SOLUÇÃO_GERAL_DE_UMA_EQUAÇÃO_D (1)

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SOLUÇÃO GERAL DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
 Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função diferenciável e uma ou mais de suas derivadas. 
Por exemplo:
y’+2y = 0 (Equação diferencial). 
Uma função y = f(x) é uma solução de uma equação diferencial se a equação é satisfeita quando y e suas derivadas são substituídas por f(x) e suas derivadas. 
Por exemplo: y = e
 é uma solução da equação diferencial dada acima. 
Para constatá-lo substituímos y e y’ = -2e
 na equação original: 
y’+2y = -2e
 + 2(e
) = 0
 
Da mesma forma, pode-se mostrar que y = 2e
, y = -3e
 e y = 
e
 são também soluções da equação diferencial. Na verdade, qualquer função da forma y = Ce
 onde C é um número real, é uma solução da equação. 
Esta família de soluções é chamada SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL.
Exercícios
1) Verifique que a função é solução da equação diferencial.
Solução Equação diferencial
1. y = x
+5 y’ = 3x
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
2. y = 2x
- x+1 y’= 6x
 -1
3. y = e
 y’+2y = 0
4. y = 3e
 y’-2xy = 0
5. y = 2x
�� EMBED Equation.3 y’-
y = 0
6. y = 4x
 y’-
y = 0
7. y = x
 x
y”-2y = 0
8. y = 
 xy’’ + 2y’ = 0
9. y = 2e
 y’’-y’-2y = 0
10. y = e
 y’’-3x
y- 6xy = 0
2) Verifique que a função é solução da equação diferencial para qualquer valor de C
Solução Equação diferencial
1. y = 
+ C 
 = -
2. y = 
+ C 
 = -
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
3. y = Ce
 
 = 4y
4. y = Ce
�� EMBED Equation.3 
 = -4y
5. y = Ce
 +7 3
+y -7 = 0
6. y = Ce
+ 10 y’ + y – 10 = 0
7. y = Cx
- 3x xy’ – 3x – 2y = 0
8. y = xlnx
 + 2x
 + Cx y’ = y’ - 
 = 2 +
9. y = x
+ 2x + 
�� EMBED Equation.3 xy’ + y = x(3x +4)
10 . y = C
 + C
e
 y’’ – y’ = 0
Soluções Particulares e Condições Iniciais
 	Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução obtida pela atribuição de valores específicos às constantes na solução geral. 	Por exemplo:
A solução geral da equação diferencial xy’ – 2y = 0 é y = Cx
 	As soluções particulares de uma equação diferencial se obtêm a partir de condições iniciais impostas à função incógnita e às suas derivadas. 
Esta condição inicial pode ser escrita como y = 3 quando x = 1. 
Levando estes valores na solução geral, obtemos 3 = C(1)
, o que implica C=3. Assim, a solução particular é y = 3x
.
Determinação de uma Solução Particular
 Verifique que y = Cx
 é uma solução da equação diferencial xy’ – 3y = 0 para qualquer valor de C. Ache então a solução particular determinada pela condição inicial y = 2 quando x = -3.
Solução 
A derivada de y = Cx
 e y’ = 3Cx
Fazendo a substituição na equação diferencial, obtemos;
 xy’ – 3y = x(3 Cx
) – 3(Cx
) = 0
Para achar a solução particular, façamos x = -3 e y = 2 na solução geral; vem 2 = C(-3)
�� EMBED Equation.3 ou C = -
.Isto implica que a solução particular é y = -
 x
.
Exercícios
Verifique que a solução geral satisfaz a equação diferencial. Ache em seguida a solução particular que verifica a condição inicial.
Solução geral: y =Ce
 Equação diferencial: y’ + 2y = 0
 Condição inicial: y = 3 quando x = 0
Solução geral: 2x
+ 3y
 = C
Equação diferencial: 2x + 3yy’ = 0
Condição inicial: y = 2 quando x = 1
 
 3) Solução geral: y = C
+ C
ln 
, x 
 0
 Solução diferencial: xy’’ = y’ = 0
 Condição inicial: y = 5 e y’ = 0,5 quando x = 1
 
 4) Solução geral: y =C
x + C
x
 Equação diferencial: x
y’’ -3xy’ + 3y = 0
 Condição inicial: y = 0 e y’ = 4 quando x=2
 
5) Solução geral: y = C
e
 + C
e
 Solução diferencial: y’’ – y’ – 12y = 0
 Condição inicial: y = 5 e y’ = 6 quando x = 0
Solução geral: y = Ce
�� EMBED Equation.3 
 Solução diferencial: y’+( 2x-1)y = 0
 Condição inicial: y = 2 quando x = 1
Separação de variáveis
 O tipo mais simples de equação diferencial é da forma y’= f(x).
Sabemos que este tipo de equação pode ser resolvido por integração, dando y = 
 Veremos como aplicar a integração para resolver outra família importante de equações diferenciais – as equações em que as variáveis podem ser separadas.
 Se f e g são funções contínuas, então a equação diferencial 
= f(x) g( y) tem 
a solução geral ; 
 dy = 
�� EMBED Equation.3 
 Para uma equação diferencial que envolve x e y, separamos os x de um lado e os y de outro lado. Após separar as variáveis, integramos ambos os membros para obter a solução geral.
Exemplos:
i)
�� EMBED Equation.3 	Equação diferencial
(y
+1)dy = xdx 		Separar variáveis
 = 
 	Integrar ambos os membros
+ y = 
+C 	Solução geral.
ii) Determine a solução geral da equação diferencial.
 = 
separamos as variáveis: ydy = xdx
integramos ambos os membros: 
 = 
Multiplicar ambos os 
membros por 2
 
 = 
+ C
 
y
 = x
+ C
C
 
constante de integração provisória.
iii) Ache a solução geral da equação diferencial.
e
�� EMBED Equation.3 = 2x
separar variáveis:
 e
dy = 2xdx
 
 = 
 e
 = x
 +C
Tomamdo logarítimos naturais de ambos os membros, temos:
 y = ln(x
+C)
iv) Determinação de uma Solução Particular.
Resolva a equação diferencial: xe
+yy’ = 0 , sujeita à condição inicial y = 1 quando x = 0 , sujeita à condição inicial y = 1, quando x = 0.
 Em quais das equações diferenciais seguintes podemos separar as variáveis?
 a) 
=
b) 
=
+1
c) x
�� EMBED Equation.3 =
d) 
=
e) 
= 
f) 
= 
g) 
= 
+ 1
h) 
= 
i)
= x-y
j) 
= 
Ache a solução geral da equação diferencial por separação de variáveis.
 a) 
= 2x
 b) 
=x
y
 c) 
=
(y + 1) 
= 2x
3y
�� EMBED Equation.3 = 1
( 1 + y ) 
 - 4x = 0
= 
e
 =3t
+ 1
xy
dx - x
y
dy = 0
Utilize a condição inicial dada para achar a solução particular da equação diferencial.
E.D. yy’-e
= 0 	C.I. y=4 qdo x = 0
E.D. e
dx – ydy = 0 	y(0) = 1
Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem
Nota: O termo ”primeira ordem” se refere ao fato de que a derivada de ordem mais elevada de y na equação é a derivada da primeira.
 São equações da forma 
+P(x)y = Q(x) onde P e Q são contínuas e y= F(x) onde F é diferenciável. Uma função F que satisfaz essa equação é chamada de Solução da Equação.
Exemplo: 
 -2xy = 3x
Obs: 
= 3x + 2xy
= x(3+2y)
Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem
 São equações da forma y’ + P(x)y = Q(x), onde e P e Q são funções de x. Posta nesta forma, a equação está em sua “forma padrão”.
 
Nota: O termo ”primeira ordem” se refere ao fato de que a derivada de ordem mais elevada de y na equação é a derivada primeira.Para resolver uma equação diferencial linear, escrevemo-la na forma padrão para identificar as funções P(x) e Q(x). Em seguida integramos P(x) e formamos a expressão
u(x) = e
 que é chamado: Fator integrante. A solução geral da equação é 
y = 
 
 Solução Geral
Exemplo 1:
Ache a solução geral de y’+y = e
Exemplo 2: 
Determine a solução geral de xy’ – 2y = x
Suponha x > 0
Exercícios
 Escreva a equação diferencial linear em forma padrão.
1)x
- 2x
y’+ 3y = 0
 
 	2) xy’+ y = xe
 
 	3) y + 1 = ( x – 1) y'
 	Resolva as equações diferenciais.
a) y’ – 2xy = 3x
 	b) 
+ y = e
 	c) 
 - 2xy = 3x
 	d) 
 - 2y = x
 	e) 
+ 
 = 0
 	f) y’ – 3xy = 6x
 
 	g) y’ = 2xy + x 
 	h) y’+ 
y = x
Ache a solução particular.
a) y’+ y = 6 e
 	y = 3 qdo x = 0
b) y’+ 3x
y = 3x
 	y = 6 qdo x = 0
c) x
y’- 4xy = 10 	y = 10 qdo x = 1
 A equação 
é exemplo de um tipo particular de equação de segunda ordem.
 Duas antidiferenciações sucessivas são necessárias para resolve-la, e duas constantes arbitrárias ocorrem na solução completa.
Exemplo: 
Ache a solução completa da equação diferencial 
 = 4x+ 3
Ache uma solução particular da equação diferencial do exemplo anterior para a qual, y = 2 e y’ = -3 quando x = 1
Exercício
Ache a solução completa das equações diferencias:
a) 
=5x
+ 1
b) 
 = sem 3t+ cos 3t
c ) 
= 
Ache a solução da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais.
a) 
 = 4(1+ 3v)
 u = 1 e 
 = -2 qdo v = -1
b) 
 = -
 y = 
 e 
 = -1 qdo x = 1
Equações de Bernoulli
Uma equação diferencial de Bernoulli é uma equação da forma 
 y’+P(x) y = Q(x) y
onde n é um número real. Quando n=0 ou n=1, a equação se reduz a uma equação linear.
Para resolvermos uma equação diferencial de Bernoulli, basta fazermos a seguinte mudança de variável: 
Z = y
Onde z é uma função que depende apenas de x. Esta mudança transforma a equação de Bernoulli (que não é linear) em uma equação linear na variável z(x).
z = y
�� EMBED Equation.3 z’ = (1-n) y
.y’ 
 y’ = 
y
z’
Além disso, de 
z = y
= y.y
, segue que y = y
z
Substituindo na equação dada, temos
z’ +(1-n)P(x) z = ( 1-n) Q(x)
que é uma equação diferencial linear e pode ser resolvida pela técnica do fator integrante.
Ex.
Resolva a equação diferencial.
y’ - 
y = xy
Resolva a equação de Bernoulli.
y’+ 
y = e
y
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�PAGE �3�
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