UNIDADE II - RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA

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Metodologia do 
Ensino de Matemática: 
Tratamento da 
Informação
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Luzinete de Oliveira Mendonça
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin
Resolução de Problemas na Educação Estatística
• A Resolução de problemas na educação matemática
• A resolução de problemas na educação estatística
• Sugestão de atividade
Promover condições para:
 · A compreensão da Resolução de problemas como metodologia de ensino;
 · A percepção da convergência da didática da Estatística e a Resolução de problemas;
 · A compreensão da análise exploratória de dados na perspectiva de resolução de 
problemas.
 · Ao final da unidade os alunos devem:
 · Identificar as ideias fundamentais da Estatística, da Combinatória e da 
Probabilidade;
 · Perceber a adequação das representações gráficas e tabulares, as estatísticas e as 
associações entre variáveis como ferramentas importantes para a análise de dados;
 · Desenvolver a capacidade de criar situações que requerem conhecimento de 
Estatística, de Probabilidade e de Combinatória a partir de um contexto real.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Olá aluno(a)
Nesta Unidade, abordaremos alguns tópicos sobre a Resolução de Problemas na Educação 
Estatística na Educação Básica.
A discussão se inicia com uma reflexão acerca da Resolução de Problemas na Educação 
Matemática e a convergência desta com a didática da Estatística e Probabilidade e com a 
proposta dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) para os currículos dessas áreas. 
Em meio às discussões teóricas serão apresentadas situações problematizadas a partir do 
contexto real envolvendo a Estatística, a Combinatória e a Probabilidade. A resolução 
e a análise dessas situações devem levar à reflexão sobre sua aplicação na perspectiva da 
Resolução de Problemas na Educação Básica.
As leituras sugeridas, assim como as visitas a sites da web para a ampliação de ideias ou 
aprofundamentos darão suporte à compreensão de como a Resolução de Problemas pode 
ser usada na escola, em todos os níveis de ensino da Educação Básica para a inserção da 
Educação Estatística. 
Resolva as atividades propostas, assista à videoaula e ouça a apresentação narrada com 
atenção. Não deixe de visitar os links indicados no texto teórico e não se esqueça de conferir 
as datas das avaliações.
Bons estudos e sucesso!
ORIENTAÇÕES
Resolução de Problemas 
na Educação Estatística
UNIDADE Resolução de Problemas na Educação Estatística
Contextualização
E aí, você já fez uma “fezinha” na Mega Sena essa semana?
O prêmio da Mega Sena tem sido cada vez maior! No dia 25 de novembro de 
2015, ele chegou a R$ 200 milhões! É muito dinheiro, não? 
Cada vez que o prêmio chega a valores altos como esse, os brasileiros planejam 
como gastar tanto dinheiro! Mesmo as chances de acertar, apostando apenas uma 
cartela simples, sendo de 1 em 50 063 860!
Desanimou? 
Calma! 
Você pode aumentar suas chances fazendo mais de um jogo! 
Será que vale a pena? 
Para o cálculo das chances é preciso calcular as combinações possíveis com as 
dezenas escolhidas.
A fórmula a seguir pode ajudar.
P i =
C XC
C
a-k,b-i k,i
a,b
( )
Onde:
a é o número de dezenas do volante (na Mega Sena, a = 60)
b é o número de dezenas sorteadas (na Mega Sena, b = 6)
k é o número de dezenas por volante (se o volante tem 6 dezenas, k = 6)
i é o número de dezenas que configura um jogo premiado (para a sena, i = 6, 
para a quina, i = 5 e para a quadra, i = 4)
E então, suas chances aumentaram muito? E se você fizesse 3 apostas e 10 apostas? Será que 
compensa fazer tantas apostas?
Que outros questionamentos o professor pode fazer para estimular os alunos a refletirem 
sobre o jogo e a importância do conhecimento da probabilidade de ganhar? 
O site da Caixa Econômica Federal mostra essas e outras informações sobre apostas em suas 
loterias. Visite o site para ficar por dentro de como esse jogo é feito, o custo dos jogos e a destinação 
do dinheiro das apostas: http://loterias.caixa.gov.br/wps/portal/loterias/landing/megasena/
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Importante!
O contexto das loterias é propício para despertar uma discussão sobre Probabilidade 
e Combinatória. Também favorece a reflexão sobre a importância de conhecer 
as bases de cálculo das chances de ganhar esses jogos para evitar expectativas 
exageradas de ganhar.
Link sobre jogadores patológicos: http://goo.gl/xxnasm
Importante!
Figura 1
Fonte: iStock/Getty Images
Explorar jogos de azar na sala de aula é uma forma de conscientizar os sujeitos 
sobre os perigos de descontrole e vícios em jogos. Esse contexto pode proporcionar 
situações problemáticas a serem investigadas pelos estudantes, oportunizando 
o desenvolvimento de conceitos de Probabilidade, Combinatória e Estatística na 
perspectiva da Resolução de Problemas.
Veja a proposta de atividade a partir contexto de loterias contida.
Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1328Ex
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UNIDADE Resolução de Problemas na Educação Estatística
A Resolução de problemas na 
educação matemática
A resolução de problema como metodologia de ensino de Matemática 
começou a ser foco de pesquisa de George Polya em 1968, com sua obra 
A arte de resolver problemas, na qual, segundo Onuchic e Alevatto (2011), 
Polya preocupou-se em organizar o processo de resolução de problemas e a 
forma de ensinar essas estratégias para os estudantes construírem caminhos 
para resolver problemas de Matemática. 
A arte de resolver problemas: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/resu2.html
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As autoras consideram que essa ideia ficou de lado por um tempo, mas, na 
década de 1980, após o fracasso do movimento da Matemática Moderna, a 
proposta de um ensino da Matemática baseada na Resolução de Problemas é 
retomada, particularmente com as publicações e incentivo do Conselho Nacional de 
Professores de Matemática (NCTM), apoiado nos fundamentos do construtivismo 
e na teoria sociocultural.
Conforme, Onuchic e Alevatto (2011, p. 78): “O foco, nessa fase, foi colocado 
sobre os processos de pensamento matemático e de aprendizagem por descoberta, 
no contexto da resolução de problemas”. Entretanto, as autoras ponderam que 
naquela ocasião não havia clareza sobre a forma de atingir o objetivo da proposta. 
Desse modo, as diferentes concepções de resolução de problemas davam origem a 
diversas formas de ação na sala de aula.
Essas formas de ação foram agrupadas em três formas de abordar a resolução de 
problemas, conforme Schroeder e Lester (1989) apud Onuchic e Alevatto (2011, 
p. 79): “(1) ensinar sobre resolução de problemas; (2) ensinar Matemática para 
resolver problemas; e (3) ensinar matemática através da resolução de problemas”. 
Interessa-nos aqui o aprofundamento sobre a última forma de abordagem da 
resolução de problemas.
Ensinar Matemática através da resolução de problemas consiste em tomar 
um problema como ponto de partida para a construção de novos conceitos e 
novos conteúdos. Nessa perspectiva, o aluno assume papel ativo na construção do 
conhecimento em uma dinâmica na qual o professor é orientador e copartícipe. 
Na tentativa de reforçar a simultaneidade do ensino e da aprendizagem, Onuchic 
e Alevatto (2011) usaram o termo “ensino-aprendizagem” por algum tempo. 
Atualmente, elas acrescentaram o termo “avaliação”, por considerar que essa 
deve acontecer no decorrer do processo e por ambos os sujeitos envolvidos, o 
professor e o aluno. 
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Nesse caso, as autoras assumem a perspectiva de resolução de problemas como 
uma “metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da 
Resolução de Problemas”.
Nessa perspectiva, a dinâmica da sala de aula ocorre em algumas fases, que 
demandam ações específicas dos alunos e do professor.
Existem diversas formas de conceber o processo de Resolução de Problemas. Na 
impossibilidade de relatar todos eles, explicito aqui apenas a proposta de Onuchic 
e Alevatto (2011), que está embasada em resultados de pesquisasdas autoras há 
mais de 20 anos. Essa perspectiva é convergente com as recomendações das 
orientações curriculares nacionais (BRASIL, 1997, 1998, 2002, 2006).
Quadro 1. Fases de uma aula na perspectiva da metodologia de 
ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas.
Preparação 
do problema
Nessa fase, seleciona-se o problema a ser desenvolvido de acordo com os objetivos. 
O conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não deve ter sido 
estudado ainda em sala de aula.
Leitura individual Os alunos devem ter um tempo para ter contato com o problema com uma leitura individual e uma reflexão sobre ele.
Leitura coletiva
Uma segunda leitura do problema deve ser feita coletivamente, no grupo;
 · Se houver dificuldade na compreensão do texto, o professor pode auxiliar os alunos, 
inclusive fazendo a leitura do problema; 
 · Se houver palavras desconhecidas para os alunos, o professor pode esclarecer as 
dúvidas ou sugerir a consulta a um dicionário.
Resolução do problema
A resolução do problema pelos grupos deve ocorrer de forma cooperativa e colaborativa. 
Considerando os alunos como co-construtores do novo conhecimento matemático.
O papel do professor nessa fase: observar e incentivar.
O professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho 
colaborativo, buscando fazê-los refletir, incentivando-os e tirando suas dúvidas. Além 
disso, o professor deve estimular os alunos a escolher diferentes caminhos (métodos) 
tendo como base seus conhecimentos atuais, mas os auxiliando na construção do 
conhecimento esperado.
Ele deve, ainda, estar atento para dar o tempo necessário para os alunos refletirem e para 
troca de ideias entre si.
Registro das soluções na lousa
Nessa fase, os representantes de cada grupo são convidados a registrar, na lousa, suas 
resoluções, (certas ou erradas). Essas e os diferentes processos apresentadas serão objetos 
de análise e discussão.
Plenária
Na plenária, os estudantes são convidados a discutir as diferentes resoluções registradas 
na lousa pelos colegas. Estes, por sua vez, defenderão seus pontos de vista e esclarecerão 
possíveis dúvidas. 
O papel do professor nesse momento é o de mediar as discussões, incentivando a 
participação de todos os alunos.
Busca de consenso Após as discussões dos alunos sobre as diferentes resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor deve promover o consenso sobre o resultado correto.
Formalização do conteúdo
Este é um momento de formalização, no qual o professor registra na lousa uma 
apresentação formal organizada e estruturada em linguagem matemática. É quando os 
conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema 
são sistematizados. Nesse processo, as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações 
das propriedades qualificadas devem ser evidenciadas.
Fonte: Adaptado de Onuchic e Alevatto (2011).
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UNIDADE Resolução de Problemas na Educação Estatística
Qual o papel do professor no trabalho da perspectiva da Resolução de Problemas? Como você 
acha que os alunos reagiriam ao serem convidados a participar de um ambiente de aprendizagem 
com essa abordagem? 
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É importante destacar que no decorrer do processo de resolução do problema, 
os estudantes devem ser estimulados a avaliar as próprias ações e a do grupo, e o 
professor avalia o processo como um todo e a participação de cada estudante em 
particular.
O trabalho em grupo, como se observa, é um aspecto relevante desse processo, 
que está ligado à influência da perspectiva sociocultural da aprendizagem, que 
embasa a metodologia de resolução de problemas.
Essa organização dos alunos pode favorecer a construção do conhecimento em 
função de as trocas entre os sujeitos permitirem a construção de novos significados 
para o mesmo objeto, o desenvolvimento da capacidade de negociação de suas 
ideias ou das diferentes resoluções e o compartilhamento de dúvidas e dificuldades.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) sugerem a resolução de problema 
como um ponto de partida para o trabalho nas aulas de Matemática, assumindo o 
desenvolvimento da capacidade de resolver e explorar problemas e generalizá-los 
como objetivos do ensino de Matemática na Educação Básica.
Link: https://www.youtube.com/watch?v=eZr1wOpaiOg.
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A resolução de problemas 
na educação estatística
O processo de ensino e aprendizagem, na perspectiva de resolução de problema, 
no âmbito da Educação Estatística, centra-se na promoção de um ambiente de 
investigação sobre situações do cotidiano e das ciências em geral. Essa perspectiva 
está de acordo com a didática da Estatística, a qual está centrada na análise 
exploratória de dados de situações reais (BATANERO, 2001).
Primeira etapa do processo de Resolução de Problemas: 
elaboração da Tarefa (ou problema)
Os problemas a serem desenvolvidos pelos alunos podem se originar de situações 
ou arquivos de dados previamente preparados pelo professor, desde que pertençam 
a contextos de relevância para os alunos. Esses problemas devem motivar e desafiar 
os estudantes a se envolverem na sua resolução.
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Onde buscar inspiração para elaborar problemas desafiadores e atrativos para os alunos?
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As reportagens de jornais, revistas e a web são fontes importantes para o forne-
cimento de situações motivadoras e de dados relevantes para o estudo da Estatística.
A consulta aos estudantes sobre as temáticas de sua preferência também pode 
ser uma estratégia promissora para gerar problemas que despertem o interesse dos 
estudantes. Entretanto, é preciso salientar que por mais atraente que a tarefa seja, 
o ambiente de aprendizagem proposto é determinante para que a metodologia de 
Resolução de Problemas contribua para a aprendizagem de conceitos, ideias ou 
procedimentos.
O processo de Resolução de Problema na Educação Estatística
Na etapa de resolução dos problemas, os alunos devem ser estimulados a desenvol-
ver algumas ideias fundamentais relativas à Estatística, Probabilidade e Combinatória:
1 A classificação é o primeiro passo na organização de dados.
Exemplo: coleção de objetos – Animais
Org. simplesOrg. simples
Animais 
vertebrados
Conjunto 1
Organização complexa
Conjunto 2
Animais 
que voam
Conjunto 3
Vertebrados
que voam
A compreensão da organização mais complexa exige o raciocínio inclusivo, ou 
seja, que um objeto pode pertencer a mais de uma classe.
2 Os dados são coletados e organizados a fim de responder a perguntas 
sobre as populações, fenômenos ou objetos. 
Essa ideia está relacionada à compreensão de que no processo de ensino e 
aprendizagem é importante que os alunos compreendam porque determinados 
dados foram recolhidos e porque estes dados foram coletados e não outros. Além 
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UNIDADE Resolução de Problemas na Educação Estatística
disso, é relevante que ao final da investigação eles reflitam sobre validade dos dados 
recolhidos (ou apresentados) para responder à pergunta que os gerou, assim como 
do processo empreendido e dos modelos usados e das relações estabelecidas.
3 As representações gráficas servem para visualizar o comportamento 
dos dados e comunicar os resultados:
Figura 2
O gráfico é um recurso visual importante para observar o comportamento dos 
dados e comunicar resultados. Entretanto, é preciso estar atento à adequação do 
modelo à variável em estudo.
4 A escolha da representação gráfica pode influenciar a compreensão das 
informações contidas nos dados, pois uma representação dos dados 
pode evidenciar melhor uma informação que outra. 
Observe as duas representações a seguir, que apresentam a quantidade de alunos 
que possuem alguns tipos de animais de estimação.
Figura 3
Fonte: elaborado pela autora
Qual dos dois modelos representa melhor os dados?
Nessa situação, se o objetivo for quantificar os alunos que tem cada tipo de animal 
de estimação, a Tabela mostra melhor essa informação que o Gráfico de Linhas. 
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Entretanto, emmeio ao processo de investigação, o apoio em diversas formas de 
representações gráficas pode ser de muita utilidade. “A ideia fundamental da análise 
Exploratória de dados é a utilização de múltiplas representações de dados, o que 
se torna um meio de desenvolver novas habilidades e perspectivas” (BATANERO, 
2001, p. 30). 
Essa ideia é convergente com a proposta de Wild e Pfannkush (1999) acerca da 
transnumeração, conforme foi discutido na Unidade I.
É preciso, no entanto, ficar atento ao fato de que “análise de dados é muito mais 
que construir gráficos e calcular estatísticas. Inclui levantar e responder questões 
sobre o nosso mundo” (VAN DE WALLE, p. 486).
Desse ponto de vista, essas situações devem ser problematizadas de modo 
que, no processo empreendido no decorrer da resolução do problema, os alunos 
possam construir elementos capazes de contribuir para a construção dos conceitos 
almejados em uma dinâmica reflexiva e crítica. 
Um processo de ensino e aprendizagem centrado no cálculo de índices com dados fictícios favorece 
o desenvolvimento de uma visão abrangente sobre a Estatística como explicitado anteriormente?Ex
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As sugestões metodológicas para o ensino de Estatística, atualmente, são no 
sentido de aproveitar os interesses reais dos alunos para coletar e organizar os 
dados que servirão de base ao trabalho que virá a ser realizado ao longo da Unidade 
(projetos). Essa metodologia será discutida na Unidade III.
No entanto, situações elaboradas pelo professor ou sugeridas pelos alunos, 
tendo como referência contextos reais relevantes para os estudantes, podem ser 
geradoras de um ambiente desafiador e produtivo na sala de aula (LESH; AMIT; 
SHOR, 1999; GARFIELD, DELMAS & ZIEFFLER, 2010, MENDONÇA, 2015). 
Nessa perspectiva, as situações advindas do contexto real são potenciais para a 
atribuição de significados aos conceitos envolvidos na Educação Estatística. 
No processo de análise de dados, alguns elementos e ideias possibilitam a 
compreensão dos fenômenos aleatórios. No processo de ensino e aprendizagem 
da Estatística na Educação Básica, destacam-se: as representações gráficas e 
tabulares, a associação entre variáveis, as medidas de tendência central e de 
dispersão. Esses elementos são fundamentais para o desenvolvimento das ideias 
fundamentais da Estatística. 
Representações gráficas e tabulares
Em concordância com as perspectivas atuais da didática da Estatística, em todos 
os ciclos do Ensino Básico, os PCNs enfatizam a construção, leitura e interpretação 
de representações tabulares e gráficas. 
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UNIDADE Resolução de Problemas na Educação Estatística
Essa ênfase é atribuída ao forte apelo visual desses modelos, que podem mostrar 
padrões dos dados e apresentar resultados. Sua presença na mídia, em geral, 
também é destacada pelo documento. É prudente salientar que a adequação da 
representação gráfica não é elementar, pois ela está ligada tanto à característica 
dos dados (qualitativos ou quantitativos) quanto da natureza da variável (contínua 
ou discreta). Outros aspectos também influenciam essa adequação, por exemplo, 
quanto aos objetivos da investigação.
Vale apresentar uma síntese das características dos principais modelos 
matemáticos usados na Estatística para observamos a adequação de cada um aos 
diversos tipos de dados e aos objetivos da investigação.
Tabela simples
A Tabela é uma forma de organizar os dados e é adequada para apresentar 
tanto variáveis qualitativas quanto quantitativas. Ela possibilita a organização dos 
dados de forma simples usando a frequência absoluta ou acumulada e pode ter 
quantas colunas se queira.
No exemplo, é um recurso suficiente para mostrar a população das dez cidades 
brasileiras mais povoadas.
Tabela 1
As dez cidades mais populosas do Brasil em 2014
Município População
São Paulo 11.895.893
RIo de Janeiro 6.453.682
Salvador 2.902.927
Brasília 2.852.372
Fortaleza 2.571.896
Belo Horizonte 2.491.109
Manaus 2.020.301
Curitiba 1.864.416
Recife 1.608.488
Porto Alegre 1.472.402
Fonte: elaborada pela autora com dados do IBGE.
Tabela de dupla entrada
Esse tipo de Tabela é adequado para organizar os dados de duas variáveis 
qualitativas ou ainda de uma quantitativa e uma qualitativa. Nesse caso, ela é 
construída com as frequências absolutas. 
Ela também é usada para observar a relação de dependência entre essas variáveis. 
Nesse caso, ela é chamada de “tabela de contingência” e usa-se a frequência percentual.
Medidas de associação para variáveis categóricas em tabelas de dupla entrada:
http://www.ufscar.br/jcfogo/EACH/Arquivos/Associacao_Tabelas_2entradas.pdf
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A Tabela de contingência também é indicada para fazer comparações de 
amostras de tamanhos diferentes ou para observar a associação entre as duas 
variáveis. É prudente ressaltar a necessidade de uma grande quantidade de dados 
para se observar associação entre variáveis, sejam elas qualitativas ou quantitativas.
Tabela 2. Preferência dos estudantes sobre filmes de acordo com o sexo.
Tipos de filme Feminino Masculino Total
Comédia 20 16 36
Ficção 31 25 56
Ação 5 26 31
Romance 25 14 39
Total 81 81 162
Fonte: Elaborado pela autora.
Gráfico de barras (horizontais e verticais)
Os Gráficos de barras são adequados para comparar grandezas. Eles podem 
apresentar barras horizontais ou verticais (colunas). Nos dois casos, as barras são 
separadas e da mesma largura; cada retângulo (barra) representa a intensidade de 
um atributo.
Os Gráficos de barras podem apresentar variáveis qualitativas (nominal e ordinal) 
e quantitativa discreta. Além disso, é possível apresentar uma ou mais variáveis em 
um mesmo gráfico. Entretanto, a apresentação de um número grande de categorias 
pode inflacionar o gráfico, dificultando o entendimento do leitor.
Figura 4
Fonte: Elaborado pela autora com dados do IBGE.
Gráfico de setores
Esse tipo de representação é adequado para representar variáveis qualitativas, 
nominal e ordinal. Pode também ser usado para variáveis quantitativas discretas, 
mas não é usual em função de não ser possível apresentar uma escala. A principal 
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UNIDADE Resolução de Problemas na Educação Estatística
contribuição do Gráfico de setores (também chamado de “Gráfico de pizza”) é o 
fato de ele favorecer a observação de partes de um todo. As áreas dos setores são 
proporcionais às frequências das suas categorias, por isso a soma das frequências 
percentuais (cada setor) é igual a 100% (todo).
Essa representação não é adequada para apresentar um número grande de 
categorias ou quando alguma categoria tiver frequência igual a zero, pois ela não 
aparecerá no gráfico. Nesse caso, o Gráfico de barras é mais eficiente.
Figura 5
Fonte: Elaborado pela autora com dados do IBGE.
Gráfico de linhas (Diagrama linear)
O Gráfico de linhas é adequado para representar a evolução dos valores de 
uma ou mais variáveis no decorrer do tempo. Ele favorece a visualização da 
estabilidade, do crescimento ou do decrescimento dos dados. Além disso, ele 
permite a observação de uma ou mais variáveis, como no exemplo a seguir, no 
qual se observa a possibilidade de comparar duas categorias.
Figura 6
Fonte: http://www.portaldaindustria.com.br. Acesso em nov. 2015.
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Histograma
O Histograma é adequado para representar distribuição de frequências de 
variáveis quantitativas contínuas ou variável discreta quando esta está organizada em 
intervalos, o que ocorre quanto se tem muitos valores distintos para uma categoria. 
Distribuição de Frequência e Histograma para Dados Agrupados em Classes: 
http://www.uff.br/cdme/distfreq/distfreq-html/dfreqcont.htmlEx
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Esse gráfico é composto de retângulos justapostos cujas bases são apoiadas em 
um eixo horizontal que contém os dados agrupados em intervalos. Suas classes são 
exaustivas, isto é, todos os dados devem pertencer a alguma classe, as quais são 
mutuamente exclusivas, ou seja, cada dado só pode pertencer a uma única classe.
Um Histograma pode ter uma formasimétrica, apresentando uma frequência 
mais alta no centro, e ir reduzindo à medida que se aproxima das bordas. Mas o 
histograma também pode ser assimétrico, ou seja, apresentar um ponto mais alto 
lateralmente e apresentar redução de altura para uma das laterais.
Histograma, locação, variabilidade e capacidade: 
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAeqP8AI/histograma-locacao-variabilidade-capacidadeExp
lo
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A construção do Histograma manualmente é relativamente fácil, entretanto, nas 
planilhas eletrônicas, ela demanda conhecimentos específicos do manuseio das 
ferramentas da planilha.
O Histograma: http://www.alea.pt/Html/statofic/html/dossier/doc/ActivAlea25.pdfExp
lo
r
No exemplo a seguir, observa-se um Histograma com 6 classes de amplitude 5, 
que mostra uma relativa simetria em torno do intervalo central.
Figura 7
Fonte: wikia.com. Acesso em nov. 2015.
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UNIDADE Resolução de Problemas na Educação Estatística
Polígono de frequências
O Polígono de frequências é adequado para representar uma distribuição de 
frequências, assim como o Histograma. Sua construção ocorre a partir da união 
dos pontos centrais (ponto médio) das bases superiores dos retângulos de um 
Histograma. Assim, as alturas dos pontos que estão ligados para formar o polígono 
representam as frequências das classes e não dos valores individuais. Observe o 
exemplo a seguir:
Figura 8
Fonte: http://www.vitutor.net/2/11/poligonos_frecuencia.html. Acesso em nov. 2015.
Diagrama de dispersão
Esse modelo matemático é usado quando se quer visualizar ou apresentar a relação/
associação entre duas variáveis quantitativas. Ele apresenta uma “nuvem” de pontos, 
que representam o cruzamento das duas variáveis e mostra a tendência da relação 
entre elas, podendo apresentar uma associação positiva (as duas variáveis crescem) ou 
negativa (uma variável cresce e a outra decresce). Observe o exemplo a seguir:
Figura 9
Fonte: Elaborado pela autora.
A construção de um Diagrama de dispersão só se justifica com uma quantidade 
razoável de dados, para que algum padrão se evidencie no modelo.
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Diagrama de ramo e folhas
Essa representação gráfica é adequada para variáveis quantitativas discretas e 
contínuas. Ele mostra a distribuição dos dados, destacando: simetria, dispersão, 
agrupamento e amplitude, possibilitando a observação da variabilidade dos dados. 
Esse Diagrama pode substituir o Histograma quando o número de dados não for 
muito grande, com a vantagem de que todos os dados e possíveis lacunas e valores 
atípicos no conjunto de dados (valores insignificantes podem ser desconsiderados) 
podem ser visualizados.
Em função de sua simplicidade, tanto de construção como de análise, ele pode 
ser usado na resolução de problemas nos diversos níveis do Ensino básico. Observe 
o exemplo a seguir, no qual são apresentadas as idades, em anos, de um grupo de 
pessoas participantes de uma pesquisa.
Figura 10
Fonte: Elaborado pela autora.
Pictograma
O Pictograma é adequado quando se quer valorizar uma determinada temática, 
em função do alto apelo visual que ele apresenta. Ele pode assumir várias formas 
(ramo e folhas, barras, setor circular etc.), com o diferencial de apresentar ilustrações 
com imagens relacionadas ao contexto do qual as informações fazem parte. Sua 
construção é facilitada com o uso de tecnologia.
Observe o exemplo a seguir, que mostra a distribuição dos 60 alunos do curso 
de Administração, por idade de acordo com o sexo.
Figura 11
Fonte: Elaborado pela autora.
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UNIDADE Resolução de Problemas na Educação Estatística
Como é possível observar, os diversos modelos podem ser usados para a redução 
dos dados, de acordo com suas características e os interesses da investigação.
Diversos aspectos podem ser explorados a partir das diferentes representações 
gráficas, como visto anteriormente. 
Saiba qual tipo de gráfico representa melhor os seus dados no Excel 2007.
http://goo.gl/Ujj17YEx
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A seguir, veremos uma situação em que a representação gráfica tem papel 
importante.
Você atribui importância à abordagem dos diferentes tipos de representações gráficas na 
Educação Básica? Por quê?
Os recursos disponibilizados pela escola possibilitam essa abordagem?
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Associação entre variáveis
Em um processo investigativo, coletamos informação sobre as características, 
que são obtidas por meio de variáveis quantitativas ou qualitativas, obtendo, assim, 
um conjunto de dados sobre as variáveis observadas.
Nesse processo, observar a relação entre as duas variáveis, que se suspeita estarem 
relacionadas, pode contribuir para descrever o comportamento e a natureza dessa 
relação. Assim, pode-se valer de uma Tabela de contingência (variáveis qualitativas) 
ou de um Diagrama de pontos ou Diagrama de dispersão (variáveis quantitativas).
A partir do Diagrama de dispersão, é possível obter a reta de regressão e sua 
equação. Uma representação deste tipo mostra a forma, a direção e o grau de 
associação entre as variáveis. Esse processo pode ser explorado no Ensino Básico 
a partir do uso de planilhas que fornecem o gráfico de dispersão, a equação da reta 
de regressão.
Nesse caso, foca-se a exploração do modelo, observando sua adequação e a 
compreensão da implicação da relação observada, ou da falta dela.
As planilhas eletrônicas também fornecem o coeficiente de correlação (R2), que 
varia entre -1 e 1, ou seja,
R2
Fraca Forte
-1 1
Nesse caso, quanto mais perto de 1, maior o grau de associação entre as 
variáveis.
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Atividades em que os estudantes investigam a associação entre variáveis podem ser 
desenvolvidas no Ensino Básico, fazendo uso de planilhas eletrônicas para construção do 
gráfico de dispersão. 
O recurso multimídia “Ação, reação e correlação” é um meio interessante para o 
aprofundamento desse tema. Sua exploração na Educação Básica pode ser feita de acordo 
com o nível de ensino dos alunos. 
Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1043
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Quanto aos dados de natureza qualitativa, a associação das variáveis pode ser 
observada por meio da Tabela de dupla entrada. Sobre esse aspecto, Bussab e 
Moretin (2003, p. 74) salientam:
Um dos principais objetivos de se construir uma distribuição conjunta de duas variáveis 
qualitativas é descrever a associação entre elas, isto é, queremos conhecer o grau de 
dependência entre elas, de modo que possamos prever melhor o resultado de uma 
delas quando conhecemos a realização da outra.
Desse ponto de vista, a observação da associação de duas variáveis pode fornecer 
elementos para a tomada de decisão. Esse conceito pode ser explorado em diversos 
níveis de ensino, com maior ou menor nível de aprofundamento. 
Observemos o exemplo a seguir, que foi adaptado de uma Tabela feita por alunos 
de um 5º ano do Ensino Fundamental, que pesquisavam a brincadeira favorita de 
sua turma.
Tabela 3. Quantidade de vezes que se brinca de cada brincadeira.
Brincadeiras
QUANTIDADE DE VEZES QUE SE BRINCA
Total
Uma Duas Três Quatro
Rouba bandeira 3 3 4 1 11
Chute a gol 0 1 2 1 4
Paredão 0 0 0 1 1
Total 3 4 6 3 16
Fonte: Adaptada de Mendonça (2015).
A elaboração do modelo pelos alunos teve como intenção a organização dos 
dados coletados. Ou seja, eles não tinham a intenção de observar o grau de 
associação entre as variáveis “quantas vezes se brinca” e os “tipos de brincadeiras”. 
Nesse caso, a elaboração da Tabela de dupla entrada foi feita de forma intuitiva.
Tabela de contingência
A construção da Tabela de contingência é feita a partir da Tabela de dupla entrada, 
na qual se faz a comparação entre os totais marginais da Tabela. A elaboração da 
Tabela de contingência só se justifica se eles forem diferentes, pois se forem iguais 
o comportamento das variáveis fica evidente.
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UNIDADE Resolução de Problemas na Educação Estatística
 Aqui, observa-se diferenças entre os totais marginais, o que dificulta a observação 
de associação entre as variáveis. Sendo assim, procede-se à elaboração de uma 
Tabela com as proporçõessegundo as linhas ou as colunas. 
Nesse caso, optei por fixar os totais das colunas, mas poderia ser os das linhas. 
Assim, o valor de cada célula é dividido pelo total da coluna e a soma desses valores 
deve ser igual a 100%. Quanto aos valores marginais da coluna eles são comparados 
ao total da amostra, nesse caso, 16 sujeitos. O resultado desse processo é o que 
está a seguir:
Tabela 4. Tabela de contingência: quantidade de vezes que se brinca x brincadeiras
Brincadeiras
Quantidade de vezes que se brinca
Total
Uma Duas Três Quatro
Rouba bandeira 100% 75% 66,67% 33,33% 69%
Chute a gol 25% 33,33% 33,33% 25%
Paredão 33,33% 6,25%
Total 100% 100% 100% 100,00% 100%
Fonte: Elaborada pela autora.
Observando os totais marginais da coluna, podemos observar que 
independente da quantidade de vezes que se brinca de cada brincadeira, tem-se 
que 69% dos alunos escolheram “rouba bandeira”, 25% “chute a gol” e 6,25% 
escolheram “paredão”.
Nesse caso, é possível considerar que há alguma relação de dependência entre as 
variáveis, já que as porcentagens das células da linha são diferentes da porcentagem 
marginal. Caso contrário, esperaríamos que nas células da primeira linha houvesse 
porcentagem próxima ou igual a 60%, na segunda linha, 25% e por fim 6, 25% 
na terceira linha.
A quantificação do grau de associação entre as duas variáveis pode ser feita pelo 
coeficiente de associação. Entretanto, esse aprofundamento não é feito no Ensino 
Básico. Nesse nível, basta a compreensão de que:
Quanto maior a diferença entre as porcentagens de cada 
célula e o total marginal, maior será o grau de associação!
É preciso ressaltar, no entanto, o fato de que duas variáveis se associarem não 
significa que uma causa a outra.
Em Bussab e Moretin (2003), há elementos para esse aprofundamento. Alguns recursos 
multimídia da Unicamp tratam da correlação e podem ser explorados na Educação Básica.
Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1043
http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1084
Ex
pl
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Medidas de tendência central e de dispersão
Além das representações gráficas e da associação entre variáveis, o cálculo 
de algumas medidas, conhecidas também como estatísticas, são usadas no 
processo de descrição e análise dos dados. Entre estas, destacam-se as medidas 
de localização, a média, a mediana e a moda; além das medidas de dispersão, 
o desvio padrão e a amplitude, que medem a variabilidade dos dados. 
Estas medidas, também chamada de estatísticas, juntamente com as diversas 
formas de descrição de dados discutidas anteriormente, são ferramentas importantes 
no processo de análise dos dados e tratamento da informação. A multiplicidade 
de elementos de análise no processo de investigação com dados é relevante em 
função de cada um deles terem limitações e adequações. 
No que se refere às medidas de localização e dispersão, é preciso levar em conta 
que, ao reduzir a informação contida nos dados em alguns números, fazemos redução 
drástica desses dados, por isso a escolha de uma ou outra dessas estatísticas para 
representar os dados deve ocorrer de modo que esta os representem da melhor possível. 
E, por essas serem usadas rotineiramente nos meios de comunicação, o 
entendimento de sua adequação é fundamental para avaliar as informações 
neles veiculadas. Uma discussão aprofundada sobre essas medidas será feita na 
Unidade III.
Importante!
A resolução de problemas no que tange à Combinatória envolve a resolução de situações 
que contenham quatro tipos de problemas: o produto cartesiano, os arranjos, as 
combinações e as permutações. 
Esses tipos de problemas exigem o raciocínio combinatório e podem ser tratados a 
partir do princípio multiplicativo e aditivo.
Link sobre raciocínio combinatório: http://goo.gl/vvZCSU
Importante!
Segundo princípio multiplicativo: 
se um evento A pode ocorrer de p maneiras 
distintas e um evento b pode ocorrer de q 
maneiras distintas, então o evento A seguido 
do, ou simultâneo ao evento B pode ocorrer de 
p . q maneiras distintas.
De acordo com o princípio aditivo: se 
A e B forem conjuntos disjuntos (com 
intersecção  vazia) e o número de elementos 
de A é p e o número de elementos de B é 
q, então o conjunto C  tem p + q elementos.
Além dessas, a ideia de correspondência biunívoca também é base da 
Combinatória, já que essa lida com a associação de elementos de dois ou mais 
conjuntos. Assim, constituem-se ideias fundamentais da combinatória: Os 
princípios aditivos e multiplicativos e a correspondência biunívoca, que dão suporte 
ao raciocínio combinatório.
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UNIDADE Resolução de Problemas na Educação Estatística
O estudo da Combinatória pode ter nas representações gráficas um forte aliado, 
particularmente em função da especificidade do raciocínio lógico que caracteriza 
essa área. 
Os diagramas de Ven amparam esse tipo de raciocínio quando da combinação de 
elementos de conjuntos distintos. Uma explicitação dessa ideia foi feita na Unidade 
I. A construção desses diagramas é facilmente feita manualmente e por meio de 
planilhas eletrônicas. 
Aprenda melhor com diagramas de Venn: https://www.youtube.com/watch?v=26v5IOZKfHQ
Planilhas eletrônicas - Diagramas de Ven: http://www.pucsp.br/tecmem/OAs/VennGame.htmlEx
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As Orientações Curriculares Nacionais (BRASIL, 2006) destacam um aspecto 
fundamental da Combinatória no Ensino Médio. O documento ressalta que nesse 
nível de ensino ela “tem inter-relação estreita entre as ideias de experimento 
composto a partir de um espaço amostral discreto e as operações combinatórias 
(BRASIL, 2006, p. 79)”. 
Nesse sentido, as orientações recomendam: “A utilização do diagrama de 
árvore é importante para clarear a conexão entre os experimentos compostos e a 
combinatória, pois permite que visualizemos a estrutura dos múltiplos passos do 
experimento” (BRASIL, 2006). 
Diagrama de árvore: https://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_%C3%A1rvore
Ex
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Essa forma de organização dos resultados de uma experiência aleatória pode 
ser usada nos diversos níveis de ensino, de acordo com o nível cognitivo dos 
Estudantes. Ela é particularmente útil na determinação das probabilidades, como 
se observa no exemplo a seguir, que é útil na resolução de problemas que envolvem 
duas possibilidades, como é o caso do lançamento de moedas.
Fonte: http://daquepensar.com/2012/05/exame-nacional-do-9o-ano-parte-2-estatistica-e-probabilidades. Acesso em nov. 2015.
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Os resultados do caso de lançamento de uma moeda três vezes se constitui 
no espaço amostral, que dá suporte para responder questionamentos acerca dos 
eventos presentes em situações com essa mesma característica.
Analisemos o exemplo em que poderíamos querer saber a probabilidade do 
evento ocorrer 1 ou 2 vezes, tendo três chances de ocorrências, o que seria análogo 
à probabilidade de sair Co no máximo 2 vezes, ou seja: (Ca, Co, Ca - Ca, Co, 
Co – Co, Ca, Ca – Co, Ca, Co – Co, Co, Ca – Co, Co, Ca). Assim: seriam 6 
possibilidades do total de 8. Ou seja: 6
8
. A probabilidade seria de 3
4
.
Importante!
Van de Wale (2009) considera as seguintes ideias como fundamentais na probabilidade:
· a probabilidade é uma medida de chance;
· A chance não tem memória, ou seja, em uma experiência simples, a ocorrência de um 
resultado não tem efeito em uma próxima experiência;
· A probabilidade é uma quantidade contínua, que vai de 0 (impossível) a 1 (certo);
· A frequência relativa (probabilidade experimental) pode ser usada como uma 
estimativa de probabilidade. Quanto maior o número de experiências, maior a 
convergência para um determinado número;
· A simulação é uma técnica usada para obter probabilidades relativas a situações do 
mundo real;
· Em alguns eventos, a probabilidade exata pode ser determinada a partir do próprio 
evento (probabilidade teórica).
É prudente ressaltar que o desenvolvimento dessas ideias demanda a vivência em 
situações concretas de experimentação, análise e reflexão sobre dados.
Importante!
Importante!
Nasetapas da Plenária e Formalização do conteúdo, os diversos modelos, ideias e 
estratégias usadas pelos alunos devem ser explorados de modo que estes sejam usados 
como base para a sistematização dos conceitos e procedimentos. 
Nesse processo, os estudantes devem ser estimulados a refletir e discutir, posicionando-
se diante das diferentes formas de resolução do problema. O papel do professor, nesse 
caso, é o de buscar consenso entre as ideias tendo como foco a construção dos conceitos 
pelos alunos (ONUCHIC E ALEVATTO, 2011).
Como podemos concluir, o processo de ensino e aprendizagem da Estatística, da 
Combinatória e da Probabilidade pode ser favorecido se amparado na perspectiva de 
resolução de problemas em função da dinâmica investigativa e dialógica do ambiente de 
aprendizagem característico dessa proposta, ao contribuir para a interdisciplinaridade e 
para participação ativa e crítica dos estudantes, características que atribuem significado 
aos conceitos dessas áreas.
Em Síntese
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UNIDADE Resolução de Problemas na Educação Estatística
Sugestão de atividade
A sala de aula pode servir para gerar problemas motivadores para discutir os 
conceitos da Estatística, Probabilidade e Combinatória. 
Uma breve sondagem entre os alunos pode fornecer dados para a promoção 
de um ambiente investigativo, de acordo com a necessidade ou objetivos do curso. 
As questões podem ser elaboradas em conjunto com os alunos, mas é preciso 
prestar atenção às variáveis de diversas naturezas – quantitativas (discretas e 
contínuas) e qualitativas (nominal e ordinal). O quadro a seguir mostra um exemplo 
dessa proposta.
Sujeitos
Tempo de 
estudo fora 
da escola
Número de pessoas na 
família (morando na 
mesma casa)
Tempo de 
navegação na 
internet (horas)
Estilo 
musical 
preferido
Desempenho em 
matemática (baixo, 
médio, alto)
1
2
3
4
...
Os dados gerados a partir desse questionário possibilitam a elaboração de 
questões que podem se constituir em problemas que exigem o uso de conceitos, 
procedimentos e atitudes específicas e observar relações entre variáveis.
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
O mundo em que vivemos está repleto de dados que chovem por todos os lados. 
Sozinhos, esses dados só fazem barulho e confusão. Para dar sentido a eles, achar 
significados, precisamos de um ramo poderoso da Ciência: a Estatística! 
Aonde a Estatística pode nos levar? Os nossos olhos podem se abrir para uma visão do 
mundo baseada em fatos! Agora, não só os experts, mas qualquer um pode entender 
as histórias contidas nos dados. (Hans Rosling)
 Vídeos
The Joy of Estats (O Prazer da Estatística) - Com o professor Hans Rosling
Assista ao documentário. Ele dará uma ideia abrangente do poder e da importância 
da Estatística!
https://www.youtube.com/watch?v=xLr68J2yDJ8
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UNIDADE Resolução de Problemas na Educação Estatística
Referências
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Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidade de Granada. 2001. 
Disponível em: <file:///C:/Users/User/Downloads/Didactica_Estadistica%20(4).
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Curriculares Nacionais: Matemática (1º e 2º ciclos do ensino fundamental). 
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students to construct conceptual models for statistical reasoning. In: GAL, I.; 
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em Ensino de Ciências e Matemática)− Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2015.
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73-98.São Carlos.dez. 2011. 
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