Apostila_de_Geometria_espacial_do_JECA

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Autor - Lucas Octavio de Souza
 (Jeca)
Geometria de Posição
e
Geometria Espacial Métrica
Resumo teórico e exercícios.
3º Colegial / Curso Extensivo.
 Relação das aulas.
Aula 01 - Conceitos fundamentais de Geometria de Posição ...........
Aula 02 - Poliedros convexos ............................................................
Aula 03 - Prismas ...............................................................................
Aula 04 - Pirâmides ............................................................................
Aula 05 - Cilindro de revolução ..........................................................
Aula 06 - Cone de revolução .............................................................
Aula 07 - Esferas ...............................................................................
Aula 08 - Sólidos semelhantes ..........................................................
Aula 09 - Exercícios diversos sobre sólidos compostos .................... 
Jeca 01
02
17
21
30
38
45
51
56
61
Página
Considerações gerais.
 Este estudo de Geometriade Posição e de Geometria Espacial Métrica tem como 
objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de 
curso pré-vestibular. Nessas aulas, projeto na lousa esta apostila e complemento a 
teoria exemplificando e demonstrando as fórmulas apresentadas. Não tem a 
pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita.
 Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, 
desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o 
material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação 
me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém.
 Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me 
comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho.
 Meu e-mail - jecajeca@uol.com.br
 Um abraço.
 Jeca
 (Lucas Octavio de Souza)
Geometria de Posição e Geometria Espacial Métrica.
GEOMETRIA DE POSIÇÃO.
 A Geometria de Posição é a parte da Geometria 
que estuda a determinação dos elementos 
geométricos, bem como as posições relativas e as 
interseções desses elementos no espaço.
1) Elementos da Geometria.
 a) Ponto - A, B, P, …
 b) Reta - a, b, r, …
 c) Plano - α, β, γ, …
2) Determinação dos elementos.
 2a) Determinação de ponto.
 Um ponto fica determinado :
 I - Pelo cruzamento de duas retas concorrentes.
 II - Pelo cruzamento de uma reta com um plano.
 2b) Determinação de reta.
 Uma reta fica determinada :
 I - Por dois pontos distintos.
 II - Por um ponto e uma direção.
 III - Pelo cruzamento de dois planos.
r
s
P
α
α
α
P
r
A
B r
dir
eçã
o
P
β
A B
C
α
r
P
r
2c) Determinação de plano.
 Um plano fica determinado :
 I - Por três pontos distintos não colineares.
 II - Por uma reta e um ponto fora dela.
 III - Por duas retas paralelas distintas.
 IV - Por duas retas concorrentes.
3) Combinações dos elementos.
(dois a dois)
4) Posições relativas e interseções dos 
elementos dois a dois.
 4a) Ponto - ponto.
 As posições relativas que dois pontos podem 
assumir são :
 I - Os dois pontos são coincidentes.
 II - Os dois pontos são distintos.
α
r
s
α
r
s
3a) Ponto - ponto.
3b) Ponto - reta.
3c) Ponto - plano.
3d) Reta - reta.
3e) Reta - plano.
3f) Plano - plano.
A B A B = A ( ou B )
A
B
A B = O
Jeca 02
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria de Posição
Aula 01
Conceitos fundamentais 
da Geometria de Posição.
 4b) Ponto - reta.
 As posições relativas que um ponto e uma reta 
podem assumir são :
 I - O ponto está contido na reta.
 II - O ponto está fora da reta.
 4c) Ponto - plano.
 As posições relativas que um ponto e um plano 
podem assumir são :
 I - O ponto está contido no plano.
 II - O ponto está fora do plano.
 4d) Reta - reta.
1) Retas coplanares.
 Duas retas são ditas coplanares se existe um 
plano que as contém.
 As posições relativas que duas retas coplanares 
podem assumir são :
 I - Duas retas paralelas coincidentes.
 II - Duas retas paralelas distintas.
 III - Duas retas concorrentes.
α
r
s
P
r s
α r s = r (ou s)
r s = P
r s = α
r
s O
s’
P
P’ r s = α
r
s
O
r α = rα
r
r’
r α = α
r
O
r
P
r α = P
α
 P é chamado de
“traço de r em α”.
III - A reta é secante ou concorrente com o plano.
Retas perpendiculares.
(caso particular de retas concorrentes)
 Duas retas concorrentes são ditas 
perpendiculares se fazem entre si ângulos de 90º. (no 
plano) 
2) Retas reversas (ou não coplanares)
 Duas retas são ditas reversas ou não coplanares 
se não existe um plano que as contém.
Retas ortogonais.
(caso particular de retas reversas)
 Duas retas reversas são ditas ortogonais se fazem 
entre si ângulos de 90º. (no espaço)
 4e) Reta - plano.
 As posições relativas que uma reta e um plano 
podem assumir são :
 I - A reta está contida no plano.
 II - A reta é paralela ao plano.
P r P r = P
O
P
r
P r = 
α
P
P α = P
α
P
OP’ P α = 
Jeca 03
Projeções ortogonais (”Sombra”)
P
A
B
C
r
s
t
A - Projeção ortogonal de P em r.
B - Projeção ortogonal de P em s.
C - Projeção ortogonal de P em t.
A B
A’ B’
C
D
C’ D’
E
F
E’ = F’
r
Projeções ortogonais em r.
Ângulo.
Distância entre duas retas reversas.
 A distância entre duas retas reversas é a medida do 
segmento que tem extremidades nas duas retas e que 
é simultaneamente perpendicular a essas retas.
r
s
d
Distância.
Ângulo entre reta e plano.
 É o ângulo formado entre a reta e a projeção ortogo-
nal da reta sobre o plano.
θ
P
P’
Ângulo entre dois planos.
 É o ângulo formado por duas retas, uma de cada pla-
no, perpendiculares à intersecção dos dois planos num 
mesmo ponto.
θ
Intersecção
Determina Existe e é único
Onde se lê Entende-se
Existe um
Um único
Coincidentes
Distintos Têm pelo menos um ponto diferente.
Têm todos os pontos em comum.
Um e somente um.
Existe pelo menos um.
Concorrentes Se cruzam.
Colineares Existe uma reta que os contém.
Coplanares Existe um plano que os contém.
Reversos Não existe um plano que os contém.
Reta perpendicular ao plano.
(caso particular de reta secante ao plano)
Teorema.
 Uma reta é perpendicular a um plano se é perpen-
dicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do 
plano.
 4f) Plano - plano.
 As posições relativas que dois planos podem 
assumir são :
 I - Dois planos paralelos coincidentes.
 II - Dois planos paralelos distintos.
 III - Dois planos secantes (ou concorrentes)
Planos perpendiculares.
(caso particular de planos secantes ou concorrentes)
Teorema.
 Dois planos são perpendiculares entre si se um 
deles contém uma reta perpendicular ao outro.
t
α s
r
β
α β = α (ou β)
α
α β = β
α
O
α β = rα
β r
t
α
β
Jeca 04
038) ( ) Se duas retas não têm ponto em comum, 
então elas são reversas.
039) ( ) Se duas retas não têm ponto em comum, 
entãoelas são concorrentes.
040) ( ) Um ponto contido num plano divide esse pla-
no em dois semi-planos.
041) ( ) Uma reta secante a um plano divide essa 
plano em dois semi-planos.
042) ( ) Se duas retas não são coplanares, então elas 
são reversas.
043) ( ) Se duas retas são paralelas, então elas não 
têm ponto em comum.
044) ( ) Duas retas paralelas a uma terceira são 
paralelas entre si.
045) ( ) Duas retas ortogonais formam ângulo reto.
046) ( ) Quatro pontos não coplanares são vértices de
um quadrilátero reverso.
047) ( ) As retas que contém as diagonais de um qua-
drilátero reverso são retas reversas.
048) ( ) Se duas retas distintas não são paralelas, 
então são concorrentes.
049) ( ) Se três retas são paralelas, então existe um 
plano que as contém.
050) ( ) Uma reta e um plano secantes têm um ponto 
comum.
051) ( ) Três pontos não colineares são sempre distin-
tos.
052) ( ) Uma reta e um plano paralelo não têm ponto 
comum.
053) ( ) Uma reta está contida num plano quando eles 
coincidem.
054) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é 
paralela a uma reta do plano.
055) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
paralela a infinitas retas do plano.
056) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
paralela a todas as retas do plano.
057) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
reversa a uma reta do plano.
058) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
ortogonal a uma única reta do plano.
059) ( ) Se uma reta e um plano são secantes, então 
ela é concorrente com infinitas retas desse plano.
060) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então 
existe no plano uma reta concorrente com ela.
061) ( ) Se duas retas são reversas, então qualquer 
reta que concorre com uma delas concorre com a 
outra.
062) ( ) Se duas retas distintas são paralelas, então 
todo plano que contém uma é paralelo ou contém a 
outra.
063) ( ) Se duas retas são reversas, então qualquer 
plano que contém uma intercepta a outra.
064) ( ) Se duas retas distintas são paralelas a um 
plano, então são paralelas entre si.
065) ( ) Dado uma reta e um plano quaisquer, existe 
no plano uma reta paralela à reta dada.
066) ( ) Dadas duas retas distintas quaisquer, existe 
um plano que contém uma e é paralelo à outra.
067) ( ) Dois planos secantes têm como interseção 
uma reta.
068) ( ) Se dois planos distintos têm um ponto comum 
então eles são secantes.
069) ( ) Dois planos que têm uma reta comum são se-
cantes.
 Responder V se verdadeira ou F se falsa 
nas afirmações abaixo.
001) ( ) O ponto não tem dimensão.
002) ( ) Uma reta contém infinitos pontos.
003) ( ) Um plano contém infinitos pontos.
004) ( ) Por um ponto sempre passa uma reta.
005) ( ) Dados dois pontos distintos, existe e é único o 
plano que os contém.
006) ( ) Três pontos distintos determinam um plano.
007) ( ) Por uma reta passam infinitos planos.
008) ( ) Três pontos alinhados são coplanares.
009) ( ) Três pontos distintos e não colineares deter-
minam um plano.
010) ( ) Todo plano contém infinitas retas.
011) ( ) Dois planos que têm uma única reta comum 
são secantes.
012) ( ) Um ponto separa uma reta em duas semi-
retas.
013) ( ) Um ponto pertencente a uma reta separa 
essa reta em duas semi-retas.
014) ( ) Uma reta divide um plano em dois semi-
planos.
015) ( ) Uma reta pertencente a um plano, divide esse 
plano em dois semi-planos.
016) ( ) Qualquer plano divide o espaço em dois 
semi-espaços.
017) ( ) Dois semi-planos são sempre coplanares.
018) ( ) Dois semi-planos opostos são sempre copla-
nares.
019) ( ) Se dois pontos pertencem a semi-planos 
opostos, então o segmento que os une intercepta a 
origem dos dois semi-planos.
020) ( ) Existem infinitos semi-planos de mesma ori- 
gem.
021) ( ) Três pontos distintos não são colineares.
022) ( ) Duas retas que têm um ponto comum são 
concorrentes.
023) ( ) Duas retas que têm um único ponto comum 
são concorrentes.
024) ( ) Duas retas distintas que têm um ponto 
comum são concorrentes.
025) ( ) Uma reta e um ponto determinam um plano.
026) ( ) Uma reta e um ponto fora dela determinam 
um plano.
027) ( ) Duas retas distintas determinam um plano.
028) ( ) Duas retas paralelas determinam um plano.
029) ( ) Três retas, duas a duas paralelas distintas, 
determinam três planos.
030) ( ) Três retas, duas a duas paralelas distintas, 
determinam um único ou três planos.
031) ( )Três retas, duas a duas concorrentes em 
pontos distintos, são coplanares.
032) ( ) O espaço contém infinitos pontos, infinitas 
retas e infinitos planos.
033) ( ) Quatro pontos distintos e não colineares, são 
vértices de um quadrilátero.
034) ( ) Quatro pontos distintos e não colineares três 
a três, são vértices de um quadrilátero.
035) ( ) Quatro pontos distintos e não coplanares, 
três a três determinam quatro planos distintos.
036) ( ) Duas retas paralelas distintas e um ponto fora 
delas, determinam um único ou três planos.
037) ( ) Duas retas concorrentes e um ponto fora 
delas determinam três planos.
Jeca 05
098) ( ) Se uma reta é paralela a uma reta do plano, 
então ela é paralela ao plano.
099) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano 
que contém uma e é perpendicular à outra.
100) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano 
que contém as duas retas.
101) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano 
que contém uma e é paralelo à outra.
102) ( ) As intersecções de dois planos paralelos com 
um terceiro plano, são retas paralelas.
103) ( ) Se um plano contém duas retas concorrentes 
e ambas paralelas a um outro plano, então esses 
planos são paralelos entre si.
104) ( ) A projeção ortogonal de um ponto sobre um 
plano é um ponto.
105) ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um 
plano é uma reta.
106) ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um 
plano é um ponto ou uma reta.
107) ( ) A projeção ortogonal de um segmento sobre 
um plano é um ponto ou um segmento menor que ele.
108) ( ) A projeção ortogonal de um quadrilátero pla-
no sobre um plano é um quadrilátero.
109) ( ) A projeção ortogonal de um quadrado plano 
sobre um plano pode ser um triângulo.
110) ( ) A projeção ortogonal de um plano sobre outro 
plano é um plano ou uma reta.
001 V
002 V
003 V
004 V
005 F
006 F
007 V
008 V
009 V
010 V
011 V
012 F
013 V
014 F
015 V
016 V
017 F
018 V
019 V
020 V
021 F
022 F
023 V
024 V
025 F
026 V
027 F
028 F
029 F
030 V
031 V
032 V
033 F
034 V
035 V
036 V
037 F
038 F
039 F
040 F
041 F
042 V
043 F
044 V
045 V
046 V
047 V
048 F
049 F
050 V
051 V
052 V
053 F
054 V
055 V
056 F
057 V
058 F
059 V
060 F
061 F
062 V
063 F
064 F
065 F
066 F
067 V
068 V
069 F
070 V
071 V
072 F
073 V
074 V
075 F
076 F
077 V
078 V
079 F
080 V
081 V
082 F
083 V
084 F
085 V
086 F
087 V
088 V
089 V
090 V
091 F
092 F
093 F
094 V
095 V
096 F
097 V
098 F
099 F
100 F
101 V
102 V
103 V
104 V
105 F
106 V
107 F
108 F
109 F
110 V
GABARITO
070) ( ) Dois planos que têm uma única reta comum 
são secantes.
071) ( ) Duas retas reversas e uma concorrente com 
as duas, determinam dois planos.
072) ( ) Dois planos distintos são secantes.
073) ( ) Se dois planos distintos são paralelos entre 
si, então uma reta de um deles e uma reta do outro são 
paralelas entre si ou reversas.
074) ( ) Se uma reta é paralela a dois planos 
secantes, então ela é paralela à interseção desse 
planos.
075) ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então 
toda reta paralela a um deles é paralela ao outro.
076) ( ) Se dois planos são paralelos a uma reta, 
entãosão paralelos entre si.
077) ( ) Se dois planos distintos são paralelos a um 
terceiro, então são paralelosentre si.
078) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, 
então é perpendicular a uma reta do plano.
079) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, 
então é perpendicular a todas as retas desse pla-
no.
080) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, 
então é perpendicular a infinitas retas desse plano.
081) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, 
então é perpendicular ou ortogonal a todas as retas do 
plano.
082) ( ) Uma reta é perpendicular a um plano se é 
perpendicular a duas retas desse plano.
083) ( ) Uma reta é perpendicular a um plano se é 
perpendicular a duas retas concorrentes desse plano.
084) ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então 
toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular 
ao plano.
085) ( ) Por um ponto dado pode-se conduzir uma 
única reta perpendicular a um plano dado.
086) ( ) Um reta é perpendicular a um plano se é 
perpendicular a duas ou mais retas desse plano.
087) ( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro, 
podem ser perpendiculares entre si.
088) ( ) Uma condição necessária para que uma reta 
seja perpendicular a um plano é que a reta e o plano 
sejam secantes.
089) ( ) Se duas retas são perpendiculares a um 
mesmo plano, então elas são paralelas entre si.
090) ( ) Se dois planos são perpendiculares a uma 
mesma reta, então são paralelos entre si.
091) ( ) Se uma reta é ortogonal a duas retas 
paralelas distintas, então ela é paralela ao plano que 
as contém.
092) ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então 
toda reta perpendicular à reta dada é para-
lela ao plano.
093) ( ) Se uma reta e um plano são perpendiculares, 
então toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao 
plano.
094) ( ) Por um ponto dado, existe um único plano 
perpendicular a uma reta dada.
095) ( ) Se dois planos são perpendiculares, então 
eles são secantes entre si.
096) ( ) Se dois planos são secantes, então eles são 
perpendiculares.
097) ( ) Uma reta e um plano secantes têm um ponto 
comum.
Jeca 06
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria de Posição
Aula 01
Exercícios complementares.
(Geometria de Posição)
Jeca 07
01) (FUVEST) Uma formiga resolveu andar de um 
vértice a outro do prisma reto de bases triangulares 
ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do 
vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à 
base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal 
da face ADGC e, finalmente completou seu passeio 
percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou 
ao vértice :
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
A
B
C
D
E
G
03) (Unifesp-SP) Dois segmentos dizem-se 
reversos quando não são coplanares. Nesse caso, o 
número de pares de arestas reversas num tetraedro, 
como o da figura, é:
a) 6
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
A
B
C
D
cumeeira
t s
v
r
u
3 m
4 m
4 m
02) (FAAP-SP) O galpão da figura a seguir está no 
prumo e a cumeeira está "bem no meio" da parede.
 Das retas assinaladas, podemos afirmar que:
a) t e u são reversas.
b) s e u são reversas.
c) t e u são concorrentes.
d) s e r são concorrentes.
e) t e u são perpendiculares.
04) (Vunesp-SP) Na figura a seguir o segmento AB 
é perpendicular ao plano α, CD e BC estão 
contidos nesse plano e CD é perpendicular a BC. 
Se AB = 2 cm, BC = 4 cm e CD = 3 cm, ache a dis-
tância de A a D.
A
BC
Dα
05) (Unimontes-MG) "Chama-se projeção ortogonal 
de uma figura sobre um plano o conjunto de todas as 
projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse 
plano."
 Na figura abaixo, determine a medida da projeção 
ortogonal do segmento AB sobre o plano α.
60º
pi
α
t
A
B
06) (Fatec-SP) Na figura exposta tem-se: o plano α 
definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; 
a reta b, perpendicular a α em A, com A c, o 
ponto B, intersecção de c e d. Se X é um ponto 
de b, X α, então a reta s, definida por X e B:
C
C
a) é paralela à reta c.
b) é paralela à reta b
c) está contida no plano α.
d) é perpendicular à reta d.
e) é perpendicular à reta b.
α
b
A
d
c
B
α e pi são planos secantes
A pi e B t
AB t e BC t
AB = 10 cm
C
T T
C
C
Jeca 08
x
y
z
s
t
r
07) (FAAP-SP) A figura abaixo mostra uma porta en-
treaberta e o canto de uma sala:
 As retas r e s; s e t; x e r têm, respectivamente, 
as posições relativas:
a) paralelas, paralelas e perpendiculares.
b) paralelas, perpendiculares e reversas.
c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares.
d) reversas, paralelas e perpendiculares.
e) perpendiculares, reversas e paralelas.
09) (Vunesp-SP) Sobre a perpendicularidade não 
se pode afirmar:
a) Se uma reta é perpendicular a duas retas concor-
rentes de um plano, então é perpendicular a esse 
plano.
b) Existem 4 retas passando por um ponto, tais que 
sejam perpendiculares duas a duas.
c) Se uma reta é perpendicular a um plano, existem 
infinitas retas desse plano perpendiculares a ela.
d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano 
são paralelas.
e) Dados uma reta e um ponto distintos, podemos 
passar um e apenas um plano perpendicular à reta e 
passando pelo ponto.
10) (Fatec-SP) O ponto A pertence à reta r, contida 
no plano α. A reta s, perpendicular a α, o intercep-
ta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 
cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r 
mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a 
distância de A a C, em centímetros, é igual a:
a) 9 5
b) 9
c) 7
d) 4
e) 3 5 
11) (Fuvest-SP) O segmento AB é um diâmetro de 
uma circunferência e C, um ponto dela, distinto de A 
e de B. A reta VA, V = A, é perpendicular ao plano 
da circunferência. O número de faces do tetraedro 
VABC que são triângulos retângulos é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
12) (Fuvest-SP) São dados 5 pontos não-coplana-
res A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retân-
gulo, AE perpendicular a AB e AE perpendicular a 
AD. Pode-se concluir que são perpendiculares as 
retas:
a) EA e EB
b) EC e CA
c) EB e BA
d) EA e AC
e) AC e BE
08) (Fuvest-SP) São dados um plano α, uma reta r 
contida em α e uma reta s perpendicular a r, mas 
não a α. Demonstre que a projeção ortogonal de s 
sobre α é perpendicular a r.
Jeca 09
13) (Fuvest-SP) São dados um plano pi, um ponto P 
do mesmo e uma reta r oblíqua a pi que o fura num 
ponto distinto de P. Mostre que existe uma única reta 
por P, contida em pi, e ortogonal a r.
17) (Mackenzie-SP) Assinale a única proposição 
verdadeira.
a) Uma reta é perpendicular a um plano, quando ela 
é perpendicular a todas as retas do plano.
b) Dois planos distintos perpendiculares a um tercei-
ro são paralelos entre si.
c) A projeção ortogonal de uma reta num plano é 
sempre uma reta.
d) Um plano paralelo a duas retas de um plano é 
paralelo ao plano.
e) Duas retas perpendiculares, respectivamente, a 
três planos paralelos, são paralelas.
18) (FEI-SP) Assinale a proposição falsa.
a) Por uma reta perpendicular a um plano α passa 
pelo menos um plano perpendicular a α.
b) A projeção ortogonal sobre um plano α de um 
segmento oblíquo a α é menor do que o segmento.
c) Uma reta ortogonal a duas retas concorrentes de 
um plano α é perpendicular ao plano α.
d) Um plano perpendicular à dois planos concorren-
tes é perpendicular à intersecção deles.
e) No espaço, duas retas perpendiculares a uma ter-
ceira reta são paralelas.
14) (ITA-SP) Qual das afirmações abaixo é verda-
deira ?
a) Trêspontos, distintos dois a dois, determinam um 
plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um plano.
c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, 
tal ponto é único.
d) Se uma reta é paralela a um plano e não está con-
tida neste plano, então ela é paralea a qualquer reta 
desse plano.
e) Se α é o plano determinado por duas retas con-
correntes r e s, então toda reta m desse plano, 
que é paralela à r, não será paralela à reta s.
15) (Uminontes-MG) Sejam r, s e t três retas no 
espaço. Analise as seguintes afirmações:
( ) Se r e s são paralelas, então existe um plano 
que as contém.
( ) Se a intersecção de r e s é o conjunto vazio, 
então r é paralela a s.
( ) Se r, s e t são duas a duas paralelas, então 
existe um plano que as contém.
( ) Se r s = O e r não é paralela a s, então r e 
s são reversas.
 Considerando V para sentença verdadeira e F 
para sentença falsa, a sequência correta que classi-
fica essas afirmações é:
a) V, V, V, V.
b) F, V, V, F.
c) V, F, F, V.
d) V, V, F, F.
U
16) (PUC-SP) Qual das afirmações abaixo é verda-
deira ?
a) Se duas retas distintas não são paralelas, então 
elas são concorrentes.
b) Duas retas não coplanares são reversas.
c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, 
então elas são paralelas.
d) Se três retas são paralelas, existe um plano que 
as contém.
e) Se três retas distintas são duas a duas concorren-
tes, então elas determinam um e um só plano.
A B
CD
E F
GH
19) A figura ao lado representa um cubo de vértices A, B, C, D, 
E, F, G e H. Com base nessa figura e utilizando os vértices como 
pontos, as arestas como retas suportes das retas (entende-se: 
AC é uma reta mas não contém nenhuma aresta) e as faces 
como planos, responda as solicitações abaixo. 
Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão 
consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levando-
se em consideração o rigor matemático dos termos próprios da 
Geometria de Posição.
a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta 
AB.
Resp.
b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DH.
Resp.
c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta EH.
Resp.
d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta 
AD.
Resp.
e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o 
plano EAB.
Resp.
f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano 
EHG.
Resp.
g) Cite um plano que seja secante ou concorrente 
com o plano ADC.
Resp.
h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG 
e EH ?
Resp.
i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DH e o 
plano ABF ?
Resp.
j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF 
e o plano FGH ? 
Resp.
k) Determine todas as arestas do cubo que são 
perpendiculares à reta BC.
Resp.
l) Determine todas as arestas do cubo que são or-
togonais à reta EF.
Resp. 
m) Determine todas as arestas do cubo que são 
concorrentes com a reta DH.
Resp.
n) Determine todas as arestas do cubo que são pa-
ralelas ao plano BCG.
Resp.
o) Determine todas as arestas do cubo que são pa-
ralelas ao plano BDH.
Resp.
p) Determine todas as faces do cubo que são para-
lelas à aresta CG.
Resp.
q) Determine todas as faces do cubo que são per-
pendiculares à face AEF.
Resp.
r) Determine todos os vértices do cubo que não es-
tão contidos no plano FGH.
Resp.
s) Determine todas as arestas do cubo que são pa-
ralelas distintas à aresta AB.
Resp.
t) Determine todos os vértices do cubo que não es-
tão contidos no plano EGD.
Resp.
Jeca 10
A
B
CD
E F
G
H
R
S
T
U
20) A figura ao lado é um paralelepípedo retorretan-
gular de dimensões AE = 6 cm, AD = 8 cm e AB = 10 
cm. Os pontos R, S, T e U são os centros das 
faces ADHE, CDHG, BCGF e EFGH, respecti-
vamente. Sendo A, B, C, D, E, F, G e H os vértices 
desse paralelepípedo, determinar o que se pede em 
cada questão a seguir :
a) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas dis-
tintas à aresta AD ?
Resp. 
b) Qual a posição relativa entre as retas HG e BF ?
Resp . 
c) O que é e qual é a intersecção entre os planos 
ADB e EFH ? 
Resp . 
d) Qual a distância entre o ponto T e o plano CGH ?
Resp . 
e) Quais arestas do paralepepípedo são perpendicu-
lares à aresta EF ?
Resp . 
f) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à 
aresta DC ?
Resp . 
g) Quais faces do paralelepípedo são perpendicula-
res ao plano AEH ?
Resp . 
h) Qual a distância entre o ponto F e o plano ABC ?
Resp . 
i) O que é e qual é a intersecção entre os planos 
CGH e BFH ?
Resp . 
j) Qual a posição relativa entre as retas AC e HF ?
Resp . 
l) Qual a distância entre os pontos S e R ?
Resp . 
m) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas ao 
plano BCG ?
Resp
n) Quais faces do paralelepípedo são paralelas ao 
plano CDH ?
Resp . 
o) Qual a tangente do ângulo formado entre os 
planos ABF e BFH ?
Resp . 
p) O que é e qual é a intersecção entre as retas FH e 
EG ?
Resp .
q) Quais vértices do paralelepípedo distam 10 cm 
do vértice E ?
Resp 
r) Quais faces do paralelepípedo contêm o vértice 
D ?
Resp . 
s) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à 
reta FC ?
Resp . 
t) O que é e qual é a intersecção entre os planos 
AHG e DEF ?
Resp .
u) Qual a medida da soma dos comprimentos de 
todas as arestas do paralelepípedo ?
Resp . 
Jeca 11
Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão 
consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levando-
se em consideração o rigor matemático dos termos próprios da 
Geometria de Posição.
a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a 
reta AB.
Resp.
b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DJ.
Resp.
c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta DE.
Resp.
d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta 
AF.
Resp.
e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o 
plano GMA.
Resp.
f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano 
JLE.
Resp.
g) Cite um plano que seja secante ou concorrente 
com o plano ABH.
Resp.
h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG 
e GM ?
Resp.
i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DC e o 
plano HIB ?
Resp.
j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF 
e o plano CDJ ? 
Resp.
k) Determine todas as retas do prisma que são 
perpendiculares à reta AG.
Resp.
l) Determine todas as retas do prisma que são or-
togonais à reta EF.
Resp. 
m) Determine todas as retas do prisma que são con-
correntes com a reta CD.
Resp.
n) Determine todas as retas do prisma que são para-
lelas ao plano BCE.
Resp.
o) Determine todas as retas do prisma que são pa-
ralelas ao plano BCH.
Resp.
p) Determine todas as faces do prisma que são pa-
ralelas à reta DJ.
Resp.
q) Determine todas as faces do prisma que são per-
pendiculares à face AEF.
Resp.
r) Determine todos os vértices do prisma que não 
estão contidos no plano JLD.
Resp.
s) Determine todas as retas do prisma que são per-
pendiculares à reta AB.
Resp.
t) Determine todas as retas do prisma contidas no 
plano GMA.
Resp.
A
B
C D
E
F
A
B
C D
E
F
G
H
I J
L
M
figura
01
figura
02
21) A figura 01 ao lado representa um prisma hexagonal regular 
de vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L e M visto em perspectiva, e 
a figura 02 a sua base vista por cima. Com base nessas figuras e 
utilizando os vértices como pontos, as retas suportes das arestas 
como retas e as faces como planos, responda as solicitações 
abaixo. Apenas usar como respostas as retas que contenham 
uma aresta. Por exemplo:AE é uma reta mas não contém 
nenhuma aresta. 
Jeca 12
22) As questões abaixo referem-se ao paralelepípedo retor-
retangular ABCDEFGH ao lado, cujas dimensões são:
 AB = 9 cm, BC = 12 cm e AE = 6 cm.
A
B C
D
E
F G
H
a) Qual é a distância, em cm, entre o ponto E e o 
plano BCG ?
a) 6 b) 12 c) 9 d) 8 e) 10
b) Qual é a distância, em cm, entre a reta AB e a reta 
GH ?
a) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6
c) Qual é a distância, em cm, entre as retas BC e FH ?
a) 9 b) 6 c) 8 d) 12 e) 10
d) Qual é a distância, em cm, entre o ponto G e a reta 
FH ?
a) 36/5 b) 24/5 c) 18/5 d) 27/5 e) 21/5
e) Qual é a distância, em cm, entre o ponto H e o ponto 
B ?
a) 273 b) 247 c) 257 d) 261 e) 253
f) Qual é a distância, em cm, entre a reta FG e a reta 
AD ?
a) 109 b) 117 c) 123 d) 113 e) 127
g) Qual é a tangente do ângulo formado entre a reta BH 
e a face EFGH ?
a) 2/5 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3
h) Qual é a tangente do ângulo formado entre os planos 
BCG e BCH ?
a) 2/3 b) 5/2 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3
Jeca 13
face A
face C
face D face E
face B
peça 1 peça 2
face A face B face C face D face E
esboços
fa
ce
 A
24) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a 
peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo 
maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando 
frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto.
face A
face C
face D face E
face B
face A face B face C face D face E
esboços
fa
ce
 A
peça 1 peça 2
23) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a 
peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo 
maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando 
frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto.
A
B
C
D
25) A figura 1 mostra um cubo, que se fosse dividido em 27 cubos menores e idênticos, formariam a figura 2, 
com as suas respectivas faces A, B, C e D. A figura 3 mostra uma parte retirada do cubo original. 
Mantendo-se a base do cubo na mesma posição, desenhe nos esboços abaixo como você visualiza as faces 
A, B, C e D após a retirada do corpo da figura 3.
face A face B face C face D
esboços
figura 2figura 1 figura 3
Jeca 14
F
F
26) Um cubo é composto pelas faces J, R, P, L, K e F. A figura 1 abaixo, mostra o cubo, a figura 2 mostra 
a planificação do cubo com as suas respectivas faces e a figura 3 mostra dois observadores, A e B, olhando 
frontalmente, e sempre da mesma posição, uma das faces do cubo. Em cada caso abaixo, desenhe a forma 
que cada observador visualiza a face observada.
K
L
R
R PJ J
figura 1 figura 2
F
RJ
figura 3
Observador A
Observador B
F
RJ
figura 1
F
figura 1
figura 1
figura 1
figura 1
figura 1
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
P L(exemplo)
P
R
J
KR
J
L
F
LP
L
JK
K
a)
b)
c)
d)
e)
Jeca 15
Respostas da aula 01.
Jeca 16
Respostas da Aula 01
 Favor comunicar eventuais erros deste trabalho 
através do e-mail
jecajeca@uol.com.br Obrigado.
 As respostas das afirmações Verdadeiras ou Falsas das 
páginas 05 e 06 estão na página 06.
Respostas da Aula 01 - Exercícios comple-
mentares.
01) e
02) a
03) b
04) AD = 29 cm
05) 5 cm
06) d
07) b
08) Demonstração
α
r
s
A
A'
B
r é perpendicular a s (do enunciado).
AA' é perpendicular a α porque é a projeção ortogonal.
A reta r é perpendicular ou ortogonal a duas retas con-
correntes do plano AA'B. Portanto a reta r é perpendi-
cular ao plano AA'B. Se a reta A'B está contida no plano
AA'B, então a reta r é perpendicular à reta A'B. (CQD)
09) b
10) b
11) e
12) d
13) Demonstração
r
A
B
A' B'C
Ppi
Sejam A e B dois pontos da reta r e A' e B' suas pro-
jeções ortogonais sobre o plano pi.
A reta de pi ortogonal a r é a única reta de pi que passa 
por P e é perpendicular à reta A'B'. Portanto é única.
(CQD) 
14) e
15) c
16) b
17) e
18) e
19) a) CD, HG ou EF
 b) AD, CD, EH ou GH
 c) AB, BF, CD ou CG
 d) CD, DH, EA ou BA
 e) CDH
 f) EAD, HDC, BCG ou EAB
 g) EAD, HDC, BCG ou EAB
 h) o ponto H
 i) não existe intersecção
 j) a reta EF
 k) AB, BF, CD e CG
 l) BC, CG, AD e DH
 m) AD, CD, EH e GH
 n) AD, DH, HE e EA
 o) AE e CG
 p) ABE e ADH
 q) ADC, BCG, EFG e AEH
 r) A, B, C e D
 s) CD, GH e EF
 t) A, B, C, H e F
20) a) CB, FG e EH
 b) retas reversas e ortogonais
 c) não existe intersecção
 d) 4 cm
 e) EA, EH, BF e GF
 f) EA, EH, BF e GF
 g) ADC, DHG, HEF e AEB
 h) 6 cm
20) i) a reta DH
 j) retas reversas
 l) 41 cm
 m) AD, DH, HE e EA
 n) ABF
 o) 4/5
 p) o ponto U
 q) F
 r) ADC, ADH e CDH
 s) AB e HG
 t) a reta RT
 u) 96 cm
21) a) DE, JL ou HG
 b) JI, JL, CD ou DE
 c) IC, HB, GA ou MF
 d) AB, BC, GA, MF, FE ou DE
 e) CDJ
 f) JLM ou DEF
 g) GHI, ABC, BCI, DCI, AFM ou FEM
 h) o ponto G
 i) o ponto C
 j) a reta CD
 k) GH, GM, AB e AF
 l) JD, IC, HB e AG
 m) DE, EF, JD, IC, BC e AB
 n) HI, IJ, JL, LM, MG e GH
 o) JD, LE, MF e AG
 p) BCH, HGA, GMA e MLF
 q) GHA, MGF, LME, JLD, IJC e HIB
 r) M, G, H, I, F, A, B e C
 s) HB e GA
 t) GM, MF, AG e AF
22) a) c
 b) d
 c) b
 d) a
 e) d
 f) b
 g) a
 h) c
23)
24)
25)
26) a)
 b)
 c)
 d)
 e)
face A face B face C face D face E
face A face B face C face D face E
face A face B face C face D
P
P
L
K R
J R
F
F J
Obs. A Obs. B
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 02
Poliedros convexos.
I - Elementos dos poliedros.
face
aresta
vértice
ângulo
poliédrico
Poliedro - É a região do espaço limitada por quatro ou mais polígonos planos.
Face do poliedro - É qualquer polígono plano que limita o poliedro.
Aresta do poliedro - É o segmento obtido da intersecção de duas faces.
Vértice do poliedro - É o ponto obtido da intersecção de três ou mais arestas.
Ângulo poliédrico - É a região do espaço constituída por um vértice e três ou 
mais arestas.
Poliedro convexo - Um poliedro é dito convexo se, dados dois pontos quais-
quer do poliedro, o segmento que os une está inteiramente contido nele.
A B
poliedro não convexopoliedro convexo
Classificação dos poliedros.
4 faces - tetraedro
5 faces - pentaedro
6 faces - hexaedro
7 faces -heptaedro
8 faces - octaedro
9 faces - eneaedro
10 faces - decaedro
11 faces - undecaedro
12 faces - dodecaedro
13 faces - tridecaedro
14 faces - quadridecaedro
15 faces - pentadecaedro
16 faces - hexadecaedro
17 faces - heptadecaedro
18 faces - octodecaedro
19 faces - eneadecaedro
20 faces - icosaedro
Classificação dos ângulos
poliédricos.
3 arestas - ângulo triédrico
4 arestas - ângulo tetraédrico
5 arestas - ângulo pentaédrico
6 arestas - ângulo hexaédrico
etc
Relação de Euler.
 Todo poliedro convexo e fechado satisfaz a relação:
 V - A + F = 2
Soma das medidas dos ângulos internos
de todas as faces do poliedro convexo.
 S = 360 (V - 2)
Cálculo do número de arestas de um poliedro convexo.
 a) Através das faces. b) Através dos vértices.
 A - número de arestas do poliedro.
 n - número de lados de cada face.
 F - número de faces do mesmo tipo.
 m - número de arestas de cada vértice poliédrico.
 V - número de vértices poliédricos do mesmo tipo.
A = n . F2
m . VA = 2
V - nº de vértices
A - nº de arestas
F - nº de faces
S - soma dos ângulos
V - nº de vértices
Poliedros de Platão.
 Um poliedro é dito de Platão se:
 - é convexo e fechado;
 - tem todas as faces do mesmo tipo;
 - tem todos os vértices do mesmo tipo.
Existem apenas 5 poliedros de Platão.
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
 Icosaedro
não é de
Platão
é de Platão
Poliedro regular.
 Um poliedro é dito regular se tem todas as faces 
formadas por polígonos regulares e congruentes.
Existem apenas 5 poliedros regulares
Tetraedro regular
Hexaedro regular
Octaedro regular
Dodecaedro regular
 Icosaedro regular
3
4
5
3
3
nº de lados 
de cada face
- Todo poliedro regular é de Platão mas nem todo 
poliedro de Platão é regular.
- Todo poliedro regular pode ser inscrito e 
circunscrito numa esfera.
Jeca 17
01) Determine o número de vértices de um poliedro 
convexo fechado que tem 1 face pentagonal, 5 faces 
triangulares e 5 faces quadrangulares.
Observação - A figura foi colocada no exercício para que o 
aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.
Observação - A figura foi colocada no exercício para que o 
aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.
02) Determine o número de faces de um poliedro con-
vexo fechado que tem 6 vértices triédricos e 14 vér-
tices tetraédricos.
03) Determine o número de vértices de um poliedro 
convexo e fechado que tem 1 face hexagonal, 4 fa-
ces triangulares e 2 faces quadrangulares.
04) Determine o número de faces de um poliedro 
convexo e fechado que tem 7 vértices tetraédricos e 
2 vértices heptaédricos.
05) (UFJF-MG) A figura a seguir representa a planifi-
cação de um poliedro convexo. O número de vértices 
desse poliedro é:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 20
e) 22
06) (UFTM-MG) Um poliedro comvexo, com 32 ares-
tas e 14 vértices, possui apenas faces triangulares e 
quadrangulares. Sendo q o número de faces qua-
drangulares e t o número de faces triangulares, en-
tão os valores de q e t são, respectivamente,
a) q = 6 e t = 14
b) q = 16 e t = 4
c) q = 4 e t = 14
d) q = 14 e t = 4
e) q = 4 e t = 16
Jeca 18
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 02
Exercícios complementares.
(Poliedros convexos)
Tetraedro regular
Hexaedro regular
Octaedro regular
Dodecaedro regular
 Icosaedro regular
n F A m V S07) Preencha a tabela ao lado, sabendo que:n - nº de lados de cada face do poliedro regular;
F - nº de faces do poliedro regular;
A - nº de arestas do poliedro regular;
m - nº de arestas de cada vértice poliédrico do poliedro;
V - nº de vértices poliédricos do poliedroregular;
S - soma das medidas dos ângulos internos das faces do 
 poliedro regular.
09) Um poliedro convexo tem o mesmo número de 
faces triangulares e quadrangulares. Qual o número 
de vértices desse poliedro, sabendo-se que tem 21 
arestas e apenas esses dois tipos de face ?
a) 9
b) 15
c) 11
d) 13
e) 12
11) Um poliedro convexo fechado tem 1 face decago-
nal, 10 faces triangulares e 6 faces pentagonais. Qual 
é o número de vértices desse poliedro ?
a) 24
b) 20
c) 18
d) 16
e) 25
08) Quantas faces tem um poliedro convexo fechado 
que tem 2 vértices pentaédricos, 10 vértices tetraédri-
cos e 10 vértices triédricos ?
a) 25
b) 18
c) 16
d) 24
e) 20
10) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos 
de todas as faces de um poliedro convexo fechado 
que tem 20 faces e 30 arestas ?
a) 2560º
b) 2160º
c) 3800º
d) 3600º
e) 5260º
Jeca 19
12) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-
lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº 
de faces quadrangulares, sabendo-se que esse 
poliedro tem 24 arestas e 13 vértices, e que o nº de 
faces quadrangulares é igual ao nº de faces 
triangulares.
13) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-
lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº 
de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro 
tem 25 arestas e 14 vértices, e que o nº de faces 
quadrangulares é o dobro do nº de faces triangulares.
14) (MACK) Um poliedro convexo e fechado tem 15 
faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, de 
quatro outros partem quatro arestas, e dos restantes 
partem 3 arestas. Determine o nº de arestas do 
poliedro.
15) Um poliedro convexo e fechado que tem somente 
faces quadrangulares e pentagonais, tem 15 arestas. 
Quantas faces tem de cada tipo se a soma das 
medidas dos ângulos internos das suas faces é 
2880º ?
Jeca 20
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 03
Prismas.
I - Volume de um sólido.
3 m
2 m
1 
m
3 m
2 
m
3 m
3 
m
2 m
2 m
3
V = 3 . 2 . 1 = 6 m
3
V = 3 . 2 . 2 = 12 m
3
V = 3 . 2 . 3 = 18 m
Importante - Quando um sólido mantém a mesma secção transversal, o 
volume desse sólido é calculado como sendo o produto entre a área da 
base e a altura. (Note que a área da base é a mesma que a da secção 
transversal)
V = A . hbase
II - Prismas.
Características dos prismas.
 - Todo prisma tem duas bases paralelas, congruentes e alinhadas entre si.
 - Todas as arestas laterais do prisma são paralelas e congruentes entre si.
 - As faces laterais do prisma são formadas por paralelogramos.
 - A altura de um prisma é a distância entre os planos que contêm as suas bases.
 - Denomina-se um prisma em função do polígono da sua base.
h
h h h
h
Base Base Base Base Base
Prisma
oblíquo
Prisma
reto
Prisma
quadrangular
regular
Prisma
hexagonal
regular
Prisma
triangular
regular
Prisma
genérico
Base
Fórmulas dos prismas
Área da base A = depende da baseb
Área lateral A = Afaces lateraisl
Área total A = A + 2 . AT bl
Volume V = A . hb
Tipos de prisma.
 - Prisma oblíquo: as arestas laterais não são perpendiculares aos planos das base.
 - Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.
 - Prisma regular: é o prisma reta cujas bases são polígonos regulares e congruentes.
aresta
lateral
aresta
da base
face
lateral
Jeca 21
III - Prismas particulares.
a) Paralelepípedo retorretangular. b) Cubo (hexaedro regular).
a
b
c
d
D
Área total do paralelepípedo - A = 2ab + 2ac + 2bcT
Volume do paralelepípedo - V = A . hb
2 2 2
Diagonal do paralelepípedo- D = a + b + c
a
a
a
d
D
2Área da base do cubo - A = ab
2Área lateral do cubo - A = 4 . al
2Área total do cubo - A = 6 . aT
3Volume do cubo - V = a
Diagonal de uma face do cubo - d = a 2
Diagonal do cubo - D = a 3
Exercícios.
01) Dado um cubo de aretas 7 cm, determine:
a) a área da base do cubo;
b) a área lateral do cubo;
c) a área total do cubo;
d) o volume do cubo;
e) a diagonal de uma face do cubo;
f) a diagonal do cubo.
02) Dado um paralelepípedo retorretangular, de 
dimensões 6 cm, 9 cm e 12 cm, determine:
a) a área total do paralelepípedo;
b) o volume do paralelepípedo;
c) a diagonal do paralelepípedo;
d) a soma das medidas de todas as arestas do para-
lelepípedo.
Jeca 22
03) Dado um prisma triangular regular de aresta da 
base 10 cm e altura 15 cm, determine:
a) a área da base do prisma;
b) a área lateral do prisma;
c) a área total do prisma;
d) o volume do prisma.
04) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da 
base 4 cm e altura 7 cm, determine:
a) a área da base do prisma;
b) a área lateral do prisma;
c) a área total do prisma;
d) o volume do prisma.
05) Dado um prisma octogonal regular de aresta da 
base k e altura k 2 , determine:
a) a área da base do prisma;
b) a área lateral do prisma;
c) o volume do prisma.
06) Determine a altura de um prisma triangular regu-
2lar sabendo que a sua área lateral é 165 dm e a sua 
2.área total é 5(33 + 5 3 / 2 ) dm
Jeca 23
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Geometria Espacial Métrica
Aula 03
Exercícios complementares.
(Prismas)
07) A figura abaixo representa um único sólido forma-
do por dois cubos sobrepostos: o menor tem aresta 4 
cm e o maior tem aresta 8 cm. Determine:
a) o volume total do sólido;
b) a área total do sólido;
c) a distância entre os vértices A e B.
A
B
10) Uma caixa d’água tem a forma de um cubo, a sua 
base inferior é perfeitamente horizontal e as suas 
arestas medem internamente 5,0 m. Estando a caixa 
inicialmente com água até a altura de 1 m, num 
determinado instante, é aberto um registro que permite 
uma entrada constante de 200 litros de água por 
minuto. Sabendo-se que 1 metro cúbico equivale a 
1000 litros e que nesse período não existe saída de 
água, qual a altura de água na caixa seis horas após o 
registro ter sido aberto ?
a) 3,24 m b) 3,88 m c) 4,12 m 
d) 4,24 m e) 4,08 m
3 m 3 m 3 m
3 m
3 m
3 m 8 m
09) A figura abaixo representa um sólido obtido de um 
paralelepípedo retorretangular de dimensões 9 m, 
9 m e 8 m, de onde foram retirados dois outros 
paralelepípedos de dimensões 3m, 3m e 8 m. 
Determine a área total e o volume do sólido resultante.
08) O cubo abaixo tem aresta 6 cm e três furos de 
secção quadrada de lado 2 cm que o atravessam 
totalmente. Determine o volume do sólido resultante .
Jeca 24
11) Nas figuras abaixo, os 3 prismas são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine: 
a) o nome do sólido.
f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V).
e) a área total do prisma (A ).T e) a área total do prisma (A ).T e) a área total do prisma (A ).T
d) a área lateral do prisma (A )l d) a área lateral do prisma (A )l d) a área lateral do prisma (A )l
a) o nome do sólido. a) o nome do sólido.
b) a área da base do prisma (A ).b b) a área da base do prisma (A ).b b) a área da base do prisma (A ).b
c) a área de cada face lateral (A ).1F c) a área de cada face lateral (A ).1F c) a área de cada face lateral (A ).1F
Jeca 25
I) II) III)
A B
CD
E F
GH
16) Na figura ao lado, a área do quadrilátero CDEF é 
2
64 2 cm . Sendo ABCDEFGH um cubo, determinar a 
área total desse cubo.
17) Uma formiga encontra-se no vértice A de um cu-
bo maciço e deseja caminhar até o vértice B, dia-
gonalmente oposto ao vértice A, percorrendo o 
menor trajeto possível. Sabendo-se que o cubo tem 
aresta K, determine a distância percorrida pela 
formiga.
A
B
14) Sabendo-se que as dimensões de um paralelepí-
2
pedo de área total 352 cm são k cm, 2k cm e 3k cm, 
determine o seu volume.
15) De cada canto de uma folha retangular de cartoli-
na de 40 cm x 60 cm recorta-se um quadrado de lado 
12 cm. Com a área restante faz-se uma caixa sem 
tampa. Determine o volume dessa caixa.
A
D
E
F
G
H I
J
12) Todas as arestas do sólido representado na figura 
abaixo medem 4 cm. As faces ABCDE e FGHIJ são 
paralelas entre si e perpendiculares ao quadrado 
CDIH da base e as arestas BC, ED, JI e GH são per-
pendiculares à face CDIH. Determine a área total e o 
volume do sólido.
B
C
13) Sabendo-se que o volume de um prisma he-
xagonal regular que tem as 18 arestas congruentes é 
3
768 3 cm , determinar a altura desse prisma.
Jeca 26
19) A área total de um prisma triangular regular de 
2aresta da base 6 cm é (180 + 18 3 ) cm . Determine:
a) a área da base do prisma;
b) a área lateral do prisma;
d) o volume do prisma.
c) a altura do prisma;
3 cm
18) A figura abaixo representa um sólido obtido de um 
cubo de aresta 9 cm, onde, em cada um de seus 
vértices, foi retirado um cubinho de aresta 3 cm. 
Determinar a área total e o volume do sólido resultante.
20) (UFV-MG) A figura abaixo exibe a secção trans-
versal de uma piscina de 20 m de comprimento por 
10 m de largura, com profundidade variando unifor-
memente de 1 m a 3 m.
a) Determine o volume de água necessário para en-
cher a piscina até a borda.
 Sugestão - Calcule a área da secção transversal da 
piscina ilustrada pela figura.
b) Qual é a distância mínima que uma pessoa de 1,70 
m deve caminhar, saindo do ponto mais raso da pisci-
na, para que fique totalmente submersa ?
 Sugestão - Use semelhança de triângulos.
20 m
1 m
3 m
21) (UEL-PR) Um engenheiro deseja projetar um blo-
co vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O 
bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um 
cubo de lado igual a 80 cm, e o orifício deve ter a forma 
de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 
cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o 
volume do bloco seja igual ao volume do orifício. 
É correto afirmar que o valor L do lado da base qua-
drada do prisma reto corresponde a
a) 20 2 cm
b) 40 2 cm
c) 50 2 cm
d) 60 2 cm
e) 80 2 cm
Bloco vazado Vista aérea
80 cm
80 cm
80
 c
m
L
L
Jeca 27
A
B
M
C
D
N
E
FG
H
22) (UFOP-MG) Na figura abaixo, temos represen-
3tado um cubo de volume 4 / 3 m e um prisma cujas 
bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Saben-
do que M e N são os pontos médios dos segmentos 
AD e BC, respectivamente, determine o volume des-
3se prisma (em m )
A B
CD
E F
GH
24) (UFG-GO) A figura abaixo, representa um pris-
ma reto, cuja base ABCD é um trapézio isósceles, 
sendo que as suas arestas medem AB = 10, DC = 6, 
AD = 4 e AE = 10.
 O plano determinado pelos pontos A, H e G sec-
ciona o prisma determinando um quadrilátero. A áre-
a desse quadrilátero é:
a) 8 29
b) 10 29
c) 16 29
d) 32 29
e) 64 29
23) Um prisma triangular regular tem altura e aresta da 
base que medem, respectivamente, 7P e 2K. Com 
base nesses dados, responda:
Qual é o volume desse prisma em função de P e de 
K ?
2 2
a) 14.K.P 3 b) 21.K .P 3 c) 7.P.K 3 
 
3 2 2
d) 14.k.P 3 e) 28.P .K 3
25) Um prisma hexagonal regular tem altura e aresta 
da base que medem, respectivamente, 3K e 4P. Com 
base nessesdados, responda:
Qual é o volume desse prisma em função de P e de 
K ?
2 2
a) 72.P.K 3 b) 72.P .K 3 c) 36.P .K 3 
 
2 2 2
d) 72.K .P 3 e) 36.K .P 3
Jeca 28
Respostas das aulas 02 e 03
Jeca 15
Respostas da Aula 02
 Favor comunicar eventuais erros deste trabalho 
através do e-mail
jecajeca@uol.com.br Obrigado.
Jeca 29
01) V = 11 vértices
02) F = 19 faces
03) V = 8 vértices
04) F = 14 faces
05) a
06) e
07)
08) e
09) c
10) d
11) b
12) 6 faces quadrangulares
13) 1 face hexagonal
14) A = 31 arestas
15) 2 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares
Respostas da aula 03
201) a) 49 cm
2 b) 196 cm
2 c) 294 cm
3 d) 343 cm
 e) 7 2 cm
 f) 7 3 cm
202) a) 468 cm
3 b) 648 cm
 c) 261 = 3 29 cm
 d) 108 cm
203) a) 25 3 cm
2 b) 450 cm
2 c) 50(9 + 3 ) cm
3 d) 375 3 cm
204) a) 24 3 cm
2 b) 168 cm
2 c) 24(7 + 2 3 ) cm
3 d) 168 3 cm
205) a) 2k 2 (2 + 3 )
2 b) 8k 2
3 c) 4k (2 + 3 )
06) h = 11 dm
307) a) 576 cm
2 b) 448 cm 
 c) 4 17 cm
308) 160 cm
2 309) 510 cm e 504 cm
10) b
11) I) a) prisma triangular regular
2 b) 4 3 cm
2 c) 48 cm
2 d) 144 cm
2 e) 8(18 + 3 ) cm
3 f) 48 3 cm
 II) a) prisma quadrangular regular
2 b) 16 cm
2 c) 48 cm
2 d) 192 cm
2 e) 224 cm
3 f) 192 cm
Tetraedro regular
Hexaedro regular
Octaedro regular
Dodecaedro regular
 Icosaedro regular
n F A m V S
3
4
3
5
3
4
6
8
12
20
6
12
12
30
30
3
3
4
3
5
4
8
6
20
12
720º
2160º
1440º
6480º
3600º
11) III) a) prisma hexagonal regular
2 b) 24 3 cm
2 c) 48 cm
2 d) 288 cm
2 e) 24(12 + 3 ) cm
3 f) 288 3 cm
2 312) (112 + 8 3 ) cm 16(4 + 3 ) cm
13) h = 8 cm
314) 384 cm
315) 6912 cm
216) 384 cm
17) k 5 uc
2 318) 486 cm 513 cm
219) a) 9 3 cm
2 b) 180 cm
 c) 10 cm
3 d) 90 3 cm
320) a) 400 m 
 b) 7 m
21) b
322) 1 m
23) c
24) c
25) b
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pelo prof. Jeca
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Geometria Espacial Métrica
Aula 04
Pirâmides.
h Base
h
Pirâmide
oblíqua
Pirâmide
reta
Pirâmide
regular
h
a
m
centro
da base
vértice da
pirâmide
ponto médio
 da aresta da base
2 2 2
m = h + a
m - apótema da pirâmide.
a - apótema da base.
h - altura da pirâmide
Fórmulas das pirâmides
Área da base A = depende da baseb
Área lateral A = Afaces lateraisl
Área total A = A + AT bl
Volume V = A . hb
1
3
I - Pirâmides.
 Dado um polígono plano e um ponto V, V não pertencente ao plano do polígono, denomina-se pirâmide o 
sólido limitado por esse polígono e todos os planos determinados pelos lados desse polígono e pelo ponto V.
 Denomina-se uma pirâmide em função do polígono da sua base. (Exemplo: pirâmide hexagonal regular)
II - Tipos de pirâmide.
Pirâmide oblíqua: as suas arestas laterais não são congruentes entre si.
Pirâmide reta: as suas arestas laterais são congruentes entre si.
Pirâmide regular: é a pirâmide reta cuja base é um polígono regular.
III - Elementos da pirâmide regular.
aresta
da base
aresta
lateral Apótema da base (a): é a distância entre o centro do 
polígono regular da base e o ponto médio de qualquer 
aresta da base. (Define-se apótema apenas para polígo-
nos regulares)
 Apótema da pirâmide (m): é a distância entre o vér-
tice da pirâmide e o ponto médio de qualquer aresta da 
base.
 Altura da pirâmide (h): é a distância entre o vértice 
da pirâmide e o plano da base.
Jeca 30
IV - Pirâmides particulares.
2k
3
k
3
BICO
h
a) Tetraedro trirretangular. b) Tetraedro regular.
 É a pirâmide triangular regular 
que tem:
 - todas as faces formadas por 
triângulos equiláteros congruen-
tes.
 - todas as arestas congruentes.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
 É fácil perceber que as pirâmides ADEF e FABC têm o mesmo volume.
 Precisamos provar que as pirâmides ADEF e FABE também têm o mesmo volume. Seja h a distância 
entre o vértice F e o plano ABED. Para calcularmos o volume da pirâmide ADEF, podemos considerar como 
base o triângulo ADE e como altura h. Para o volume da pirâmide FABE, podemos considerar como base o 
triângulo ABE e como altura o mesmo h. Mas os triângulos ADE e ABE têm a mesma área. Se duas 
pirâmides Têm mesma área da base e mesma altura, então têm o mesmo volume.
 As pirâmides ADEF, FABC e FABE têm o mesmo volume. Portanto cada pirâmide tem 1 / 3 do volume do 
prisma, que é o volume total.
Curiosidade: o volume da pirâmide é 1 / 3 do volume do prisma de mesma base e mesma altura.
Exercícios.
01) Dada uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 10 cm e altura 12 cm, determine:
a) o apótema da base (a);
b) o apótema da pirâmide (m);
c) a área da base;
d) a área lateral;
e) a área total;
f) o volume da pirâmide.
Jeca 31
02) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta 
da base 4 cm e altura 12 cm, determine:
a) a medida do apótema da
base da pirâmide (a);
b) a medida do apótema da
pirâmide (m);
c) a área da base da pirâmide;
d) a área lateral da pirâmide;
e) o volume da pirâmide.
03) Dada uma pirâmide triangular regular de área da 
2 2 base 16 3 cm e área total (180 + 16 3 ) cm , de-
termine:
a) a aresta da base da pirâmide;
b) a área lateral da pirâmide;
c) o apótema da pirâmide.
04) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta 
da base 4 3 cm e altura 3 5 cm, determine:
b) o apótema da pirâmide (m);
a) o apótema da base (a);
c) a área lateral da pirâmide;
e) o volume da pirâmide.
d) a área da base da pirâmide;
05) Dado um octaedro regular de aresta 10 3 cm, 
determine:
a) a altura h do octaedro;
b) o volume do octaedro;
c) a área total do octaedro.
h
Jeca 32
a) a área de uma face lateral da pirâmide;
07) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área 
2
lateral 280 cm e aresta da base 10 cm. Determine:
b) a medida do apótema da pirâmide;
c) a área da base da pirâmide;
d) o volume da pirâmide;
e) a área total da pirâmide.
a) a área total da pirâmide;
08) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área 
2 2
da base 144 cm e uma face lateral tem área 102 cm . 
Determine:
b) a medida da aresta da base;
c) a medida do apótema da pirâmide;
d) a medida da altura da pirâmide;
e) o volume da pirâmide;
06) (Fuvest-SP)A figura abaixo representa uma pirâmi-
de de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC 
e ABV são triângulos equiláteros de lado 1 e que M é o 
ponto médio do segmento AB. Sabendo-se que a medi-
da do ângulo VMC é 60º, determinar o volume da pirâ-
mide.
A
B
C
V
M
60º
1
1
1
1
1
09) (Unifra-RS) A figura mostra o recorte para a em-
balagem de um perfume que uma fábrica quer cons-
truir, cuja capacidade é de meio litro. A figura é 
formada por uma região quadrangular regular de a-
resta k e por quatro triângulos isósceles. A altura 
dessa embalagem, após sua montagem, é igual a 15 
cm. A medida dessa aresta k, em centímetros, é 
igual a:
a) 5
b) 10
2c) 5 3 / 3
2d)10 3 / 3
e) 100
3
3
Jeca 33
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Geometria Espacial Métrica
Aula 04
Exercícios complementares.
(Pirâmides)
10) (UFMG-MG) Na figura a seguir estão represen-
tados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST. Ca-
da aresta do cubo mede 4 cm, e os vértices do sólido 
OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo. 
Então, é correto afirmar que a área lateral total do só-
lido OPQRST mede
2a) 8 2 cm
2b) 8 3 cm
2c) 16 2 cm
2d) 16 3 cm
A B
CD
E F
GH
O
P
Q
R
S
T
11) (Unimontes-MG) Para fazer uma barraca, a partir 
de um quadrado de centro P e lado 12 m, fo-ram 
traçados quatro triângulos isósceles e determina-dos 
os lados AB = CD = EF = GH = 6 3, conforme a figura 
a seguir. Recortados os lados AP, BP, CP, DP, EP, 
FP, GP, HP, foi montada a barraca (pirâmide 
quadrangular). Qual a altura da barraca ?
a) 1,2 m
b) 3 m
c) 3 7 m
d) 6 3 m
A B
C
D
EF
G
H
P
12 m
6 
 3
 m
12) (ITA-SP) Dada uma pirâmide regular triangular, 
sabe-se que sua altura mede 3k cm, em que k é a 
medida da aresta da base. Então a área total dessa 
2pirâmide, em cm , vale:
2a) k 327 / 4
2b) k 109 / 2
2c) k 3 / 2
2d) k 3 (2 + 33 ) / 2
2e) k 3 (1 + 109 ) / 4
13) Determine a medida da aresta de um tetraedro 
regular de altura 12 cm.
H
Jeca 34
14) Nas figuras abaixo, as 3 pirâmides são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine : 
a) o nome do sólido.
b) o apótema da base (a).
a a
a
g) o volume da pirâmide (V). g) o volume da pirâmide (V). g) o volume da pirâmide (V).
f) a área total da pirâmide (A ).T f) a área total da pirâmide (A ).T f) a área total da pirâmide (A ).T
e) a área lateral da pirâmide (A )l e) a área lateral da pirâmide (A )l e) a área lateral da pirâmide (A )l
d) o apótema da pirâmide (m). d) o apótema da pirâmide (m). d) o apótema da pirâmide (m).
c) a área da base da pirâmide (A ).b c) a área da base da pirâmide (A ).b c) a área da base da pirâmide (A ).b
b) o apótema da base (a). b) o apótema da base (a).
a) o nome do sólido. a) o nome do sólido.
Jeca 35
I) II) III)
15) Determine a área total, a altura h e o volume de 
um tetraedro regular de aresta K.
A
B
C
V
G M
k
k
k
k
k
16) No sólido abaixo, CDEF é um quadrado de lado 
8 cm e centro no ponto G. AG = 6 cm e BG = 10 cm. 
Determinar a área total e o volume do octaedro 
ABCDEF, sabendo-se que AD = AE = AF = AC e que 
BC = BD = BE = BF.
A
B
C D
EF
G
h
18) (UEL-PR) O prisma triangular regular ABCDEF 
com aresta da base 10 cm e altura AD = 15 cm é cor-
tado por um plano passando pelos vértices D, B e 
C, produzindo dois sólidos: uma pirâmide triangular 
e uma pirâmide quadrangular. 
 Os volumes destas duas pirâmides são:
3 3a) 125 cm e 250 cm
3 3b) 125 3 cm e 250 3 cm
3 3c) 150 2 cm e 225 2 cm
3 3d) 150 3 cm e 225 3 cm
3 3e) 250 cm e 250 cm
A
B
C
D
E
F
17) (UFRJ-RJ) A pirâmide ABCD é tal que as faces 
ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos 
catetos medem a. Considere o cubo de volume má-
ximo contido em ABCD tal que um de seus vértices 
seja o ponto A, como ilustra a figura abaixo.
A
B
C
D
 Determine a medida da aresta desse cubo em fun-
ção de a.
Jeca 36
19) (UFSCar-SP) A figura indica um paralelepípedo 
retorretângulo de dimensões 5 cm, 5 cm e 4 cm, 
sendo A, B, C e D quatro dos seus vértices.
A
B
C
D
5
5
4
a) Calcule a área do triângulo ABC.
b) Calcule a distância entre o vértice D e o plano que 
contém o triângulo ABC.
20) (UFOP-MG) Uma chapa retangular de alumínio 
de 1 m por 60 cm será utilizada para fazer um abrigo 
de forma triangular, sendo dobrada na linha média de 
sua extensão de modo que as abas formem um ângu-
lo α. Veja a seguinte figura:
α
50 cm
1 m
60
 c
m
50
 c
m
60 cm
a) A área do triângulo ABC depende de α. Seja 
2A(α) essa área, em cm . Calcule o volume do abrigo 
3em função de A(α), em cm .
b) Determine α de modo que o volume do abrigo 
3seja máximo. Calcule esse volume em cm , em litros 
3e em m .
22) (Vunesp-SP) Em cada um dos vértices de um 
cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP, em 
que M, N e P são os pontos médios das arestas, 
como se mostra na figura. Se V é o volume do cubo, 
o volume do poliedro que resta, ao retirar as 8 pirâmi-
des, é igual a
a) V / 2
b) 3V / 4
c) 2V / 3
d) 5V / 6
e) 3V / 8
A
M
N
P
21) (Vunesp-SP) A figura representa uma pirâmide 
com vértice num ponto E. A base é um retângulo 
ABCD, e a face EAB é um triângulo retângulo com o 
ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se 
cortada por um plano paralelo à base, na altura H. 
Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pi-
râmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura 
H. Sabendo-se que H = 4 cm, AB = 6 cm, BC = 3 cm 
e a altura h = AE = 6 cm, determine
a) o volume da pirâmide EA'B'C'D'.
b) o volume do tronco de pirâmide.
E
A B
CD
A' B'
C'D'
3 c
m
H
h
6 cm
Jeca 37
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 05
Cilindro circular reto. 
(ou de revolução)
I - Cilindros.
h
R
R
2piR
Área da base
Área lateral
h
R
Secção
meridiana
do cilindro 2R
h
 Cilindro equilátero.
 Um cilindro é dito equilátero se a 
sua secção meridiana é um 
quadrado, ou seja, a altura é igual 
ao diâmetro da base.
Fórmulas dos cilindros
2
Área da base A = piRb
Área lateral A = 2piRhl
Área total A = A + 2 . AT bl
Volume V = A . hb
h = 2R
h
Cilindro de revolução.
 É o sólido obtido da rotaçõ 
de um retângulo ao redor de 
um dos seus lados.
Área da secção meridiana A = 2R . hSM
Exercícios.
01) Dado um cilindro de revolução de altura 12 cm e 
raio da base 4 cm, determine:
a) a área da base do cilindro;
b) a área lateral do cilindro;
c) a área total do cilindro;
d) a área da secção meridiana do cilindro;
e) o volume do cilindro.
02) Determine a área total de um cilindro equilátero 
3sabendo que o seu volume mede 1458pi cm .
Jeca 38
Jeca 39
03) Dado um cilindro de revolução de volume 896pi 
3
cm e altura 14 cm, determine:
a) a medida do raio da base do cilindro;
b) a área lateral do cilindro;
c) a área total do cilindro.
06) Um cilindro reto de raio da base 3 cm e altura 10 
cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa horizontal e 
está totalmente cheio de água. Um outro cilindro de 
raio da base 4 cm e altura 8 cm, inicialmente vazio, 
encontra-se apoiado sobre a mesma mesa e está 
conectado ao primeiro cilindro por um tubo com um 
registro, que está fechado. Abrindo-se o registro, a 
água irá escoar pelo tubo até que seja estabelecido o 
equilíbrio. Determinar a altura da água no 2º cilindro 
quando o equilíbrio for alcançado. (Desprezar o 
volume do tubo de conecção)
04) Determinar o volume de um cilindro de revolução 
sabendo-se que a sua área lateral é um quadrado de 
lado 6pi cm.
05) Uma formiga encontra-se no ponto F de uma lata 
cilíndrica vazia e vê um torrão de açúcar no ponto T, 
diametralmente oposto a F. Sendo 10 cm o raio da lata 
e 30 cm a altura da lata, determinar a menor distância 
que essa formiga deve percorrer dentro da lata para 
alcançar o torrão de açúcar. (adotar pi = 3)
F
T
Jeca 40
07) Umcilindro de revolução tem a sua base apoiada 
sobre um plano horizontal e está totalmente cheio de 
água. Inclinando-se o cilindro até um ângulo θ com a 
horizontal, parte da água é derramada. Sendo o raio da 
base desse cilindro igual a R e a altura H, sendo 
H > 2R e θ > 45º, determinar o volume de água derra-
mado, em função de R e de θ.
horizontalθ
2R
a
b
09) (UNICAMP - SP) - Um cilindro circular reto é 
cortado por um plano não paralelo à base, conforme 
figura. Calcule o volume do sólido em termos do raio R, 
da altura maior a e da altura menor b.
10) (UEL-PR) O volume de um cilindro circular reto é 
3
16pi cm . Um cone reto, de base equivalente à do cilin-
3
dro, tem 5pi cm de volume. Qual a razão entre as me-
didas das alturas do cone e do cilindro ?
08) (UFPR-PR) Um cilindro está inscrito em um cu-bo 
conforme sugere a figura a seguir. Sabe-se que o 
3volume do cubo é 256 cm .
a) Calcule o volume do cilindro.
b) Calcule a área total do cilindro.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 05
Exercícios complementares.
(Cilindro circular reto)
Jeca 41
11) (UERJ-RJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de 
altura e base com 20 cm de raio está sobre uma 
superfície plana horizontal e contém água até a altura 
de 40 cm, conforme indicado na figura. Imergindo-
se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível 
da água sobe 25%. Considerando pi igual a 3, a 
medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água 
é igual a
a) 10 2
b) 10 2
c) 10 12
d) 10 12
3
3
60
 c
m
40
 c
m
20 cm
14) (UFJF- MG) Uma certa marca de leite em pó era 
vendida em uma embalagem, completamente cheia, 
no formato de um cilindro circular reto de altura 12 cm 
e raio da base 5 cm, pelo preço de R$ 4,00. O fabri-
cante alterou a embalagem, aumentando em 2 cm a 
altura e diminuindo em 1 cm o raio da base, mas man-
teve o preço por unidade. Então, na realidade, o pre-
ço do produto
a) diminuiu.
b) se manteve estável.
c) aumentou entre 10% e 20%.
d) aumentou entre 20% e 30%.
e) aumentou entre 30% e 40%.
12) (UFG-GO) Num laboratório, um recipiente em 
forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o 
volume da substância presente a cada 100 ml. Se o 
diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a dis-
tância entre duas dessas marcas consecutivas ?
13) (Unimontes-MG) Pretende-se construir duas cai-
xas: uma, de forma cilíndrica, e outra, de forma cúbica, 
com a mesma altura. Sabendo-se que o contorno da 
base de cada caixa tem comprimento igual a 4pi cm, é 
correto afirmar que
a) as duas caixas têm o mesmo volume.
b) o volume da caixa cilíndrica é um terço do volume 
da caixa cúbica.
c) o volume da caixa cilíndrica é maior que o volume 
da caixa cúbica.
d) o volume da caixa cilíndrica é a metade do volume 
da caixa cúbica.
Jeca 42
15) (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes 
tipos de vela ornamental a partir de modes feitos com 
cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (con-
forme ilustram as figuras a seguir). Unindo dois lados 
opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma 
cilindros e, em seguida, os preenche completamente 
com parafina.
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente pro-
porcional ao volume de parafina empregado, o custo 
da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, 
será
a) o triplo.
b) o dobro.
c) igual.
d) a metade.
e) a terça parte.
10
 c
m
20 cm
10 cm
20 cm
Tipo I
Tipo II
18) (UFMG-MG) Em uma indústria de velas, a para-
fina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede 
a. Depois de derretida, a parafina é derramada em 
moldes em formato de pirâmides de base quadrada, 
cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma, 
a / 2. Considerando-se essas informações, é correto 
afirmar que, com a parafina armazenada em apenas 
uma dessas caixas, enche-se um total de
a) 6 moldes.
b) 8 moldes.
c) 24 moldes.
d) 32 moldes.
16) Um cilindro reto que tem raio da base 3 cm e 
altura 10 cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa 
horizontal e está totalmente cheio de água. Um cubo 
de aresta 6 cm, inicialmente vazio, encontra-se 
apoiado sobre a mesma mesa e está conectado ao 
cilindro por um tubo com um registro, que está 
fechado. Abrindo-se o registro, a água irá escoar pelo 
tubo até que seja estabelecido o equilíbrio. Determinar 
a altura da água no cubo quando o equilíbrio for 
alcançado. (adotar pi = 3 e desprezar o volume do 
tubo de conecção)
17) Dado um cilindro equilátero de raio da base 3 cm, 
determinar :
a) a área lateral.
b) a área total.
c) o volume do cilindro.
Jeca 43
21) (UFU-MG) Considere um tanque cilíndrico de 6 
metros de comprimento e 2 metros de diâmetro que 
está inclinado em relação ao solo em 45º, conforme 
mostra a figura a seguir. Sabendo-se que o tanque é 
fechado na base que toca o solo e aberto na outra, 
qual é o volume máximo de água que o tanque pode 
conter antes de derramar ?
45º horizontal
6 m
2 m
22) (Cefet-MG) O sólido S é formado pela rotação 
completa do retângulo ABCD em torno do eixo x. 
Então, o volume de S é
a) 550pi
b) 600pi
c) 640pi
d) 720pi
e) 780pi A
BC
D 2
8
-2 8
y
x
16pi cm
10
 c
m
19) A figura abaixo é a planificação de um cilindro reto. 
Determinar a área da secção meridiana e o volume 
desse cilindro.
20) Um cilindro de revolução tem raio da base R e 
altura H, sendo H > R. Uma pessoa ao calcular o 
volume inverteu as medidas e usou R como altura e H 
como raio da base. Determinar a diferença entre:
a) a área total correta e a área total encontrada pela 
pessoa.
b) o volume correto e o volume encontrado pela 
pessoa.
Respostas das aulas 04 e 05.
Jeca 15
 Favor comunicar eventuais erros deste trabalho 
através do e-mail
jecajeca@uol.com.br Obrigado.
Jeca 44
Respostas da aula 04
01) a) 5 cm
 b) 13 cm
2 c) 100 cm
2 d) 260 cm
2 e) 360 cm
3 f) 400 cm
02) a) 2 3 cm
 b) 2 39 cm
2 c) 24 3 cm
2 d) 24 39 cm
3 e) 96 3 cm
03) a) 8 cm
2 b) 180 cm
 c) 15 cm
04) a) 6 cm
 b) 9 cm
2 c) 108 3 cm
2 d) 72 3 cm
3 e) 72 15 cm
05) a) 10 6 cm
3 b) 1000 6 cm
2 c) 600 3 cm
306) ( 3 / 16) uc
207) a) 70 cm
 b) 14 cm
2 c) 100 cm
3 d) (400 6 / 3) cm
2 e) 380 cm
208) a) 552 cm
 b) 12 cm
 c) 17 cm
 d) 253 cm
3 e) 48 253 cm
09) b
10) d
11) b
12) e
13) 6 6 cm
14) I) a) pirâmide triangular regular
 b) (2 3 / 3) cm
2 c) 4 3 cm
 d) (2 327 / 3) cm
2 e) 4 327 cm
2 f) 4( 3 + 327 ) cm
3 g) 16 3 cm
 II) a) pirâmide quadrangular regular
 b) 2 cm
2 c) 16 cm
 d) 2 37 cm
2 e) 16 37 cm
2 f) 16(1 + 37 ) cm
3 g) 64 cm
 III) a) pirâmide hexagonal regular
 b) 2 3 cm
2 c) 24 3 cm
 d) 2 39 cm
2 e) 24 39 cm
2 f) 24( 3 + 39 ) cm
3 g) 96 3 cm
2 315) k 3 k 6 / 3 k 2 / 12
2 316) 32( 13 + 29 ) cm (896 / 3) cm
17) a/3
18) b
219) a) (5 57 / 2) cm
 b) (20 57 / 57) cm
20) a) 75 000.sen α 
3 3 b) 75 000 cm 75 litros 0,075 m
3 321) a) 4/3 cm b) 104/3 cm
22) d
Respostas da aula 05
201) a) 16pi cm
2 b) 96pi cm
2 c) 128pi cm