M- ¦ódulo 9

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9.1 - Definição do Parâmetro e 
Exemplos de Aplicação 
Seja o problema do exemplo 1.1 do 
curso. Naquele exemplo, o parâmetro de 
interesse era a renda média domiciliar, 
em uma localidade que possuía N = 4 
domicílios. A variável de pesquisa era y 
= renda do domicílio (em R$ 1.000,00).
9 – Estimação de uma Razão Considere a mesma pesquisa, mas que 
agora o parâmetro de interesse seja a 
renda média por trabalhador.
Em casos como este, é necessário definir 
uma variável auxiliar x, cujos valores 
deverão ser coletados para cada unidade 
pesquisada, conjuntamente com os de y. 
No caso do exemplo, esta variável seria 
x = número de trabalhadores. 
O parâmetro renda média por trabalhador 
é a soma dos valores de y dividida pela 
soma dos valores de x na população: 
∑
∑
∈
∈
Ui
i
Ui
i
x
y
R = razão 
populacional.
Exemplo 9.1 - Considere a situação do 
exemplo 1.1 do curso, cuja população é
apresentada a seguir, incorporando a 
variável x = número de trabalhadores.
3
3
5
4
yi
14
23
22
11
xiU
Calcule a renda média por domicílio e a 
renda média por trabalhador, atentando 
para o emprego da notação definida para 
cada um destes parâmetros.
Regra: O parâmetro-alvo será uma razão 
sempre que a unidade amostral (no caso, 
domicílio) contiver um grupo de unidades 
de análise (trabalhadores), e estivermos 
interessados na média de y (renda) por 
unidade de análise (trabalhador). 
Se, por outro lado, estivermos 
interessados apenas na média de y por 
unidade amostral, temos um problema de 
estimação de uma média, já estudado. 
2
Seguem outros exemplos em que o 
parâmetro de interesse é uma razão:
1) Amostra de laranjas, selecionadas 
aleatoriamente de um caminhão. 
Se o objetivo é estimar a quantidade de 
açúcar por laranja, estamos interessados 
na média por unidade de análise, e 
temos um problema de estimação de 
uma média, já estudado anteriormente. 
Entretanto, se o objetivo é estimar a 
quantidade de açúcar por Kg, temos um 
problema de estimação de uma razão. 
y = quantidade de açúcar de cada laranja 
e x = peso de cada laranja (em Kg).
2) Em uma população de fazendas, 
poderíamos estar interessados na 
quantidade de milho colhida por fazenda. 
Neste caso, o parâmetro-alvo é uma 
média populacional, cujo denominador é
N = número de fazendas na população.
Por outro lado, considere que estejamos 
interessados na quantidade de milho 
colhida por unidade de área plantada.
Esta é uma medida usual da 
produtividade da lavoura.
Neste caso, o parâmetro-alvo é uma razão, 
com y = quantidade de milho colhida e 
x = área plantada de cada fazenda.
Obs - Neste exemplo, poderíamos estar 
interessados na proporção da área da 
fazenda destinada à plantar milho. 
Neste caso, também teríamos uma razão 
populacional (quem seriam y e x?).
3) Em uma localidade, podemos estar 
interessados na proporção do orçamento 
familiar que é gasta com alimentação. 
Esta quantidade é importante em 
estudos de alocação de renda.
Novamente, o parâmetro-alvo é uma razão, 
com y = gasto familiar com alimentação e 
x = renda de cada família.
3
Obs - a identificação correta do 
parâmetro a ser estimado é uma etapa 
fundamental em uma pesquisa por 
amostragem (definição dos objetivos). 
Se identificamos o parâmetro errado, 
utilizaremos o estimador errado também.
Exemplo 9.2 - Seja uma pesquisa por 
amostragem domiciliar, cujo objetivo seja 
estimar a taxa de desemprego 
(proporção de desocupados em relação à
mão-de-obra ativa), em uma região. 
Identifique a(s) variável(is) de pesquisa 
relevante(s) e escreva a expressão do 
parâmetro de interesse (trata-se de uma 
proporção ou de uma razão?).
9.2 - Estimação de uma Razão sob AAS
Estimador de R (sob AAS):
Obs - este estimador é viciado, mas seu 
vício é desprezível para grandes amostras.
.
x
y
Rˆ
si
i
si
i
AAS
∑
∑
∈
∈
=
Obs1 - O vício de é chamado de 
vício técnico, para diferenciá-lo do vício 
proveniente de outras fontes. 
Obs2 - se y e x forem proporcionais (isto é, 
se yi/xi = R), o vício se anula, mas isto tem 
pouca aplicabilidade prática (por que?).
AASRˆ
Prova de que é aproximadamente 
não viciado quando a amostra é grande: 
.
X
xRy
x
xRyR
x
yRRˆ −≅−=−=−
se n é grande.
( )
( ) .R)Rˆ(E0R
X
YXRY
X
1
)x(RE)y(E
X
1)xRy(E
X
1)RRˆ(E
≅⇒=−=−
=−=−≅−
AASRˆ 9.3 - Cálculo da Variância Teórica de :Rˆ AAS
.)xRy(E
X
1)RRˆ(E)Rˆ(EQM)Rˆ(V 222 −≅−=≅
.
1-N
)Rx - (y
n
1
N
n1
n
S
N
n1)d(V 
assim e 
1-N
)Rx - (y
 S :lado outroPor 
 0.D)dE( pois ,Rx - y d sendo ),d(V
Ui
2
ii2
d
Ui
2
ii
2
d
iii
∑
∑
∈
∈






−=





−=
=
===
4
Finalmente:
.
1-N
)Rx - (y
Xn
1
N
n1)Rˆ(V Ui
2
ii
2AAS
∑
∈





−≅
Forma alternativa equivalente:
2
xy
2
x
22
y
AAS Xn
)RS2SRS(
N
n1)Rˆ(V −+





−≅
Obs - note que será mais preciso à
medida que yi/xi ≅ R, e terá variância zero 
se yi/xi = R. Todavia, este último resultado 
possui pouca aplicabilidade prática, uma 
vez que é praticamente impossível 
encontrar y e x exatamente proporcionais. 
AASRˆ
9.4 - Estimador da Variância de
:assim e
 , 
1-n
)xRˆ - (y
 s sendo
 ,
n
s
N
n1)d(v
si
2
ii
2
d
2
d
∑
∈
=






−=
2
dS de viciado não estimador
:Rˆ AAS
usual). (situação dodesconhecifor X se
,
1-n
)xRˆ - (y
xn
1
N
n1)Rˆ(v 
:ou
,conhecidofor X se
 ,
1-n
)xRˆ - (y
Xn
1
N
n1)Rˆ(v
si
2
ii
2AAS
si
2
ii
2AAS
∑
∑
∈
∈






−=






−=
Os estimadores acima possuem vício, mas são 
aproximadamente não viciados se n é grande.
Forma alternativa (equivalente):
ou:
2
xy
2
x
22
y
AAS Xn
)sRˆ2sRˆs(
N
n1)Rˆ(v −+





−≅
2
xy
2
x
22
y
AAS
xn
)sRˆ2sRˆs(
N
n1)Rˆ(v −+





−≅
Exemplo 9.3 - Na situação do exemplo 
9.2, seja uma AAS de n = 10 domicílios, 
sendo 5 com 6 pessoas, 3 com 4 
pessoas e 2 com 3 pessoas, todas 
economicamente ativas. Se todos os 
domicílios possuem 2 desempregados, 
estime a taxa de desemprego na região.
Estime também o erro padrão e o 
coeficiente de variação (CV) de . Rˆ
5
9.5 - Distribuição Assintótica e IC para R
Verifica-se que:
Assim: 
).1,0(N)Rˆ(ep
RRˆ
AAS
AAS
≈
−
)].Rˆ(epZRˆ);Rˆ(epZRˆ[)R(IC AAS
2
AASAAS
2
AAS)%1(100 ααα− +−=