24649483-relacao-entre-um-quadrilatero-inscrito-em-um-hexagono-regular

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Considere um hexágono regular ABCDEF e sejam M e N os pontos 
médios dos lados BC e CD, respectivamente.? 
A razão entre a área do quadrilátero AMNE e a área do hexágono é? 
Fonte da pergunta 
http://br.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AiOqCgTvWgW.ZdCtOvvMePMS7Qt.;_ylv
=3?qid=20091230093229AA87zfR 
ou 
http://j.mp/6SCRpb 
Resposta: 
Desenhando a figura apresentada no problema: 
 
Para um hexágono sabemos que a área é dado por 
 
ou 
 
 
 
A principal dúvida esta na nova área formada formada pelo quadrilátero. 
Depois de achado esta nova área, basta dividir a área do quadrilátero pelo área do 
hexágono e teremos o resultado procurado, ou seja, 
razão entre a área do quadrilátero AMNE e a área do hexágono 
http://br.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AiOqCgTvWgW.ZdCtOvvMePMS7Qt.;_ylv=3?qid=20091230093229AA87zfR
http://br.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AiOqCgTvWgW.ZdCtOvvMePMS7Qt.;_ylv=3?qid=20091230093229AA87zfR
http://j.mp/6SCRpb
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Primeiramente, dividiremos o hexágono em 6 triângulos equiláteros, de onde poderemos 
tirar algumas informações importantes conforme apresentado na figura abaixo. 
 
Para um quadrilárelo a área é dado por 
 
 
Nos concentraremos nos dois triângulos formados internamente. 
O primeiro triângulo é formado por AOE 
O segundo triângulo é formado por MON 
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O segmento AO e OE possuem tamanho conforme a primeira fórmula apresentada na 
figura do hexágono 
Sendo assim, aplicando a lei dos cossenos, temos 
 
Alterando AO e OE por e o ângulo por 120 graus 
 
 
 
 
 
 
Agora já temos o tamanho da Base maior do quadrilátero 
Aplicaremos a mesmo equação para achar base menor do quadrilátero 
Conforme a figura apresentada, o segmento MO e ON possuem tamanho da altura do 
triângulo equilátero de lado . 
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A altura do triângulo equilátero, é dado por: 
 
Da mesma forma, temos 
 
Alterando AO e OE pelo valor de h e o ângulo por 60 graus 
 
 
 
 
 
 
 
Agora já possuimos os valores da Base maior e base menor 
Faltando agora apenas altura do quadrilátero. 
A altura do quadrilátero é que a soma das altura dos triângulos AOE e MON 
Para achar as alturas desejadas (h1 e h2), basta achar a projeção dos respectivos lados dos 
triângulos AOE e MON no eixo PQ 
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Assim temos 
AO possui tamanho 
 
 
MO possui tamanho 
 
 
 
A altura do quadrilátero PQ será a soma dos segmentos 
PO e OQ 
 
 
Agora de posse de todos os dados do quadrilátero, basta calcular a área desejada 
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B = AE 
b = MN 
A = PQ 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resultados final desejado é a razão entre a área do quadrilátero AMNE e a área do hexágono 
ABCDEF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A razão entre a área do quadrilátero AMNE e a área do hexágono ABCDEF é 5/8 
Obs.: Existem várias outras formas de achar esta resposta. Esta foi uma delas. 
 Resolução do problema apresentado em http://bit.ly/6SCRpb