(a) (1,5 pontos) Determine a equação da reta tangente à curva 3x4y2−7xy3 = 4−8y no ponto (1, 1). (b) (2,5 pontos) Considere a função f definida po...

(a) Para determinar a equação da reta tangente à curva 3x^4y^2−7xy^3 = 4−8y no ponto (1, 1), é necessário calcular as derivadas parciais em relação a x e y, e então substituir o ponto dado na equação da reta tangente. Calculando as derivadas parciais, temos: ∂/∂x (3x^4y^2−7xy^3) = 12x^3y^2 - 7y^3 ∂/∂y (3x^4y^2−7xy^3) = 6x^4y - 21xy^2 - 8 Substituindo o ponto (1, 1), temos: ∂/∂x (3x^4y^2−7xy^3) = 12(1)^3(1)^2 - 7(1)^3 = 5 ∂/∂y (3x^4y^2−7xy^3) = 6(1)^4(1) - 21(1)(1)^2 - 8 = -23 Portanto, a equação da reta tangente é: y - 1 = 5(x - 1) (b) Para estudar o crescimento, decrescimento, extremos locais, concavidade e pontos de inflexão da função f(x) = x^4 − 18x^2 + 81, é necessário calcular a primeira e segunda derivadas da função. f'(x) = 4x^3 - 36x f''(x) = 12x^2 - 36 Para estudar o crescimento e decrescimento, é necessário encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde f'(x) = 0 ou não existe. Temos: 4x^3 - 36x = 0 4x(x^2 - 9) = 0 x = -3, 0, 3 Agora, é necessário analisar o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos: Intervalo (-∞, -3): f'(x) < 0, função decrescente Intervalo (-3, 0): f'(x) > 0, função crescente Intervalo (0, 3): f'(x) > 0, função crescente Intervalo (3, ∞): f'(x) < 0, função decrescente Para encontrar os extremos locais, é necessário analisar o sinal de f''(x) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos: Intervalo (-∞, -3): f''(x) > 0, função côncava para cima, mínimo local em x = -3 Intervalo (-3, 0): f''(x) < 0, função côncava para baixo, máximo local em x = 0 Intervalo (0, 3): f''(x) > 0, função côncava para cima, mínimo local em x = 3 Intervalo (3, ∞): f''(x) < 0, função côncava para baixo, nenhum extremo local Para encontrar os pontos de inflexão, é necessário encontrar os valores de x onde f''(x) = 0 ou não existe. Temos: 12x^2 - 36 = 0 x^2 - 3 = 0 x = ±√3 Agora, é necessário analisar o sinal de f''(x) em cada intervalo determinado pelos pontos de inflexão: Intervalo (-∞, -√3): f''(x) > 0, função côncava para cima Intervalo (-√3, √3): f''(x) < 0, função côncava para baixo Intervalo (√3, ∞): f''(x) > 0, função côncava para cima Para encontrar os extremos absolutos no intervalo [-4, 4], é necessário comparar os valores de f(x) nos pontos críticos e nos extremos do intervalo: f(-4) = 81, f(4) = 81 f(-3) = 0, f(3) = 0 f(0) = 81 Portanto, o máximo absoluto é 81 e o mínimo absoluto é 0.