Relatório: Propagação de Incertezas: Trilho de Ar.

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RELATÓRIO EXPERIMENTAL 
 
Propagação de Incertezas: Trilho de Ar. 
 
Maicon Kevyn Moraes da Silva 
 
Resumo: O experimento propõe analisar a propagação de incertezas na 
velocidade média e um carrinho em um trilho de ar, horizontal e sem 
atrito, através dos métodos de Valores Limites e Derivadas. 
 
Introdução 
Em toda medida experimental existe uma incerteza associada ao instrumento de 
medida e das condições da medida. Para expressar o resultado da medida de forma 
correta, também deve ser informado o valor de sua incerteza. Para isso, se faz necessário 
aderir algum método adequado para medir essa incerteza. 
O presente trabalho irá analisar dois diferentes métodos para propagação de 
incertezas nas medidas: O Método dos Valores Limites e o Método das Derivadas no 
movimento de um carrinho sob um trilho de ar sem atrito e sob a ação de forças 
 
Embasamento Teórico 
Segundo a segunda lei de Newton (𝐹 = 𝑚𝑎) a aceleração e a força são vetores e, 
portanto, a força resultante de um sistema terá em módulo a mesma direção da aceleração. 
 
O trilho de ar foi projetado para que o movimento do carrinho se dê acima de um 
colchão de ar, fazendo com que o atrito entre o carrinho e a pista seja desprezível, e 
nivelado com a horizontal. Portanto, a força resultante, na mesma direção da trajetória do 
carrinho, é apenas a Força inicial da Forquilha para dar impulso no carrinho. 
Como só existe a Força inicial como a resultante das forças que agem sobre o 
carrinho, a velocidade irá permanecer constante. 
A velocidade média do carrinho durante o percurso se dá pela razão entre a 
variação do deslocamento e a variação do tempo: 𝑉𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
 
A energia cinética (𝐾 = 
1
2
𝑚𝑣²) depende da massa e do quadrado da velocidade. 
Como a velocidade é constante, a energia de movimento do carrinho permanece constante 
durante o percurso. 
 
A incerteza através do Método dos Valores Limites se dá através do cálculo 
superior e inferior da grandeza de saída: 𝑢𝑦 =
𝑦𝑚á𝑥−𝑦𝑚í𝑛
2
 através de um modelo 
matemático. 
E o resultado final se dá por: �̅� = ±𝑢𝑦 
 
A incerteza através do Método das Derivadas se dá pela raiz da soma em 
quadratura das derivadas e sua incerteza de cada variável de entrada no modelo 
matemático em questão: 
𝑢𝑦 = √[
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
]
2
𝑢²𝑥1 + [
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
]
2
 𝑢²𝑥1 + ⋯ [
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
] 𝑢²𝑥𝑛 
E o resultado final se dá por: �̅� = ±𝑢𝑦 
 
 
 
Materiais Utilizados 
Trilho de Ar: O trilho consiste num tubo triangular oco com orifícios em suas faces sobre 
as quais o carrinho se movimenta. 
 
Carrinho: O carrinho consiste da união de três placas plásticas por um lado comum, de 
modo que sua base se encaixa perfeitamente à base do trilho. 
 
Macaco: Suporte de altura ajustável, responsável por nivelar corretamente a direção do 
trilho e garantir que o carrinho se movimente apenas horizontalmente. 
 
Gerador de Fluxo de Ar: Componente responsável por criar o fluxo de ar dentro do tubo 
e permitir que o ar, ao sair pelos orifícios do trilho, crie o colchão de ar. 
 
Forquilha: Dispositivo utilizado para o lançamento dos carrinhos sobre o trilho de ar. A 
forquilha consiste de uma junta acoplada a um elástico e a uma placa metálica, de forma 
que o carrinho deforme o elástico até a limitação determinada pela barra, controlando 
assim o impulso inicial dado ao carrinho no experimento. 
 
Mangueira: Utilizada na conexão; do gerador de fluxo de ar com o trilho. 
 
Fita Métrica: A fita métrica acoplada ao longo do trilho fará o papel de sistema de 
referência do nosso movimento, de maneira que a posição do carrinho em qualquer 
instante do movimento se dará pela marcação da sua posição na fita métrica. A incerteza 
é de 0,05cm. 
 
Câmera: Aparelho utilizado para a captação das filmagens e fotos do experimento. 
 
Vela: Objeto a ser analisado no experimento em conjunto com o carrinho. 
 
Cronômetro: Foi usado um cronômetro com precisão de 0,001s. 
 
Procedimentos 
O carrinho foi colocado na posição inicial e preso na forquilha. 
 
Imagem 1: carrinho na posição inicial 
 
Após posicionado, foi ligado o fluxo de ar, que passava através de orifícios na pista, para 
que o carrinho tivesse atrito desprezível com a pista. 
 
 
Imagem 2: Gerador de fluxo de ar 
 
Com o fluxo de ar já ligado, a forquilha foi solta, liberando e impulsionando o carrinho 
através da placa e sobre um colchão de ar criado pelo fluxo de ar. 
 
Imagem 3: Forquilha para impulso inicial 
 
 
A câmera foi fixada a outro trilho de ar, de maneira que acompanhasse o carrinho em todo 
o seu movimento, registrando assim quadro a quadro todas as imagens. 
 
Imagem 4: Câmera fixada em outro trilho de ar 
Os dados foram coletados de acordo com a posição do objeto em uma fita métrica e o 
respectivo tempo de filmagem na câmera a partir da liberação na forquilha. 
 
 
Imagem 5: Fita métrica usado na medição da posição. 
 
 
Imagem 6: Cronômetro da câmera no canto superior direito. 
Dados Experimentais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1: Posição e Tempo em 15 medidas distintas durante o percurso do carrinho no trilho. 
 
 
Análise dos Dados 
Foi analisado a posição do carrinho através do trilho em 15 medidas diferentes durante 
um certo intervalo de tempo e correlacionado no gráfico 1, com a incerteza da fita métrica, 
para cada medida de posição, de 0,05cm, a fim de verificar se o movimento se dava de 
maneira linear. 
 
Gráfico 1: Posição (com sua incerteza) x Tempo 
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 5 10 15 20
Posição
Tempo (s) Posição (cm) 
7,908 19,35 
8,408 31,48 
8,876 42,3 
9,376 53,71 
9,877 65 
10,377 76,25 
10,878 87,5 
11,378 98,6 
11,945 110,99 
12,446 121,7 
12,946 132,2 
13,447 142,38 
13,947 152,2 
14,448 161,88 
14,948 171,28 
Com a equação de movimento 𝑉𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
 para as posições 1 e 2, 9 e 10, foi calculado a 
velocidade nesses pontos. 
𝑉𝑚1/2 =
∆𝑥
∆𝑡
= 
31,48𝑐𝑚 − 19,35𝑐𝑚
8,408 − 7,908
= 24,26 𝑐𝑚/𝑠 
 
𝑉𝑚9/10 =
∆𝑥
∆𝑡
= 
121,70𝑐𝑚 − 110,99𝑐𝑚
12,446𝑠 − 11,945𝑠
= 21,37𝑐𝑚/𝑠 
 
Propagação de Incerteza através dos Valores Limites: 
∆𝑥𝑀Á𝑋 = (𝑥2 − 𝑥1) + (𝑢𝑥1 + 𝑢𝑥2) 
∆𝑥𝑀Í𝑁 = (𝑥2 − 𝑥1) − (𝑢𝑥1 − 𝑢𝑥2) 
 
∆𝑡𝑀Á𝑋 = (𝑡2 − 𝑡1) + (𝑢𝑡1 + 𝑢𝑡2) 
∆𝑡𝑀Í𝑁 = (𝑡2 − 𝑡1) − (𝑢𝑡1 − 𝑢𝑡2) 
 
𝑉𝑀Á𝑋 = 
∆𝑥𝑀Á𝑋
∆𝑡𝑀Í𝑁
 
𝑉𝑀Í𝑁 = 
∆𝑥𝑀Í𝑁
∆𝑡𝑀Á𝑋
 
 
Quadro Tempo Posição 
1 7,908s 19,35cm 
2 8,408s 31,48cm 
 
𝑉𝑀Á𝑋 = 
∆𝑥𝑀Á𝑋
∆𝑡𝑀Í𝑁
=
(31,48 − 19,35)𝑐𝑚 + (0,05 + 0,05)𝑐𝑚
(8,408 − 7,908)𝑠 − (0,001 − 0,001)𝑠
= 24,56 𝑐𝑚/𝑠 
𝑉𝑀Í𝑁 = 
∆𝑥𝑀Í𝑁
∆𝑡𝑀Á𝑋
=
(31,48 − 19,35)𝑐𝑚 − (0,05 − 0,05)𝑐𝑚
(8,408 − 7,908)𝑠 + (0,001 + 0,001)𝑠
= 23,96 𝑐𝑚/𝑠 
 
𝑢𝑣= 
𝑉𝑀Á𝑋 − 𝑉𝑀Í𝑁 
2
= 0,3 𝑐𝑚/𝑠 
Velocidade média entre os quadros 1 e 2 com a incerteza do método dos valores limites 
é: 𝑉𝑚 = (24,26 ± 0,3)𝑐𝑚/𝑠 
 
Quadro Tempo Posição 
9 11,945s 110,99cm 
10 12,446s 121,70cm 
 
𝑉𝑀Á𝑋 = 
(121,70 − 110,99)𝑐𝑚 + (0,05 + 0,05)𝑐𝑚
(12,446 − 11,945)𝑠 − (0,001 − 0,001)𝑠
= 21,66 𝑐𝑚/𝑠 
𝑉𝑀Í𝑁 = 
(121,70 − 110,99)𝑐𝑚 − (0,05 − 0,05)𝑐𝑚
(12,446 − 11,945)𝑠 + (0,001 + 0,001)𝑠
= 21,09 𝑐𝑚/𝑠 
𝑢𝑣= 
𝑉𝑀Á𝑋 − 𝑉𝑀Í𝑁 
2
= 0,285 𝑐𝑚
𝑐𝑚
𝑠
≈ 0,3 𝑐𝑚/𝑠 
Velocidade média entre os quadros 9 e 10 com a incerteza do método dos valores limites 
é: 𝑉𝑚 = (21,38 ± 0,3)𝑐𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
Propagação de Incerteza através do Método das Derivadas: 
 
Quadro Tempo Posição 
1 7,908s 19,35cm 
2 8,408s 31,48cm 
 
Equação do modelo matemático: 𝑉𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
 
𝑢𝑣 = √[
𝜕𝑉
𝜕𝑥
]
2
𝑢²𝑥 + [
𝜕𝑉
𝜕𝑡
]
2
 𝑢²𝑡 = √[
1
∆𝑡
]
2
𝑢²𝑥 + [
−∆𝑥
∆𝑡²
]
2
 𝑢²𝑡 
 
 
𝑢𝑣 = √[
1
0,5
]
2
0,05² + [
−12,13
0,5²
]
2
 0,0012 = 0,1 
Velocidade média entre os quadros 1 e 2 com a incerteza do Método das Derivadas é: 
𝑉𝑚 = (24,26 ± 0,1)𝑐𝑚/𝑠 
 
Quadro Tempo Posição 
9 11,945s 110,99cm10 12,446s 121,70cm 
 
𝑢𝑣 = √[
𝜕𝑉
𝜕𝑥
]
2
𝑢²𝑥 + [
𝜕𝑉
𝜕𝑡
]
2
 𝑢²𝑡 = √[
1
∆𝑡
]
2
𝑢²𝑥 + [
−∆𝑥
∆𝑡²
]
2
 𝑢²𝑡 
 
𝑢𝑣 = √[
1
0,501
]
2
0,05² + [
−10,71
0,501²
]
2
 0,0012 = 0,108
𝑐𝑚
𝑠
≈ 0,1𝑐𝑚/𝑠 
 
Velocidade média entre os quadros 9 e 10 com a incerteza do Método das Derivadas é: 
𝑉𝑚 = (21,38 ± 0,1)𝑐𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
 
Conclusão 
 
O método dos valores limites por usar apenas os valores limites superior e inferior das 
grandezas de entrada para calcular os valores que a grande de saída pode assumir, se 
torna um método menos sofisticado por não avaliar os valores intermediário da função. 
Como a velocidade média é uma derivação da posição por tempo, o método das 
derivadas se torna mais preciso por calcular o valor aproximado da reta tangente da 
curva da função posição x tempo e apresenta maior precisão, portanto, menor variação 
na incerteza. 
Ambos métodos funcionam com diferentes precisões e o uso de um ou outro depende do 
grau da precisão necessária que o experimento exige. 
 
Referências 
Livros e Apostilas 
LIMA JUNIOR, P; SILVA, M.T.X.; SILVEIRA, F.L.; VEIT, E.A. O laboratório de 
Física. Porto Alegre: IF-UFRGS, 2013. 
HALLIDAY, D.; WALKER, J.; RESNICK, R. Fundamentos de física 1: Mecânica. 
8.ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009. 368 p 
 
Sites 
www.fep.if.usp.br