Lista 1 2011.1

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1a Lista de Exercícios - Cálculo I
1: Seja f a função definida por f(x) = x2−x. Encontre f(−2), f(0), f(1), f(x−1), f(f(x))
e f(x2 − f(x)).
2: Encontre o domínio das funções definidas abaixo.
(a) f(x) = x2 − 2x (b) g(x) = √x− 2
(c) h(x) = √3− 2x (d) r(x) = x− 2
1− x2
(e) m(x) = 1 + 23x− 4 (f) n(x) =
√
x− 2 +√5− x
Definição: Sejam f uma função e p ∈ R. Dizemos que p é uma raiz de f quando f(p) = 0.
3: Encontre, em existindo, as raízes das funções definidas abaixo.
(a) f(x) = x2 − 4 (b) g(x) = 2x− 3
(c) h(x) = 9− x2
x2 + 1
(d) q(x) = x2 − 9
x− 3
(e) p(s) = s2 − 5s+ 6 (f) x(f) = 3f 2 − 5f − 2
(g) r(x) = x2 − 42x− 4 (h) s(x) = x3 − 2x2 − 4x+ 8
4: Mostre que a função f : R −→ R, definida por f(x) = x3 − 3, é uma bijeção e encontre
sua função inversa.
5: Mostre que a função f : R −→ R, definida por f(x) = x3 − 3x, não é uma bijeção.
6: Mostre que a função f : R −→ R, definida por f(x) = x3 − 3x2 + 3x, é uma bijeção e
encontre sua função inversa.
7: Sejam a,b,c e d números reais, com c 6= 0 ou d 6= 0, e f : Df −→ If a função definida por
f(x) =
ax+ b
cx+ d
.
Encontre o domínio de f (Df ), a imagem de f (If ) e condições necessárias e suficientes
sobre as constantes a,b,c e d, de modo que f seja uma função injetiva. Sendo f injetiva,
encontre sua função inversa.
8: Seja f : Df −→ If a função definida por
f(x) =
1
(x− 1)3 .
Encontre o domínio de f (Df ), a imagem de f (If ) e mostre que f é uma função injetiva.
Encontre sua função inversa.
9: Seja f : R −→ R a função definida por
f(x) =
{
x2 − 2x se x < −1,
1 + 2x2 se − 1 ≤ x.
Encontre f(−2), f(−1), f(0), f(1− pi) e f(1−√2).
Encontre, em existindo,
lim
x→−2
f(x), lim
x→−1
f(x), lim
x→0
f(x), lim
x→1
f(x), e lim
x→pi
f(x).
10: Encontre, caso exista, cada um dos limites abaixo.
(a) limx→−1 x
2 − 1
x+ 1 (b) limx→2
x2 − 4
x3 − 8
(c) limx→−1 x
2 + 1
x4 + 1
(d) limx→8
3
√
x− 2
x− 8
(e) lims→3
√
s+ 6− 3
s− 3 (f) limt→1 t
2 − 1√
t− 1
(g) limx→0 x
2 − x
x (h) limx→1 x
5 − 1
x4 − 1
11: Seja f a função definida por f(x) = x− x2. Encontre, em existindo, os limites abaixo.
limx→1
f(x)− f(1)
x− 1 limx→p
f(x)− f(p)
x− p para p ∈ R
12: Seja f a função definida por f(x) = 1
x2
. Encontre, em existindo, os limites abaixo.
limx→1
f(x)− f(1)
x− 1 limx→p
f(x)− f(p)
x− p para p 6= 0
13: Seja f a função definida por f(x) = 1x− 1 . Encontre, em existindo, os limites abaixo.
limx→2
f(x)− f(2)
x− 2 limx→p
f(x)− f(p)
x− p para p 6= 1