2ª Live -RESOLUÇÕES-15-08-21

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RESOLUÇÕES
ALEMÃO RESOLVE
LIVE 15/08/21 – 18:00
MATEMÁTICA
Questão 1: 
Reduzindo os ângulos ao primeiro quadrante, temos:
cos380 º=cos (360 º+20 º)=+cos20 º
cos140 º=cos (180 º−40º )=−cos 40 º
cos260 º=cos (180 º+80 º)=−cos80 º
Dessa forma, nossa expressão fica:
E=(cos20 º )(−cos 40º )(−cos80 º )
Lembrando da seguinte relação: cos3α=4 cosα . cos(60º+α ). cos(60º−α )
Vemos que: 
E=cos20 º . cos(60º+20 º ). cos (60 º−20 º )
Finalmente:
E= 1
4
. cos3.(20 º )=1
4
.cos 60º=1
8
LetraD
Questão 2:
Do lado direito da igualdade, temos:
(3 sen x−4 sen3 x). cos x
sen x
+(4cos3 x−3cos x) sen x
cos x
3cos x−4 sen2 x . cos x+4 cos2 x . sen x−3 sen x
3(cos x−sen x)+4 sen x . cos x (cos x−sen x)⇒(cos x−sen x )[3+2(2 sen x . cos x )]
Multiplicando numerador e denominador por cos x+sen x , temos:
(cos x−sen x)(cos x+sen x)[3+2 sen2 x ]
cos x+sen x
⇒(cos
2 x−sen2 x )[3+2 sen2x ]
sen x+cos x
⇒
cos2 x [3+2 sen2x ]
sen x+cos x
=2 sen2 xcos2 x+3cos2x
sen x+cos x
=1 sen4 x+3cos 2x
sen x+cos x
Ao compararmos, A=1 e B=3, logo: A+B = 4 Letra E
Questão 3:
Sabendo que 
sen3 x
sen x
=2cos2 x+1 , temos:
2cos2x+1=1
3
⇒ cos2 x=−1
3
Por arco duplo, temos:
E=cos4 x=2cos22 x−1=2(−1
3
)
2
−1⇒E=−7
9
Letra E
Questão 4:
Utilizando as fórmulas do arco triplo de seno e cosseno e realizando um pouco de 
algebrismo, temos:
E=(4 cos3 x−3cos x)−(3 sen x−4 sen3 x)⇒ E=4 (cos3 x+sen3 x−3(cos x+sen x))
Usando o produto notável a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) :
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E=4(cos x+sen x )(cos2 x−sen x cos x+sen2x )−3(cos x+sen x)
E=(cos x+sen x)[4 (1−sen xcos x )−3]⇒ E=(cos x+sen x) [1−4 sen xcos x ] [1]
Elevando a expressão sen x+cos x=k ao quadrado, temos:
(sen x+cos x )2=k2⇒ sen2 x+2 sen xcos x+cos2 x=k2
2 sen x cos x=k2−1⇒ 4 sen xcos x=2(k2−1) [2]
De [1] e [2]:
E=k [1−2(k 2−1)]⇒ E=3k−2 k3 Letra B
Questão 5: 
Sabemos que 
2cos2α=1+cos2α ; 4 cos3α=3cosα+cos3α ;
cosα+cos β =2cos(α +β
2
)cos (α−β
2
)
, utilizando essas 
propriedades no problema, teremos:
E=cos10 x+cos8 x⏟
Transformar em Produto
+3 (2cos22 x)⏟
Arco Duplo
+3cos2x−3−2cos x 4cos33x⏟
Arco Triplo
E=2cos 9x cos x+3(1+cos 4)+3cos2 x−3−2cos x (3cos3 x+cos9 x)
E=2cos 9x cos x+3+3cos 4 x+3cos 2 x−3−6cos x cos3 x−2cos 9 xcos x
Agrupando alguns termos:
E=3 (cos 4 x+cos2 x )−6cos x cos3 x⇒ E=3(2cos3 x cos x−6cos x cos3 x)
Finalmente:
E=6 cos3x cos x−6cos 3x cos x⇒ E=0 Letra A
Questão 6:
Lembrando da seguinte propriedade 
a
b
= c
d
⇒ a+b
a−b
= c+d
c−d
e aplicando ao problema, 
temos:
tan x+ tanα
tan x−tanα
= 1+cos
2 x+1+sen2 x
1+cos2 x−(1+sen2 x )
Como tan x+ tan y= sen (x+ y)
cos xcos y⏟
Demonstre
, no problema:
sen(x+α)
cos x cosα
sen(x−α )
cos x cosα
= 3
cos2 x−sen2 x
sen (x+α )
sen(x−α )
= 3
cos 2x
sen (x+α ). cos2 x=3 sen (x−α)
2 sen( x+α )cos2 x=6 sen(x−α )⇒ sen(3x+α)+sen(α−x )=6 sen(x−α)
sen (3 x+α )−sen(x−α)=6 sen (x−α )⇒ sen(3 x+α )=7 sen(x−α )
Finalmente:
sen (3 x+α )csc(x−α )=7 LetraC
Questão 7:
Utilizando a fórmula para soma de senos em P.A., sabendo que o primeiro termo vale 2º, o 
último vale 540º, a razão vale 2º e são 270 termos, temos:
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E=
sen(α +(n−1) r
2
)sen( nr
2
)
sen
r
2
= sen270º sen271º
sen1 º
Mas sen270 º=−1⇒ sen271 º=sen(270 º+1 º)=−cos1º
E=
(−1)(−cos1 º )
sen1 º
⇒E=cot 1 º LetraB
Questão 8:
Nessa questão, vamos utilizar a ideia de produto telescópico, para tanto, devemos observar 
que:
tan 2α = 2 tanα
1−tan2α
⇒1−tan2α=2 tanα
tan 2α
Aplicando a cada um dos termos, temos:
P=2 tan x
tan 2 x
2 tan 2 x
tan 4 x
2 tan 4 x
tan 8 x
...
2 tan 2n−1 x
tan 2n x
Ao simplificar, obtemos:
P=2
n tan x
tan2n x
Letra A
Questão 9:
Sabemos que sen2α=2 senα cosα , logo cosα= sen2α
2 senα
, aplicando, temos:
sen
2π
7
2 sen π
7
sen
4π
7
2 sen
2π
7
sen
6π
7
2 sen
3π
7
sen
8π
7
2 sen
4π
7
sen
10π
7
2 sen
5π
7
Utilizando redução ao primeiro quadrante, obtemos:
sen
6π
7
32 sen
4π
7
sen
4π
7
sen
2π
7
=
sen
6π
7
64 sen π
7
cos π
7
= 1
64
sec π
7
Letra A
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Questão 10:
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