Exercício Resolvido de Teorema de Green

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Exercício de Teorema de Green – Cálculo / Cálculo Vetorial 
Calcule a integral de linha por dois métodos: 
1) Diretamente 
2) Utilizando o Teorema de Green 
∮(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 
I) Primeiro iremos parametrizar C por 𝑟(𝑡) = (2𝑐𝑜𝑠𝑡, 2𝑠𝑒𝑛𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
Derivando a parametrização, temos: 𝑟′(𝑡) = (−2𝑠𝑒𝑛𝑡, 2𝑐𝑜𝑠𝑡) 
Calculando a integral: ∮ (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑐 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ (2𝑐𝑜𝑠𝑡 −
2𝜋
0𝑐
2𝑠𝑒𝑛𝑡, 2𝑐𝑜𝑠𝑡 + 2𝑠𝑒𝑛𝑡) ∙ (−2𝑠𝑒𝑛𝑡, 2𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑑𝑡 
=∫ (−22𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 + 22𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 22𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 22𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑑𝑡
2𝜋
0
 
=4∫ (𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡)𝑑𝑡 = 4∫ 𝑑𝑡
2𝜋
0
= 8𝜋
2𝜋
0
 
 
II) Pelo Teorema de Green, temos: 
∫ (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑐 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 = ∬ (
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥 + 𝑦) −
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥 − 𝑦))𝑑𝐴
𝐷𝐶
 
∬ (1− (−1))𝑑𝐴 =∬ 2𝑑𝐴
𝐷𝐷
 
Sabemos que ∬ 𝑑𝐴 = 𝐴(𝐷), 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:
𝐷
 
= 2∬ 𝑑𝐴 = 2𝐴(𝐷) = 2𝜋22 = 8𝜋
𝐷