4AulaELT331ProjetodeControladoremAvancodeFasepeloL R

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA – UFV
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS – CCE
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - DEL
AULA 4 – Projeto de Controlador em Avanço 
de Fase pelo Método do Lugar das Raízes
Sistemas de Controle II
ELT331
Prof. Tarcísio Pizziolo
4.1. Controlador (Compensador)
Dispositivo inserido no sistema com a finalidade de satisfazer as especificações
desejadas. Tal dispositivo compensa a deficiência do sistema original.
Estudaremos os controladores básicos que são compostos por um ganho K, um zero z
e um pólo p.
Utiliza-se a Compensação Série ou a Paralela, sendo a Compensação Série mais
usada.
Compensação Série:
Compensação Paralela:
R(s) C(s)
R(s) C(s)
4.
4.2. Classificação dos Controladores
Dada uma excitação senoidal à entrada de um controlador e sua resposta em regime
permanente, tem-se que:
• saída com avanço de fase
• saídda em atraso de fase
• saída em atraso e avanço de fase
Controladores Analógicos (compensadores) são Filtros eletrônicos aplicados para
melhorar o desempenho do sistema.
Projeto de Controladores Analógicos pelo Método do Lugar das Raízes
Adição de Pólos:
Adição de Zeros:
σ
jw
0-p1-p2
Adição do pólo p3:
σ
jw
0-p3 -p1-p2
• Provoca o deslocamento do LR para
a direita diminuindo a estabilidade do
sistema com uma resposta mais lenta.
• Provoca o deslocamento do LR
para a esquerda aumentando a
estabilidade do sistema com uma
resposta mais rápida.
σ
jw
0-p1-p2
Adição do zero z1:
σ
jw
0-z1 -p1-p2
4. Projeto de Controlador em Avanço de Fase
4.3. Construção Básica de Controladores
Controladores analógicos podem ser construídos de várias maneiras, tais
como circuitos RC, sistemas mecânicos do tipo mola-amortecedor e utilizando
Amplificadores Operacionais.
Controladores utilizando Amplificadores Operacionais
Seja o circuito a seguir:
( )
( )






+






+
=
+
+
=
22
11
23
14
i
o
22
11
31
42
i
o
CR
1
s
CR
1
s
CR
CR
E
E
1sCR
1sCR
RR
RR
E
E
( )
( )
11
22
31
42
c
11
22
23
14
c
23
14
c2211
c
i
o
c
i
o
CR
CR
e
RR
RR
K
CR
CR
.
CR
CR
K:queNote
CR
CR
K;CRT;CRT:Onde
T
1
s
T
1
s
K
E
E
1Ts
1Ts
K
E
E
===
===







+






+
=
+
+
=
Ganho da Rede
4. Projeto de Controlador em Avanço de Fase
4.3. Construção Básica de Controladores
Pela localização do zero e do pólo o controlador é classificado em Avanço
de Fase e em Atraso de Fase.
- Se R1C1 > R2C2 ou α < 1 o zero do controlador situa-se mais próximo da origem
do que o pólo, ou seja, o zero situa-se à direita do pólo. Esta situação é apresentada
na Figura a) caracterizando um controlador em Avanço de Fase.
- Se R1C1 < R2C2 o polo do controlador situa-se mais próximo da origem do que o
zero, ou seja, o pólo situa-se à direita do zero. Esta situação é apresentada na Figura
b) caracterizando um controlador em Atraso de Fase.
a) Avanço de Fase b) Atraso de Fase
4. Projeto de Controlador em Avanço de Fase
- A aplicação do método do Lugar das Raízes para projetos de controladores é muito
eficiente quando as especificações são dadas em termos de grandezas no domínio do
tempo, tais como coeficiente de amortecimento (ξ), frequência natural não amortecida
dos pólos dominantes de malha fechada (wn), sobre-sinal máximo (Mp), tempo de
subida (tr) e tempo de acomodação (ts2%,5%).
Procedimentos para o projeto de um Controlador
Seja o sistema de controle generalizado dado:
Observa-se que a realimentação não é unitária, pois existe H(s) no ramo de
retroação.
Para simplificar o projeto de um controlador deve-e reorganizar o diagrama de
blocos para obter-se uma realimentação unitária.
R(s) C(s)
F(s) = Função de Transferência reorganizada
Gc(s) = Controlador
4.3. Construção Básica de Controladores
F(s)
4. Projeto de Controlador em Avanço de Fase
4.4. Simplificação do Diagrama de Blocos
Deve-se transformar o sistema de controle com realimentação não unitária em um
sistema com realimentação unitária adicionado e subtraindo caminhos de
realimentação unitária. Então:
R(s) C(s)
F(s)
)s(G)s(H)s(G1
)s(G
)s(F
−+
=
4. Projeto de Controlador em Avanço de Fase
4. Projeto de Controlador em Avanço de Fase
4.5. Compensação por Avanço de Fase
- Aplicação em sistemas que sejam instáveis ou estáveis para qualquer valor do
ganho mas apresentem características de resposta transitória indesejáveis.
- Atuação principalmente no estado transitório da resposta do sistema.
O controlador é dado pela Fórmula:
)ps(
)zs(
K)s(Gc
+
+
=
- Para que a compensação seja por Avanço de Fase, a contribuição angular do
zero do controlador tem que ser maior que a do pólo ( φ > θ). Então o zero tem
que ficar à direitra do pólo do controlador!
- Para a determinação do zero e do pólo do controlador utilizamos o Método da
Bissetriz juntamente com a condição de ângulo do Método do Lugar das Raízes.
- Para determinar o ganho K do controlador deve-se aplicar a condição de módulo
do Método do Lugar das Raízes.
Método da Bissetriz
- PB é a bissetriz do ângulo OPA = 2β.
θ + α + (180º - φ) = 180º =>
=> α = φ - θ
φ
α
θ
P
0 σ
jw
-p -z
Bissetriz
B
A
φθ
α
α/2 
α/2 
β
βα = φ - θ
φ
θ
4. Projeto de Controlador em Avanço de Fase
4.6. Procedimentos para Projeto de Controlador por Avanço de Fase
1 - Determinar a localização desejada dos pólos de malha fechada dominantes com
base nas especificações de desempenho do sistema.
2 – Construir o Lugar das Raízes do sistema não compensado e verificar se é
possível obter os pólos de malha fechada desejados apenas com ajuste de ganho.
3 – Caso não seja possível obter os pólos de malha fechada desejados apenas com
o ajuste de ganho, calcular o ângulo φ a ser corrigido pelo controlador.
4 – Supor que a Função de Transferência do controlador por Avanço de Fase seja
dada por:
Onde α e T são determinados com base na deficiência angular e Kc é determinado a
partir do ganho de malha aberta.
5 – Aplicando o Método da Bissetriz determine as posições do pólo s = -1/αT e do
zero s = -1/T do controlador de modo que o mesmo contribua com o ângulo φ
necessário.
6 – Determine o ganho K de malha aberta do sistema compensado pela condição
de módulo.
Obs.: Se as especificações ainda não forem obtidas, deve-se ajustar os parâmetros
encontrados para o controlador!
)10(;
)
T
1
s(
)
T
1
s(
K
)1Ts(
)1Ts(
K)s(G ccc 

+
+
=
+
+
=
Exemplo 5.7.1 Considere o sistema mostrado a seguir.
R(s) C(s)
)2s(s
4
+
 
1
v
ssv
0s0s
v2,12
s5,0
K
1
e;2K]
)2s(s
4
[slim)s(sGlimK);3j1(s:Pólos;
4s2s
4
)s(F
−
→→
===
+
==−=
++
=
F(s)
Considerações iniciais:
- A Função de Transferência em malha fechada é:
- A Frequência Natural não Amortecida atual é wn = √4 = 2 rd/s.
- O Coeficiente de Amortecimento atual é: 2ξwn = 2 => ξ = 0,5
- Desta forma necessita-se manter o mesmo ξ, ou seja, o mesmo amortecimento, mas
alterar a frequência wn de wn = 2 rd/s para wn = 4 rd/s.
- O aumento no valor de wn implicará em uma resposta mais rápida do sistema.
Obs.:
Como efeito colateral, a alteração da frequência wn de wn = 2 rd/s para wn = 4 rd/s
provocará uma diminuição no erro estacionário do sistema quando este for
submetido a uma entrada Rampa Unitária em função do decréscimo de Kv. Para
wn = 2 rd/s o Kv atual é Kv = 2 s
-1, mas para wn = 4 rd/s o Kv será Kv = 4 s
-1, daí o
erro estático de velocidade será ess = 1/Kv = ¼ = 0,25.
Projetar um controlador para que o Coeficiente de Amortecimento seja ξ = 0,5 e a
Frequência Natural não Amortecida seja wn = 4 rd/s.
4.7. Exemplos
Exemplo 4.7.1
1 - Determinar a localização desejada dos pólos de malha fechada dominantes com
base nas especificações de desempenho do sistema.
Solução
0 σ
jw
-1-2-3-4-5-6
1
2
3
4
K →∞
K →∞
K = 0
K = 0
60º 
wn = 2 rd/s
j√3
ξ = 0,5
P = Pólo de 
Malha 
Fechada
LR atual LR desejado
0 σ
jw
-1-2-3-4-5-6
1
2
3
4
K →∞
K →∞
K = 0
K = 0
60º 
wn = 4 rd/s
j√3
ξ = 0,5
j2√3
P´= Pólo de 
Malha 
Fechadadesejado
o11 60)5,0(cos)(cos === −−
)!ok(44)3(14w2ww 2222222
2
n =+=+=+=
)!ok(1616)32(216w4ww 2222222
2
n =+=+=+=
P´
P
1 – Construir o LR do sistema não compensado e verificar se é possível obter os
pólos de malha fechada desejados apenas com ajuste do ganho K.
2 - Como ξ deve permanecer com o mesmo valor não é possivel obter os pólos de
malha fechada desejados apenas com ajuste do ganho K pelo fato de que o LR não
compensado não passará pelos mesmos.
3 – Caso não seja possível obter os pólos de malha fechada desejados apenas com
o ajuste de ganho, calcular o ângulo φ a ser corrigido pelo controlador.
Exemplo 4.7.1
Solução
P´
0 σ
jw
-p -z
Bissetriz
B
A
φθ
α
α/2 
α/2 
β
β
α = (φ – θ)
Método da Bissetriz
LR desejado:
0 σ
jw
-1-2-3-4-5-6
1
2
3
4
60º 
j2√3
P´= Pólo de 
Malha 
Fechada 
desejado
P´
o
)32j2(s
1o
)32j2(s
210
)2s(s
4
3
3
tg0
)3j3(
1
)34j12(
4
)232j2)(32j2(
4
)2s(s
4
´PPólo
−=
+










−
−
−=





−−
=





−−







++−+−
=
+

+−=
−
+−=
  
Exemplo 4.7.1
Solução Condição de Ângulo para o pólo P´:
120º 
90º 
Para P´ pertencer ao LR o
Controlador em Avanço de Fase
deve contribuir com α = +30º.
- Zeros possuem φ > 0º
- Pólos possuem θ < 0º
(φ – θ) = +30º
0 σ
jw
-1-2-3-4-5-6
1
2
3
4
60º 
j2√3
P´
120º 
90º 
Método da Bissetriz
120º 60º 
60º 
15º 15º 
θ φ-1/αT -1/T
180º 0
º 
-30º 
-210º 
+30º 
-√3
-3
+210º 
-210º 
ooo 210`P90120`P −=+=−
Exemplo 4.7.1
Solução
0 σ
jw
-1-2-3-4-5-6
1
2
3
4
60º 
j2√3
P´
120º 
Método da Bissetriz
120º 
60º 
60º 
15º 
15º 
θ=45º φ=75
º 
-1/αT -1/T
30º 30
º 
15º 
z
p
93,2
T
1
)293,0(
T
1
:Zero
93,0z
732,3
32
z
)75(tg
32
z
z
32
)75(tg
o
o
−=−+−=−
===
Cálculo do Zero:
46,5
T
1
)246,3(
T
1
:Pólo
46,3z
1
32
z
)45(tg
32
z
p
32
)45(tg
o
o
−=

−+−=

−
===
Cálculo do Pólo:
4 – Supor que a Função de Transferência do controlador por Avanço de Fase seja
dada por:
Onde α e T são determinados com base na deficiência angular e Kc é determinado a
partir do ganho de malha aberta.
5 – Aplicando o Método da Bissetriz determine as posições do pólo s = -1/αT e do
zero s = -1/T do controlador de modo que o mesmo contribua com o ângulo φ
necessário.
Exemplo 4.7.1
Solução
)10(;
)
T
1
s(
)
T
1
s(
K
)1Ts(
)1Ts(
K)s(G ccc 

+
+
=
+
+
=
54,046,5
)34,0(
1
46,5
T
1
34,0T
93,2
1
T
1
)10(;
)46,5s(
)93,2s(
K)s(G cc
==

=

==

+
+
=
6 – Determine o ganho K de malha aberta do sistema compensado pela condição
de módulo.
Para a condição de módulo:
O Controlador em Avanço de Fase será dado por:
Deve-se notar que o Kv assume um valor Kv = 5 s
-1 aplicando o controlador Gc(s)
projetado. Sem o controlador Kv = 2 s
-1, daí a aplicação deste controlador implica na
redução do erro na resposta à entrada Rampa Unitária, pois ess = 1/Kv.
Para uma entrada Degrau Unitário a resposta do sistema fica mais rápida pelo fato
de wn aumentar de wn = 2 rd/s para wn = 4 rd/s (c(t) = 1 – e
-(ξwn)t.sen(......)).
Exemplo 4.7.1
Solução






++
+
=





+






+
+
=
)2s(s)46,5s(
)93,2s(K4
)s(G)s(G
)2s(s
4
)46,5s(
)93,2s(
K)s(G)s(G cccc
68,4K1
)2s(s)46,5s(
)93,2s(K4
1)s(G)s(G c
)32j2(s
c
)32j2(sc
==
++
+
=
+−=
+−=
)46,5s(
)93,2s(
68,4)s(Gc
+
+
=
Exemplo 4.7.1
O controlador foi inserido na malha de controle do sistema e após a determinação da 
Função de Tansferência em malha fechada aplicou-se uma entrada Degrau Unitária.
A curva de resposta é apresentada a seguir. 
23,54s5,29s4,7s
23,54s7,18
)s(R
)s(C
23 +++
+
=
4s2s
4
)s(R
)s(C
2 ++
=
10 μF
10 μF
34,5 KΩ
18,5 KΩ
10 KΩ
46,8 KΩ
Um circuito com amplificadores operacionais pode ser construido para este controlador 
em avanço de fase considerando que:
Exemplo 4.7.1
( )
( )1sCR
1sCR
RR
RR
E
E
22
11
31
42
i
o
+
+
=
Utilizando C1 = C2 = 10 μF e R3 = 10 KΩ e : 
)1s185,0(
)1s345,0(
51,2
)46,5s(
)93,2s(
68,4)s(Gc
+
+
=
+
+
=
==
=====
K8,46R51,2
RR
RR
E
K5,18R185,0CReK5,34R345,0CR;51,2
RR
RR
4
31
42
222111
31
42
-0,5
j3,12
-j3,12
β = cos-1 (ξ) = 80,8o
Pólo desejado
j2,598
-1,5
Pólos atuais:
Considere o sistema mostrado a seguir.
R(s) C(s)
)1s(s
10
+
F(s)
12,3j5,0s010ss:ticacaracterísEquação
s/rd16,3s/rd10we16,0
10ss
10
)s(F
)1s(s
10
1
)1s(s
10
)s(F
2,1
2
n2
−==++
==
++
=
+
+
+
=
Projetar um controlador em série com a Planta para que o Coeficiente de
Amortecimento seja ξ = 0,5 e a Frequência Natural não Amortecida seja wn = 3 rd/s.
Pólo desejado
σ
jw
0
j2,598
-1,5
60º
ξ = 0,5 → β = 60º
Método da Bissetriz
)1s(s
10
)s(H)s(G
+
=
Exemplo 4.7.2
Solução
Determinação da contribuição angular do controlador em avanço de fase:
ξ = 0,5 → β = 60º
σ
jw
0
j2,598
-1,5
60º
P
-1
120ºαθ
o1oo
9,100
5,0
598,2
tg180180 =





−=−=

−

9,40
9,100120180120180 ooooo
−=
−−=−−=
O controlador em avanço deverá contribuir
com φ = 40,9º.
)10(;
)
T
1
s(
)
T
1
s(
K
)1Ts(
)1Ts(
K)s(G ccc 

+
+
=
+
+
=
A função de transferência do controlador será:
Exemplo 4.7.2
σ
jw
0
j2,598
-1,5
60º
P
-1
120ºαθ
-2-3-4-5
20,45º
20,45º
-p -z
60º
30º
9,5º
σz
σp
39,6º 80,5
º
Solução
Determinação do zero e do pólo do controlador em avanço de fase:
ZERO:
94,1z5,1z
43,0
598,2
)5,80(tg
z
z
z
o
−=−−=
=

=
61,4p5,1p
10,3
598,2
)6,39(tg
p
p
p
o
−=−−=
=

=
PÓLO:
Então o controlador será:
)61,4s(
)94,1s(
K)s(G
)ps(
)zs(
K)s(G cccc
+
+
=
+
+
=
Condição de módulo determina-se Kc:
23,1K
1
)1s(s
10
)61,4s(
)94,1s(
K1)s(G)s(G
c
598,2j5,1s
c598,2j5,1sc
=
=
++
+
=
+−=
+−=
Exemplo 4.7.2
)61,4s(
)94,1s(
23,1)s(G
)ps(
)zs(
K)s(G ccc
+
+
=
+
+
=
Solução
Determinação da função de transferência do controlador:
A nova Gc(s)G(S)H(s):
)1s)(61,4s(s
)94,1s(3,12
)s(H)s(G)s(G
)1s(s
10
)61,4s(
)94,1s(
23,1)s(H)s(G)s(G cc
++
+
=
++
+
=
j2,598
-j2,598
-1,5
p1
p2
p3 60o
Exemplo 4.7.2
Solução
A função de transferência em malha fechada com o controlador será:
)138,5s644,3s2152,1s2152,0(
)138,5s644,2(
)s(R
)s(C
23 +++
+
=
Exemplo 4.7.2
4.8.1 Considere o sistema abaixo com .
R(s) C(s)
Projete o controlador Gc(s) em avanço de fase de modo que os pólos dominantes em
mlaha fechada se localizem em s = -2 ± j2√3.
( )1s5,0s
5
)s(G
+
=
4.8.2 Considere o sistema abaixo com .
R(s) C(s)
Projete o controlador Gc(s) em avanço de fase de modo que os pólos dominantes em
mlaha fechada se localizem em s = -1 ± j1.
2
s
1
)s(G =
4.8. Exercícios