matemática I

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MATEMÁTICA I
PRÉ-VESTIBULAR 31PROENEM.COM.BR
PRODUTOS NOTÁVEIS 
E FATORAÇÃO13
FATORAÇÃO
TIPOS DE FATORAÇÃO
• Fator comum em evidência.
• Agrupamento de termos semelhantes.
• Diferença de dois quadrados.
• Trinômio quadrado perfeito.
Fator comum em evidência
Para colocar em evidência é preciso verificar se cada um dos 
termos tem algum fator em comum, ou seja, se é divisível por 
algum fator.
Exemplo 1: 
ax + ay + az
a . (x + y + z)
Como todos os termos são divisíveis por a, ou seja, possuem 
o fator a, podemos colocar em evidência, e sobra dentro dos 
parênteses o resultado da divisão de cada termo pelo coeficiente 
colocado em evidência.
Exemplo 2:
4x²y² + 2xy – 8x³y²
2xy(2xy + 1 – 4x²y)
Agrupamento de termos semelhantes
Agrupamos o polinômio em grupos com o mesmo valor em 
comum para colocar em evidência, e fazemos separadamente 
cada grupo
Exemplo 3: 
a² + ab + ac + bc
1º termo ⇒ a² + ab = a . (a + b)
2º termo ⇒ ac + bc = c . (a + b)
a . (a + b) + c . (a + b)
(a + b) . (a + c)
Exemplo 4:
4ab + 4b + 3a + 3
4b(a + 1) + 3(a + 1)
(a + 1)(4b + 3)
Diferença de dois quadrados
a² – b² = (a + b) . ( a – b)
Exemplo 5:
x² – 16 = (x + 4)(x – 4)
Exemplo 6:
x² – 81 = (x + 9)(x – 9)
Exemplo 7:
x² – 1 = (x + 1)(x – 1)
Trinômio quadrado perfeito
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²
Exemplo 8: 
x² + 14x + 49
x² = (x)² e 49 = (7)²
Se os extremos forem quadrados perfeitos e o meio for o 
dobro do produto dos mesmos, temos um TRINÔMIO QUADRADO 
PERFEITO.
14 = 2 . x . 7 ⇒ a = 1x e b = 7
(x + 7)²
Exemplo 9:
a² - 8ab + 16b²
a² = (a)² e 16b² = (4b)²
8ab = 2 . a . 4b
Logo,
(a – 4b)²
PRODUTOS NOTÁVEIS
DEMONSTRAÇÕES GEOMÉTRICAS
Quadrado da soma
(a + b)² = a² + 2 ab + b²
Então a área do quadrado maior de lado (a + b) será:
(a + b)² = a² + ab + ab + b²
(a + b)² = a² + 2 ab + b²
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MATEMÁTICA I 13 PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Exemplos:
Calcule os produtos notáveis abaixo:
a) (2x + 5y)²=
(2x)² + 2(2x)(5y) + (5y)²
4x² + 20xy + 25y²
b)  + 
 
22x y
5 2
= 
      + +      
      
    + +    
    
2 2
2 2
2x 2x y y2 .
5 5 2 2
4x 2xy y
25 5 4
c) (3a³ + 4b2)2 =
(3a³)2 + 2 . 3a³ . 4b2 + (4b2)2
9a6 + 24a3b2 + 16b4
Quadrado da diferença
(a – b)² = a² – 2 ab + b²
Então a área do quadrado menor, de lado (a-b) será:
(a – b)² = a² – ab – ab + b² (esse último foi adicionado por ter 
sido retirado duas vezes)
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Exemplos:
Calcule os produtos notáveis abaixo:
a) (2a – 5b)² =
(2a)² – 2 . 2a . 5b + (5b)²
4a² – 20ab + 25b²
b) 
23x 4y
2 3
 − 
  
=
23x
2
 
 
 
– 2 . 
23x 4y 4y
2 3 3
 ⋅ +  
 
9
4
x²�
�
�
�
�
� – 4 xy + 
216y
9
 
 
 
 
c) (6a³ – 7b5)²=
(6a³)² – 2 . 6a³ . 7b5 + (7b5)²
36a6 – 84 a³b5 + 49 b10
Produto da Soma pela Diferença
(a + b)(a - b) = a² – b²
Exemplos:
a) (x + 2)(x – 2)
x² – 4
b) (x + 3)(x – 3)
x² – 9
c) (x + 5)(x – 5)
x² – 25
1. (FATEC) Efetuando-se (579865)²-(579863)², obtém-se:
a) 4
b) 2319456
c) 2319448
d) 2086246
e) 1159728
Solução:
(579865)² - (579863)² = 
(579865 + 579863) (579865 - 579863)
1159728 · 2 = 2319456
Gabarito: B
2. (UFES) O número N = 2002² · 2000 – 2000 · 1998² é igual a:
a) 2 . 106
b) 4 . 106
c) 8 . 106
d) 16 . 106
e) 32 . 106
Solução:
N = 2002² . 2000 – 2000 . 1998²
N = 2000 (2002² – 1998²)
N = 2000 . (2002 + 1998)(2002 – 1998)
N = 2000 . 4000 . 4
N = 32 000 000
N = 32 . 106
Gabarito: E
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Cubo da Soma
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
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13 PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
33
MATEMÁTICA I
Exemplos:
a) (3x + 2y)3 = 
(3x)3 + 3 . (3x)2 . (2y) + 3 . (3x) . (2y)2 + (2y)3 = 
27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3
b) (x + 3y)3 = 
x3 + 3 . (x2) . (3y) + 3 . x . (3y)2 + (3y)3 = 
x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Resolva em IR as seguintes equações:
a) x2 + 5x + 4 = 0
b) 8x2 - 28x + 20 = 0
c) + + =2
1 1 1 0
4x 3x 2
02. Efetue (5x4y2) · (–2xy3) + (7x2y3) · (–2x3y2) + (–20x5y5)
03. Calcule
a) (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)
b) (a + b)2 - (b + c)2 - (a + c) (a - c)
04. Fatore as seguintes expressões:
a) a3 - ab2
b) 12a3 - 3ab2
c) x2y - y3
d) 2x3 + 2x2 + 2x
e) 3x2 - 3x - 36
05. Fatore as expressões abaixo:
a) 8x3 + y3
b) a3 - 1000
c) 27x3 - 8
d) x3 - 1
8
e) 8x3 + 27
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (UTFPR) Um fazendeiro possui dois terrenos quadrados de 
lados a e b, sendo a > b. Represente na forma de um produto 
notável a diferença das áreas destes quadrados. 
a) (a b) (a b)+ ⋅ +
b) (a b) (a b)+ ⋅ −
c) (a b) (a b)− ⋅ −
d) 2(a b)+
e) 2(a b)−
02. (IFCE) Se 
2
2
2017 1u ,
2016
−
= então é verdade que 
a) 1 < u < 2
b) u < 1
c) 2 < u < 5
d) 5 < u < 10
e) u > 10
03. (UFRGS) Se x + y = 13 e x · y =1 então x2 + y2 é
a) 166.
b) 167.
c) 168.
d) 169.
e) 170.
04. (CFTMG) O valor numérico da expressão 2 268 32− está 
compreendido no intervalo
a) [30,40[
b) [40,50[
c) [50,60[
d) [60,70[
e) [70, 80[
05. Na expressão x 3 5 3 5= + + − . O valor de 
2x
5
 é:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 10
e) 14
06. (CFTMG) Simplificando a expressão (123456)2 – (123455)2 
encontra-se:
a) 0
b) 1
c) 12345
d) 246911
07. (CESGRANRIO) Simplificando ( )
( )
34x x
2x 1
−
+
, obtemos:
a) x2 + 1
b) x2 – 1
c) 2x2 –1
d) 2x2 – x
e) 2x2 + 1
08. A expressão (x – y)2 – (x + y)2 é equivalente a:
a) 0
b) 2y2
c) –2y2
d) –4xy
e) –2(x + y)2
09. (UFMG) Considere o conjunto de todos os valores de x e y para 
os quais a expressão 
2 2
2 2
2 2
x y
y xM 1 2 1
x xy y
−
=
+ +
 está definida. Nesse conjunto, 
a expressão equivalente a M é:
a) (x – y)(x + y)
b) (x – y)(x2 + y2)
c) 
( )
( )2 2
x y
x y
−
+ 
d) 
( )
( )
x y
x y
−
+ 
e) ( )( )
( )
2 2x y x y
x y
− +
+
10. (PUCRJ )Se x2(1 – y)2 = y2(1 – x)2 e x ≠ y, então x + y será:
a) x2 + y2
b) xy
c) 2
d) 2xy
e) 2y
11. (ESPM) Para que o número 64.800 se torne um cubo perfeito, 
devemos: 
a) multiplicá-lo por 30.
b) dividi-lo por 60.
c) multiplicá-lo por 90.
d) dividi-lo por 150.
e) multiplicá-lo por 18.
12. (ESPM) O número que se deve somar a 456.7882 para se obter 
456.7892 é: 
a) 456.789
b) 1
c) 456.788
d) 913.579
e) 913.577 
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MATEMÁTICA I 13 PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
13. (UECE) Se u,v e w são números reais tais que + + =u v w 17, 
⋅ ⋅ =u v w 135 e ⋅ + ⋅ + ⋅ =u v u w v w 87, então, o valor da soma 
+ +
⋅ ⋅ ⋅
u v w
v w u w u v
 é
a) 23 .
27
b) 17 .
135
c) 27 .
87
d) 16 .
27
14. (ESPM) O valor numérico da expressão −
+ +
3 3
3 2 2
x y
x x y xy para x = 0,8 
e y = 0,3 é igual a: 
a) 0,325
b) 0,125
c) 0,415
d) 0,625
e) 0,275 
15. (UECE) Se x é um número real tal que + =1x 3,
x
 então, o valor 
de +3 3
1x
x
 é
Sugestão: Você pode usar o desenvolvimento do cubo de uma 
soma de dois números reais. 
a) 9. b) 18. c) 27. d) 36. 
16. (CFTMG) Simplificando a expressão + + + + +
−
4 4 3 3 2 2
2 2
a b ab a b ab a b ,
a b
 
≠a b, obtém-se: 
a) 
a
b b) 
+
−
a b
a b c) 
+ +
−
3 3a ab b
a b
d) ( )+ +
+
3 a ab b
a b
17. (EPCAR (Cpcar)) Considere as expressões P e Q, com os 
números a,b e c reais positivos e distintos entre si.
+ + − − −
=
+
6 6 6 2 6 6 6 2
6 6
(a b c ) (a b c )P
b c
− − − − − −
− − − − − −
− − +
=
+ − −
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
(b a ) (b a )Q
(a b ) (a b )
A expressão Q P é representada por 
a) b 2a b) a 2b c) ba
2
d) 1 b
a 2
18. (PUCSP) A senha de um cadeado é formada por 3 algarismos 
distintos, ABC escolhidos entre os algarismos 3,4,5,6 e 7. 
Sabendo que > >B A C, e que − =2 2B A 13, nessas condições o 
valor de A·C é certamente
a) um número primo.
b) divisível por 5.
c) múltiplo de 3.
d) quadrado perfeito. 
19. (EPCAR (Cpcar)) Considere o conjunto de todos os valores de 
m e n para os quais a expressão algébrica A, abaixo, está definida.
 
−
−
− −
= ⋅
−+ +
⋅
2 2
22 2
2 2 1
2 2
m n
(m n)n mA 1 2 1 (m n )
m m n n
Nesse conjunto, uma expressão algébrica equivalente a A é: 
a) +2 2m n b) −2 2m n c) +
−
2 2
2 2
m n
m n
d) +
−
2 2m n
m n
20. (CFTRJ) Uma professora propôs como desafio parasua turma 
de 7º ano simplificar a fração:
 
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
1 2 3 2 4 6 4 8 12 7 14 21
1 3 5 2 6 10 4 12 20 7 21 35
Depois de alguns minutos, três alunos fizeram as seguintes 
afirmações:
I. O resultado na simplificação é um número inteiro.
II. O resultado da simplificação é 2 .
5
III. O resultado da simplificação é 5.
Sobre as afirmações, é correto dizer que: 
a) Todas são falsas.
b) Duas são verdadeiras.
c) Apenas uma é verdadeira.
d) Todas são verdadeiras. 
05. APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (UFES) Calcule o valor da expressão
+ + + + − + + + +2 2 2 2 2 2 2 2[ ]10 20 30 ... 100 9 19 29 ... 99] [
02. (CFTRJ) Seja F a forma fatorada irredutível equivalente à 
expressão algébrica a seguir:
( ) ( ) ( )⋅ − + − − − ⋅ − −
−
2 2
2
x x 1 (x 2) x 2 x 1 1
x 1
a) Escreva F.
b) Calcule o valor numérico de F quando X =2.
03. (UFSC) Guardadas as condições de existência, determine o 
valor numérico da expressão
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ ⋅ − + − ⋅ −
− + ⋅ + ⋅ − + ⋅ +
4 4 2
3 2 2 2
51x y 51xy mx 2m nx 2n x 4
x 4x 4x 17my 17ny x xy y 69x 69y
 para X = 343.
04. (UFF) Calcule o valor numérico de 1
M
 sendo
a = 0,998 e b = 1.
05. Efetue as operações indicadas no numerador e no denominador 
de cada uma das frações algébricas e simplifique a fração 
resultante.
c) a2 + (b + a) (b - a) + ab / 2b + 2a
d) (a - b)2 - b2 / a(a - 4) - 4(b2 - a)
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. B
02. A
03. B
04. D
05. A
06. D
07. D
08. D
09. E
10. D
11. C
12. E
13. A
14. D
15. B
16. C
17. B
18. C
19. A
20. C
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. 1.090
02. 
a) 
( ) ( )
−
+ −
2x 1
x 1 x 1
b) 1
3
03. 15
04. 249.500
05. 
a) b / 2
b) a / a + 2b