Cálculo_III_-_Aula_3_Derivada

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Aula 3 Derivadas Parciais
Aula 3
Derivadas Parciais
Derivada parciais
Quando fixamos todas as variáveis independentes de uma função, exceto uma, e derivamos em relação a essa variável, obtemos uma derivada parcial.
Definição 1: (derivada parcial) – seja uma função real de duas variáveis e um ponto do domínio de . A derivada parcial de em relação a no ponto é definida por
se o limite existir.
	Analogamente, a derivada parcial de em relação a no ponto é definida por
se o limite existir.
Exemplo 1. Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções:
Exemplo 2. Verifique se a função satisfaz a equação
Interpretação geométrica das derivadas parciais
A interpretação geométrica das derivadas parciais de uma função de duas variáveis é análoga aquela para função de uma variável real. O gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície de equação . Seja um ponto no plano cartesiano e o ponto correspondente na superfície. Manter fixo igual a significa interceptar a superfície pelo plano . A interseção é uma curva de equação neste plano. O número é o coeficiente angular da reta tangente à esta curva quando . Assim, temos
	Analogamente, a interseção da superfície com o plano é a curva de equação e o número é o coeficiente angular da reta tangente a esta curva quando .
Exemplo 3. Seja . Encontrar a inclinação da reta tangente à curva , resultante da interseção de com , no ponto .
Exemplo 4. Seja . Encontrar a inclinação da reta tangente à curva , resultante da intersecção de com , no ponto .
Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis
Agora estendamos o conceito de derivada parcial para funções de três variáveis reais. Sejam uma função e um ponto pertencente ao domínio de . A derivada parcial de em relação a no ponto é definida por
se o limite existir.
	Analogamente,
e
se estes limites existirem.
Exemplo 4. Calcule as derivadas parciais nas funções:
Atividades
Exercício 1. Calcule as derivadas parciais:
Exercício 2. Verifique se a função satisfaz a equação , para e .
Exercício 3. Verifique se satisfaz a equação .
Cálculo Diferencial e Integral III Jhoab Negreiros