Apostila de Vetores e Geometria Analítica - PARTE 01

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O produto escalar entre vetores pode ser representado por ⃗ . , 
lembrando do que vetor é tudo aquilo que tem módulo, direção e sentido e que é 
representado por uma letra com uma “seta em cima”. Quando tivermos ⃗ . , 
podemor ler ⃗ escalar . 
 
 
 
Vamos aos exemplos: 
1) Sejam os vetores ⃗⃗ = (3, 2, 1) e ⃗⃗ = (-1, -4, -1). Calcular: 
a) ( ⃗⃗ + ⃗⃗ ) . (2 ⃗⃗ - ⃗⃗ ) 
( ⃗ + ) = (3, 2, 1) + (-1, -4, -1) 
( ⃗ + ) = (2, -2, 0) 
 
(2 ⃗ - ) = 2 (3, 2, 1) – (-1, -4, -1) 
(2 ⃗ - ) = (6, 4, 2) – (-1, -4, -1) 
(2 ⃗ - ) = (7, 8, 3) 
b) ⃗⃗ . ⃗⃗ 
= (3, 2, 1) . (3, 2 , 1) 
= 3.3 + 2.2 + 1.1 
= 9 + 4 + 1 
= 14 
c) ⃗⃗ . ⃗⃗ 
�⃗� . 𝑣 = X1 . X2 + Y1 . Y2 + Z1 . Z2 
(�⃗� + 𝑣 ) . (2�⃗� - 𝑣 ) = (2, -2, 0) . (7, 8, 3) 
(�⃗� + 𝑣 ) . (2�⃗� - 𝑣 ) = (2.7 + (-2).8 + 0.3) 
(�⃗� + 𝑣 ) . (2�⃗� - 𝑣 ) = 14 – 16 + 0 
(�⃗� + 𝑣 ) . (2�⃗� - 𝑣 ) = -2 
 
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= (0, 0, 0) . (3, 2, 1) 
= 0.3 + 2.0 + 1.0 
= 0 
2) Dados os vetores ⃗⃗ = (4, , -1) e ⃗⃗ = (, 2, 3) e os pontos A(4, -1, 
2) e B(3, 2, -1), determinar o valor de  tal que ⃗⃗ . ( ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 5. 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = A – B 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (4, -1, 2) – (3, 2, -1) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, -3, 3) 
 
( + ⃗⃗⃗⃗ ⃗) = (, 2, 3) + (1, -3, 3) 
( + ⃗⃗⃗⃗ ⃗) = ( + 1, -1, 6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�⃗� . (𝑣 + 𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗) = 5 
(4, , -1) . ( + 1, -1, 6) = 5 
[4( + 1) +  . (-1) + (-1) . 6] = 5 
(4 + 4 -  - 6) = 5 
4 -  = 5 + 6 – 4 
3 = 7 
 = 
7
3
 
 
I �⃗⃗� . �⃗⃗� = �⃗⃗� . �⃗⃗� (a ordem não altera o valor) 
 
II �⃗⃗� . (�⃗⃗� + �⃗⃗⃗� ) = �⃗⃗� . �⃗⃗� + �⃗⃗� . �⃗⃗⃗� 
 
III �⃗⃗� . �⃗⃗� = |�⃗⃗� |2  |�⃗⃗� | = �⃗⃗� . �⃗⃗� 
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Vamos ao exemplo: 
3) Sendo ⃗⃗⃗⃗ = 4, ⃗⃗ = 2 e ⃗⃗ . ⃗⃗ = 3, calcular (3 ⃗⃗ - 2 ⃗⃗ ) . (- ⃗⃗ + 4 ⃗⃗ . 
(3�⃗� - 2𝑣 ) . (-�⃗� + 4𝑣 = 
(3�⃗� - 2𝑣 ) . (-�⃗� + 4𝑣 = 3�⃗� . (-�⃗� + 4𝑣 ) - 2𝑣 . (-�⃗� + 4𝑣 ) 
(3�⃗� - 2𝑣 ) . (-�⃗� + 4𝑣 = 3�⃗� (-�⃗� ) + 12�⃗� . 𝑣 + 2𝑣 . �⃗� – 8𝑣 . 𝑣 
(3�⃗� - 2𝑣 ) . (-�⃗� + 4𝑣 = -3|�⃗� |2 + 14 �⃗� . 𝑣 – 8|𝑣 |2 
(3�⃗� - 2𝑣 ) . (-�⃗� + 4𝑣 = -3 (4)2 + 14 (3) – 8 (2)2 
(3�⃗� - 2𝑣 ) . (-�⃗� + 4𝑣 = -3 (16) + 42 – 8 (4) 
(3�⃗� - 2𝑣 ) . (-�⃗� + 4𝑣 = -48 + 42 – 32 
(3�⃗� - 2𝑣 ) . (-�⃗� + 4𝑣 = -38 
O produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus 
módulos pelo cos do ângulo formado por eles: 
 
 
Vamos aos exemplos: 
4) Sendo | ⃗⃗ | = 2, | ⃗⃗ | = 3 e 120º o ângulo entre ⃗⃗ e ⃗⃗ , calcular: 
a) ⃗⃗ . ⃗⃗ 
�⃗� . 𝑣 = |�⃗� | . |𝑣 | . cos 
�⃗� . 𝑣 = 2 . 3 . cos 120º 
�⃗� . 𝑣 = 6 . (- 
1
2
) 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = |�⃗⃗� | . |�⃗⃗� | . cos 
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�⃗� . 𝑣 = - 
6
2
 
�⃗� . 𝑣 = -3 
b) | ⃗⃗ + ⃗⃗ | 
|�⃗� + 𝑣 |2 = |�⃗� |2 + 2�⃗� . 𝑣 + |𝑣 |2 
|�⃗� + 𝑣 |2 = 22 + 2(-3) + 32 
|�⃗� + 𝑣 |2 = 4 – 6 + 9 
|�⃗� + 𝑣 | = 7 
c) | ⃗⃗ - ⃗⃗ | 
|�⃗� - 𝑣 |2 = |�⃗� |2 -2�⃗� . 𝑣 + |𝑣 |2 
|�⃗� - 𝑣 |2 = 22 – 2(-3) + 32 
|�⃗� - 𝑣 |2 = 4 + 6 + 9 
|�⃗� - 𝑣 | = 19