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Notas de Aula de Cálculo
Séries Numéricas
Bárbara Rodriguez Cristiana Poffal
17 de outubro de 2018
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Universidade Federal do Rio Grande - FURG
NOTAS DE AULA DE CÁLCULO
Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF
1 Notas de aula de Cálculo - FURG
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Sumário
1 Séries Numéricas 3
1.1 Introdução às Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Séries Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Séries Telescópicas (Redutíveis ou de Mengoli) . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Propriedades Algébricas das Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Teste da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 Limite do n-ésimo termo de uma série convergente . . . . . . . 9
1.5.2 Teste do n-ésimo termo da divergência . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Teste da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Séries-p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8 Comparação de Séries de Termos Positivos . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8.1 Teste da Comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8.2 Teste da Comparação dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Séries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.1 Teste para Séries Alternadas (Critério de Leibniz) . . . . . . . 17
1.9.2 Estimativa de Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10 Convergência Absoluta e Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.11 Teste da Razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.12 Teste da Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.13 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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Capítulo 1
Séries Numéricas
O objetivo deste capítulo é compreender o significado de somas numéri-
cas infinitas do tipo a1+a2+a3+ . . .+an+ . . .. Estudar se as séries são convergentes
ou não, isto é, se a soma de todos os termos da série é finita ou não. Em algumas
situações, calcula-se o valor da soma.
Observe um exemplo simples do cálculo de uma soma infinita: S =
0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 + . . ..
Associada a esta soma, pode-se definir a sequência (Sn):
S1 = 0, 3
S2 = 0, 3 + 0, 03 = 0, 33
S3 = 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 = 0, 333
S4 = 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 = 0, 3333
...
e assim por diante. Naturalmente, pode-se pensar na soma infinita como o limite
da sequência (Sn) quando n tende a infinito, isto é, Sn = 0, 33333333 . . . 3, então
lim
n→+∞
Sn = 0, 33333 . . .
é uma dízima periódica.
Uma outra forma de realizar este cálculo consiste em escrever as parcelas
da soma infinita como frações ordinárias:
S =
3
10
+
3
100
+
3
1.000
+
3
10.000
+ . . .
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1.1. INTRODUÇÃO ÀS SÉRIES NUMÉRICAS
Sn =
3
10
[
1 +
1
10
+
1
102
+ . . .+
1
10n−1
]
. . .
A expressão entre colchetes é a soma dos n primeiros termos de uma
progressão geométrica de razão q = 1
10
. Logo,
Sn =
3
10
[
1−
(
1
10
)n
1− 1
10
]
.
1.1 Introdução às Séries Numéricas
Seja (an) = (a1, a2, a3, . . . , an, . . .) uma sequência numérica infinita. A
partir desta sequência, constrói-se uma nova sequência numérica (Sn), cujos elemen-
tos são as somas parciais da sequência inicial (an), ou seja:
S1 = a1 (1.1.1)
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
...
Sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an.
...
Esta sequência (Sn) é chamada sequência de somas parciais da série, na
qual o número (Sn) representa a n-ésima soma parcial. Se a sequência de somas
parciais (Sn) converge para um limite S, diz-se que a série é convergente (ou a série
converge). Escreve-se
a1 + a2 + a3 + . . .+ an + . . . = lim
n→+∞
Sn = S. (1.1.2)
Se a sequência de somas parciais não converge, diz-se que a série diverge.
Observação 1.1.1. Utiliza-se a notação sigma para denotar uma série numérica
infinita:
+∞∑
n=1
an = a1 + a2 + a3 + . . .+ an + . . . .
Exemplo 1.1.1. A sequência dos números ímpares fornece a série 1+3+5+7+. . . =
+∞∑
n=1
(2n− 1) com termo geralan = 2n− 1.
4 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.2. SÉRIES GEOMÉTRICAS
Observação 1.1.2. O principal objetivo do estudo de séries é determinar o seu
comportamento, ou seja, determinar quais séries são convergentes e quais não são.
Exemplo 1.1.2. Considere a série
+∞∑
n=1
1
2n
=
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ . . . .
Analise sua convergência.
Solução.
A sequência das somas parciais da série é
S1 =
1
2
= 1− 1
2
(1.1.3)
S2 =
1
2
+
1
4
=
3
4
= 1− 1
22
S3 =
1
2
+
1
4
+
1
8
=
7
8
= 1− 1
23
S4 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
=
15
16
= 1− 1
24
S5 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
=
31
32
= 1− 1
25
...
Sn =
1
2
[
1 +
1
2
+
1
4
+ . . .
1
2n
]
=
1
2
1−
(
1
2
)n
1− 1
2
 .
e tem-se
Sn =
2n − 1
2n
= 1− 1
2n
,
portanto,
lim
n→+∞
Sn = lim
n→+∞
2n − 1
2n
= 1.
Logo, a série
+∞∑
n=1
1
2n
converge e sua soma é S = 1.
1.2 Séries Geométricas
A série
+∞∑
n=0
arn = a+ar+ar2+ar3+ar4+. . .+arn, a ̸= 0 é chamada série
geométrica de razão r, pois seus termos correspondem a uma progressão geométrica
de razão r ̸= 0. A série também pode ser escrita como
+∞∑
n=1
arn−1.
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1.2. SÉRIES GEOMÉTRICAS
Uma série geométrica de razão r diverge, se |r| ⩾ 1. Se 0 < |r| < 1, a
série converge e sua soma é igual a
+∞∑
n=0
arn =
a
1− r
.
Demonstração.
A série diverge para r = 1, pois a n-ésima soma parcial da série geomé-
trica é
Sn = a+ a(1) + a(1)
2 + . . .+ a(1)n−1 = na
e o limite lim
n→+∞
Sn = ±∞, dependendo do sinal de a.
Se r = −1, a série também diverge, pois a n-ésima soma parcial oscila
entre a e 0.
Se |r| ̸= 1, tem-se
Sn = a+ ar + ar
2 + ar3 + ar4 + . . .+ arn−1. (1.2.1)
Multiplicando (1.2.1) por r, obtém-se
rSn = ar + ar
2 + ar3 + ar4 + . . .+ arn. (1.2.2)
Subtraindo-se a equação (1.2.2) da equação (1.2.1), obtém-se
Sn − rSn = a− arn.
Portanto,
(1− r)Sn = a(1− rn)
e
Sn =
a(1− rn)
1− r
.
Se 0 < |r| < 1, tem-se que rn → 0 quando n → +∞, então
lim
n→+∞
Sn = lim
n→+∞
[
a
1− r
(1− rn)
]
=
a
1− r
[
lim
n→+∞
(1− rn)
]
=
a
1− r
.
Ou seja, a série converge e sua soma é
a
1− r
.
Se |r| > 1, então rn → +∞ quando n → +∞ e a série diverge.
Exemplo 1.2.1. A série
+∞∑
n=1
1
2n
=
1
2
+
1
4
+
1
8
+ . . . é uma série geométrica com razão
r =
1
2
< 1 e coeficiente a =
1
2
. Logo, ela converge e sua soma é
+∞∑
n=1
1
2n
=
+∞∑
n=0
(
1
2
)(
1
2n
)
=
1
2
1− 1
2
= 1.
6 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.3. SÉRIES TELESCÓPICAS (REDUTÍVEIS OU DE MENGOLI)
Exemplo 1.2.2. A série
+∞∑
n=0
3(−1)n = 3 − 3 + 3 − 3 + 3 − 3 + . . . é uma série
geométrica com razão r = −1 e coeficiente a = 3. Logo, ela diverge.
Exemplo 1.2.3. A série
+∞∑
n=0
(
−2
5
)n
= 1− 2
5
+
4
25
− 8
125
+. . . é uma série geométrica
com razão r = −2
5
e coeficiente a = 1. Logo, ela converge, pois |r| = 2
5
< 1 e sua
soma é
+∞∑
n=0
(
−2
5
)n
=
1
1−
(
−2
5
) = 5
7
.
Exemplo 1.2.4. A série
+∞∑
n=1
2n = 2 + 4 + 8 + 16 + . . . é uma série geométrica com
razão r = 2 e coeficiente a = 2. Logo, ela diverge, pois |r| = 2 > 1.
Exemplo 1.2.5. A série
+∞∑
n=1
2 = 2 + 2 + 2 + 2 + . . . é uma série geométrica com
razão r = 1 e coeficiente a = 2. Logo, ela diverge.
1.3 Séries Telescópicas (Redutíveis ou de Mengoli)
Uma série do tipo
+∞∑
n=1
(bn − bn+1) é chamada série telescópica ou de
encaixe. Sua forma geral é
Sn = (b1 − b2) + (b2 − b3) + . . .+ (bn − bn+1) = b1 − bn+1.
Observe que b2 é cancelado pelo segundo termo, b3 pelo terceiro e assim
por diante. Portanto, a n-ésima soma parcial desta série é igual a
Sn = b1 − bn+1.
Consequentemente, uma série telescópica converge se, e somente se, bn+1 tem limite
finito quando n → +∞. Além disso, quando a série converge sua soma é
Sn = b1 − lim
n→+∞
bn+1.
Exemplo 1.3.1. Estude a convergência das séries telescópicas:
a)
+∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
b)
+∞∑
n=1
(
2
4n2 − 1
)
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1.4. PROPRIEDADES ALGÉBRICAS DAS SÉRIES
c)
+∞∑
n=2
− ln
(
1− 1
n
)
d)
+∞∑
n=1
[
n20 − (n+ 1)20
]
.
1.4 Propriedades Algébricas das Séries
Sejam as séries numéricas infinitas
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn e c um número real.
1. Se
+∞∑
n=1
an = A e
+∞∑
n=1
bn = B,isto é, ambas são convergentes, então valem as
relações:
a)
+∞∑
n=1
can = cA
b)
+∞∑
n=1
(an + bn) = A+B
c)
+∞∑
n=1
(an − bn) = A−B.
2. Se
+∞∑
n=1
an é convergente e
+∞∑
n=1
bn é divergente, então a série
+∞∑
n=1
(an ± bn) é diver-
gente.
3. Se
+∞∑
n=1
an é divergente e c ̸= 0, então a série
+∞∑
n=1
can também é divergente.
4. Se as séries
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn diferem apenas uma quantidade finita de termos, então
ambas são convergentes ou ambas são divergentes.
Observação 1.4.1. Quando as séries
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn são ambas divergentes, não
se tem informação sobre a convergência da série
+∞∑
n=1
(an + bn), que pode convergir
ou divergir.Por exemplo, as séries
+∞∑
n=1
1
n
e
+∞∑
n=1
− 1
n
são ambas divergentes e a série
obtida a partir da soma termo a termo é convergente, pois
+∞∑
n=1
[
1
n
+
(
− 1
n
)]
= 0
8 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.5. TESTE DA DIVERGÊNCIA
Observação 1.4.2. Para muitas séries é difícil encontrar uma fórmula simples para
expressar Sn. Em tais casos, são aplicados alguns testes que não fornecem a soma
S da série; apenas informam se a soma existe. Isto é suficiente na maioria das
aplicações porque, sabendo que a soma existe, podemos aproximar o seu valor com
um grau arbitrário de precisão, bastando somar um número suficiente de termos da
série.
1.5 Teste da Divergência
1.5.1 Limite do n-ésimo termo de uma série convergente
Se
+∞∑
n=1
an converge, então a sequência (an) tende a zero.
Demonstração.
Suponha que
+∞∑
n=1
an = lim
n→+∞
Sn = S. Então, como
Sn = Sn−1 + an e lim
n→+∞
Sn = lim
n→+∞
Sn−1 = S.
Segue que
S = lim
n→+∞
Sn = lim
n→+∞
(Sn−1 + an) = lim
n→+∞
Sn−1 + lim
n→+∞
an = L+ lim
n→+∞
an.
Daí conclui-se que (an) tende a zero.
1.5.2 Teste do n-ésimo termo da divergência
Teorema 1.5.1. (Teorema da Divergência) Se a sequência (an) não converge para
zero, então a série
+∞∑
n=1
an é divergente.
Ou seja, se lim
n→+∞
an ̸= 0 ou não existir, então
+∞∑
n=1
an diverge.
CUIDADO! lim
n→+∞
an = 0 não garante a convergência da série.
Exemplo 1.5.1. Utilize o teste da divergência do n-ésimo termo para estudar a
convergência das séries:
a)
+∞∑
n=0
2n
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1.6. TESTE DA INTEGRAL
b)
+∞∑
n=1
n!
2n! + 1
c)
+∞∑
n=1
1
n
.
1.6 Teste da Integral
Seja f : [a,+∞) → R uma função contínua, não negativa e monótona
decrescente, isto é,
a) f(x) ⩾ 0, ∀x ⩾ a;
b) f(x) ⩾ f(y), sempre que a ⩽ x ⩽ y,tal que f(n) = an, ∀n ∈ N.
Nestas condições, a série
+∞∑
n=1
f(n) converge se, e somente se, a integral
imprópria
∫ +∞
a
f(x)dx converge. Ou seja, ambas a série e a integral,
+∞∑
n=1
f(n) e∫ +∞
a
f(x)dx, convergem ou ambas divergem.
Demonstração.
Do enunciado vamos supor sem perda de generalidade que a = 1. Para
o caso de a geral, a prova é similar.
Seja f(x) uma função monótona decrescente e não negativa, integrável
no intervalo [1,+∞) com f(n) = an,∀n ∈ N.
Observe a figura (1.1).
Pela ilustração acima é possível verificar que
0 ⩽ f(n) ⩽
∫ n
n−1
f(x)dx ⩽ f(n− 1),∀n ⩾ 2. (1.6.1)
Sejam Rn =
∫ n
1
f(x)dx e (Sn) as somas parciais da série
+∞∑
n=1
f(n),
Sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an =
+∞∑
k=1
f(k).
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1.6. TESTE DA INTEGRAL
Figura 1.1: Teste da Integral.
Aplicando-se a relação (1.6.1), obtém-se
0 ⩽ f(2) ⩽
∫ 2
1
f(x)dx ⩽ f(1),
0 ⩽ f(3) ⩽
∫ 3
2
f(x)dx ⩽ f(2),
0 ⩽ f(4) ⩽
∫ 4
3
f(x)dx ⩽ f(3),
...
0 ⩽ f(n) ⩽
∫ n
n−1
f(x)dx ⩽ f(n− 1).
(1.6.2)
De (1.6.2) tem-se
0 ⩽ f(2) + . . .+ f(n) ⩽
∫ 2
1
f(x)dx+ . . .+
∫ n
n−1
f(x)dx ⩽ f(1) + . . .+ f(n− 1),
ou seja,
0 ⩽ Sn − a1 ⩽ Rn ⩽ Sn−1,∀n ⩾ 2. (1.6.3)
Já que as sequências (Sn) e (Rn) são monótonas, segue de (1.6.3) que
há limitação e, portanto convergência. Isso prova que as sequências (Sn) e (Rn) são
ambas convergentes ou ambas divergentes.
11 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.7. SÉRIES-P
Exemplo 1.6.1. Determine se as séries convergem ou divergem.
a)
+∞∑
n=1
1
n2
b)
+∞∑
n=2
1
n ln(n)
.
Solução.
a) Seja a série numérica
+∞∑
n=1
1
n2
. A função f(x) =
1
x2
é contínua e não negativa
∀x ⩾ 1.
Deve-se verificar se a função f(x) é decrescente.
De fato, f(x) é decrescente, pois f ′(x) = − 2
x3
é negativa ∀x ⩾ 1. Então, pelo
Teste da primeira derivada, f(x) é decrescente.
A integral imprópria
∫ +∞
1
1
x2
dx converge pois,
∫ +∞
1
1
x2
dx = 1,
logo, a série correspondente
+∞∑
n=1
1
n2
, pelo teste da integral, também converge.
Observação 1.6.1. Quando utiliza-se o Teste da Integral, o valor da integral impró-
pria não é necessariamente igual ao valor da soma da série, no caso desta convergir.
O teste apenas informa sobre a convergência, sem indicar o valor da soma da série.
1.7 Séries-p
Uma série da forma
+∞∑
n=1
1
np
=
1
1p
+
1
2p
+
1
3p
+ . . . é chamada série-p, onde
p é uma constante positiva.
No caso de p = 1, a série
+∞∑
n=1
1
n
= 1+
1
2
+
1
3
+ . . . é a série harmônica.
A série-p,
+∞∑
n=1
1
np
=
1
1p
+
1
2p
+
1
3p
+ . . .,
1) converge se p > 1 e
2) diverge se 0 < p ⩽ 1, como consequência do teste da integral.
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1.8. COMPARAÇÃO DE SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS
Exercício 1.7.1. Verifique se as séries convergem ou divergem:
a)
+∞∑
n=1
1
n3
b)
+∞∑
n=1
1
n1/3
c)
+∞∑
n=1
1
5
√
n
d) 1 +
1√
2
+
1√
3
+ +
1√
4
+ . . ..
1.8 Comparação de Séries de Termos Positivos
Definição 1.8.1. Uma série
+∞∑
n=1
an, onde cada termo an é maior do que zero, é
denominada série de termos positivos.
Definição 1.8.2. Uma série
+∞∑
n=1
an é dita dominada por uma série
+∞∑
n=1
bn quando
an ⩽ bn,∀n ∈ N. Neste caso,
+∞∑
n=1
an é chamada série dominada e
+∞∑
n=1
bn série
dominante.
Observação 1.8.1. Em uma série de termos positivos, é evidente, que (Sn) é mo-
nótona crescente S1 ⩽ S2 ⩽ S3 ⩽ . . . ⩽ Sn ⩽ . . ., pois a1 ⩽ a1 + a2 ⩽ a1 + a2 + a3 ⩽
. . . ⩽ a1 + a2 + a3 + . . . + an ⩽ . . .. Portanto, basta verificar se a sequência (Sn) é
limitada para concluir se a série
+∞∑
n=1
an é convergente ou divergente.
A seguir são apresentados mais alguns testes empregados para verificar
se uma série numérica converge ou diverge.
Os testes apresentados a seguir aumentam o número de séries que podem
ser testadas para estabelecer convergência ou divergência. Eles baseiam-se na com-
paração de séries formadas por termos complicados com séries de termos parecidos,
porém mais simples.
1.8.1 Teste da Comparação
Sejam
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn duas séries numéricas de termos positivos.
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1.8. COMPARAÇÃO DE SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS
a) Se a série
+∞∑
n=1
bn converge e an ⩽ bn,∀n ∈ N, então a série
+∞∑
n=1
an também
converge.
b) Se a série
+∞∑
n=1
an diverge e an ⩽ bn,∀n ∈ N, então a série
+∞∑
n=1
bn também diverge.
Demonstração.
Parte a). Sejam (Sn) e (Rn) as sequências de somas parciais das séries
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn, respectivamente. Pela hipótese, tem-se que a série
+∞∑
n=1
bn converge e
0 ⩽ Sn ⩽ Rn,∀n ∈ N. (1.8.1)
Como (Rn) é uma sequência crescente com limite R, tem-se que o número
R é o menor limite superior (supremo) de (Rn).
Por (1.8.1), R também é cota superior para a sequência crescente (Sn),
portanto existe lim
n→+∞
Sn e este limite é menor ou igual a R. Logo, a série
+∞∑
n=1
an
converge.
Parte b). Se a sequência (Sn) das somas parciais da série
+∞∑
n=1
an diverge, então
pela definição de limite de uma sequência, tem-se que ∀ϵ > 0, existe n0 ∈ N tal que,
Sn > ϵ, se n > n0.
Como ∀n ∈ N e ∀ϵ > 0, tem-se Rn ⩾ Sn ⩾ ϵ, então a sequência (Rn)
também diverge. Logo, a série
+∞∑
n=1
bn diverge.
Exemplo 1.8.1. Verifique se as séries convergem ou divergem, utilizando o teste
da comparação.
a)
+∞∑
n=1
ln(n)
n
b)
+∞∑
n=1
1
3n + 1
c)
+∞∑
n=2
1
ln(n)
.
Observação 1.8.2. CUIDADO! Se a série dominada for convergente, então a série
dominante pode convergir ou divergir. Por exemplo, seja a série telescópica
+∞∑
n=1
1
n2 + n
=
+∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
,
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1.8. COMPARAÇÃO DE SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS
cujo termo geral da sequência de somas parciais é
Sn =
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
+
(
1
3
− 1
4
)
+ . . .+
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1− 1
n+ 1
,
é convergente, pois
lim
n→+∞
Sn = lim
n→+∞
(
1− 1
n+ 1
)
= 1.
Entretanto, tem-se que esta série é dominada pela série divergente
+∞∑
n=1
1
n
, pois
1
n2 + n
⩽ 1
n
,∀n ∈ N, observe a figura (1.2).
Figura 1.2: Teste da Comparação.
De maneira análoga, se a série dominante for divergente, então a série
dominada pode convergir ou divergir.
Atenção! O teste da comparação é muito simples em princípio, mas em casos
complicados pode ser difícil estabelecer a desigualdade necessária entre os n-ésimos
termos das duas séries comparadas. Para aplicar este teste deve-se primeiro escolher
duas séries
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn adequadas e então provar que an ⩽ bn.
Como limites são, com frequência, mais fáceis de trabalhar do que desi-
gualdades, o teste da comparação dos limites é um instrumento útil para estudar o
comportamento de séries numéricas.
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1.8. COMPARAÇÃO DE SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS
1.8.2 Teste da Comparação dos Limites
Sejam
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn duas séries numéricas de termos positivos e L =
lim
n→+∞
an
bn
.
a) Se L > 0, então as séries
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn são ambas convergentes ou ambas
divergentes.
b) Se L = 0 e a série
+∞∑
n=1
bn converge, então a série
+∞∑
n=1
an também converge.
c) Se L = ∞ e a série
+∞∑
n=1
bn diverge, então a série
+∞∑
n=1
an também diverge.
Demonstração. A demonstração é consequência imediata do Teste da Comparação.
Exemplo 1.8.2. Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, utilizando o
teste da comparação dos limites.
a)
+∞∑
n=1
e−n
2
b)
+∞∑
n=2
1
ln(n)
Observação 1.8.3. Quando o termo geral an é um quociente, para obter uma
série
+∞∑
n=1
bn conveniente para ser usada na forma limite do teste da comparação,
um bom processo consiste em conservar no numerador e no denominador de an os
termos dominantes (termos de maior grau). Pode-se também substituir qualquer
fator constante c por 1, pois as séries
+∞∑
n=1
bn e
+∞∑
n=1
cbn são ambas convergentes ou
ambas divergentes.
Por exemplo, para a série,
+∞∑
n=1
6
√
n
5n+ 4
,
tem-se an =
6
√
n
5n+ 4
e conservando os termos dominantes, obtém-se
6
√
n
5n+ 4
<
6
√
n
5n=
6
5
√
n
.
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1.9. SÉRIES ALTERNADAS
Pode-se então considerar, para aplicar o teste da comparação dos limites, bn =
1√
n
.
Como, lim
n→+∞
an
bn
=
6
5
> 0 e
+∞∑
n=1
bn diverge, então
+∞∑
n=1
an também diverge pelo teste
da comparação dos limites.
1.9 Séries Alternadas
Uma série infinita na qual os termos são alternadamente positivos e
negativos é denominada série alternada. Isto é,
+∞∑
n=1
(−1)n−1an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . .+ (−1)n−1an + . . . ,
ou
+∞∑
n=1
(−1)nan = −a1 + a2 − a3 + a4 − . . .+ (−1)nan + . . . .
Exemplo 1.9.1. Como exemplo de séries alternadas, tem-se
1)
+∞∑
n=1
(−1)n+1
n
= 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+ . . .
2)
+∞∑
n=1
(−1)nn
n+ 1
= −1
2
+
2
3
− 3
4
+
4
5
− . . .
3)
+∞∑
k=1
(−1)
(
−1
2
)k−1
= −1 + 1
2
− 1
4
+
1
8
− . . . .
1.9.1 Teste para Séries Alternadas (Critério de Leibniz)
Teorema 1.9.1. Se an > 0, então as séries alternadas
+∞∑
n=1
(−1)n−1an e
+∞∑
n=1
(−1)nan
convergem, desde que
1) lim
n→+∞
an = 0;
2) an+1 ⩽ an para todo n, isto é, (an) é monótona decrescente.
Demonstração.
O teorema será provado para a série
+∞∑
n=1
(−1)n−1an = a1−a2+a3−a4+. . . .
Para esta série, a soma parcial
S2n = (a1 − a2) + (a3 − a4) + (a5 − a6) + . . .+ (a2n−1 − a2n),
17 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.9. SÉRIES ALTERNADAS
onde 2n é par, tem todos os seus termos não-negativos e, portanto, (S2n) é uma
sequência não-decrescente. Por outro lado,
S2n = a1 − (a2 − a3)− (a4 − a5)− (a6 − a7)− . . .− (a2n−2 − a2n−1)− a2n,
o que implica que S2n ⩽ a1 para todo n inteiro positivo. Então, (S2n) é uma
sequência limitada não-decrescente e tende a convergir para um limite L. Como
S2n−1 = S2n − a2n e a2n → 0, tem-se
lim
n→+∞
S2n−1 = lim
n→+∞
S2n − lim
n→+∞
a2n = L− lim
n→+∞
a2n = L.
Uma vez que ambas as sequências (S2n) e (S2n−1) convergem para o mesmo limite
L, (Sn) também converge para L. Portanto, a série alternada converge.
Exemplo 1.9.2. A série
+∞∑
n=1
(−1)n+1
n
= 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+
1
5
− 1
6
+ . . . satisfaz às três
condições do Critério de Leibniz e, portanto, converge.
Exercício 1.9.1. Determine a convergência ou divergência das séries:
a)
+∞∑
n=1
n
(−2)n−1
b)
+∞∑
n=2
(−1)nn
ln(2n)
c)
+∞∑
n=1
(−1)nn
n2 − 5
.
1.9.2 Estimativa de Erro
Em muitas situações práticas, mesmo tendo certeza da convergência da
série alternada, às vezes, é bastante difícil calcular o valor exato de sua soma e,
dependendo do caso, um valor aproximado da soma da série pode ser utilizado com
sucesso, desde que se estime o erro cometido.
Se uma série alternada convergente satisfaz à condição an+1 ⩽ an, então
o valor absoluto do resto RN ao aproximar a soma da série S pela somas das frações
parciais SN é menor ou igual ao primeiro termo excluído, isto é,
|S − SN | ⩽ RN ⩽ aN+1.
Demonstração.
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1.10. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONDICIONAL
A série obtida retirando-se os N primeiros termos da série dada satisfaz
às condições do critério de Leibniz e tem soma igual a RN :
RN = S − SN =
+∞∑
n=1
(−1)n−1an −
N∑
n=1
(−1)n−1an
RN = (−1)NaN+1 + (−1)N+1aN+2 + (−1)N+2aN+3 + . . .
RN = (−1)N(aN+1 − aN+2 + aN+3 − . . .).
(1.9.1)
Considerando o valor absoluto,
|RN | = aN+1 − (aN+2 − aN+3)− (aN+4 − aN+5)− . . . ⩽ aN+1.
Portanto, |S − SN | = RN ⩽ aN+1.
Exemplo 1.9.3. Aproxime a soma da série abaixo pelos oito primeiros termos e
estime o erro cometido por esta aproximação:
+∞∑
n=1
(−1)n
2n
.
Exercício 1.9.2. Aproxime a soma da série abaixo pelos seis primeiros termos e
estime o erro cometido por esta aproximação:
+∞∑
n=1
(−1)n−1
n!
.
1.10 Convergência Absoluta e Condicional
Definição 1.10.1. Uma série infinita
+∞∑
n=1
an é dita absolutamente convergente, se
a série
+∞∑
n=1
|an| converge.
Teorema 1.10.1. Se a série
+∞∑
n=1
an é absolutamente convergente, então
+∞∑
n=1
an é
convergente.
Demonstração.
Uma vez que 0 ⩽ an + |an| ⩽ 2|an|, a série converge pela comparação
com a série
+∞∑
n=1
2|an|. Além disso, como an = (an + |an|)− |an|, tem-se
+∞∑
n=1
an =
+∞∑
n=1
(an + |an|)−
+∞∑
n=1
|an| (1.10.1)
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1.11. TESTE DA RAZÃO
e ambas as séries da lado direito da igualdade da equação (1.10.1) convergem. Logo,
a série
+∞∑
n=1
an converge.
Definição 1.10.2. Uma série infinita
+∞∑
n=1
an é dita condicionalmente convergente,
se a série
+∞∑
n=1
an converge, mas
+∞∑
n=1
|an| diverge.
Observação 1.10.1. Pode-se dizer que toda série absolutamente convergente é con-
vergente, entretanto, a afirmação contrária não é verdadeira, pois existem muitas
séries convergentes que não são absolutamente convergentes, como por exemplo: seja
a série alternada
+∞∑
n=1
(−1)n+1
n
.
Ela é convergente, mas a série da valores absolutos
+∞∑
n=1
1
n
é divergente.
Exemplo 1.10.1. Determine se a série é absolutamente convergente, condicional-mente convergente ou divergente.
a)
+∞∑
n=1
(−1)n+1
n2
b)
+∞∑
n=1
sen(n)
n2
c)
+∞∑
n=1
(−1)n+1 n+ 1
2n+ 1
.
1.11 Teste da Razão
Teorema 1.11.1. (Critério D’Alembert) Seja
+∞∑
n=1
an uma série de termos positivos
e suponha que
lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L.
Então,
a) a série
+∞∑
n=1
an converge, se L < 1,
b) a série
+∞∑
n=1
an diverge, se L > 1 ou L = ∞,
20 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.11. TESTE DA RAZÃO
c) o teste é inconclusivo se L = 1.
Demonstração.
Parte (a). Suponha que
lim
n→+∞
an+1
an
= L < 1.
Pela propriedade do conjunto dos números reais, existe k > 0 tal que
L < k < 1. Além disso, se lim
n→+∞
an+1
an
= L < k, então existe N ∈ N tal que se
n ⩾ N , então an+1
an
< k, ou seja,
aN+1 < kaN
aN+2 < kaN+1 < k
2aN
aN+3 < kaN+2 < k
3aN
...
aN+m < kaN+m−1 < k
maN . (1.11.1)
As desigualdades representadas por (1.11.1) mostram que os termos da série, depois
do n-ésimo termo, se aproximam de zero mais rapidamente do que os termos em uma
série geométrica com razão k < 1. Mais precisamente, considere a série
+∞∑
n=1
cn, onde
cn = an para n = 1, 2, 3, . . . , N e cN+1 = kaN , cN+2 = k2aN , . . . , cN+m = kmaN , . . ..
Agora an ⩽ cn, ∀n ∈ N.
+∞∑
n=1
cn = a1 + a2 + a3 + . . .+ aN−1 + aN + kaN + k
2aN + k
3aN + . . .
= a1 + a2 + a3 + . . .+ aN−1 + aN(1 + k + k
2 = k3 + . . .).
A série geométrica
+∞∑
n=1
kn−1 = 1 + k + k2 + k3 + . . . converge porque
|k| < 1, então
+∞∑
n=1
cn converge. Como an ⩽ cn,∀n ∈ N,
+∞∑
n=1
an também converge.
Parte (b). Suponha que
lim
n→+∞
an+1
an
= L,
onde 1 < L ⩽ ∞. A partir de algum índice M ,
an+1
an
> 1 e aM < aM+1 < aM+2 < . . . .
21 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.11. TESTE DA RAZÃO
Os termos da série
+∞∑
n=1
an não se aproximam de zero quando n → 0, por-
tanto a série diverge pelo teste do n-ésimo termo.
Parte (c). Suponha que
lim
n→+∞
an+1
an
= L = 1.
Neste caso, considere as séries
+∞∑
n=1
1
n
e
+∞∑
n=1
1
n2
.
Para
+∞∑
n=1
1
n
, tem-se
lim
n→+∞
an+1
an
= lim
n→+∞
1
n+ 1
1
n
= lim
n→+∞
n
n+ 1
= 1.
Para
+∞∑
n=1
1
n2
, tem-se
lim
n→+∞
an+1
an
= lim
n→+∞
1
(n+ 1)
2
1
n2
= lim
n→+∞
n2
(n+ 1)2
= 1.
Em ambos os casos L = 1, mas a primeira série diverge, enquanto que
a segunda converge. Isto mostra que algum outro teste de convergência deve ser
aplicado.
Observação 1.11.1. O teste da razão frequentemente é eficaz quando os termos de
uma série contém fatoriais de expressões que envolvem n ou expressões elevadas a
uma potência que envolva n.
Exemplo 1.11.1. Investigue a convergência das séries:
a)
+∞∑
n=1
2n + 5
3n
b)
+∞∑
n=1
(2n)!
(n!)2
22 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.12. TESTE DA RAIZ
1.12 Teste da Raiz
Teorema 1.12.1. (Critério de Cauchy) Seja
+∞∑
n=1
an uma série de termos positivos e
suponha que
lim
n→+∞
n
√
|an| = L.
Então,
a) a série
+∞∑
n=1
an converge, se L < 1,
b) a série
+∞∑
n=1
an diverge, se L > 1 ou L = ∞,
c) o teste é inconclusivo, se L = 1.
Demonstração.
Parte (a). Suponha que
lim
n→+∞
n
√
an = L < 1.
Escolha ϵ > 0 pequeno o suficiente tal que L+ ϵ < 1. Como lim
n→+∞
n
√
an =
L, os termos de n
√
an acabam aproximando-se de L a menos de ϵ. Em outras palavras,
existe M ∈ N tal que se n ⩾ M , então n√an < L+ ϵ.
Portanto, também é verdade que an < (L + ϵ)n para n ⩾ M . Mas
+∞∑
n=M
(L + ϵ)n é
uma série geométrica com razão L + ϵ < 1, logo converge. Por comparação, a série
+∞∑
n=M
an converge o que leva a conclusão que
+∞∑
n=1
an = a1 + a2 + . . .+ aM−1 +
+∞∑
n=M
an
converge.
Parte (b). Suponha que
lim
n→+∞
n
√
an = L = 1.
onde 1 < L ⩽ ∞. A partir de algum índice M , n√an > 1 de modo que an > 1 para
n > M .
Os termos da série
+∞∑
n=1
an não se aproximam de zero quando n → 0, portanto a série
diverge pelo teste do n-ésimo termo.
23 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.13. LISTA DE EXERCÍCIOS
Parte (c). Suponha que
lim
n→+∞
n
√
an = L = 1.
Neste caso, considere as séries
+∞∑
n=1
1
n
e
+∞∑
n=1
1
n2
. Em ambos os casos L = 1,
mas a primeira série diverge, enquanto que a segunda converge. Isto mostra que
algum outro teste de convergência deve ser aplicado, pois o teste é inconclusivo.
Observação 1.12.1. Este teste funciona bem para séries envolvendo potências n-
ésimas.
Exemplo 1.12.1. Investigue a convergência das séries:
a)
+∞∑
n=1
(e2)n
2n
b)
+∞∑
n=2
nn
(lnn)n
.
1.13 Lista de Exercícios
1. O que significa
+∞∑
n=1
an ser divergente?
2. Determine a convergência ou divergência de cada uma das séries usando um
teste apropriado. Cite o teste utilizado.
a)
+∞∑
n=1
5(−1)n+1
n
b)
+∞∑
n=1
5
n
c)
+∞∑
n=1
1
n
√
n
d)
+∞∑
n=1
(π
6
)n
e)
+∞∑
n=1
n
2n2 + 1
f)
+∞∑
n=1
(−1)n3n−2
2n
g)
+∞∑
n=1
10n+ 3
n2n
24 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.13. LISTA DE EXERCÍCIOS
h)
+∞∑
n=1
2n
4n2 − 1
i)
+∞∑
n=1
(−1)n ln
(
n+ 2
n
)
j)
+∞∑
n=1
1√
n+ 2
k)
+∞∑
n=1
(−1)n
n ln (n)
l)
+∞∑
n=1
n7n
n!
m)
+∞∑
n=1
ln (n)
n2
n)
+∞∑
n=1
(−1)n3n−1
n!
o)
+∞∑
n=1
(−5)n+1
[ln (n)]n
p)
+∞∑
n=1
(−1)n
√
n
n+ 1
3. Julgue os itens assinalando V, se a afirmação for verdadeira ou F, se for falsa.
Justifique a sua resposta em ambos casos.
a) Se lim
n→+∞
an = 0, então
+∞∑
n=1
an converge.
b) Se
+∞∑
n=1
an diverge, então lim
n→+∞
an ̸= 0.
c) Se lim
n→+∞
(
an
bn
)
= ∞ e
+∞∑
n=1
bn converge, então
+∞∑
n=1
an converge.
d) Para todo número inteiro k positivo, a série alternada
+∞∑
n=1
(−1)n
k
√
n
converge.
4. Dois atletas disputam 10 provas de percurso em 10 etapas sucessivas. Os
tempos de cada etapa são os mesmos e a tabela a seguir mostra as distâncias,
em km, percorridas por cada um deles nas quatro etapas iniciais:
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1.13. LISTA DE EXERCÍCIOS
Tabela 1.1: Desempenho dos Atletas
Atleta Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4
Atleta A 1
2
1
4
1
8
1
16
Atleta B 1
2
2!
2·3!
3!
3·4!
4!
4·5!
Se a vitória é dada àquele que percorreu o maio percurso, qual foi o atleta
vencedor?
5. Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10m. A bola repica apro-
ximadamente metade da distância após a queda. Aproxime o percurso total
feito pela bola até o repouso completo. (Sugestão: Utilize série geométrica.)
Respostas da Lista
1. resposta teórica
2. São convergentes: 1, 3, 4, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16
3. a) F b) F c) F d) V
4. Atleta A
5. 20m.
26 Notas de aula de Cálculo - FURG