CÁLCULO APLICADO - UMA VARIÁVEL Unidade 2 - Pratique e Compartilhe

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Unidade 2 cálculo Aplicado e uma variável- Pratique e compartilhe! 
Utilizando as derivadas sucessivas, encontre o polinômio de grau 4 por Maclaurin, que 
representa as seguintes funções: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⇒ 𝑓(0) = 𝑐𝑜𝑠(0) = 1 
Cálculo das Derivadas 
𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ 𝑓′(0) = −𝑠𝑒𝑛(0) = −0 = 0 
𝑓′′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⇒ 𝑓′′(0) = −𝑐𝑜𝑠(0) = −1 
𝑓′′′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ 𝑓′′′(0) = 𝑠𝑒𝑛(0) = 0 
𝑓′′′′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⇒ 𝑓′′′′(0) = 𝑐𝑜𝑠(0) = 1 
Substituição na fórmula 
𝑓(𝑥) ≃
𝑓(0)
0!
+
𝑓′(0)𝑥
1!
+
𝑓′′(0)𝑥²
2!
+
𝑓′′′(0)𝑥³
3!
+
𝑓′′′′(0)𝑥⁴
4!
 
𝑓(𝑥) ≃
𝑥⁰
0!
+ 0 +
(−1)𝑥²
2!
+ 0 +
1. 𝑥⁴
4!
 
𝑓(𝑥) ≃ 1 −
𝑥²
2!
+
𝑥⁴
4!
 
𝑓(𝑥) ≃ 1 −
𝑥²
2
+
𝑥⁴
24
 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓(0) = 𝑒0 = 1 
Cálculo das Derivadas 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′(0) = 𝑒0 = 1 
𝑓′′(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′′(0) = 𝑒0 = 1 
𝑓′′′(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′′′(0) = 𝑒0 = 1 
𝑓′′′′(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′′′′(0) = 𝑒0 = 1 
Substituição na fórmula 
𝑓(𝑥) ≃
𝑓(0)
0!
+
𝑓′(0)𝑥
1!
+
𝑓′′(0)𝑥²
2!
+
𝑓′′′(0)𝑥³
3!
+
𝑓′′′′(0)𝑥⁴
4!
 
 
 
𝑓(𝑥) ≃
𝑥⁰
0!
+
𝑥
1!
+
𝑥²
2!
+
𝑥³
3!
+
𝑥⁴
4!
 
𝑓(𝑥) ≃ 1 +
𝑥
1!
+
𝑥²
2!
+
𝑥³
3!
+
𝑥⁴
4!
 
𝑓(𝑥) ≃ 1 +
𝑥
2
+
𝑥²
2
+
𝑥³
6
+
𝑥⁴
24