desenvolvimento dessa etapa, busca-se instigar os alunos a pensarem em 
assuntos, temas ou fenômenos que possam ser estudados à luz dos conceitos da Estatística. 
Além disso, a interação dos alunos com os colegas deve ser estimulada (para 
escolha e discussão sobre os temas), promovendo um ambiente no qual os 
educandos tenham as condições propícias para expor seus interesses, suas crenças 
e posicionar-se nas discussões;
2. Interação
Essa etapa prevê a promoção de condições para a Interação dos alunos com 
o tema ou fenômeno. É também um período de intercâmbio entre os estudantes, 
possibilitando as negociações dos interesses envolvidos durante a discussão.
A etapa prevê ainda, que os alunos estabeleçam hipóteses sobre o tema escolhido 
e elaborem questões de pesquisa, capazes de guiar o processo investigativo na busca 
de dados necessários para a compreensão do assunto. Além disso, os estudantes 
devem ser estimulados a encontrar estratégias, ferramentas e meios de obter os 
dados necessários para o aprofundamento do tema;
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UNIDADE Projetos na Educação Estatística
3. Definição da questão ou problema
Para a definição do problema os alunos podem ser instigados a pensarem em 
questionamentos como:“Qual é o meu problema? Necessito de dados? Quais? 
Como pode obtê-los? ( BATANERO, DIAZ, 2004, p.9). A partir dessa reflexão 
algumas orientações podem contribuir para a formulação do problema:
• Escolher um ou alguns aspecto(s) do tema para ser investigado(s) (essa limitação 
é importante em função da complexidade da realidade);
• Estabelecer hipóteses acerca do(s) aspecto(s) escolhido(s), (essa ação possibilita 
delimitar o campo de interesse e o contexto de coleta de dados);
• Elaboração da(s) questão(ões) para a verificação da(s) hipótese(s). Essas questões 
se constituem nas variáveis a serem analisadas.
Nessa etapa, os conceitos de população, amostragem e variáveis devem ser 
abordados. Já que é nesse momento que se define a população e a amostra a ser 
investigada é definida. Devem ser exploradas também questões relativas aos tipos 
de instrumentos de coleta de dados (consultas diretas a anuários, sites, formulários, 
banco de dados, questionários (abertos e fechados),experimentação etc. Além disso, 
uma discussão sobre as questões éticas e da pesquisa e da abordagem das pessoas 
em uma pesquisa devem ser postas em destaque;
4. Compreensão do problema
Nesta etapa, os alunos devem iniciar o processo de coleta, organização e análise 
dos dados,dividindo o trabalho em duas fases:
• Pesquisa de campo (coleta de dados);
• Análise exploratória de dados.
A intervenção do professor durante a análise exploratória dos dados (compreende 
a organização e análise) deve ser feita por meio de questionamentos, os quais 
objetivam levar os alunos a utilizar os conceitos estatísticos. Alguns questionamentos 
são base para estimular os alunos: Os dados coletados confirmam suas hipóteses? 
Que outras conclusões você pode tirar a partir desses dados? Qual a média dos 
dados e a mediana? Qual dessas medidas representam melhor os dados? Sua 
amostra é homogênea? Entre outros.
Para levar os estudantes a usar conceitos específicos, os questionamentos podem 
ser mais diretivos. Por exemplo, para estimulá-los a organizar os dados, pode ser 
feito este tipo de perguntas: Suas hipóteses foram confirmadas? Com que 
percentual? Como organizar os dados de forma a observar o comportamento 
de uma variável?Qual modelo representa melhor esses dados?
Para levá-los a observar tendências, pode-se questionar: Como se caracterizam 
as pessoas e sua amostra? Qual a proporção de homens ou mulheres com mais 
de 18 anos? E com idades entre 16 e 18 anos? O que isso significa? Escolhendo 
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uma pessoa ao acaso na sua amostra, qual a probabilidade de escolher uma mulher 
com 17 anos? E um homem com mais de 18 anos?
Para levá-los a fazer relações entre variáveis, os questionamentos devem instigá-
los a compará-las: Vocês consideram que o comportamento das pessoas tem 
relação com a idade ou com o nível de escolaridade? Que outras relações 
vocês observaram?
A fim de instigar os alunos a refletirem sobre os resultados encontrados pode-se 
questionar: Suas hipóteses foram confirmadas? A que vocês atribuem esse 
comportamento? Os resultados surpreenderam vocês? Por quê?
Para fazer os alunos relacionarem os dados ao contexto gerador dos dados 
pode-se questionar: O que significa este resultado na prática? Entre outras.
Como se observa, nessa fase os alunos são convidados a utilizar os conceitos 
e modelos matemáticos e conceitos estatísticos para calcular índices e medidas 
estatísticas, que podem servir para estabelecer relações e tirar conclusões. Nesse 
processo, eles assumem papel ativo e crítico, observando um fenômeno real sob a 
ótica de conceitos matemáticos e estatísticos; 
5. Deduções, conclusões, inferência e comunicação de resultados
Nesta etapa, os alunos devem analisar as relações verificadas no processo 
investigativo e compará-las às hipóteses estabelecidas inicialmente. Essas análises 
devem possibilitar a tirada de conclusões e fazer previsões para a população com 
base nos resultados observados na amostra consultada.
Essas análises devem ser feitas de forma crítica, observando a validade e a 
capacidade de generalização dos modelos construídos para a amostra pesquisada 
para a população em estudo. 
Para levar os alunos a refletir sobre o processo investigativo, os procedimentos 
e as estratégias empreendidas, apresentam questionamentos sobre a eficácia dos 
instrumentos de coleta de dados usados, das análises empreendidas e a validade 
dos resultados encontrados.
Os alunos devem ser instigados a comunicar a outros os resultados encontrados e 
as atitudes que estes resultados indicam. Esse é um momento favorável à exploração 
de vocabulário e dos diversos modelos e índices construídos no processo investigativo.
Essa discussão evidencia a importância do papel do professor no trabalho 
com projetos, pois um ambiente de aprendizagem nessa perspectiva demanda 
uma intervenção problematizadora para instigar aos alunos a refletirem sobre as 
situações ou fenômenos, sob a ótica da Estatística, Probabilidade ou Combinatória. 
Além disso, a perspicácia do professor para sistematizar os conceitos à medida que 
eles forem necessários a cada grupo de alunos, de modo a lhes atribuir significado 
é fundamental.
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UNIDADE Projetos na Educação Estatística
No trabalho com projetos, os conceitos são sistematizados no decorrer da 
investigação à medida que esses são necessários. Assim, cada etapa exige a 
abordagem de conceitos, ideias e procedimentos, de acordo com a necessidade 
da investigação.
O professor deve estar atento para a contemplação de maior diversidade possível 
de variáveis, para que os diversos conceitos e modelos sejam abordados e para a 
compreensão do tema.
Distribuições de Frequências e Seus Gráficos: http://goo.gl/1mbxbh
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Os conceitos de população e de amostragem são importantes no momento 
em que os alunos planejam a coleta de dados. A compreensão desses conceitos é 
favorecida pela necessidade deles no contexto do projeto de cada grupo.
População ou universo estatístico é o conjunto de todos os elementos que têm 
pelo menos uma característica em comum (podem ser pessoas, objetos, animais, 
entre outros). Uma população pode ser finita ou infinita. 
Os alunos da turma 6ºB, os consumidores de um determinado produto, os 
moradores do baixo X, por exemplo, são exemplos de populações finitas.
Enquanto os resultados obtidos em sucessivos lançamentos de uma moeda 
(cara ou coroa) ou de um dado (faces), os habitantes do Estado de São Paulo, são 
exemplos de populações infinitas.
Cada elemento da população é chamado de unidade estatística e um 
subconjunto finito da população, chama-se amostra.
Uma pesquisa para obter informações sobre uma população normalmente é feita 
por amostragem, já que a consulta a toda a população é denominada censo. Fazer um 
censo é um processo caro, demorado e muito trabalhoso. Entretanto, a determinação 
da amostra exige alguns critérios para que se possa fornecer informações realistas 
sobre a população. 
Censo 2010: http://censo2010.ibge.gov.br
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Existem várias técnicas de amostragem, cada uma se aplica a situações específicas. 
Técnincas de amostragem: https://goo.gl/aQeD11
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Como promover uma discussão sobre população e amostra em uma sala de aula da 
Educação Básica?Ex
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O contexto de um projeto em que se objetive fazer uma pesquisa estatística pode 
ser motivador para introduzir a discussão sobre os conceitos de população e amostra. 
Entretanto, em situações que os estudantes não estão habituados com esse tipo de 
pesquisa é prudente tomar como base contextos de pesquisas já desenvolvidas ou 
situações didáticas específicas para esse fim. O objeto de aprendizagem dando 
ibope, da Unicamp, pode ser uma forma interessante para fazer essa introdução.
Dando IBOPE: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1082
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Veja o vídeo e explore o manual do professor. Nele, diversas técnicas de 
amostragem são apresentadas, o que pode subsidiar o planejamento de uma aula 
em que os conceitos de população e amostra serão abordados.
Pesquisas acadêmicas que têm como objeto de análise projetos de investigação 
estatística também podem ser fontes de inspiração para fomentar a discussão 
sobre o processo de escolha de amostras para serem pesquisadas. Em Mendonça 
(2008), tem-se uma boa diversidade de projetos e o detalhamento do ambiente de 
aprendizagem promovido. 
Educação estatística em um ambiente de modelagem matemática nas aulas do ensino médio 
Disponível em: fi le:///C:/Users/Producao-03/Downloads/3882551035419502%20(1).pdf
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Que conceitos estatísticos podem contribuir para a análise de dados?
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Nas Unidades anteriores, vimos que as representações gráficas são ferramentas 
poderosas para a análise de dados. Nessa Unidade, vamos observar outros conceitos 
que os alunos podem usar para a análise de dados no decorrer de um projeto. 
Iniciamos pelas medidas de tendência central.
Também chamadas de medidas resumo a média, a moda e a mediana são índices 
importantes para descrever a distribuição de uma variável quantitativa, elas indicam 
a localização dos dados. 
A exploração das propriedades dessas medidas de posição é um aspecto 
importante a ser considerado no processo de ensino e aprendizagem da Estatística.
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UNIDADE Projetos na EducaçãoEstatística
A média é a medida mais usada pela mídia para resumir um conjunto de dados. 
Por isso, ela é popular entre os cidadãos. Além disso,
a média fornece um indicador que pode ser interpretado como um valor típico e que 
pode representar, em certas circunstâncias, um conjunto de dados. Além disso, é a base 
para o cálculo de outras medidas tais como o desvio padrão, coeficiente de variação, de 
correlação, dentre outras (MAGINA et al, 2010, p. 62).
Como se observa, a média é um conceito fundamental para a Estatística e apesar 
de existirem outros tipos de média a média aritmética é a mais comum. Ela pode 
ser simples ou ponderada.
Médias (aritmética, geométrica, harmônica: http://goo.gl/S64Emw
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O cálculo da média aritmética simples é feito somando-se os valores de todas as 
observações e dividindo-se esse total pelo número de observações. 
Exemplo: A= 2, 2, 2, 3, 5, 5, 8, 9, 9, 9, 9, 9
Média aritmética simples: (2+2+2+3+5+5+8+9+9+9+9+9)/12 = 72/12 = 6
Enquanto na média ponderada, cada número que fará parte da média terá um peso 
relativo. Nesse caso, no processo de cálculo, este peso (ou quantidade de vezes que 
um número aparece) será multiplicado pelo número com o qual se relaciona. Esses 
produtos serão somados e divididos pela soma dos pesos, como no exemplo que segue.
Exemplo: A= 2, 2, 2, 3, 5, 5, 8, 9, 9, 9, 9, 9
Média aritmética ponderada: (3.2 + 1.3 + 2.5 + 1.8 + 5.9)/12 = 72/12 = 6
Você acha que o conhecimento do algoritmo da média implica a compreensão desse conceito?
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O entendimento do conceito de média passa pela apropriação de uma visão 
ampla sobre suas propriedades, as quais compreendem:
a) a média está localizada entre os valores extremos (valor mínimo <média> 
valor máximo);
b) a soma dos desvios a partir da média é zero (∑ (Xi – média) = 0);
c) a média é influenciada por cada um e por todos os valores (média = ∑ Xi/n);
d) a média não necessariamente coincide com um dos valores que a compõem;
e) a média pode ser um número que não tem um correspondente na realidade 
física (por exemplo, o número médio de filhos por casal é de 2,3);
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f) o cálculo da média leva em consideração todos os valores inclusive os nulos 
e os negativos;
g) a média é um valor representativo dos dados a partir dos quais ela foi 
calculada. Em termos espaciais, a média é o valor que está mais próximo de 
todos os valores. (STRAUSS E BICHLER apud MAGINA et al, 2010, p.62)
A compreensão dessas propriedades possibilita ter uma visão clara da média 
enquanto valor representativo do conjunto de dados e de um valor central em uma 
distribuição simétrica. Além disso, possibilita o entendimento da média como valor 
equitativo de um grupo de dados.
Equitativo
1. Que tem equidade; 2. Reto, justo; 3. Em que há equidade.
Fonte: Dicionário Priberam. 
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O conhecimento das propriedades da média favorece a observação da adequação 
ou inadequação dessa medida a uma dada situação.
A principal desvantagem da média é o fato de ela ser afetada por valores 
discrepantes. Valores discrepantes ou Outliers são aqueles valores muito afastados 
da maioria dos dados.
Considere por exemplo os conjuntos hipotéticos de dados:
A=1, 1, 3, 3, 5, 5 
B= 1, 1, 3, 3, 5, 17. 
A média no conjunto A é igual a 3, enquanto no conjunto B ela é aproximadamente 
5. Observe que a diferença entre os dois conjuntos é apenas no valor do limite 
superior. Ou seja, a média é puxada para cima pelo valor discrepante desse limite. 
Nesse caso, ela não representa bem o conjunto de dados.
Que outras medidas podem ser usadas para representar um conjunto de dados?
Que outras medidas podem ser usadas para representar um conjunto de dados?
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Outra medida usada para representar um conjunto de dados é a mediana.
A Mediana é o valor que divide o conjunto de dados (ordenados) em duas partes, de 
modo que abaixo e acima da mediana encontram-se 50% das observações.
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UNIDADE Projetos na Educação Estatística
 Para o cálculo da mediana, os dados devem estar ordenados. Se o número de 
observações for ímpar, a mediana é o valor central. Sendo o número de observações 
par, a mediana é a média dos dois valores centrais no conjunto. O quadro a seguir 
ilustra essa ideia.
Conjunto com quantidade 
par de dados
Conjunto com quantidade 
ímpar de dados
A= 2, 2, 3, 4, 4, 5, 7. B= 2, 2, 2 3, 4, 5, 5, 9
A mediana é o valor central A mediana é a média aritmética dos dois valores centrais.
Mediana = 4 Mediana = (3+4)/2 = 3,5
A mediana é uma medida de posição robusta ou resistente. Medidas resistentes 
são aquelas que não se alteram na presença de valores discrepantes, por isso, em 
situações em que o grau de variação é muito grande a mediana pode representar 
melhor os dados que a média.
 Observe o conjunto A usado anteriormente (A=2, 2, 3, 4, 4, 5, 7) com o limite 
superior alterado para um número muito maior, ou seja: C=2, 2, 3, 4, 4, 5, 25. 
A mediana continua com o mesmo valor (4), independente da mudança de um de 
seus limites para um valor discrepante dos dados.
A moda  também é uma medida de tendência central.  Ela pode ser usada 
com dados qualitativos ou quantitativos e não exige o uso de cálculos, por isso, é 
facilmente encontrada. A moda é o valor que aparece com maior frequência no 
conjunto de dados.
Um conjunto pode não ter dados repetidos. Nesse caso, dizemos que ele é 
amodal, pois não tem moda. 
No conjunto D= 2, 3, 3, 6, 7, 9, a moda é 3. Nesse caso, dizemos que o 
conjunto é unimodal, pois tem uma única moda. 
No conjunto A= 2, 2, 3, 4, 4, 5, 7, temos duas modas: 2 e 4. Nesse caso, o 
conjunto é bimodal, com mais modas, multimodal. 
O site do clube OBMEP tem uma discussão interessante com exemplos e vídeos sobre as medidas 
de tendência central: Como você pode explorar esse site com os alunos do Ensino Básico, para o 
estudo das medidas de tendência central? Como avaliar a adequação da média a um grupo de 
dados? Explore o site e reflita sobre essas questões antes de prosseguir nos estudos:
http://goo.gl/68uGxt
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Como saber a homogeneidade de um grupo de dados?
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or
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Na Estatística, usam-se as medias de dispersão para medir a variação dos dados. 
Essas medidas são usadas para observar o quanto os dados são homogêneos. 
Particularmente em situações de comparação de amostras, a observação do 
grau de variação dos dados é útil.
Observe as duas situações hipotéticas que seguem. Qual dos dois é mais 
homogêneo? Em qual dos dois casos a média é mais adequada?
a) 25, 28, 31, 34, 37
b) 17, 23, 30, 39, 46
Homogêneo: Que apresenta grande unidade, adesão entre seus elementos.
Ex
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or
Para observar o grau de dispersão dos dados em torno da média, usamos o desvio 
padrão.Um desvio padrão alto indica que a média pode não representar bem o conjunto 
de dados pois, nesse caso, os dados são muito dispersos em relação à média.
Essa medida indica o grau em que todos os valores de uma distribuição se 
desviam da média. O desvio padrão é sempre expresso por um único valor. O seu 
cálculo leva em consideração todos os resultados existentes na distribuição. Esse 
processo compreende alguns passos:
1º passo
Calculamos o desvio médio fazendo a subtração da média de cada valor, ou seja: 
• Para o conjunto A= (25-31); (28-31); (31-31), (34-31); (37-31)
-6 ; -3 ; 0 ; +3 ; + 6 
• Para o conjunto B= (17-31); (23-31); (30-31); (39-31); (46-31)
-14 ; - 8 ; -1 ; 8 ; 15
Observe que a soma dos desvios é igual a zero nos dois casos:
A: (-6)+(-3)+0+3+6 = 0
B: (-14)+(-8)+(-1)+8+15 = 0
2º passo
Calculamos a variância amostral, fazendo a soma dos desvios, elevada ao 
quadrado e dividindo esse total pela quantidade de dados menos um. Ou seja:
A: [(-6)2+(-3)2+02+32+62]/5-1 = (36+9+0+9+36)/4= 90/4 = 22,5
B: [(-14)2+(-8)2+(-1)2+82+152]/ 5-1= (196+64+1+64+225)/4 = 550/4 = 137,5
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UNIDADE Projetos na Educação Estatística
A variância do conjunto A é igual a 22,5 e a do conjunto B é 137,5. O resultado 
da variânciaé dado em unidades quadráticas, o que dificulta a sua interpretação.
Importante!
Existe uma diferença no cálculo da variância quando esta é calculada em uma amostra 
e em uma população.
Importante!
Variância populacional Variância amostral
( ) ( ) ( ) ... ( )x x x x x x x x
n
n1
2
2
2
3
2 2− + − + − + + − ( ) ( ) ( ) ... ( )x x x x x x x x
n
n1
2
2
2
3
2 2
1
− + − + − + + −
−
3º passo
Para resolver o problema da unidade de medida quadrada da variância, calculamos 
o desvio padrão extraindo a raiz quadrada da variância. Ou seja:
Dp de A= 22,5 = + 4,74
Dp de B= 137,5 = + 11,72
O desvio padrão, que é a raiz quadrada (positiva) da variância, tem a mesma 
unidade dos dados, por isso essa medida é mais bem compreendida que a variância.
Medidas de dispersão: variância e desvio padrão: http://goo.gl/RDuJzS
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Como interpretar o desvio padrão?
Ex
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Quanto menor for valor do desvio padrão, menos os resultados se distanciam 
da média. Um conjunto de dados com um desvio padrão baixo é homogêneo, 
enquanto outro com um desvio padrão elevado descreve um grupo heterogêneo 
de dados. 
Nos exemplos usados, observamos que apesar de os dois conjuntos A e B dados 
possuírem a mesma média (31), eles apresentam dispersão muito diferentes. 
Desse modo, podemos dizer que a média representa melhor o conjunto A que 
o conjunto B.
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Importante!
As discussões anteriores mostram que os projetos são estratégias de ensino 
e aprendizagem abrangentes em que os estudantes assumem papel ativo na 
busca de compreensões sobre temas relevantes e interdisciplinares. Essa é uma 
oportunidade importante para a formação científica dos estudantes. No que 
tange à Educação Estatística, esse pode ser um meio motivador para a construção 
de conceitos, procedimentos e atitudes em função do caráter transdisciplinar da 
Estatística, favorecendo a construção de uma visão mais abrangente da área e de 
sua inserção nas diversas ciências.
Em relação aos conceitos específicos, foram postas em destaque nesta Unidade as 
medidas de posição (média, moda e mediana) e de dispersão (variância e desvio 
padrão) como ferramentas que dão indicações importantes para a observação 
da natureza, do comportamento e da distribuição de um conjunto de dados, 
constituindo-se em conceitos potenciais para a análise de dados em um projeto de 
investigação estatística.
Em Síntese
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UNIDADE Projetos na Educação Estatística
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
No trabalho a seguir, está descrito o processo de desenvolvimento de diversos projetos de 
Estatística de estudantes do terceiro ano do ensino médio.
É uma boa oportunidade para aprofundamento sobre o uso de projetos na Educação 
Estatística. Nele você encontra, inclusive, uma amostra do resultado de alguns trabalhos 
desenvolvidos pelos alunos:
 Livros
A educação estatística em um ambiente de modelagem matemática no ensino médio.
MENDONÇA, Luzinete de Oliveira. São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2008. 
245p. Disponível na Universidade Cruzeiro do Sul. [D 519.2(043.3) M495e].
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Referências
ABRANTES, P.. O trabalho de projecto e a relação dos alunos com a 
matemática: a experiência do projecto MAT 789. 1994. 630 f. Tese (Doutorado 
em Educação)-Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, Lisboa, 1994.
BATANERO, C. DIAZ, C. El papel de los proyectos en la enseñanza y aprendizaje 
de la estadística. In: ROYO, J. Patricio (Ed.). Aspectos didácticos de las 
matemáticas. Zaragoza: ICE, 2004. p.125-63.
BOUTINET, J.P. Antropologia do projeto. Tradução de Patrícia Chitonni Ramos. 
Porto Alegre: Artmed, 2002.
CARVALHO, Carolina. Interacção entre pares: contributos para a promoção do 
desenvolvimento lógico e do desempenho estatístico, no 7º ano de escolaridade. 
2001. 533 f. Tese (Doutorado)-Universidade de Lisboa, Lisboa, 2001.
FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 
25. ed. São Paulo: Paz e Terra, 1996.
HERNÁNDEZ, F.; VENTURA, M. A organização do currículo por projetos de 
trabalho: o conhecimento é um caleidoscópio. Tradução de Jussara Rodrigues. 5. 
ed. Porto Alegre: Artmed, 1998.
LOPES, C. O conhecimento matemático adquirido através dos projetos. In: LOPES, 
Celi Espasandin. Matemática em projetos: uma possibilidade. Campinas, SP: FE, 
2003. p. 23-27.
MAGINA, S.; CAZORLA, I.; GITIRANA, V.; GUIMARÃES, G. Concepções e 
concepções alternativas de média: Um estudo comparativo entre professores 
e alunos do Ensino Fundamental. Educar em Revista, Curitiba, Brasil, n. especial 
2, p. 59-72, 2010. Editora UFPR.
MENDONÇA, L. O.; LOPES, C. E.; SOARES, E. Educação Estatística em um 
ambiente de modelagem matemática nas aulas do ensino médio. Horizontes, 
v. 31, p. 1-23, 2013. ISSN 2317.109X.
ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar. Tradução de Ernani F. Rosa. 
Porto Alegre: Artmed, 1998. 224 p.
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