Lista_1_Exercicios_LIMITEaula2

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LISTA 1 DE EXERCÍCIOS SOBRE LIMITES 
Definição 1: 
Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo a, exceto 
possivelmente no próprio a. O limite de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende a a será 𝑳, escrito como 
lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = 𝐿 
se a seguinte afirmativa for verdadeira: 
Dado 𝜀 > 0 qualquer, existir um 𝛿 > 0 tal que 
Se 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 então |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 
 
Exemplo 1: Seja a função definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 7 e suponha que lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) = 5. 
a) Determine um 𝛿 > 0 tal que 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 então |𝑓(𝑥) − 5| < 0,01. 
b) Usando propriedades das desigualdades, determine 𝛿 > 0, tal que a afirmativa na 
parte a) seja verdadeira. 
Resolução: 
a) Como 𝜀 = 0,01 Precisamos de um valor 𝑥1 tal que 𝑓(𝑥1) = 4,99 e um valor 𝑥2 tal que 
𝑓(𝑥2) = 5,01, isto é, precisamos de 𝑥1 e 𝑥2 tais que 
4𝑥1 − 7 = 4,99 => 𝑥1 =
4,99 + 7
4
=> 𝑥1 =
11,99
4
=> 𝑥1 = 2,9975 
4𝑥1 − 7 = 5,01 => 𝑥1 =
5,01 + 7
4
=> 𝑥1 =
12,01
4
=> 𝑥1 = 3,0025 
Como 3 − 2,9975 = 0,0025 e 3,0025 − 3 = 0,0025 escolhemos 𝛿 = 0,0025 de tal forma que 
temos a afirmativa 
Se 0 < |𝑥 − 𝑎| < 0,0025 então |𝑓(𝑥) − 5| < 0,01 
b) Como 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 7, 
|𝑓(𝑥) − 5| = |(4𝑥 − 7) − 5| = |4𝑥 − 12| = 4|𝑥 − 3| 
Queremos determinar 𝛿 > 0, tal que 
Se 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 então |𝑓(𝑥) − 5| < 0,01 
Se 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 então 4|𝑥 − 3| < 0,01 
Se 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 então |𝑥 − 3| < 0,0025 
Essa afirmativa indica que uma escolha adequada para 𝛿 é 0,0025. Então, temos o seguinte 
argumento: 
 0 < |𝑥 − 3| < 0,0025 <=> 4|𝑥 − 3| < 4(0,0025) <=> 
<=> |4𝑥 − 12| < 0,01 <=> |(4𝑥 − 7) − 5| < 0,01 <=> |𝑓(𝑥) − 5| < 0,01. 
Mostramos então que se 0 < |𝑥 − 3| < 0,0025 então |𝑓(𝑥) − 5| < 0,01 
Exemplo 2: Utilizando a definição 1, prove que o limite lim
𝑥→3
(4𝑥 − 7) = 5. 
Resolução: 
Uma das exigências da definição é que f(x) seja definida em todo número de algum intervalo 
aberto contendo 3, exceto possivelmente 3. Como 4𝑥 − 7 está definida em todos os reais, 
qualquer intervalo que se tome contendo 3 satisfará tal requisito. 
Agora é necessário provar que ∀𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0, tal que 
Se 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 então |(4𝑥 − 7) − 5| < 𝜀 
Temos que |(4𝑥 − 7) − 5| = |4𝑥 − 12| = 4|𝑥 − 3|. Então pode-se escrever a afirmação 
anterior por 
se 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 então 4|𝑥 − 3| < 𝜀 que é equivalente a 
se 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 então |𝑥 − 3| <
𝜀
4
 
Esta última afirmativa indica 
𝜀
4
 é um 𝛿 que satisfaz à segunda condição. Tendo escolhido o 𝛿 
pode-se escrever o seguinte argumento: 
0 < |𝑥 − 3| < 𝛿  4|𝑥 − 3| < 4𝛿 |4𝑥 − 12| < 4𝛿  |(4𝑥 − 7) − 5| < 4𝛿  
 |𝑓(𝑥) − 5| < 𝜀 , pois 𝛿 =
𝜀
4
. 
Portanto, estabelecido que 𝛿 =
𝜀
4
, o exemplo 2 está provado. 
 Nos exercícios 1 a 5 são dados 𝑓(𝑥), 𝑎 e 𝐿, bem como lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 . 
a) Usando argumentos similares àquele do exemplo 1 , determine 𝛿 > 0 para 𝜖 dado, tal 
que se 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 então |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. 
b) Usando propriedades das desigualdades, determine 𝛿 > 0, tal que a afirmativa 
anterior seja verdadeira para o valor de 𝜀. 
1. lim
𝑥→4
(𝑥 − 1) = 3, 𝜀 = 0,02 
2. lim
𝑥→3
(2𝑥 + 4) = 10, 𝜀 = 0,01 
3. lim
𝑥→1
(5𝑥 − 3) = 2, 𝜀 = 005 
4. lim
𝑥→−1
(3 − 4𝑥) = 7, 𝜀 = 0,02 
5. lim
𝑥→3
𝑥2 = 9, 𝜀 = 0005 
Nos exercícios 6 a 10 prove que o limite é o número indicado, aplicando a definição 1. 
6. lim
𝑥→2
7 = 7 
7. lim
𝑥→4
(2𝑥 + 1) = 9 
8. lim
𝑥→−1
(5𝑥 + 8) = 3 
9. lim
𝑥→−1
𝑥2−1
𝑥+1
= −2 
10. lim
𝑥→−3
(5 − 𝑥 − 𝑥2) = −1 
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