Regra do Ponto Médio para Integrais Duplas

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REGRA DO PONTO MÉDIO PARA INTEGRAIS DUPLAS 
CAPÍTULO 15.1 
 
Os métodos usados para aproximar as integrais de funções de uma variável real (a Regra do Ponto 
Médio, a Regra dos Trapézios, a Regra de Simpson) têm seus correspondentes para integrais duplas. 
Consideraremos aqui somente a Regra do Ponto Médio para integrais duplas. Isso significa que 
usaremos a soma dupla de Riemann para aproximar a integral dupla, na qual o ponto amostral 
(𝑥 ∗
𝑖𝑗
, 𝑦 ∗
𝑖𝑗
) em 𝑅𝑖𝑗 é tomado como o ponto central de (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗) central de 𝑅𝑖𝑗. 
 
REGRA DO PONTO MÉDIO PARA INTEGRAIS DUPLAS 
 
∬𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝑨
𝑹
≈∑∑𝒇(𝒙�̅�, 𝒚�̅�) ∙ ∆𝑨
𝒏
𝒋=𝟏
𝒎
𝒊=𝟏
 
 
Onde 𝒙�̅� é o ponto médio de [𝒙𝒊−𝟏, 𝒙𝒊] e 𝒚�̅� é o ponto médio de [𝑦𝒋−𝟏, 𝑦𝑗]. 
 
 
Por fim, temos que o valor médio de uma função 𝑓 de duas variáveis em um retângulo 𝑅 contido em 
seu domínio como pode ser definido como: 
𝑓𝑚𝑒𝑑 =
1
𝐴(𝑅)
∬𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
 
Onde, 𝐴(𝑅) é a área de 𝑅. Agora, se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0, a equação 
𝐴(𝑅) × 𝑓𝑚𝑒𝑑 =∬𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
 
Diz que a caixa com base 𝑅 e altura 𝑓𝑚𝑒𝑑 tem o mesmo volume do sólido sob o gráfico de 𝑓. 
 
 STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010