2 Tarefa - Cálculo II - Derivada Direcional_609c10c72ff72a2d7eced99c98b0e253(1)

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INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
Campus Vila Velha 
 
2ª Tarefa de Cálculo II 
 
1) Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada 
pelo ângulo θ. 
a) f(x, y) = x²y³ − y4 , (2, 1) , θ = π/4 
b) f(x, y) = √5x − 4y , (4, 1) , θ = −π/6 
c) f(x, y) = x. sen(xy) , (2, 0) , θ = π/3 
 
2) Determine o gradiente de f. A seguir, calcule o gradiente no ponto P. E, 
determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u. 
a) f(x, y) = 5xy² − 4x3y , P(1, 2), u〈5/13 , 12/13〉 
b) f(x, y) = y. lnx , P(1, −3), u〈-4/5 , 3/5〉 
c) f(x, y, z) = √x + yz , P(1, 3, 1), u〈2/7 , 3/7 , 6/7〉 
d) f(x, y, z) = xe2yz , P(3, 0, 2), u〈2/3 , -2/3 , 1/3〉 
 
3) Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do 
vetor v. 
a) f(x, y) = 1 + 2x√y, (3, 4), v = 〈4, 3〉 
b) f(x, y) = ln(x2 + y2), (2, 1), v = 〈-1, 2〉 
c) f(x, y, z) =
x
y+z
 , (4, 1, 1), v = 〈1, 2, 3〉 
d) f(x, y, z) = √x² + y² + z², (1, 1, −2), v 〈-6, 6, -3〉 
 
4) Encontre uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície 
dada no ponto especificado. 
a) x2 + 2y² + 3z² = 21 , (4, -1, 1) 
b) x = y2 + z² − 2 , (-1, 1, 0) 
 
5) Determine os valores de máximos e mínimos locais e pontos de sela de cada 
função. 
a) f (x, y) = 9 − 2x + 4y − x2 − 4y2 
b) f (x, y) = (1 + xy)(x + y) 
c) f (x, y) = x³y + 12x² − 8y 
d) f (x, y) = x sen(y) 
 
6) Determine os valores de máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D. 
a) f (x, y) = 1 + 4x − 5y , D é a região triangular fechada com os vértices 
(0, 0), (2, 0), (0, 3). 
 
b) f (x, y) = 3 + xy − x − 2y , D é a região triangular fechada com os 
vértices (1, 0), (5, 0), (1, 4). 
 
c) f (x, y) = x² + y² + x²y + 4 , onde D = {(x, y)|ǀxǀ ≤ 1 , ǀyǀ ≤ 1} 
 
d) f (x, y) = 𝑥4 + 𝑦4 − 4𝑥𝑦 + 2 , onde D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 2}