Corpo_negro3B

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Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 1 
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (DEFIS-UFMA) 
 
1 – Introdução 
2 – Emissão e absorção de radiação térmica (Lei de Stefan-Boltzamann) 
3 – O teorema de Kirchhoff e desafio de Kirchhoff 
4 – O desafio teórico de Kirchhoff (a Lei de Wein, a Teoria de Rayleigh–Jeans e a 
catástrofe do ultravioleta, realização física do corpo negro) 
5 – A hipótese de Planck e a solução teórica para o desafio de Kirchhoff 
6 – Comentários Finais 
 
 
1) INTRODUÇÃO 
 
 A Física do final do século XIX era fortemente alicerçada em três teorias dominantes: a 
Mecânica Clássica de Newton, a teoria eletromagnética de Maxwell, e a termodinâmica. Todas 
estas três teorias, que compõem o corpo da Física Clássica, tinham suas leis e previsões teóricas 
confirmadas pelos mais diversos experimentos, levando os físicos da época à crença de que tais 
teorias explicariam todos os problemas e fenômenos da natureza investigados pelo homem. Este 
cenário de confiança ilimitada nas leis da Física Clássica começou a estremecer quando os cientistas 
da época se defrontaram com a problemática da radiação (emissividade) do corpo negro. As 
atenções se voltaram para este problema em 1859, quando Gustav Kirchhoff, um dos mais 
renomados físicos alemães da época, lançou o chamado desafio de Kirchhoff, em que instigava a 
comunidade científica a resolver a questão do espectro do corpo negro. A partir de então, esse 
problema permaneceu na fronteira da Física durante muitos anos, só vindo a ser solucionado 
(teoricamente e experimentalmente) em 1900. A solução teórica desse problema, realizada por Max 
Planck, ocupa lugar de destaque na história da Física por ter lançado as bases da nova teoria 
quântica. De fato, a hipótese de quantização de energia que Max Planck adotou para resolver a 
catástrofe do ultravioleta, constitui a primeira hipótese de quantização da ciência moderna. Tão 
inovadora era, que os físicos da época não a levaram a sério, tomando-a apenas como um artifício 
matemático que servia para resolver uma questão importante. Inicialmente, nem o próprio Planck 
acreditava na realidade física da hipótese que ele mesmo lançou. A percepção geral era que um 
novo caminho teórico haveria de ser encontrado para resolver essa questão, sem se contrapor com 
os preceitos da Física Clássica. Na realidade, muito tempo se passou até que a hipótese de Planck 
fosse reconhecida como representativa de uma verdade da natureza. Somente depois de 1916, com a 
publicação dos resultados dos experimentos de Millikan, confirmando a teoria de Einstein para o 
efeito fotoelétrico é que as idéias de quantização passaram a ser aceitas como uma característica dos 
sistemas atômicos. 
 Em resumo, o estudo do problema do corpo negro coloca-se como problema de grande 
relevância histórica para o desenvolvimento da Física Moderna, tendo sido o primeiro a demonstrar 
que a interação entre matéria e radiação não poderia ser convenientemente tratada em termos 
meramente clássicos. Com o passar dos anos, a questão da natureza da interação da radiação com a 
matéria ocupou cada vez destaque no cenário físico do início do século XX, dada a sua onipresença 
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em diversos problemas de interesse. A confirmação do caráter quântico desta interação, assim como 
o entendimento das suas particularidades, confunde-se com o próprio desenvolvimento da Mecânica 
Quântica. A importância da problemática do corpo negro está justamente em ter constituído o 
primeiro cenário onde as atenções estiveram voltadas para tal questão, e por ter revelado, pela 
primeira vez, que a explicação dessa interação estava além do domínio da Física Clássica. 
 
2) EMISSÃO E ABSORVÂNCIA DA RADIAÇÃO TÉRMICA 
 
 Todo corpo mantido a uma determinada temperatura absoluta T absorve, reflete e emite 
radiação térmica. A origem da radiação térmica está na interação entre as ondas eletromagnéticas 
(que constituem a radiação térmica) e as partículas carregadas (constituintes dos corpos aquecidos) 
em agitação térmica. Tal problema ocupou um lugar de destaque na história da Física a partir da 
segunda metade do século XIX, principalmente depois do trabalho de Kirchhoff que chamou 
atenção da comunidade científica para esta relevante questão. 
 
 Espectro de radiação emitida por um corpo aquecido 
 
 Para iniciar o estudo da radiação térmica emitida por um dado corpo, é necessário discutir 
o conceito de espectro de radiação. Ocorre que a radiação emitida por um corpo à temperatura T 
possui contribuições em diversas freqüências diferentes, de modo que para ter um bom 
conhecimento acerca da radiação emitida, torna-se importante saber a quantidade ou intensidade de 
energia emitida em cada freqüência - ( )I T , ou seja, em cada janela de freqüência  ,    , 
sendo  a largura do intervalo de medida. Este procedimento de medida deve ser repetido para 
vários valores de freqüência diferentes, ao longo de todo eixo das freqüências ( 0   ). Fazer 
isto equivale a determinar o espectro ou a curva espectral da radiação. A determinação da curva 
espectral, na forma de um gráfico vI  , corresponde a uma caracterização completa da radiação 
emitida, uma vez que mostra o quanto o corpo emite de radiação em cada freqüência  . A 
quantidade ( )I T é denominada de emitância espectral. Obviamente, ao integrarmos ( )I T sobre 
todas as freqüências, obtém-se a quantidade total de radiação emitida pelo corpo (em todas as 
freqüências): 
0
( ) ( )TotalI T I T d 

  , (1) 
 
quantidade esta denominada de emitância total, que depende apenas da temperatura do corpo. 
 Em geral, toda curva de emitância espectral possui um máximo de intensidade em algum 
valor de freqüência, que acaba sendo a freqüência dominante do espectro, ou seja, a frequência na 
qual o corpo aquecido mais emite radiação. Experiências cotidianas mostram claramente que o 
valor da freqüência em que a emitância é máxima desloca-se com a temperatura. Com efeito, ao se 
aquecer um metal no fogo durante um bom tempo, o mesmo atinge a cor avermelhada. Quando é 
aquecido mais ainda, o mesmo atinge uma cor azulada. Tal observação indica que o pico da 
emitância é deslocado do vermelho para o azul com o aumento da temperatura, o que implica na 
mudança perceptível de cor. Portanto, vemos que a freqüência do pico de emissão aumenta com a 
temperatura. Esses tipos de evidência mostram a existência de uma relação entre a temperatura do 
corpo emissor e a freqüência de máxima emissão. Esta relação veio mais tarde a ser descrita pela lei 
do deslocamento de Wein. 
Em 1879, Josef Stefan, baseado em dados experimentais, lançou uma conjectura empírica: 
que a quantidade de energia emitida por segundo por um corpo negro mantido a temperatura 
absoluta T é proporcional a quarta potência da temperatura, ou seja: 4TotalI T . Em 1884, Ludwig 
Boltzmann conseguiu demonstrar teoricamente a conjectura de Stefan, usando os preceitos da 
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termodinâmica e do eletromagnetismo de Maxwell, obtendo o que ficou conhecido como lei de 
Stefan-Boltzmann: 
 
 (2) 
 
Tal lei afirma que a quantidade total de energia  TotalI emitida por segundo por unidade de área, 
em todas as freqüências, por uma dada superfície à temperatura T, é proporcional à quarta potência 
de T, onde: 4 2 4 10,567 10 erg cm K s     é a constante de Stefan-Boltzmann 
( 8 2 4 15,67 10 Wm Ks      no SI). Outro fator que aparece na lei de Stefan é o poder de emissão 
total ou emissividade ( e ), que depende da natureza de cada corpo, e tem seu valor situado entre 0 e 
1 ( 10  e ). Tal lei mostra que um aumento moderado de T ocasiona um grande aumento na 
emissão de radiação, de fato, dobrando-se T, obtém-se um aumento de 16 vezes na emitância. 
 A lei de Stefan-Boltzmann foi enunciada para descrever a emissão de radiação por qualquer 
corpo à temperatura T, que teria origem, de acordo com a Física clássica, na aceleração de cargas 
elétricas próximas à superfície. O movimento acelerado de cargas elétricas próximo da superfície é 
decorrência do grau de agitação térmica, que reflete a temperatura do material. 
Esquematicamente, temos o seguinte esquema de ordem causal: 
 
 
 
 
 
 
OBS: Em 1879, a radiação emitida por cargas aceleradas ainda não era identificada como Ondas 
Eletromagnéticas (entidades previstas pela teoria de Maxwell). Tal identificação só começou a 
ocorrer a partir de 1885, com o advento dos trabalhos de Hertz, que mostrou que as ondas 
eletromagnéticas tinham propriedades semelhantes a das ondas luminosas. Neste ínterim, cabe 
observar que em 1880 a Academia de Ciências de Berlim ofereceu um prêmio para quem fosse 
capaz de produzir e detectar as ondas de Maxwell (naquela data ainda não identificadas com a luz) 
através de algum mecanismo ou processo de natureza elétrica. O físico alemão H. Hertz obteve 
sucesso usando um circuito oscilante que produzia ondas de comprimento de onda m3,0 , 
chamadas depois de ondas hertzianas ou ondas de rádio. Hertz mostrou que tais ondas exibiam uma 
série de propriedades similares às ondas de luz (reflexão, refração, difração, polarização), além de 
se propagarem com velocidade c . Após tais experimentos, o próprio Hertz concluiu: 
 
 “As experiências descritas me parecem em alto grau adequadas para remover as 
dúvidas sobre a identidade da luz, a radiação térmica e as ondas eletromagnéticas”. 
 
 Foi então a partir dos trabalhos de Hertz que ondas eletromagnéticas, radiação térmica, e 
ondas de luz passaram a ser entendidas e percebidas como uma única entidade. Desde então, os 
físicos do final do século XIX passaram a tentar tratar o problema da radiação térmica de um corpo 
tomando como base a teoria eletromagnética de Maxwell aliada a alguns pressupostos fundamentais 
da termodinâmica. Vale destacar que, antes da elucidação da natureza eletromagnética da radiação 
térmica, os físicos estudavam o problema da radiação térmica baseando-se apenas nas leis da 
termodinâmica. Como veremos, a utilização conjunta do eletromagnetismo e termodinâmica foi o 
caminho adotado pelos teóricos que se predispuseram a estudar o problema da emissividade de 
radiação dos corpos a partir de 1890. 
 Retornando à lei de Stefan, é possível perceber que a única constante que particulariza ou 
diferencia o poder de emissão de corpos deferentes é a chamada emissividade  e , que pode 
4
TotalI eT 
 
Agitação térmica  Cargas em aceleração  Emissão de radiação 
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depender dos atributos específicos de cada corpo em questão. Assim como um corpo emite energia 
na forma de radiação, ele também é capaz de absorvê-la, sendo esta capacidade denominada de 
“poder de absorção” ou absorvância  a , definida como a razão entre a energia térmica absorvida 
e a energia térmica total incidente sobre o corpo. 
Em 1859, Gustav Robert Kirchhoff
1
, eminente físico alemão, demonstrou através de 
argumentos termodinâmicos que, para um corpo em equilíbrio térmico (temperatura constante) e 
submetido à incidência de radiação, que a emissividade e absorvância são iguais, ou seja, 
e a . Kirchhoff chegou a tal resultado tomando por base as leis gerais da termodinâmica, sem 
lançar mão de qualquer hipótese específica relativa aos processos microscópicos de absorção ou 
emissão de radiação, o que lhe confere uma validade geral (independente das características 
particulares de cada corpo). Kirchhoff também foi o primeiro a usar a denominação de corpo 
negro para um corpo que absorve toda a radiação sobre ele incidente, ou seja: tem 1a . Se para 
um corpo negro vale 1a , vale também 1e , o que leva a lei de Stefan a seguinte forma: 
4
TotalI T , evidenciando que para um corpo negro a energia emitida em forma de radiação 
térmica depende apenas da temperatura absoluta, e cresce com a quarta potência da temperatura: 
quanto maior T, muito maior será a emitância total. 
 
Dado o caráter totalmente geral associado à lei de Stefan aplicada para um corpo negro, 
chega-se à conclusão de que o estudo detalhado da emissão de radiação por um corpo negro deve 
revelar algum padrão de universalidade, comum a todos os corpos. Observe que todos os corpos 
negros, desde que mantidos a mesma temperatura T, devem irradiar exatamente no mesmo padrão 
espectral, ou seja, emitir iguais quantidades de energia (por unidade de tempo e unidade de área, e 
elemento de frequência), independentemente de sua composição ou estrutura interna. Esse fato é 
reflexo da existência de um padrão de universalidade, associado ao mecanismo de emissão de 
radiação térmica (eletromagnética), que deve ser o mesmo em todos os corpos negros. Portanto, 
para elucidação de fenômeno, é necessário ter entendimento sobre aspectos essenciais da interação
2
 
entre radiação e matéria que viabiliza a emissão de radiação. Em resumo, foi a percepção de que o 
padrão de universalidade - vinculado à emissão de radiação (por um corpo negro) - pudesse revelar 
alguns segredos fundamentais da interação radiação/matéria que levou Kirchhoff, já em 1859, a 
lançar um desafio, cuja solução traria consigo as sementes de uma nova e revolucionária teoria: a 
Mecânica Quântica. 
 Vejamos então no que consistia o chamado desafio de Kirchhoff, como ficou conhecido. 
Antes disso, porém, apresentaremos o teorema de Kirchhoff sobre a radiação térmica, necessário ao 
entendimento do desafio. 
 
 
3) O TEOREMA DE KIRCHHOFF PARA A RADIAÇÃO TÉRMICA DO CORPO NEGRO 
 
No período de 1854 e 1859, Kirchhoff e Busen estabeleceram as bases da espectroscopia. 
Em seus inúmeros experimentos, perceberam que a absorvância (a) e a emitância (I) de um corpo 
 
1
 Além dos seus estudos sobre a termodinâmica do corpo negro, Kirchhoff realizou outras contribuições 
importantes para o desenvolvimento da Física. Demonstrou, pela primeira vez, que as raias espectrais são 
características dos elementos químicos, ou seja, cada elemento tem um espectro particular, o que deu origem à 
técnica da análise espectral (isto foi feito conjuntamente com Bunsen). Baseado na análise espectral, 
descobriu os elementos rubídio e césio (1861). Realizou ainda importantes contribuições em diversos outros 
ramos da Física, tais como a famosa lei das malhas, de ampla aplicação em circuitos elétricos. 
2
 Deve-se destacar que a emissão de radiação é fruto de um processo de interação entre a matéria (átomos, 
elétrons, íon, e partículas carregadas) com as ondas eletromagnéticas. Este processo de interação foi objeto de 
estudo da nascente teoria quântica, e da teoria quântica propriamente dita, só estabelecida no início dos anos 
30. Atualmente, esta questão pertence ao domínio de validade da Mecânica Quântica. 
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dependiam da temperatura e das características de cada corpo, embora a razão /I a dependesse 
apenas da temperatura do corpo emissor. Em 1859, Kirchhoff demonstrou este resultado empírico 
em um importante teorema (teorema de Kichhoff), enunciado da seguinte forma: 
 
- Considere um corpo em equilíbrio térmico com a radiação. Seja I d  a quantidade de 
energia emitida pelo corpo, por unidade tempo e de área, no intervalo de freqüência  ,    . 
Seja a o coeficiente de absorção de radiação pelo corpo na freqüência  . O teorema de Kirchhoff 
estabelece que a razão   /I a depende apenas de  e da temperatura T, sendo independente de 
qualquer outra característica do corpo, de modo que se pode escrever  
( )
,
I
T
a

  , onde 
 ,T  é uma função de forma desconhecida. 
 
Kirchhoff chegou a este resultado por meio de argumentos termodinâmicos, o que conferia 
ao seu teorema ampla validade e aceitação
3
. Interessante observar que demonstrações do tipo do 
teorema de Kirchhoff, realizadas tomando por base argumentos termodinâmicos, têm ampla 
validade porque estão apoiadas em cima de princípios gerais (princípios da termodinâmica), 
aplicáveis a todos os sistemas físicos (tais como conservação de energia). Entretanto, tais 
demonstrações não conduzem a um conhecimento mais específico sobre o sistema, uma vez que a 
termodinâmica ocupa-se primordialmente da descrição macroscópica, nada acrescentando sobre os 
mecanismos microscópicos subjacentes. 
Para um corpo negro  1a  , temos apenas:  ( ) ,I T   , o que mostrou pela primeira 
vez que a radiação emitida por um corpo negro (por unidade de área e unidade de tempo) não 
deveria depender de qualquer propriedade particular do corpo (forma, constituição e estrutura 
química), mas apenas da freqüência da radiação e da temperatura absoluta do corpo emissor. 
Intrigado por este resultado, Kirchhoff percebeu que se defrontava com um problema que envolvia 
um mistério fundamental da natureza, pois como seria possível que corpos de propriedades físico-
químicas totalmente distintas emitissem radiação térmica exatamente na mesma quantidade e 
padrão espectral? Foi então que a intuição de bom físico de Kirchhoff falou mais alto. Se as coisas 
na escala macroscópica (regime no qual Kirchhoff fazia seus experimentos) revelavam-se desta 
forma era porque algo no interior destes corpos, no âmbito da escala microscópica, deveria estar 
ocorrendo de maneira igual, independentemente da sua composição ou propriedades de cada corpo. 
Certamente isso estaria relacionado ao mecanismo de produção da radiação térmica pela matéria 
(emissão de radiação). A percepção da existência de um padrão de universidade concernente ao 
processo de produção da radiação pela matéria em escala microscópica, e da importância do 
entendimento deste mecanismo, é que levou Kirchhoff a enunciar um desafio, cuja solução 
constituiria as sementes do que mais tarde se tornaria a teoria quântica. 
O desafio de Kirchhoff, colocado para a comunidade científica da época
4
, era: - descobrir 
a forma matemática da função  . Nas próprias palavras do kirchhoff: - “É tarefa de primordial 
 
3
 A termodinâmica, por ser uma teoria com forte base empírica, era considerada um porto seguro para a 
demonstração confiável de novos resultados concernentes aos processos envolvendo radiação térmica. 
Kirchhoff demonstrou este teorema mostrando que, caso a razão   /I a não fosse uma função apenas de 
,T , então seria possível conceber a existência de uma máquina tipo moto-contínuo, que implica na violação 
da segunda lei da termodinâmica. 
4
 No século XIX era comum um cientista colocar problemas de primeira importância para a comunidade 
científica lançando um desafio. Tais desafios tinham o efeito de chamar a atenção dos outros cientistas para o 
problema em questão e, em geral, levavam a uma solução mais rápida. Não foi esse o caso, entretanto, do 
desafio de Kirchhoff, que levou 41 anos para ser resolvido. 
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importância descobrir a forma da função  . Surgem grandes dificuldades no caminho de sua 
determinação experimental. Todavia, há fundada esperança de que ela tenha uma forma simples, como 
todas as funções que não dependem das propriedades dos corpos individuais e com as quais já travamos 
conhecimentos no passado”. 
Como o próprio Kirchhoff anteviu, seu desafio pode ser separado numa parte teórica e 
experimental, uma vez que era uma tarefa além do domínio tanto dos teóricos quanto dos físicos 
experimentais da época. Portanto, havia um desafio de Kirchhoff experimental, que consistia em 
determinar a forma da curva espectral da radiação emitida através de métodos experimentais, e um 
teórico, que consistia em obter teoricamente, através de idéias pertencentes à termodinâmica e ao 
eletromagnetismo de Maxwell, a forma matemática da curva espectral. 
 Do ponto de vista experimental, para realizar tal tarefa, as seguintes etapas deveriam ser 
superadas: 
(i) Construção de versões manipuláveis de um corpo negro, que pudessem ser usadas e 
controladas nos experimentos como fonte da radiação sob investigação; 
(ii) Construção de detectores de radiação com sensibilidade adequada; 
(iii) Descoberta de novas técnicas para viabilizar medidas em intervalos mais amplos de 
freqüência; 
(iv) Descoberta de novos materiais transparentes aos grandes comprimentos de onda e 
desenvolvimento de técnicas de separação espectral, que permitissem analisar o 
comportamento dos materiais para cada faixa de freqüência isolada. 
 
Estas 4 etapas constituem o que ficou conhecido como desafio experimental de Kirchhoff, 
cuja solução, finalizada por volta de 1900, levou à determinação (experimental) da forma da função 
de Kirchhoff, ou seja, da distribuição espectral da intensidade de energia  ( , )T  do corpo negro. 
 
PROCESSO EXPERIMENTAL: até meados do século XIX, só era possível medir em 
laboratório comprimentos de onda de até m5,1  m 5,1 . Isto significa que a radiação 
eletromagnética com comprimento de onda maior que este valor simplesmente não podia ser 
detectada. Os progressos nesse ramo da física experimental foram lentos. Por volta de 1885, 
conseguia-se detectar radiação com comprimento de onda menor ou igual a m7,2  m 7,2 , 
um pequeno avanço realizado ao longo de mais de trinta anos de esforços. Novos progressos nesta 
área só foram realizados quando os físicos experimentais começaram a desenvolver e dominar 
técnicas de espalhamento de radiação infravermelha, desencadeando uma seqüência de grandes 
avanços na última década do século XIX: 
 
 F. Paschen (1897) – conseguiu realizar boas medidas na faixa do infravermelho – próximo: 
m 81  , na seguinte faixa de temperatura KT 1600400  . 
 Otto Lummer & Ernest Pringsheim (em 1900) – obtiveram boas medidas numa faixa mais 
distante do infravermelho: m 1812  , a KT 1650300  . 
 Heinrich Rubens & F. Kurlbaum – (em 1900) – obtiveram boas medidas na faixa do 
infravermelho longínquo: m 6020  . Todas estas medidas e, principalmente as de 
Rubens e Kurlbaum, foram de grande importância para confirmação da forma da curva 
espectral do corpo negro. 
 
As medidas experimentais realizadas nesse período
5
 conduziram à obtenção da curva 
espectral ou espectro da radiação do corpo negro, que revela quanta radiação está sendo emitida em 
 
5
 Boa parte delas foram realizadas no Physikalisch Technische Reichsanstalt de Belirm (o equivalente alemão 
do Instituto Nacional de Padrões e Medidas de cada país). Neste instituto trabalhavam H. Rubens, E. 
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cada valor de freqüência  , ou em cada janela  ,    de freqüência. No caso, a largura  do 
intervalo está associada à resolução do detector de radiação
6
. A Fig. 1, exibida a seguir, exibe um 
esboço de um aparato experimental usado para determinar curvas espectrais. Funciona assim: uma 
vez colimada a radiação emitida pelo corponegro, a mesma é passada através de um prisma ou 
qualquer instrumento de separação espectral, a fim de separar as diferentes freqüências. Como 
resultado, tem-se então um leque disperso de radiação, onde a freqüência cresce em uma única 
direção. Só então entra em cena o detector, que mede a intensidade de cada freqüência ( )I  , em 
várias posições sucessivas ao longo do feixe, cujos resultados compõem a chamada curva espectral. 
 
 
Fig. 1: Esquema do aparato de medida da curva espectral da radiação de um corpo negro. 
 
 
Pringsheim, e O. Lummer. O Physikalisch Technische Reichsanstalt foi fundado em 1887 por Werner Von 
Siemens e Hermann Von Helmholtz, com objetivo de desenvolver inovações tecnológicas para a indústria 
alemã. Na época Siemens declarou: - “Na competição entre as nações, na era atual cada vez mais aguerrida, o 
país que primeiro estabelecer os pés em novos caminhos científicos e primeiramente os aplicar em ramos 
estabelecidos da indústria, terá uma decisiva vantagem.” Em 1903, este instituto ocupava dez edifícios e 
empregava 110 pessoas, 41 das quais dedicadas a atividades científicas. A importância deste instituto no 
desenvolvimento de novas tecnologias e assistência a indústrias de ponta foi logo reconhecida por todas as 
nações avançadas. Isto levou à criação de institutos similares na Inglaterra (“National Physical Laboratory”, 
1898), nos Estados Unidos (“National Bureau of Standards”, 1901), no Japão (“Institute of Physical and 
Chemical Research). Para mais detalhes, ver Ref. [7], cap. 9. 
6
 Todo aparelho de detecção de radiação tem uma resolução espectral, que reflete o intervalo de freqüência 
 que o mesmo capta em cada medida em torno de um determinado valor de freqüência  . 
 
 
Fig. 2: Representação gráfica da forma da função 
espectral (ou densidade de energia espectral) do 
corpo negro para temperaturas diferentes, obtidas 
experimentalmente. O eixo das ordenadas indica 
a quantidade de energia emitida 
 
Observe que a quantidade de energia emitida em 
todas as freqüências, correspondente à área sob 
cada uma das curvas espectrais, cresce com a 
quarta potência da temperatura, como previsto 
pela lei de Stefan. Outro ponto relevante a ser 
destacado é o deslocamento do ponto onde a 
densidade de energia é máxima. De fato, da 
ilustração ao lado percebe-se que o comprimento 
de onda correspondente ao pico da curva espectral 
diminui à medida que T cresce. 
 
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O gráfico da Fig. 2 exibe a forma da densidade espectral de energia, obtido para várias 
temperaturas diferentes, pelos trabalhos experimentais de Lummer & Pringshein e Rubens & 
Kurlbaum. A função ( , )T  é a densidade de energia eletromagnética emitida no intervalo de 
freqüência  ,    , ou seja, corresponde à energia (da radiação) dividida pelo volume V. A 
determinação desta função, chamada de distribuição espectral, permite saber quanta radiação 
(energia) o corpo emite em cada janela de freqüência  ,    por unidade tempo por unidade 
de área. 
 
4) DESAFIO TEÓRICO DE KIRCHHOFF 
 
 Desde o lançamento do desafio de Kirchhoff , muitos foram os físicos que se aventuraram 
na busca de uma formulação teórica que pudesse levar à obtenção da forma da função de Kirchhoff. 
Entretanto, apesar dos contínuos esforços, apenas alguns indicativos gerais à respeito da forma 
dessa função foram obtidos, até que surgisse, em 1900, a solução de Planck, que é considerada a 
solução cabal do desafio teórico de Kirchhoff. 
De 1859 a 1890, poucos progressos teóricos foram feitos no que concerne à solução do 
desafio de Kirchhoff. Uma das contribuições teóricas mais importantes, foi dada por W. Wein, que 
se baseou em argumentos termodinâmicos e da eletrodinâmica de Maxwell, para enunciar a 
chamada lei do deslocamento de Wein (1893). Tal lei estabelece que a procurada função de 
Kirchhoff (  ,T  ), representativa do espectro de radiação de um corpo negro, seria dada por: 
 
 (3) 
 
Onde ( / )f T é uma função de forma desconhecida. Esta lei tem um caráter intermediário no 
processo geral de solução do desafio, pois apesar de representar um real avanço em direção à 
solução, não representa a solução final, uma vez que nada afirma acerca da forma da função 
( / )f T . 
Partindo da eq.(3), é possível obter a lei de Stefan-Boltzmann integrando-se ( , )v T sobre 
todo o espectro de freqüência e multiplicando-se pelo volume (V) da cavidade: 
0
( , ) TotalV T d I  

 , onde TotalI representa a energia total irradiada pelo corpo negro (à 
temperatura T). Temos assim: 
3
0
( )TotalI V f T d  

  . Fazendo-se a substituição x T
 , temos: 
 3 4 3
0 0
( ) ( ) ( )Total
cte
I V xT f x Tdx VT x f x dx
 
   , 
o que conduz ao resultado 4( )TotalI T T , que é a Lei de Stefan. Este resultado é obtido desde 
que a integral 
3
0
( )x f x dx

 seja convergente
7
. 
 
7
 A integral 
3
0
( )x f x dx cte

 só pode ser verdadeira quando a função f(x) apresenta um decaimento 
assintótico forte o suficiente para aniquilar a potência em 
3x presente no integrando. É fácil constatar que 
cxexf )( cumpre muito bem esta tarefa. Veremos mais à frente que a solução do problema do corpo 
negro, quando encontrada, atribui uma forma exponencial decrescente para esta função. 
 
3( , ) ( )T f T    , 
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 Esta lei pode também ser expressa em termos do comprimento de onda   . De fato, 
substituindo 
c


 na eq. (3), resulta: 
3
3
( , ) ( )
c
T f c T  

 . 
A função ),( T correspondente a ( , )T  deve satisfazer a lei de Stefan-Boltzmann, ou seja: 
 
3
3 2
0 0
( , ) ( )Total
c c
I V t d V f c T d    
 
 
 
   
 
  , 
onde foi usado 
2
c
d d 

  . Temos então: 
4
5
0 0
( ) ( , )Total
c
I V f c T d V T d    

 
   , 
que nos leva a: 
 
4
5
( , ) ( )
c
T f c T  

 . (4) 
 
 A lei de Wein recebeu a denominação de lei de deslocamento porque consegue explicar um 
fenômeno experimentalmente observado: o deslocamento do pico da curva espectral em direção a 
menores comprimentos de onda à medida que a temperatura cresce. Tal resultado é expresso através 
da relação: cteTMáx  , onde Máx é o comprimento de onda para o qual a densidade de energia 
irradiada é máxima, para uma dada temperatura constante. O ponto onde a densidade espectral é 
máxima pode ser encontrado impondo-se ( , ) 0T 




. Derivando-se a eq. (4), resulta: 
4
2 5 6
1 ( ) 5
( , ) ( ) 0
c f c T
T c f c T
T

  
   
  
      
. 
Multiplicando tudo por 6 , e usando-se a redefinição x c T , temos: 
 ( ) 5 ( ) 0xf x f x   , 
equação esta que possui solução para um determinado valor da variável x. Isto permite escrever: 
cteTMáx  . 
 Com o advento dos trabalhos experimentais (por volta de 1900) que determina a curva 
espectral para a densidade de energia, a lei de Wein foi perfeitamente confirmada. Mais 
especificamente, a lei do deslocamento é escrita na forma
8
: 
 
 32,898 10MaxT K m
   . (5) 
 
Tal lei permite realizar algumas aplicações interessantes, tais como determinar a temperatura da 
superfície de estrelas distantes ou determinar a região do espectroem que o corpo humano mais 
emite radiação. Permite também fazer uma estimativa prévia da faixa freqüência a ser detectada 
simplesmente conhecendo-se a temperatura do corpo emissor. 
 
 
8
 Importante ressaltar que a lei de Wein, dada pela eq. (3), permite apenas obter cteTMáx  , sem 
determinar o valor da constante. Para determinar o valor da constante, exibido na eq. (4), é necessário 
conhecer a forma da função de Kirchhoff. Portanto, o valor desta constante só foi calculado depois do advento 
dos trabalhos de Planck. 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 10 
 Alguns anos tarde (1896), através da observação dos primeiros espectros de corpo negro 
(ainda imprecisos), Wein enunciou uma forma exponencial para a função ( , )T  , válida apenas 
altas freqüências: 
3( , ) B
h K T
T e
    . 
Como veremos mais à frente, esta lei reproduz a solução de Planck no regime das altas freqüências 
 Bh K T  , sendo a forma matemática da função de Kirchhhoff até 1900, ano em que Max 
Planck conseguiu deduzir uma outra forma para esta função que se ajustava completamente aos 
dados experimentais de Rubens & Kurlbaum. 
 
 Antes de discutir as primeiras formulações teóricas para tratar o problema do espectro do 
corpo negro, convém apresentar uma versão manipulável do corpo negro que seja útil nas 
construções teóricas. 
 
Realização Física manipulável de um corpo negro: para estudar a radiação emitida por um corpo 
negro, era obviamente necessário construir um corpo negro que fosse facilmente manipulável em 
experimentos, de modo a produzir a radiação a ser observada e medida em laboratório. Tal versão 
do corpo negro pode ser tomada como a cavidade interna de uma caixa de paredes metálicas de 
dimensões zyx LLL ,, , dotada de um pequeno orifício, por onde um feixe de radiação 
eletromagnética entra mas dificilmente sai, sendo absorvido pelas paredes da caixa após sofrer 
muitas reflexões internas. Isto equivale à realização física do Corpo Negro (quase ideal)
9
, proposta 
originalmente por Kirchhoff. Portanto, estudar a radiação, ou melhor, o espectro da radiação 
presente dentro da cavidade, é equivalente a estudar o espectro de um Corpo Negro. 
 
 
9
 Quase ideal porque uma pequena fração da radiação que entra pelo buraco acaba saindo por ele após as 
muitas reflexões, sem antes ser absorvido. 
 
 
 
 
 
Fig. 2: Realização física de um corpo negro: 
caixa metálica dotada de um pequeno orifício 
numa das paredes, por onde um feixe de radiação 
eletromagnética entra, mas tem probabilidade 
desprezível de sair após sofrer reflexões 
sucessivas. Importante destacar que é por este 
pequeno orifício que sai a radiação do corpo 
negro que será estudada em laboratório. Por tal 
orifício sai a mesma quantidade de radiação (por 
unidade de tempo) que é absorvida pelo corpo 
negro em equilíbrio térmico. Importante observar 
que a radiação de interesse é aquela emitida pelas 
paredes internas do corpo negro e em equilíbrio 
térmico com o mesmo, ou seja, a radiação 
presente dentro da cavidade metálica. 
 
 No tocante a esta realização física do corpo negro, muitas dúvidas são recorrentes. Primeiro ponto 
de questionamento é sobre a radiação que está sendo refletida pelas paredes laterais externas do corpo 
negro, pois pode-se pensar que se há radiação refletida, então não se trata de um corpo negro. Ocorre que 
esta radiação não deve mesmo ser levada em conta, pois ela não faz parte do sistema do corpo negro, que 
é constituído apenas pelas paredes internas e ondas eletromagnéticas presentes na cavidade interna. A 
radiação que não entra na cavidade pelo pequeno orifício e não é absorvida pelas paredes internas não 
pode nunca ser considerada como radiação do corpo negro, pois não pertence ao sistema. E quanto à 
parcela da radiação absorvida pelas paredes externas? Esta radiação pode ser zerada revestindo-se as 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 11 
paredes externas com uma película espelhada ou algo parecido. Nesta situação, temos uma cavidade que 
não interage de forma alguma com a radiação externa, a não ser pelo pequeno orifício. Portanto, só pode 
absorver radiação pelas paredes internas. Outro motivo de dúvida recorrente faz referência à radiação 
emitida pelo corpo negro pelo orifício. De fato, esta radiação existe, e tem mesmo que existir, pois todo 
corpo negro em equilíbrio térmico emite radiação, e é esta radiação emitida que revela o seu padrão 
espectral. A radiação do corpo negro é aquela emitida pelas partículas que o compõem e que permanece 
em equilíbrio térmico com as suas paredes internas (paredes da cavidade), e não aquela que é 
simplesmente refletida n vezes pelas suas paredes, e sai de volta pelo orifício. Esta radiação que sai pelo 
orifício sem ser absorvida, é uma radiação refletida que não faz parte do sistema do corpo negro e não 
contém nenhuma informação sobre o espectro deste corpo. Pelo fato desta radiação refletida estar sempre 
presente, embora em pequeníssima quantidade, é que esta realização do corpo negro é dita “quase ideal”. 
Quanto menor o orifício, menor será a parcela da radiação refletida, e a caixa mais se aproximará do corpo 
negro ideal. Neste caso, a maior parte da radiação que entra pelo orifício é absorvida pelas paredes do 
corpo negro, assim como a maior parte da radiação que sai pelo orifício é verdadeiramente emitida pelo 
corpo negro. Da sua observação, advém a curva espectral do corpo negro, nosso objeto de estudo. 
 
 
Tentativas teóricas para explicar a radiação do corpo negro 
 
 Historicamente, a primeira abordagem teórica para o problema do corpo negro (devido a Max 
Planck) consistia em focalizar atenção sobre as partículas que compunham as paredes do corpo, supostas 
em MHS - movimento harmônico mais simples, por este ser o movimento oscilatório simples de tratar e 
bom representante de uma situação física real. Conseqüentemente, esta seria a representação mais 
adequada para uma partícula radiante oscilante. Temos assim a parede do corpo negro tratada como um 
conjunto de dipolos oscilantes, cada dipolo correspondendo a uma partícula carregada em MHS. No 
equilíbrio térmico, a quantidade de energia irradiada pelo dipolo oscilante é dada por
10
: 
2 2 2
3
8
3
e v
E
mc

  , 
onde ,m e ,  são a massa, carga elementar e energia média de cada partícula oscilante, enquanto  é a 
freqüência da radiação emitida. 
 Se o corpo emissor está em equilíbrio térmico, então a quantidade de radiação emitida por cada 
dipolo tem que ser igual ao trabalho fornecido a este dipolo. No caso, a entidade que está realizando 
trabalho sobre os dipolos oscilantes é o campo eletromagnético presente na cavidade térmica. Então, o 
trabalho (por unidade de tempo) realizado sobre o oscilador pelo campo eletromagnético vale: 
2 ( )
3
e
W
m
  
  , 
onde ( )  é a densidade de energia espectral, ou seja, densidade de energia com freqüência no intervalo 
 ,    . Igualando-se estas duas quantidades, resulta: 
22 2 2
3
( )8
33
ee
mmc
   
  , de 
onde se conclui que: 
2
3
8
( )
c

   . 
 
 Essa é a expressão para a densidade de energia espectral do corpo negro obtida por Planck em 
1899, a partir da abordagem clássica para o movimento oscilatório das partículas radiantes localizadas nas 
paredes do corpo. Neste caso, conhecendo-se a energia média ( ) de um oscilador, determina-se a 
 
10
 Esse resultado advém da teoria eletromagnética de Maxwell. O mesmo não será aqui deduzido por envolver 
cálculos de teoriade radiação, além do escopo do presente curso. 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 12 
distribuição espectral da intensidade de radiação, ( )  , do corpo negro. Tal resultado, como veremos 
mais adiante, conduz a uma quantidade de energia divergente ( )E  para altas freqüências ( )  , 
resultado que não poderia ser verdadeiro, uma vez que a quantidade de energia associada ao corpo negro 
não pode ser infinita. Esta problemática ficou conhecida como a catástrofe do ultravioleta, por ocorrer 
para altas freqüências (regime do ultravioleta). 
 O método descrito acima, baseado nas oscilações das partículas das paredes do corpo negro, foi o 
primeiro a ser aplicado na tentativa de construção da função de Kirchhoff - ( )  . Veremos a seguir um 
outro método, baseado nas ondas estacionárias presentes dentro da cavidade metálica, que também foi 
usado para este mesmo propósito, fornecendo o mesmíssimo resultado. 
 
 
 
A formulação de Rayleigh-Jeans para ondas eletromagnéticas estacionárias 
 
 A exatidão dos resultados obtidos pela formulação do dipolo oscilante foi atestada quando a 
mesma expressão para a densidade de energia espectral - ( )v - foi derivada a partir de uma abordagem 
teórica alternativa, que centrava atenção na configuração das ondas eletromagnéticas estacionárias 
presentes dentro da cavidade que constitui o corpo negro [em vez de focalizar no movimento oscilatório 
das partículas das paredes que estariam em equilíbrio térmico com tais ondas eletromagnéticas]. Esta 
descrição alternativa para a radiação do corpo negro foi construída principalmente sobre os resultados 
obtidos pelo Lord Rayleigh (J. W. Strutt Rayleigh) em 1900, que ao aplicar o princípio da eqüipartição de 
energia à radiação dentro da caixa, obteve pela primeira vez a seguinte expressão 2( , )T c T   para a 
densidade espectral de energia, dispensando completamente a figura dos osciladores carregados presentes 
nas paredes da caixa. Coube então ao Sir. James Jeans (em 1905) obter o resultado já aqui apresentado, 
partindo da formulação do Lord Rayleigh. Daí segue a denominação dada a esta formulação. Passamos 
agora a descrever tal abordagem. 
 Inicialmente é necessário ressaltar que dentro da cavidade forma-se um padrão de ondas 
(eletromagnéticas) estacionárias, uma vez que as paredes da cavidade atuam como elementos impositores 
de condições de contorno adequadas para tal. Dentro da visão do corpo negro como o sistema caixa 
metálica/ondas eletromagnéticas estacionárias, torna-se possível calcular a distribuição espectral da 
intensidade radiação do corpo negro. Para isto, é necessário determinar quanta energia está associada às 
ondas eletromagnéticas. Para calcular a curva espectral, devemos determinar quanta energia 
eletromagnética existe no intervalo de freqüência  , d   . Para cumprir este objetivo teórico, deve-se: 
(i) determinar a quantidade de ondas eletromagnéticas estacionárias que está compreendida no 
intervalo infinitesimal de freqüência considerado; 
(ii) avaliar a energia média carregada ou associada a cada modo de oscilação, ou seja, a energia de 
cada onda eletromagnética considerada. A intensidade de energia por intervalo de freqüência - 
( )I v - será então dada pelo produto das duas quantidades acima. 
 
(i) Determinação da quantidade de modos vibracionais presentes na cavidade metálica: 
 
 De acordo com as equações de Maxwell, o campo eletromagnético numa região do espaço livre de 
cargas satisfaz a equação de onda homogênea, que pode ser escrita tanto para o campo elétrico, E , quanto 
para o campo magnético, B . Em termos do campo elétrico, escrevemos: 
 
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
0E
x y z c t
    
    
    
, (6) 
que é válida para cada uma das componentes cartesianas de E , ou seja:: 
 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 13 
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
0x x x x
E E E E
x y z c t
   
   
   
, ou genericamente: 
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
0i i i i
E E E E
x y z c t
   
   
   
, 
com 1,2,3i  designando as componentes x,y,z respectivamente. Tal equação é satisfeita tanto por ondas 
progressivas quanto estacionárias. No presente caso, estamos interessados apenas nas soluções 
estacionárias estabelecidas dentro da caixa metálica fechada de lados , ,x y zL L L , que são as únicas 
soluções possíveis nesse caso. As paredes dessa caixa estão em equilíbrio térmico, à temperatura T, com a 
radiação eletromagnética contida em seu interior. Nessa situação, a radiação térmica presente no interior a 
caixa metálica
11
, em forma de ondas estacionárias, equivale exatamente à radiação do corpo negro. 
Importante destacar que o padrão de ondas estacionário surge como uma decorrência direta das condições 
de contorno impostas nas paredes da caixa. De fato, sendo tais paredes constituídas por um material 
condutor, o campo elétrico deve se anular nas mesmas
12
, como usualmente estudado no eletromagnetismo 
clássico. A nulidade do campo elétrico implica na nulidade da amplitude de oscilação nas paredes da 
caixa (uma vez que tal amplitude é proporcional a 2E ). Esta observação tem analogia com as ondas 
estacionárias (mecânicas) estabelecidas em uma corda de pontas fixas, pontos nos quais a amplitude de 
oscilação é nula. 
 Admitindo a natureza estacionária das ondas eletromagnéticas dentro da caixa, podemos escrever: 
  ( , ) sen cosx ox xE x t E k x wt , (7A) 
 ( , ) (sen )cosy oy yE y t E k y wt , (7B) 
 ( , ) (sen )cosz oz zE z t E k z wt . (7C) 
 
onde 0 0 0, ,x y zE E E são as amplitudes ao longo de cada dimensão espacial. Observe que tais soluções 
apresentam uma dependência no tempo que não configura uma propagação espacial
13
. Sendo a onda 
eletromagnética transversal, o campo E acaba sendo paralelo às paredes da caixa para cada direção de 
propagação x, y ou z. 
 OBS.: Para efeito de contagem, cada onda estacionária equivale a dois modos de vibração do 
campo eletromagnético, uma vez que é composta por dois estados de polarização independentes. 
 
Contagem das ondas estacionárias ao longo do eixo – x: a componente 
xE deve ser nula nas duas 
paredes da caixa perpendiculares a esta direção, ou seja, as paredes paralelas situadas em: 0x e 
xLx  ; para assegurar tal condição, devemos impor: 
 
  0sen xxLk x x xk L n  , onde 1, 2,3, 4...,xn  
Temos assim: 
 x x
x
k n
L

 ou xx x
L
n k

 . (8) 
 
11
 Realização física de um corpo negro. 
12
 Interessante observar que esta condição de campo nulo nas paredes, mesmo que não imposta a princípio, acaba se 
concretizando a posteriori, devido à ação das correntes geradas por E nas paredes, que têm o efeito de criar um 
campo E oposto ao inicial, após o rearranjo de cargas, implicando num campo total nulo. Observe que, se o campo E 
não for nulo, ele gera o aparecimento de correntes elétricas ao longo das paredes. Como não há correntes (condição 
de equilíbrio eletrostático), o campo deve ser nulo. 
13
 A dependência em ( )kx wt , típica de ondas que se propagam no espaço, aparece apenas nas chamadas ondas 
progressivas. Um padrão de ondas estacionário surge da superposição de ondas progressivas e, uma vez estabelecido,não apresenta mais dependência temporal deste tipo. No caso, a dependência temporal apenas dita a freqüência da 
variação da amplitude do padrão estacionário. 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 14 
Da definição de vetor de onda, 

2
xk , obtemos: 

x
x
L
n
2
 ou 
x
x
n
L2
 . (9) 
A eq. (9) expressão revela os valores de comprimento de onda, correspondentes a cada valor de xn , que 
satisfazem a condição de contorno 0xE  nas duas paredes perpendiculares ao eixo-x. A eq. (8) 
estabelece o mesmo tipo de relação, mas para os valores permitidos do vetor de onda xk . 
 Vemos assim que, para cada valor de xn , temos uma onda de comprimento de onda ( ) 
diferente, de modo que contar a quantidade ondas (que satisfazem a condição 0xE  nas paredes), 
dispostas ao longo do eixo-x, equivale a observar o conjunto de valores permitidos para xn . Podemos 
fazer esta contagem de várias maneiras. Uma delas é contando a quantidade xn de ondas cujo vetor de 
onda está situado no intervalo  xxx kk,k  , de extensão xk . Este número vale: 
 xk

x
x
L
n . (10) 
 
 A eq. (10) revela o número de ondas que possuem vetor de onda situado no intervalo 
 xxx kk,k  , que é igual número de ondas que possuem freqüência situada no intervalo  ,    , 
pois: 
2
k
c

 , o que nos leva a: 
2
k
c

   . 
 Agora que aprendemos a contar as ondas dispostas ao longo do eixo–x que satisfazem as 
condições de contorno, podemos aplicar o mesmo procedimento para as ondas ao longo dos eixos– y e z: 
No eixo–y, temos: 0yE nas paredes 0y e yLy  , o que implica em:  yy nLyk 
 zy y
k
n L

  
y
y y
L
n k

   . (11) 
A eq. (11) corresponde à quantidade de ondas que apresentam vetor de onda yk situado no intervalo 
 yyy kk,k  . No eixo–z: devemos ter 0zE nas paredes 0z e zLz  , de modo que: 
 z z zk L n   zn
z zk L

  zz z
L
n k

   . (12) 
 A eq. (12) corresponde à quantidade de ondas que apresentam vetor de onda yk situado no 
intervalo  zzz kk,k  . 
 Podemos determinar agora o número total de ondas que se anulam sobre as paredes da caixa e 
possuem vetor de onda situado no intervalo ,k k k    ; onde 
kkjkik zyx
ˆˆˆk  . Tal número 
representa a quantidade de onda presente num volume, e por isso será dado pelo produto do número de 
ondas existente ao longo de cada um dos eixos. Temos assim: 
 
 
3
x y z
x y z x y z
L L L
N n n n k k k

         , ou (13) 
onde 3 x y zd k k k k    é o elemento infinitesimal de volume no espaço- k (espaço dos vetores de onda 
ou espaço da variável k), e x y zV L L L é o volume da caixa. Uma boa maneira de representar o elemento 
de volume 3d k é fazendo uma analogia ao elemento de volume de uma casca esférica de espessura dr , 
3 24d r r dr , medido em coordenadas esféricas. No caso, devemos pensar em termos de uma casca 
esférica de raio k e espessura dk no espaço-k (espaço do vetor de onda), cujo volume é escrito na forma: 
3
3
V
N d k

  , 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 15 
3 24d k k dk . A vantagem de escrever 3d k nesta forma está no fato de permitir expressá-lo em termos 
apenas do módulo de k, o que permitirá obter um resultado em termos da freqüência  e do elemento d . 
 
 
 ky 
 
 
 
 k 
 
 
 
 kx 
 
Fig. 3: Representação gráfica do vetor k no 
espaço da variável k, onde um elemento de 
volume infinitesimal está dado por 
3 24d k k dk . 
 
Inserindo o elemento de volume dentro da eq. 
(13), resulta: 
 
2
3
4 ,
V
N k dk

  
 kz 
 
 
 
Usando 
2
dk d
c

 , obtemos: 
3
2
2
4 2V
N d
c

 

 
   
 
  2
3
32 V
N d
c

   (14) 
 
A eq. (14) representa a quantidade ondas estacionárias presente na janela de freqüência 
 ,    . Tais ondas estão distribuídas ocupando os 8 quadrantes que constituem uma esfera. 
Explica-se: quando usamos a expressão 3 24d k k dk , estamos estendendo nosso domínio de 
interesse sobre uma esfera inteira, que é composta por 8 quadrantes. Agora, é necessário adequar o 
resultado obtido para a realidade de uma caixa (que representa apenas 1 quadrante da esfera), o que 
nos leva a dividir por 8 o resultado obtido: 
 
 
1
8
N  
2
3
4 V
dN d
c

  ; 
 
Finalmente, devemos multiplicar por 2 este resultado, uma vez que cada onda estacionária é 
constituída por dois modos independentes de vibração (um indo, outro voltando) para cada valor da 
freqüência. Assim, finalmente obtemos: 
 2
3
8 V
dN d
c

  (15) 
Este é o número de modos vibracionais com freqüência no intervalo  , d   dentro da caixa, 
que corresponde ao dobro do número de ondas estacionárias nas mesmas circunstâncias. 
 Pela teoria de Rayleigh–Jeans, conseguimos determinar o número de modos vibrantes com 
freqüência situada no intervalo  , d   . Para saber quanta energia está associada a estes modos, 
é necessário avaliar a energia média )( carregada por cada um deles, pois desta forma a energia do 
sistema seria dada pelo produto do número de modos )(dN pela energia média )( , ou seja: 
dN  . 
 Para calcular a energia média, faremos uso da famosa distribuição de probabilidade de 
Boltzmann, válida para um sistema clássico composto por muitas partículas. Tal distribuição 
associa a cada estado de energia  uma probabilidade dada por: 
 
dkk
V
N 2
3
4

 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 16 
 ( ) Bk TP e   . (16) 
 
onde Bk é a constante de Boltzmann. Tal expressão estabelece a probabilidade da partícula estar 
ocupando o estado de energia  . O papel de uma distribuição de probabilidade ou distribuição 
estatística (na Física) é justamente mostrar como as N partículas do sistema estão distribuídas sobre 
os vários estados de energia do sistema. 
 Dado que ondas eletromagnéticas eram vistas como entidades de uma teoria clássica 
(eletromagnetismo e Maxwell), não havia dúvidas acerca da aplicabilidade da distribuição de 
Boltzmann também elas. Desta forma, a energia média de tais ondas seria dada de acordo com as 
regras estabelecidas pela teoria geral de uma distribuição de probabilidade contínua, ou seja: 
 
0 0
( ) ( )P d P d     
 
   . (17) 
Temos então: 
0 0 0 0
,B B
k T k Te d e d e d e d         
   
        
onde: 1/ Bk T  . É possível escrever a expressão anterior na forma: 
0
ln
d
e d
d
 



 
   
 
 , pois: 
0 0
0
1
ln
d
e d e d
d
e d
 

  


 
 


  

. 
Finalizando:  

 
0
1
0
11


  ede , com o que obtemos: 
  1
1
ln ln
d d
d d
  
  
     
  
1
,
 (18) 
 
A eq. (18) representa a energia média para cada modo de vibração do campo eletromagnético, que 
depende apenas da temperatura, sendo independente da freqüência da onda. Como veremos a 
seguir, o fato da energia média ser constante e independente da freqüência, leva a uma divergência 
na energia existente dentro da caixa (energia do corpo negro), uma vez que o número de modos 
cresce com 2 . Podemos finalmente escrever a densidade de energia presente na caixa: 
 ( )
dN
V
     
2
3
8
( ) Bk T
c

   (19) 
Este é mesmo resultado obtido por meio da abordagem focada sobre os osciladores elementares. 
Esta expressão é a solução do desafio teórico de Kirchhoff que a Física clássica pode proporcionar 
para o problema do espectro do corpo negro. A energia total dentro da caixa: 
0
( , )TI V T d  

  ; 
sendo V o volume da caixa. É fácil agora mostrar que a energia presente na caixa é infinita. Para 
isto, fazemos a integração na freqüência: 
 
 
2
2 3
3 3 3 0
0 0
8 8 8
3
T B B BI V k Td k T d k T
c c c
  
   
 

    . (20) 
Vemos assim que a energia carregada pelas ondas eletromagnéticas estacionárias, contidas dentro 
da caixa, é infinita, uma vez que a freqüência das ondas pode assumir valores ilimitados. 
Classicamente, não há motivos para supor que a freqüência das ondas admita um corte superior, ou 
TkB 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 17 
seja, tenha um valor máximo, chamado de cut-off. A princípio, ondas de freqüência tão alta quanto 
se imagine são tão plausíveis quanto ondas de baixa freqüência, o que justifica os extremos de 
integração adotados. De qualquer forma, o resultado obtido não pode corresponder à realidade, dado 
que dentro da caixa não pode existir uma quantidade infinita de energia, ou equivalentemente, um 
corpo negro não pode emitir ou conter uma quantidade infinita de energia. Esta divergência na 
energia para altas freqüências ficou conhecida como catástrofe do ultravioleta, sendo este o 
resultado final para a distribuição espectral previsto pela teoria de Rayleigh–Jeans. 
 A figura a seguir exibe um gráfico comparativo entre o espectro previsto por Rayleigh – 
Jeans e o resultado experimental conhecido. 
 
 
 
Fig. 4: Comparação entre a curva espectral obtida 
pelo experimento e aquela fornecida pela teoria de 
Rayleigh-Jeans, onde se observa a divergência da 
densidade de energia para altas freqüências 
(pequenos comprimentos de onda), 
comportamento denominado de catástrofe do 
ultravioleta. 
 
5) A TEORIA DE PLANCK E A SOLUÇÃO TEÓRICA PARA O PROBLEMA DA RADIAÇÃO 
DO CORPO NEGRO (1900) 
 
 De 1859 a 1926, o problema da radiação do corpo negro manteve-se na fronteira da física teórica. 
Inicialmente como um problema de termodinâmica, logo depois de eletromagnetismo, da velha teoria 
quântica, e finalmente de estatística quântica, só desenvolvida nos anos 30. Sob o ponto de vista 
experimental, a resposta correta foi encontrada por volta de 1900, com os trabalhos de Lummer & 
Pringshein e Rubens & Kurlbaum. Do lado teórico, a solução, inicialmente enigmática, adveio com os 
trabalhos de Max Planck, um renomado físico alemão, especialista em termodinâmica clássica. Planck 
desenvolveu sua solução para o corpo negro usando conceitos de entropia e termodinâmica. No entanto, 
não mostraremos a formulação (termodinâmica) original de Planck aqui. Mostraremos como a hipótese de 
Planck é capaz de conduzir à função de Kirchhoff dentro da abordagem de Rayleigh-Jeans. Para maiores 
detalhes sobre a abordadem original de Planck, consultar Ref. [6]. 
 
 Voltando ao resultado da seção anterior, é possível atribuir a divergência da curva espectral ao 
fato do número de modos vibracionais ser proporcional a 
2 enquanto a energia média de cada modo é 
constante. Uma solução para este problema passa por duas possibilidades: (i) manter o resultado para a 
energia média  inalterada, e rever o cálculo do número de modos, tentando obter um comportamento para 
( , )T  não crescente com a freqüência; (ii) manter o resultado do número de modos inalterado, enquanto 
se altera o cálculo da energia média  de cada onda, pois se um comportamento decrescente para  for 
obtido, pode-se contrabalançar o crescimento em 
2 do número de modos, de tal modo a implicar numa 
densidade de energia bem comportada (não divergente). Como veremos a seguir, a solução de Planck 
seguiu o caminho (ii). 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 18 
 No intuito de encontrar uma solução para este problema, Planck considerou um cenário onde 
figuram como elementos relevantes tanto os osciladores elementares das paredes do corpo negro, quanto as 
ondas estacionárias de Rayleigh-Jeans. Planck considerou o corpo negro como um sistema radiante onde a 
radiação eletromagnética está em equilíbrio térmico dinâmico com o conjunto de osciladores carregados 
que compõem as paredes do sistema, em permanente troca de energia. Classicamente, cada um dos 
osciladores elementares pode vibrar numa freqüência  arbitrária, sendo a sua energia dependente apenas 
da amplitude e da freqüência da oscilação. A radiação eletromagnética emitida tem a mesma freqüência 
 do dipolo oscilante, mas como cada oscilador pode vibrar numa freqüência diferente e arbitrária, todas as 
freqüências acabam sendo permitidas. Classicamente, a energia das partículas oscilantes é uma grandeza 
contínua, ou seja, pode assumir todos os valores possíveis, o mesmo ocorrendo com a energia das ondas 
eletromagnéticas em equilíbrio térmico com os osciladores. Levando-se a cabo um cálculo da densidade 
espectral dentro deste contexto, o resultado obtido é o da catástrofe do ultravioleta, já comentado na seção 
anterior, e representado no gráfico da Fig. 4. 
 Trabalhando dentro deste cenário, e ciente das limitações de uma abordagem totalmente clássica, 
Planck decide testar uma hipótese inovadora, a hipótese do quantum de ação, que estabelece: 
 
- A emissão e absorção de radiação por um oscilador elementar ocorre através da troca de uma 
quantidade de energia dada por nh  , onde 0,1,2,3,...n  , h é uma constante fundamental14, e  a 
freqüência da radiação. 
 
 Esta hipótese estabelece que a energia só pode ser absorvida ou emitida em quantidades que sejam 
um múltiplo da quantidade fundamental h , conhecido como quantum de energia ou quantum de ação. 
Em termos práticos, a hipótese de Planck implica que a energia dos osciladores elementares e das ondas 
eletromagnéticas dentro da caixa seja quantizada, isto é, seja dada como um múltiplo de h . Neste caso, a 
energia assume um conjunto discreto de valores. Isto é chamado de discretização ou quantização da 
energia. 
 Como veremos a seguir, esta nova hipótese conduz à obtenção de uma expressão para a energia 
média ( ) de cada modo vibracional que decresce acentuadamente com a freqüência, de modo a impedir a 
ocorrência da catástrofe do ultravioleta. A hipótese de Planck é apresentada em forma diferente em 
diferentes textos, mas com equivalente conteúdo. O livro do Eisberg (ref. [2]), por exemplo, apresenta a 
hipótese de Planck na forma de um postulado, com o seguinte conteúdo: - A energia total de qualquer 
entidade física cuja única “coordenada” executa oscilações harmônicas simples, pode assumir apenas 
valores que satisfaçam a seguinte relação: nh  ,  ,...3,2,1,0n , onde  é a freqüência e h uma 
constante de fundamental
15
. 
 A revolucionária hipótese de Planck só recebeu atenção da comunidade científica porque foi capaz 
de conduzir, com exatidão, a uma formamatemática para a função de Kirchhoff, que se adequava 
perfeitamente à forma da curva obtida experimentalmente, superando o problema da catástrofe do 
ultravioleta de uma maneira completamente original. De fato, quando o cálculo da energia média de cada 
modo vibracional é refeito à luz da hipótese de Planck, as integrais (definidas sobre variáveis contínuas) 
são por somatórios (definidos sobre variáveis discretas), o que conduz a uma expressão para  
decrescente com a freqüência. 
 A solução encontrada por Planck, através do uso do seu postulado, concordou tão bem com os 
dados experimentais, que logo passou a ser identificado como a solução do desafio de Kirchhoff. Em 
 
14
 Mais tarde, quando se percebeu a importância desta nova constante nos sistemas quânticos, a mesma foi batizada 
merecidamente como constante de Planck, a constante fundamental da Mecânica Quântica. Valor atual de h : 
346, 6217 10h Js  ou 
276, 6217 10h ergs  . 
15
 Esta forma de enunciar a hipótese de Planck reflete um entendimento posterior de Planck, que depois percebeu que 
poderia também quantizar a energia das ondas estacionárias na caixa. De início, Planck quantizou apenas a energia 
dos osciladores elementares. 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 19 
1903, Pringsheim declarou numa conferência: “a equação de Planck apresenta tão bom acordo com a 
experiência, que pode ser considerada, pelo menos com grande aproximação, como a expressão 
matemática da função de Kirchhoff”. 
 Outra informação de cunho histórico refere-se ao objeto inicial, passível de sofrer quantização, de 
acordo com a primeira versão do postulado de Planck. Em tal versão, era proposta uma quantização para a 
energia das partículas das paredes do corpo negro, que executavam um movimento tipo oscilador 
harmônico simples. Com o advento da teoria de Rayleigh – Jeans (1905), que abordou problema do corpo 
negro sob a perspectiva de ondas estacionárias em equilíbrio térmico com as suas paredes, ficou claro que 
o postulado de Planck poderia ser estendido para estabelecer a quantização da energia de grandezas físicas 
cuja coordenada executasse oscilações harmônicas simples, incluindo obviamente, as ondas 
eletromagnéticas estacionárias. 
 Voltando ao postulado de Planck, vemos que a energia das ondas estacionárias é dada por: nh  , 
 ,...3,2,1,0n . Esta expressão indica um conjunto de níveis de energia igualmente separados por uma 
quantidade ( )hv , que representam os únicos estados de energia acessíveis para cada onda. 
_______________________ 5
_______________________ 4
_______________________ 3
_______________________ 2
_______________________
_______________________ 0
hv
hv
hv
hv
hv












 
 
 Em vista desta nova realidade, não faz mais sentido realizar integrações na energia, uma vez que 
agora se trata de uma grandeza discreta. A seguir, calculamos a energia média  , de cada modo das ondas 
eletromagnéticas, supondo válida a distribuição de Boltzmann e a hipótese de quantização de Planck. 
Devemos substituir integrais por somatórios: 
 
0
0
( )
( )
p d
p d
  

 





  
0 0 0
0 0 0
( )
( )
nh
B B
nh
B B
e
k T k T
n n n
e
k T k T
n n n
p e nh e
p e e




   




   
  
   
  
  
  
  
, 
0
0
0
ln
nh
nhn
nh
n
nh e
d
e
d
e
 
 
 










 
    
  



, onde 
TkB
1
 . 
 
Para obter este resultado, devemos calcular o somatório, que resulta igual a uma série: 
2 3 2 3
0
1 ... 1 ...nx x x x
n
e e e e y y y

   

          , onde: 
xey  . 
Mas sabemos que     1132 11...1   xeyyyy . Portanto: 
 
0 0
1 1
 
1 1
nx nh
x h
n n
e e
e e
 
 
 
 
 
 
  
 
  . 
 
Calculando finalmente , obtemos: 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 20 
1 2 1ln(1 ) ln(1 )( 1)(1 ) (1 )h h h h h h
d
e e e h e e h e
d
             

                      
     
, 
 
 
(1 )
h
h
h e
e
 
 




 

 (21) 
 
 Planck obteve desta forma uma energia média exponencialmente decrescente da freqüência, de tal 
modo a ter 0 no regime de altas freqüências  Bh k T  , pois: 1 0Bh k T h         , 
pois 0 he . Este é um resultado que consegue se contrapor ao crescimento do número de modos, 
proporcional a 2 , de tal modo a evitar o grande problema da divergência da densidade de energia, que 
aparece no tratamento totalmente clássico. Neste novo panorama, vemos que à medida que a freqüência da 
onda cresce, a energia da onda decresce exponencialmente a zero. Esta é a chave para a solução de Planck 
para o problema da catástrofe do ultravioleta. 
 
 
DENSIDADE ESPECTRAL DE ENERGIA NA CAVIDADE: 
 
 A hipótese de Planck não prevê qualquer alteração no cálculo do número de ondas ou modos de 
vibração por intervalo de freqüência  ,v v dv . Desta forma, o resultado já calculado por intermédio da 
teoria de Rayleigh – Jeans é mantido: 
2
3
8 Vv
dN dv
c

 . Para se obter a densidade de energia no intervalo 
 ,v v dv , basta multiplicar um pelo outro: 
2
3
8
( , ) ( , )
( 1)h
dN v hv
T dv v T
V c e 

       

 
 
 (22) 
 
 
 
A eq. (22) corresponde exatamente à forma matemática da função de Kirchhoff para a distribuição 
espectral de densidade de energia de um corpo negro, em outras palavras, corresponde à solução do 
desafio lançado por Kirchhoff em 1859. 
 
 É fácil observar que este resultado engloba a lei de Wein: 3( , ) ( , )T f T    ; onde 
1
( , ) 8 1B
h
k T
f T h e

 

 
  
 
. Não havia dúvidas que a função encontrada por Planck era de fato a expressão 
matemática para função de Kirchhoff; dado a sua magnífica concordância com os dados experimentais. 
Restava, entretanto, buscar um entendimento satisfatório para a hipótese de quantização de Planck, uma vez 
que, para os físicos da época, tal hipótese não passava de um artifício matemático, sem realidade física, que 
deveria ser justificada por outros meios ou substituída por uma outra hipótese (dotada de realidade física) 
que conduzisse a mesma expressão encontrada por Planck. Em suma, a comunidade científica aceitou 
imediatamente o resultado de Planck expresso em termos da função ( , )T  , mas se opôs veementemente 
ao caminho de sua obtenção: a hipótese da quantização da energia. 
 Os resultados obtidos por Planck foram enviados para a Academia Alemã de Física em outubro de 
1900 e publicados em 1901
16
. Na parte final do seu trabalho, Planck faz uso da curva teórica encontrada, 
 
16
 M. Planck, “On the law of distribution of energy in the normal spectrum”, Annalen der Physik 4, 553 (1901). 
( 1)h
h
e 

 

 
3
( , ) 8
( 1)B
h
k T
v
v T h
e

 

 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 21 
em comparação com os dados das curvas espectrais (obtidas experimentalmente) já conhecidas, para 
determinar o valor da constante h e da constante de Boltzmann. Em seus cálculos, obtém: 
27
16
6, 55 10 .
1, 346 10 /B
h erg s
K erg K


  

 
. Interessante observar a proximidade desses resultados com os valores atuais 
destas constantes:27
16
6, 6237 10 .
1, 3803 10 /B
h erg s
K erg K


  

 
. 
 
 Uma observação interessante refere-se ao fato de Planck ter usado, em sua dedução da função de 
Kirchhoff, a distribuição de probabilidade de Maxwell-Boltzmann, que é uma distribuição eminentemente 
clássica. Ocorre que Planck que não tinha outra opção: simplesmente não existia, em 1900, outra 
distribuição além de Boltzmann. As distribuições de probabilidade para sistemas quantizados compostos 
por N partículas (distribuição de Bose-Einstein
17
 e distribuição de Fermi-Dirac
18
), distribuições quânticas, 
só seriam obtidas a partir de 1920, por Einstein, Bose, Fermi e Dirac, físicos que tiveram papel decisivo no 
desenvolvimento e formulação da Mecânica Quântica. O fato de Planck ter obtido o resultado correto 
usando uma distribuição de probabilidade clássica para tratar um sistema que na verdade tem natureza 
quântica não é uma simples coincidência. Ocorre que, em sistemas quânticos de baixa densidade de 
partículas, a distribuição quântica reproduz o resultado de clássico de Maxwell-Boltzmann. 
 
6) COMENTÁRIOS FINAIS 
 
 A hipótese de Planck ocupa um lugar de destaque no desenvolvimento da Física do século XX. 
Poucas hipóteses na história da Física tiveram efeitos tão amplos e revolucionários quanto esta, não apenas 
pelo seu conteúdo inovador, mas também por ter sido a semente original dos desenvolvimentos teóricos que 
culminaram na construção da Mecânica Quântica nos idos de 1924-1926. Por ter sido a primeira hipótese 
de quantização a ser lançada, no início quase ninguém a levou sério como verdade da natureza. O próprio 
Planck não acreditava no conteúdo físico da sua hipótese. Tal hipótese só começou a ganhar crédito a partir 
do advento da teoria da Einstein para o efeito fotoelétrico (em 1905), que pressupunha quantização da 
energia de ondas eletromagnéticas, e conduziu a um valor da constante h com erro de apenas 0,5% em 
relação ao valor calculado por Planck em 1900. Por volta de 1907, Einstein volta a fazer uso de uma 
hipótese de quantização para explicar a fenomenologia do calor específico dos sólidos, obtendo grande 
sucesso. A partir daí, novas hipóteses de quantização foram surgindo para resolver outros problemas 
fundamentais perante os quais a Física Clássica mostrava-se impotente. Em 1913, Niels Bohr lança os 
postulados de quantização para o átomo de hidrogênio, conseguindo obter teoricamente as séries espectrais 
já conhecidas deste átomo. As hipóteses de quantização assumiram de fato um status de verdade da 
natureza quando, em 1915, Robert Millikan publica os resultados de seus experimentos meticulosos, 
 
17
 A distribuição de Bose-Einstein aplica-se a um sistema quântico de N bósons idênticos (partículas de spin inteiro), 
afirmando que a probabilidade de encontrar um bóson no estado de energia  é dada por: / 1( ) ( 1)Bk TP e   . Esta 
distribuição foi formulada inicialmente por Satyendra Nath Bose, um professor da University of Dhaka (Índia), na 
tentativa de derivar a fórmula da radiação de Planck usando o conceito de fótons (partículas de luz), introduzido por 
Einstein em 1905. Este resultado foi generalizado por Einstein em 1924, depois que este tomou conhecimento do 
trabalho de Bose. 
 
18
 A distribuição de Fermi-Dirac aplica-se a um sistema quântico de N férmions idênticos (partículas de spin semi-
inteiro), afirmando que a probabilidade de encontrar um férmion no estado de energia  é dada por: 
/ 1( ) ( 1)B
k T
P e
   . Esta estatística foi formulada independentemente por Enrico Fermi e Paul Dirac em 1926. A 
distribuição de Fermi-Dirac diferencia-se de Bose-Einstein por apenas um sinal, que está atrelado a um significado 
físico importante: dois férmions não podem ocupar o mesmo estado físico. 
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Satyendra_Nath_Bose
http://en.wikipedia.org/wiki/University_of_Dhaka
Prof. Manoel M. Ferreira Jr. (Física Moderna: Radiação de Corpo Negro) 22 
confirmando a hipótese de Einstein para o efeito fotoelétrico. A partir de então, passou a ser raro encontrar 
um físico de gabarito que ainda se opusesse às hipóteses de quantização. 
 Nos primeiros anos do século XX, a teoria da Planck teve pouquíssimos adeptos, um deles, 
entretanto, desempenhou papel importantíssimo para a sua consolidação. Trata-se de Albert Einstein que, 
desde que tomou conhecimento do teor do trabalho de Planck, passou a leva-lo em conta em suas 
elucubrações teóricas. Os resultados obtidos por Planck, através de sua inovadora hipótese da quantização, 
constituíram, desde o início, uma fonte de perplexidade e inspiração para Einstein, como pode ser atestado 
pela seguinte passagem de um pronunciamento de Einstein dirigido a Planck, datado de 1929: - “Há 29 
anos fui inspirado por sua engenhosa dedução da fórmula da radiação, que aplicou o método estatístico de 
Boltzmann de forma tão inovadora”. 
 Já em 1913, Einstein escreveu sobre a hipótese de Planck: “tal trabalho revigora e ao mesmo tempo 
torna tão difícil a existência do físico [...]. seria edificante se se pudesse pesar a massa cinzenta que foi sacrificada 
pelos físicos no altar da [função de Kirchhoff]; e o fim destes cruéis sacrifícios ainda não está à vista!”
19
. Obs: os 
sacrifícios que ainda estão por vir, a que Einstein se referia em 1913, diziam respeito às conseqüências da 
hipótese de quantização proposta por Planck, que levariam ao desenvolvimento da teoria quântica e à 
obtenção das distribuições estatísticas de Bose-Einstein (válida para bósons) e Fermi–Dirac (válida para 
férmions), que viriam a constituir a base da descrição dos gases quânticos. 
 Sem dúvida, pode-se afirmar que a hipótese de Planck, a sua influência sobre Einstein, e os 
trabalhos de Einstein baseados nessa hipótese de quantização, foram fundamentais para o desenvolvimento 
da teoria quântica, uma vez que todas as hipóteses de quantização posteriores foram fortemente 
influenciados pelos trabalhos de Planck e Einstein. 
 Ainda sobre a hipótese de Planck, Niels Bohr declarou em 1938: “Raramente uma descoberta na 
história da ciência chegou a produzir efeitos tão extraordinários no curto espaço de nossa geração 
quanto os decorrentes da descoberta de Max Planck sobre o quantum de energia. ... Tal idéia tem 
abalado os fundamentos de nossas idéias não apenas no âmago da ciência clássica mas também na 
nossa maneira cotidiana de pensar. É devido a esta emancipação do pensamento herdado das tradições 
(clássicas) que nós devemos o maravilhoso progresso que tem sido feito no entendimento dos fenômenos 
naturais durante a última geração...”
20
 
 Numa entrevista com Planck , em 1931, físico americano R. W. Wood lhe perguntou como tinha 
inventado algo tão extraordinário quanto a teoria dos quanta. Planck então respondeu: “Foi um ato de 
desespero. Durante seis anos fiquei lutando com a teoria dos corpos negros. Era preciso que eu 
descobrisse uma explicação teórica a qualquer preço que não fosse a violação das leis da 
termodinâmica”
21
. Neste comentário percebe-se a relutância de Planck em aceitar o conteúdo físico da sua 
hipótese. Apenas depois que Einstein adotou e ampliou sua hipótese para explicar o efeito fotoelétrico e o 
calor específico dos sólidos, é que o Planck passou a crer no fenômeno da quantização como sendo uma 
realidade dos sistemas microscópicos. 
 Ao final de sua vida, Planck teceu o seguinte comentário sobre sua teoria: “Minhas tentativas 
inúteis de conciliar de alguma forma o quantum elementar com a teoria clássica prosseguiram durante 
muitos anos e me custaram um grande esforço. Muitos dos meus colegas viram nisto quase uma 
tragédia, mas meu enfoque era diferente porque o profundo aperfeiçoamento dos meus conceitos, 
resultante desse trabalho, significou muito para mim. Agora, tenho certeza de que o quantum de ação