AOL 3 - Questionario de Calculo diferencial

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Conteúdo do exercício
1. Pergunta 1
/1
As funções trigonométricas estão relacionadas ao círculo trigonométrico de raio unitário, e relacionam-se entre si de diversas maneiras. A tangente, por exemplo, é a razão entre seno e cosseno, e esses referem-se a comprimentos dentro desse círculo trigonométrico. Compreender e manipular suas derivadas é fundamental para o desenvolvimento dos estudos de Cálculo Diferencial e Integral.  
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. (  ) A função trigonométrica f(x)=5cosx tem como derivada −5senx. 
 
II. ( ) A função f(x)=sen é uma função trigonométrica composta, que pode ser derivada pela regra da cadeia. 
 
III. ( ) As derivadas de f(x)=cosx e g(x)=senx são iguais a, respectivamente, f’(x)=senx e g’(x)=cosx. 
 
IV. ( ) A função f(x)=sen(3x)+1 tem sua derivada definida por f’(x)=cos(3x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
 F, F, V, F.    
2. 
 V, V, F, V. 
3. 
 F, F, V, F.  
4. 
 V, F, V, V.  
5. 
 V, V, F, F. 
Resposta correta
2. Pergunta 2
/1
Diversas são as regras de derivação, que podem variar conforme a categoria da função, algébrica ou não, ou até mesmo por estaren explícitas ou não. Entre essas regras de derivação, há a regra do quociente. 
 
Acerca dessa regra de derivação, e considerando os conteúdos estudados, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. Essa regra considera funções racionais. 
 
II. Essa regra não considera funções algébricas. 
 
III. Essa regra não considera funções constantes, pois a derivada dessa função é igual a zero. 
 
IV. A derivada do quociente entre duas funções é definida por [f(x)/g(x)]’=[f’(x)g(x)–f(x)g’(x)]/[g(x)]2. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
 I e II. 
2. 
 II e IV. 
3. 
 III e IV    
4. 
 I e IV. 
Resposta correta
5. 
 I e III. 
3. Pergunta 3
/1
Algumas expressões algébricas não podem ser derivadas pelas regras de derivação convencionais, como é o caso das chamadas funções implícitas.  
 
Considerando essas informações, e utilizando seus conhecimentos sobre esse tipo de função e suas derivadas, é correto afirmar que a derivada da função  é: 
 
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1. 
2. 
3. 
Resposta correta
4. 
5. 
4. Pergunta 4
/1
As aplicações da derivada de uma função são inúmeras dentro da física, sendo que nosso primeiro contato com esses conceitos em física ocorre no estudo das velocidades instantâneas e sua relação com as equações horárias do espaço, velocidade (que é a taxa de variação da posição) e aceleração (que é a taxa de variação da velocidade). 
 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da derivada pelo limite e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função sempre é calculável em um ponto no qual os limites laterais coincidirem. 
 
II. ( ) A função f(x)=tgx é diferenciável para qualquer valor real de x. 
 
III. ( ) A derivada da função g(x)=3x³+3x²+x, no ponto onde x=a, é g’(a)=(3a+1)². 
 
IV. ( ) Um objeto disparado ao ar tem altura dada por y=10t−5t². Assim sua velocidade quando t=2 é de -10m/s. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
V, V, F, F. 
2. 
 F, F, V, V.  
Resposta correta
3. 
 F, F, V, F.  
4. 
 F, V, F, V.    
5. 
 V, F, F, V.
5. Pergunta 5
/1
O estudo das funções trigonométricas é muito importante dentro do cálculo, sendo inclusive feitas substituições de variáveis por variáveis trigonométricas em cálculos de integrais muito complexas. Dessa forma, conhecer as regras de derivação para funções trigonométricas é essencial no estudo de Cálculo Diferencial e Integral. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas derivadas. 
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Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
 3, 1, 2, 4.   
2. 
 3, 1, 4, 2.  
3. 
 1, 2, 4, 3.  
4. 
 1, 3, 4, 2. 
Resposta correta
5. 
1, 3, 2, 4. 
6. Pergunta 6
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Para os estudos nas ciências exatas, é necessário que se saiba identificar quais métodos de derivação utilizar em cada situação e a teoria que fundamenta aquele método. 
 
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca da Regra da Cadeia, faça as associações a seguir: 
 
1) f(x)=cos(2x). 
2) f(x)=3x²+1. 
3) Regra da Cadeia. 
4) f(x)=(x+1)². 
 
( ) É útil na derivação de funções compostas. 
 
( ) É uma função composta que pode ser derivada pela Regra da Cadeia, mas também pela regra do produto. 
 
( ) É uma função composta que pode ser diferenciável pela Regra da Cadeia. 
 
( ) Não é uma função composta, portanto, não há necessidade da aplicação da Regra da Cadeia. 
 
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
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1. 
 2, 1, 3, 4. 
2. 
 1, 2, 4, 3.  
3. 
 1, 3, 2, 4.   
4. 
 3, 4, 1, 2. 
Resposta correta
5. 
 3, 4, 2, 1. 
7. Pergunta 7
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O estudo de formas geométricas e seus gráficos, como parábolas, hipérboles e elipses, é muito importante para a disciplina de Cálculo, já que diversos fenômenos naturais são descritos por equações dessas formas. Considere, então, a parábola f(x)=x²+8 e a hipérbole g(x)=3/x.  
 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre o significado da taxa de variação de uma função, é correto afirmar que: 
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1. 
para x=0, a taxa de variação de f(x) é nula, assim como a de g(x). 
2. 
para x>0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a de g(x) sempre será negativa. 
Resposta correta
3. 
para x<0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a de g(x) sempre será negativa. 
4. 
para x>0, a taxa de variação de f(x) será sempre positiva, e a de g(x) também. 
5. 
nenhuma das funções possui taxa de variação em x=0.  
 
8. Pergunta 8
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O Cálculo Diferencial é aplicado em diversas situações do cotidiano e serve como ferramenta nas diferentes ciências. 
 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das derivadas, analise as afirmações a seguir, referentes às suas aplicações. 
 
I. As derivadas podem ser aplicadas para interpretar a taxa de variação de custos de produção. 
 
II. As derivadas em pontos extremos da função são nulas, pois a reta tangente nesses pontos é horizontal. 
 
III. A derivada muito utilizada em problemas que envolvem movimento de objetos em queda livre. 
 
IV. Consegue-se mensurar a área sob a curva de uma função com base em sua derivada. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
 I, III e IV. 
2. 
 II e III. 
3. 
 II, III e IV.    
4. 
 I, II e III. 
Resposta correta
5. 
 I e IV. 
9. Pergunta 9
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O estudo das funções polinomiais é muito importante devido a uma série de aplicações que possui na vida real, como em funções que modelam custos de mercadorias, contas de energia e água, movimento de corpos e etc. 
 
Dessa forma, considerando a importância dessas funções e seus conhecimentos sobre a regra da derivada da potência de base x, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A derivada de uma função constante sempre é igual a zero. 
 
II. Dada uma função , sua derivada é . 
 
III. A derivada de uma função vezes uma constante é igual à derivada da função vezes a derivada da constante. 
 
IV. Dada a função f(x)=5(x³+2x²+5x), f’(x)=5(3x²+4x+5). 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 I, II e III. 
2. Incorreta: 
 I, e IV. 
3. 
I e IV. 
Resposta correta
4. 
II e III.    
5. 
 II e IV. 
10. Pergunta 10
/1
Em ciências exatas e áreas correlatas utilizamos constantemente as funções para modelar situações nas quais é possível prever o comportamento de uma variável em função de outras. Sendo assim, é comum uma função ser expressa como a multiplicaçãode duas ou mais funções, de forma que é interessante, então, dominar a técnica da regra da derivada do produto de duas funções. 
 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a regra da derivada do produto de duas funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) Em todos os casos de derivação do produto de funções é necessário utilizar a regra da derivada do produto de duas funções. 
 
II. ( ) Sendo f(x)= e g(x)=x, a derivada de h(x)=f(x)g(x) é h’(x)=()(1+x). 
 
III. ( ) Sendo i(x)=sen(x) e j(x)=cos(x), a derivada de k(x)=i(x)j(x) no ponto (0,0) é k’(0)=0. 
 
IV. ( ) f(x)g(x) possui derivada igual a f’(x)g(x)+f(x)g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
1. 
 F, V, V, F.     
2. 
F, V, F, V. 
Resposta correta
3. 
 V, F, V, F. 
4. 
 V, F, F, V. 
5. 
 F, F, F, V.