Análise Estatística - Assimetria e Curtose

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30/08/2012
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Aula 03 – Medidas de Assimetria e de 
Curtose
Prof. Ms. André Breve
andre.breve@faeso.edu.br
GST0073 – Análise Estatística Introdução
• Medidas de Assimetria
– Assimetria é o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de uma
distribuição.
– Numa distribuição estatística, a assimetria é o quanto sua curva de
frequências (curva normal) se desvia ou afasta da posição simétrica
(central).
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• Medidas de Assimetria
– Permitem distinguir as distribuições simétricas das assimétricas.
• Distribuição simétrica: Média = Mediana = Moda.
• Distribuição assimétrica: Média ≠ Mediana ≠ Moda
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Medidas de Assimetria
• Podemos caracterizar as distribuições de frequências em:
– Assimétrica à direita, ou positiva.
– Assimétrica à esquerda, ou negativa.
– Assimétrica nula ou simétrica
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Medidas de Assimetria
• Se a curva de freqüência de uma distribuição tem uma "cauda" mais longa
à direita da ordenada máxima que à esquerda, diz-se que é uma
distribuição desviada para a direita, ou que possui assimetria positiva.
• Se é o inverso que ocorre, diz-se que ela é desviada para a esquerda, ou
de assimetria negativa.
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Medidas de Assimetria
• Relações entre a média, a mediana e a moda
– Se Média < Mediana < Moda:
• Assimetria negativa
• Distribuição assimétrica à esquerda
– Se Moda < Mediana < Média:
• Assimetria positiva
• Distribuição assimétrica à direita
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Medidas de Assimetria
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• Pode-se empregar as relações entre média e moda para determinar 
o tipo de assimetria:
X̅ - Mo = 0 Assimetria nula ou distribuição simétrica
X̅ - Mo < 0 Assimetria negativa ou à esquerda
X̅ - Mo > 0 Assimetria positiva ou à direita
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X̅ - Mo
Medidas de Assimetria
• Exemplo:
Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de 
frequências:
Determine o tipo de assimetria de cada uma delas
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DISTRIBUIÇÕES X̅ Mo
A 52 52
B 45 50
C 48 46
Medidas de Assimetria
• Coeficiente de assimetria
– A medida anterior não permite a comparação entre as medidas de duas 
distribuições.
– Para que possamos comparar as medidas utilizaremos o coeficiente de 
assimetria de Pearson:
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As = 3 ( X̅ - Md )
s
Medidas de Assimetria
• Utilizando a fórmula de Pearson:
• Se 0,15 < |As| < 1 Assimetria Moderada
• Se |As| > 1 Assimetria Forte
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As = 3 ( X̅ - Md )
s
Medidas de Assimetria
• Exemplo: Considerando as distribuições A, B e C dadas, calcule os 
coeficientes de assimetria para cada distribuição.
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Distribuição X̅ Md Mo s
A 12 12 12 4,42
B 12,9 13,5 16 4,20
C 11,1 10,5 8 4,20
AsA = 3 ( X̅ - Md ) = 3 (12 – 12) = 0
s 4,42
AsB = 3 ( X̅ - Md ) = 3 (12,9 – 13,5) = -1,8 = - 0,429
s 4,20 4,20
AsC = 3 ( X̅ - Md ) = 3 (11,1 – 10,5) = 1,8 = 0,429
s 4,20 4,20
simetria
Assimetria negativa
Assimetria positiva
Medidas de Assimetria
• Exercício: Em uma distribuição de frequências foram encontradas 
as seguintes medidas: 
X̅=33,18
Mo=27,50
Md=31,67
s=12,45
a) Classifique o tipo de assimetria.
b) Calcule o coeficiente de assimetria.
c) A assimetria é moderada ou forte?
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Introdução
• Denominamos curtose o grau de achatamento de uma distribuição
em relação a uma distribuição padrão, denominada curva normal
(curva correspondente a uma distribuição teórica de probabilidade)
• As medidas de achatamento (ou curtose) indicam a intensidade das
frequências na vizinhança dos valores centrais.
• Não existe relação entre assimetria e curtose, são medidas
independentes que não se influenciam mutuamente.
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Medidas de Curtose
• Uma curva poderá ser, quanto a sua Curtose:
– Leptocúrtica: quando a distribuição apresenta uma curva mais fechada 
(ou mais aguda em sua parte superior) do que a normal.
– Platicúrtica: quando a distribuição apresenta uma curva de frequências 
mais aberta (ou mais achatada na sua parte superior) do que a normal.
– Mesocúrtica: a curva normal
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Medidas de Curtose
• Coeficiente de curtose
– Fórmula para o cálculo da curtose: Coeficiente Percentílico de Curtose
• Para a curva normal temos: C = 0,263
• Logo: se C = 0,263 curva mesocúrtica
se C < 0,263 curva leptocúrtica
se C > 0,263 curva platicúrtica
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C = Q3 – Q1 
2(P90 - P10)
Medidas de Curtose
• Exemplo: Sabendo-se que uma distribuição apresenta as seguintes 
medidas:
Q1 = 24,4 cm, Q3 = 41,2 cm, P10 = 20,2 cm e P90 = 49,5 cm
Calcule o coeficiente de curtose e classifique a distribuição em 
relação à curva normal.
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C = Q3 – Q1 = 41,2 – 24,4 = 16,8 = 0,2866 C = 0,287
2(P90 - P10) 2(49,5 – 20,2) 58,6
Como 0,287 > 0,263, a distribuição é platicúrtica
Medidas de Curtose
• Exercício: Considere as seguintes medidas relativas a três
distribuições de frequências:
a) Calcule os respectivos graus de curtose
b) Classifique cada uma das distribuições em relação à curva
normal.
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Distribuição Q1 Q3 P10 P90
A 814 935 772 1012
B 63,7 80,3 55 86,6
C 28,8 45,6 20,5 49,8
Medidas de Curtose