Matrizes Transposição Dada uma matriz A

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Matrizes Transposição Dada uma matriz A = [aij]mxn, podemos obter uma outra matriz B = [bij]nxm, cujas linhas são as colunas de A, isto é, bij = aji. B é denominada transposta de A. Notação: B = At. 
Matriz Siétrica: é uma matriz quadrada igual à sua transposta.
Matriz Antissimétrica: é uma matriz quadrada igual à oposta de sua transposta
 Matriz Oposta: uma matriz oposta de uma matriz A é a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos seus elementos. Notação: - A.
Matriz Periódica: Uma matriz quadrada A é periódica se An =A, sendo n ( 2.
Matriz Idempotente: Uma matriz Anxn é dita idempotente se o produto dela por ela mesma resulta ela própria: A.A = A ou A2 = A.
Matriz Nilpotente: Uma matriz Anxn é chamada nilpotente se o produto dela por ela mesma resulta a matriz nula: A. A = 0 ou A2 = 0
Sistemas de Equações lineares 
Soluções de um sistema de equações lineares: Em um sistema de uma equação e uma incógnita, 
ax = b existirão três possibilidades:
i) a ( 0. Neste caso a equação tem uma única solução x = b/a. -> possível (compatível) e determinado
ii) a = 0 e b = 0. Então temos 0.x = 0 e qualquer número real será solução da equação. - > possível (compatível) e indeterminado
iii) a = 0 e b ( 0. Temos 0.x = b. Não existe solução para esta equação. -> impossível (incompatível
Forma Escada - Teorema. Toda matriz Amxn é linha equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma escada.
Teorema
Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.
Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única.
Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, podemos escolher n – p incógnitas, e as outras incógnitas serão dadas em função destas.
Dizemos no caso iii que o grau de liberdade do sistema é n – p.
Usamos a notação: pc = posto da matriz dos coeficientes e pa = posto da matriz ampliada. Se pc = pa denotamos simplesmente por p.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação Uma transformação 
 é chamada transformação linear de V em W se: Uma transformação linear de V em V é chamada operador linear sobre V. 
Teorema da Dimensão: Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita. Seja 
uma transformação linear, então dim V = dim N(T) + dim Im(T). 
Mudança de Base: Sejam V um espaço vetorial, I o operador identidade, A e B duas bases de V e v 
 V, a matriz de I, em relação às bases A e B (representada por
 ), é tal que 
. 
Espaços Vetoriais
Teorema: Um subconjunto S, não-vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições:
i) ( u, v ( S tem-se u + v ( S. ii) (
 ( IR, u ( S tem-se 
u ( S.
Exemplo
V= 
 e S= {(x,0) / x ( 
} é um subespaço vetorial de V com as operações usuais.
V= 
e S= {(x, 4 - 2x) / x ( 
} não é um subespaço vetorial V com as operações usuais.
Exemplo.
1. O vetor u =(1, 0,-1) do IR3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2,-1) e (1,1,-1), pois (1, 0,-1) = -1(1,2,-1) +2(1,1,-1).
2. Considerando os vetores e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) ( IR3, tem-se que qualquer vetor (x, y, z) ( IR3 pode ser escrito como combinação linear dos ei, especificamente: (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1).
Subespaços Gerados: Seja V um espaço vetorial. Considere A um subconjunto de V diferente do conjunto vazio, A={ u1, u2, . . .,un}. O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V chamado de subespaço gerado por A.
Independência Linear
LI: Um conjunto contendo um único vetor é LI se, e somente se, 
LD: v=0
Observações
Os vetores v1,. . .,vn são LD se, e somente se, um deles é combinação linear dos outros.
Dois vetores v1 e v2 são LD um vetor é múltiplo escalar do outro.
No espaço real 
a dependência de vetores pode ser escrita geometricamente como segue: dois vetores u e v são dependentes se, e somente se, estão na mesma reta passando pela origem; três vetores u, v e w são dependentes se, e somente se, estão no mesmo plano passando pela origem.
Base de um subespaço vetorial: Se V é um espaço vetorial qualquer e S = {v1, v2, ..., vn} é um conjunto de vetores em V, dizemos que S é uma base de V se: (a) S é LI. (b) S gera V.
Ex: O conjunto
é uma base do S: 2x – y – 6z = 0
Obs: Se 
 for uma base de um espaço vetorial V, então todo conjunto com mais de n elementos será linearmente dependente.
Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores.
Dimensão de um Espaço Vetoria: Seja V um espaço vetorial. Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e escreve-se dim V = n. dim 
= n dim {0} = 0 dim Mmxn = m x n
Ex. No 
, considere as bases A = {(1,0),(0,1)}, B={(2,0),(1,3) e C={(1,-3),(2,4)}. Dado o vetor v = (8,6), tem-se: [v]A=(8,6); [v]B=(3,2);[v]C=(2,3).
Autovetores e Autovalores
Seja 
 um operador linear. Ex: vetor v=(5,2) é autovetor do operador linear 
, T(x,y)=(4x+5y,2x+y) associado ao autovalor 
,pois T(v)=T(5,2)=(30,12)=6(5,2)=6v.
Diagonalização de Operadores: Dado um operador linear 
, a cada base B 
de V corresponde uma matriz [T]B que representa T na base B. Nosso objetivo é obter uma base do espaço de modo que a matriz de T nessa base seja a mais simples representante e T. Veremos que essa matriz é uma matriz diagonal.
Propriedades
Autovetores associados a autovalores distintos de um operador 
 são LI.
Se 
 é linear, dimV = n e T possui n autovalores distintos, o conjunto
, formado pelos correspondentes autovalores, é uma base de V.
 Um operador linear 
 é diagonalizável se existe uma base de V formada por autovetores de T.
Ex. A matriz A = 
 é diagonalizável. Primeiramente devemos calcular o polinômio de A. 
Esse polinômio é dado por p(x) = det(xI2 – A) = 
 = (x – 5) ( x – 2)) – 4 = (x – 1) 
( x – 6). Ou seja, o polinômio de A é: p(x) = (x – 1) ( x – 6). Logo, os autovalores são 1 e 6. Agora para que possamos analisar se A é ou não diagonalizável, precisamos verificar se os seus autovetores são linearmente independentes, ou seja se os autovetores formam uma base de 
.
Se 
= 1, temos que: (1I – A) v = 0, ou seja,
 Este sistema é equivalente a: x = - y, logo todas as soluções são da forma: (-y, y) = y(-1, 1), para todo y 
. Portanto v1 = (-1,1) é o autovetor associado a 
= 1.
Se 
= 6, temos que (6I – A) v = 0, ou seja,
.Este sistema
 é equivalente a x= 4y, logo todas as soluções são da forma: (4y, y) = y(4, 1), para todo
 y 
. Portanto v2 = (4,1) é o autovetor associado a 
= 6. 
Logo os autovetores associados a autovalores distintos são LI.
 Daí concluímos que o conjunto de autovetores {v1, v2} é linearmente independente, 
ou seja, A é diagonalizável.
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