(a) (1,5 pontos) Determine a equação da reta tangente à curva x3y2 − 2x2y = 2y4x− x2 + 2 no ponto (1,−1). (b) (2,5 pontos) Considere a função f de...

(a) Para determinar a equação da reta tangente à curva no ponto (1,-1), precisamos encontrar a derivada da função em relação a x e em relação a y, e então substituir os valores do ponto na equação da reta tangente. Começando pela derivada em relação a x: d/dx(x^3*y^2 - 2*x^2*y) = 3*x^2*y^2 - 4*x*y Agora, a derivada em relação a y: d/dy(x^3*y^2 - 2*x^2*y) = 2*x^3*y - 2*x^2 Substituindo os valores do ponto (1,-1) na equação da reta tangente: y - (-1) = [(3*1^2*(-1)^2 - 4*1*(-1))] / [(2*1^3*(-1) - 2*1^2)] * (x - 1) Simplificando: y + 1 = (-1/2) * (x - 1) Portanto, a equação da reta tangente à curva no ponto (1,-1) é y = (-1/2)x - 1/2. (b) Para estudar o crescimento e decrescimento da função f(x) = x^4 - 8x^2 + 16, precisamos encontrar a primeira derivada e analisar seus intervalos de crescimento e decrescimento. f'(x) = 4x^3 - 16x Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos críticos: 4x^3 - 16x = 0 4x(x^2 - 4) = 0 x = 0, x = -2, x = 2 Agora, podemos montar a seguinte tabela: | x < -2 | -2 < x < 0 | 0 < x < 2 | x > 2 | |--------|------------|------------|-------| | f'(x) | - | + | - | | f(x) | + | - | + | Portanto, a função é crescente no intervalo (-infinito, -2) e (0, infinito), e decrescente no intervalo (-2, 0) e (2, infinito). Para encontrar os extremos locais, precisamos analisar a segunda derivada: f''(x) = 12x^2 - 16 Agora, podemos montar a seguinte tabela: | x < -sqrt(2) | -sqrt(2) < x < sqrt(2) | x > sqrt(2) | |--------------|-----------------------|-------------| | f''(x) | - | + | - | | Tipo de ponto | Máximo | Mínimo | Máximo | Portanto, temos um máximo local em x = -sqrt(2) e um mínimo local em x = sqrt(2). Para analisar a concavidade e os pontos de inflexão, precisamos encontrar a terceira derivada: f'''(x) = 24x Agora, podemos montar a seguinte tabela: | x < 0 | x > 0 | |-------|-------| | f'''(x) | - | + | | Tipo de ponto | Ponto de inflexão | Ponto de inflexão | Portanto, temos pontos de inflexão em x = 0 e x = 0. Para encontrar os extremos absolutos no intervalo [-3,3], precisamos comparar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo: f(-3) = 49 f(-2) = 0 f(0) = 16 f(2) = 0 f(3) = 49 Portanto, os extremos absolutos são f(-3) = f(3) = 49.