estrutura algébrica

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Questão 1/10 - Estrutura Algébrica
Leia o texto a seguir:
Uma operação binária * em XX diz associativa se para cada três elementos x,y,z∈Xx,y,z∈X, vale a igualdade (x∗y)∗z=x∗(y∗z).(x∗y)∗z=x∗(y∗z). 
Fonte: autor da questão.
Considerando o texto apresentado e os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre grupos e suas propriedades, identifique as operações a seguir em que seja válida a operação associativa, e assinale com V (verdadeira) as afirmativas verdadeiras, ou com F (falsa) as falsas:
 (   ) x∗y=x÷y+4x∗y=x÷y+4;
 (   ) x∗y=xy2x∗y=xy2;
 (   ) x∗y=2x+2y;x∗y=2x+2y;
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V−F−FV−F−F
	
	B
	F−V−VF−V−V
Você acertou!
Comentário:Comentário: Primeira operação é falsa: A divisão não é uma operação em ZZ. incorretaincorreta. Segunda operação é verdadeira: A multiplicação é uma operação em ZZ. corretacorreta. Terceira afirmação é verdadeira: a é um conjunto formado por números pares, logo a soma de dois números pares é um par.  É valida. corretacorreta.  (livro-base, p. 23-26).
	
	C
	V−V−FV−V−F
	
	D
	F−V−FF−V−F
	
	E
	F−F−VF−F−V
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica
Seja A={e,a}A={e,a} um conjunto com dois elementos munido das operações ++ e ⋅⋅ definidas pelas tabelas abaixo:
+eaeeaaae     e     ⋅eaeeeaea+eaeeaaae     e     ⋅eaeeeaea
Analise as afimativas:
I. e⋅(e+a)=e⋅a=e.e⋅(e+a)=e⋅a=e.
II. O elemento neutro da operação ++ é a.a.
III.  A unidade de AA é o elemento e.e.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
Você acertou!
Na tabela da adição, temos e+a=a.e+a=a. Usando a tabela da multiplicação, concluímos que e⋅(e+a)=e⋅a=e.e⋅(e+a)=e⋅a=e. Logo, a afirmativa I é correta. Como a+a=e,a+a=e, o elemento aa não pode ser o elemento neutro da adição. Assim, a afirmativa II é falsa. Além disso, como e⋅a=e,e⋅a=e, garantimos que o elemento ee não é a unidade em A.A. Portanto, a afirmativa III é incorreta.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica
Leia o enunciado a seguir:
Considere os anéis (Z,+,⋅)(Z,+,⋅), (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) e (R,+,⋅)(R,+,⋅), em que ++ e ⋅⋅ denotam suas operações usuais. 
De acordo com o enunciado e com os conteúdos estudados nas aulas, é correto afirmar que:
Nota: 10.0
	
	A
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero.
	
	B
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo.
	
	C
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) não é domínio de integridade.
	
	D
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é corpo.
Você acertou!
Com as operações usuais, (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, dado a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗com a≠0,a≠0, vem que p≠0p≠0 e qp∈Q.qp∈Q. Então, a−1=qp∈Qa−1=qp∈Q, pois pq⋅qp=1.pq⋅qp=1.
	
	E
	(R,+,⋅)(R,+,⋅) não é domínio de integridade.
Questão 4/10 - Estrutura Algébrica
Leia o enunciado:
Sobre o anel do inteiros (Z,+,⋅)(Z,+,⋅), em que ++ e ⋅⋅ denotam as operações usuais em ZZ, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	Para todo a∈Za∈Z, vale a⋅0≠0.a⋅0≠0.
	
	B
	A propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é válida, isto é, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c para todos a,b,c∈Z.a,b,c∈Z.
Você acertou!
Como (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel,  então a propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é satisfeita em Z.Z.
	
	C
	O elemento 2∈Z2∈Z possui inverso multiplicativo em Z.Z.
	
	D
	O anel (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) possui divisores de zero.
	
	E
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo.
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica
Considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre relações binárias e dados os conjuntos A=RA=R, B=RB=R, leia as seguintes afirmações:
I. O conjunto R1={(x,y)∈R2|y=√x}R1={(x,y)∈R2|y=x} é uma relação binária de A×BA×B.
II. O conjunto R2={(x,y)∈N2|3x+y−10=0}R2={(x,y)∈N2|3x+y−10=0} é uma relação binária de A×BA×B.
III. O conjunto R3={(x,y)∈R2|x−y+1<0}R3={(x,y)∈R2|x−y+1<0} é uma relação binária de A×BA×B.
Está correto apenas o que se afirma em:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	II e III.
	
	C
	III.
Você acertou!
As afirmativas I e II não estão corretas, pois não existe raiz de número negativo em RR  e para R2R2,  a função y=−3x+10y=−3x+10, não é definida para x>3.x>3.    Afirmativa III está correta pois é a região do  R2R2 acima da reta y=x+1y=x+1.  (livro-base, p. 15-18).
	
	D
	I e III.
	
	E
	II.
Questão 6/10 - Estrutura Algébrica
O subconjunto BB do anel (A,+,⋅)(A,+,⋅) é subanel de AA quando a−b∈B e a⋅b∈Ba−b∈B e a⋅b∈B para todos a,b∈B.a,b∈B. Com base nessa estrutura, analise as afirmativas:
I. ZZ é um subanel de Q.Q.
II. L={f∈A; f(1)=1}L={f∈A; f(1)=1} é subanel de A=F(R,R).A=F(R,R).
III. 2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é subanel de Z.Z.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
Você acertou!
Sabemos que Z⊂Q.Z⊂Q. Além disso, dados a,b∈Z,a,b∈Z, temos a−b∈Z e a⋅b∈Z.a−b∈Z e a⋅b∈Z. Logo, ZZ é subanel de Q.Q. Com isso, a afirmativa I é verdadeira. Observamos também que 2Z⊂Z.2Z⊂Z. Dados a,b∈2Z,a,b∈2Z, existem x,y∈Zx,y∈Z tais que a=2x e b=2y.a=2x e b=2y. Com isso, a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z.a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z. Assim, 2Z2Z é subanel de ZZ e a afirmativa III é verdadeira.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 7/10 - Estrutura Algébrica
Leia o enunciado a seguir:
Considere (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂AB⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) se a,b∈Ba,b∈B, então a+b∈Ba+b∈B e a⋅b∈Ba⋅b∈B;
(ii) (B,+,⋅)(B,+,⋅) é um anel.
Diante disso e dos conteúdos adquiridos nas aulas, leia as afirmativas a seguir e assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa.
I. (   ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R.
II. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k∈Z}B={2k; k∈Z} é subanel de Z.Z.
III. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares  C={2k+1;k∈Z}C={2k+1;k∈Z} é subanel de Z.Z.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V - V - V.
	
	B
	V - F - V.
	
	C
	V - V - F.
Você acertou!
As propriedades (i) e (ii) são satisfeitas para os conjuntos ZZ e B.B. Logo, as afirmativas I e II são verdadeiras. Observamos que 1 e 3 são elementos de CC, mas 1+3=4∉C.1+3=4∉C. Assim, a afirmativa III é falsa.
	
	D
	V - F - F.
	
	E
	F - V - V.
Questão 8/10 - Estrutura Algébrica
Leia a citação:
"Uma relação binária r sobre dois universos A e B é:
r⊆A×Br⊆A×B
Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre os conjuntos A e conjunto B. Isto é, uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto de A×AA×A pode ser chamado simplesmente de relação binária em A". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em Geometria Analítica Plana, aula 1, p. 2. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_bin%C3%A1ria.   Acesso em 02 jul. 2017.
Considerando a citação e os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre propriedades reflexivas e transitivas das relações binárias definidas no conjunto A={1,2,3,4}, identifique a relação de A a seguir, que seja reflexiva e transitiva, com V (verdadeira) ou com F (falsa):
 (   )  R1={(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}R1={(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)};
 (   )  R2={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)}R2={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)}; 
 (   )  R3={(2,4),(4,2)};R3={(2,4),(4,2)};
 (   )  R4={(1,2),(2,3),(3,4)}R4={(1,2),(2,3),(3,4)};
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V−V−V−VV−V−V−V
	
	B
	F−V−F−VF−V−F−V
	
	C
	V−V−F−FV−V−F−F
	
	D
	F−V−F−FF−V−F−F
Você acertou!
Comentário:Comentário: Primeira afirmação: não é reflexiva, pois não tem o par (1,1). incorretoincorreto. Segunda afirmação: é reflexiva, pois se tem o par xRy tem o par yRx. É transitiva, pois vale a relação se xRy e yRz então xRz. corretacorreta. Terceira afirmação: Não é nem reflexiva nem transitiva. incorretoincorreto. Quarta afirmação: Não é nem reflexiva nem transitiva. incorretoincorreto. (livro-base, p. 23-26 ).
	
	E
	F−F−F−VF−F−F−VQuestão 9/10 - Estrutura Algébrica
Leia o enunciado a seguir:
A estrutura algébrica de um conjunto com operações é a denominação dada ao conjunto em função dos axiomas satisfeitos pelas operações. 
Diante disso e dos conteúdos estudados nas aulas, leia as afirmativas a seguir e assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa.
I. (   ) Todo domínio de integridade é anel.
II. (   ) Se KK é corpo, então KK é domínio de integridade.
III. (   ) Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero.
Agora, marque a sequência  correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V - V - V.
Você acertou!
Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero. Com isso, as afirmativas I e III são verdadeiras. Se KK é corpo, então KK é um anel unitário, comutativo no qual todo elemento diferente de zero de KK tem inverso multiplicativo. Com esta última propriedade, mostra-se que KK não possui divisores de zero. Portanto, KK é um domínio de integridade e a afirmativa II também é verdadeira.
	
	B
	V - F - V.
	
	C
	V - V - F.
	
	D
	V - F - F.
	
	E
	F - V - V.
Questão 10/10 - Estrutura Algébrica
Considerando os conteúdos estudados nas aulas sobre polinômios, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	O elemento neutro da adição de polinômios é o mesmo para a multiplicação de polinômios.
	
	B
	A adição, a multiplicação e a divisão de polinômios têm a propriedade comutativa.
	
	C
	A divisão de polinômios tem as mesmas propriedades da multiplicação.
	
	D
	O polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios.
Você acertou!
Segue das propriedades da adição de polinômios.
	
	E
	O elemento neutro da divisão de polinômios é o zero.
Questão 1/10 - Estrutura Algébrica
Um homomorfismo é uma função especial que preserva as operações dos anéis envolvidos. Com base nestas funções, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
I. (   ) A função f:Z→Zf:Z→Z definida por f(x)=x+2f(x)=x+2 é um homomorfismo.
II. (   ) A função f:Z→M2(Z)f:Z→M2(Z) definida por f(a)=[a00a]f(a)=[a00a] é um homomorfismo.
III. (   )  A função f:Z→Zf:Z→Z definida por f(x)=xf(x)=x é um homomorfismo.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
Você acertou!
A afirmativa I é falsa, pois f(0)=2≠0.f(0)=2≠0. Por outro lado, as afirmativas II e III são verdadeiras, já que f(x+y)=f(x)+f(y) e f(x⋅y)=f(x)⋅f(y) para todos x∈Z.f(x+y)=f(x)+f(y) e f(x⋅y)=f(x)⋅f(y) para todos x∈Z.
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica
Leia o enunciado a seguir:
Considere o anel (R×R,+,⋅),(R×R,+,⋅), onde as operações de adição ++ e multiplicação ⋅⋅ são definidas por (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e (a,b)⋅(c,d)=(ac,bd).(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e (a,b)⋅(c,d)=(ac,bd). Considere também o homomorfismo f:R×R→M2(R)f:R×R→M2(R) definido por f(a,b)=[a00b].f(a,b)=[a00b]. Com base nesta função e nos conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, leia as afirmativas a seguir e assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa. 
I. (   ) f(1,1)f(1,1) resulta na unidade do anel M2(R).M2(R).
II. (   ) O núcleo de ff é o conjunto N(f)={(0,0)}.N(f)={(0,0)}.
III. (   ) O conjunto imagem de ff é Im(f)=M2(R).Im(f)=M2(R).
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-V.
	
	B
	V-F-V.
	
	C
	V-V-F.
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois f(1,1)=[1001]=If(1,1)=[1001]=I é matriz identidade que satisfaz A⋅I=AA⋅I=A para toda matriz A∈M2(R).A∈M2(R).Observamos que (a,b)∈N(f)⟺f(a,b)=[0000]⟺[a00b]=[0000],(a,b)∈N(f)⟺f(a,b)=[0000]⟺[a00b]=[0000],
donde a=b=0.a=b=0. Logo, N(f)={(0,0)}N(f)={(0,0)} e a afirmativa II é verdadeira. Já a afirmativa III é falsa, pois Im(f)={[a00b]∈M2(R)}≠M2(R).Im(f)={[a00b]∈M2(R)}≠M2(R).
	
	D
	V-F-F.
	
	E
	F-V-V.
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica
Sobre a noção de ideal, é correto afirmar que
Nota: 10.0
	
	A
	ZZ é um ideal de Q.Q.
	
	B
	ZZ é um ideal de R.R.
	
	C
	QQ é um ideal de R.R.
	
	D
	2Z2Z é um ideal de Z.Z.
Você acertou!
Considere a,b∈2Z e x∈Z.a,b∈2Z e x∈Z. Então existem a1,b1∈Za1,b1∈Z tais que a=2a1 e b=2b1.a=2a1 e b=2b1. Com isso, a−b=2(a1−b1)∈2Z e x⋅a=2(a1x)∈2Z.a−b=2(a1−b1)∈2Z e x⋅a=2(a1x)∈2Z. Isso mostra que 2Z2Z é um ideal de Z.Z.
	
	E
	3Z3Z é um ideal de Q.Q.
Questão 4/10 - Estrutura Algébrica
Considere os anéis (Z,+,⋅), (Q,+,⋅) e (R,+,⋅),(Z,+,⋅), (Q,+,⋅) e (R,+,⋅), em que + e ⋅+ e ⋅ denotam suas operações usuais. É correto afirmar que
Nota: 10.0
	
	A
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel comutativo e com divisores de zero.
	
	B
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) não é um domínio.
	
	C
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) não é um corpo.
	
	D
	(R,+,⋅)(R,+,⋅) é um domínio que não é corpo.
	
	E
	(R,+,⋅)(R,+,⋅) é um corpo.
Você acertou!
É sabido que (R,+,⋅)(R,+,⋅) é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, todo número real x∈R, x≠0,x∈R, x≠0, possui inverso x−1=1x∈R.x−1=1x∈R. Portanto, (R,+,⋅)(R,+,⋅) é um corpo.
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica
Leia o enunciado a seguir:
Considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, assinale a alternativa que apresenta o resto da divisão do polinômio p(x)=x4−3x3+6x2p(x)=x4−3x3+6x2 pelo polinômio q(x)=x2−3x+5:q(x)=x2−3x+5: 
Nota: 10.0
	
	A
	r(x)=3x−5.r(x)=3x−5.
Você acertou!
Basta observar que p(x)=(x2+1)⋅q(x)+(3x−5).p(x)=(x2+1)⋅q(x)+(3x−5).
	
	B
	r(x)=3x+5.r(x)=3x+5.
	
	C
	r(x)=2x−5.r(x)=2x−5.
	
	D
	r(x)=2x+5.r(x)=2x+5.
	
	E
	r(x)=x−5.r(x)=x−5.
Questão 6/10 - Estrutura Algébrica
Dados os polinômios p(x)=b+ax+x3 e q(x)=−6+2x+2x2,p(x)=b+ax+x3 e q(x)=−6+2x+2x2, assinale a alternativa que apresenta os valores de aa e de bb para que a divisão de p(x)p(x) por q(x)q(x) seja exata:
Nota: 10.0
	
	A
	a=−2 e b=−3.a=−2 e b=−3.
	
	B
	a=2 e b=3.a=2 e b=3.
	
	C
	a=−4 e b=3.a=−4 e b=3.
Você acertou!
O resto da divisão de p(x)p(x) por q(x)q(x) é o polinômio r(x)=(a+4)x+(b−3).r(x)=(a+4)x+(b−3). Esta divisão é exata quando r(x)=0,r(x)=0, donde a=−4 e b=3.a=−4 e b=3.
	
	D
	a=−4 e b=−3.a=−4 e b=−3.
	
	E
	a=4 e b=3.a=4 e b=3.
a=4 e b=3.
Questão 7/10 - Estrutura Algébrica
Sobre a noção de homomorfismo de anéis, é correto afirmar que
Nota: 10.0
	
	A
	A função f:R→Rf:R→R definida por f(x)=−xf(x)=−x é um homomorfismo.
	
	B
	A função f:Z→Rf:Z→R dada por f(x)=xf(x)=x é um epimorfismo.
	
	C
	A função f:Z×Z→M2(Z)f:Z×Z→M2(Z) definida por f(a,b)=[a00b]f(a,b)=[a00b] é um monomorfismo.
Você acertou!
Claramente, ff é um homomorfismo. Além disso, N(f)={(0,0)}N(f)={(0,0)}, o que garante que ff é injetora. Portanto, ff é um monomorfismo.
	
	D
	A imagem do homomorfismo f:Z→Q, f(x)=xf:Z→Q, f(x)=x é o conjunto Im(f)=Q.Im(f)=Q.
	
	E
	O núcleo do homomorfismo nulo f:R→R, f(x)=0f:R→R, f(x)=0 é o conjunto N(f)={0}.N(f)={0}.
Questão 8/10 - Estrutura Algébrica
Considere o anel R[x]R[x] dos polinômios com coeficientes reais na variável x.x. Com base neste anel, analise as afirmativas:
I. O polinômio nulo p(x)=0p(x)=0 é o elemento neutro da adição do anel R[x].R[x].
II. O elemento simétrico do polinômio p(x)∈R[x]p(x)∈R[x] é o polinômio −p(x).−p(x).
III. Efetuando a multiplicação do polinômio p(x)=1+xp(x)=1+x pelo polinômio q(x)=2+x+x2,q(x)=2+x+x2, obtemos o polinômio p(x)⋅q(x)=2+3x+x2+x3.p(x)⋅q(x)=2+3x+x2+x3.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois para todo polinômio q(x)∈R[x],q(x)∈R[x], temos p(x)+q(x)=0+q(x)=q(x).p(x)+q(x)=0+q(x)=q(x). Isso mostra que p(x)=0p(x)=0 é o elemento neutro da adição do anel R[x].R[x]. Também a afirmativa II é verdadeira, já que p(x)+[−p(x)]=0.p(x)+[−p(x)]=0. Entretanto, a afirmativa III é falsa, pois p(x)⋅q(x)=2+3x+2x2+x3.p(x)⋅q(x)=2+3x+2x2+x3.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 9/10 - Estrutura Algébrica
Considere M2(R)M2(R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais. Sobre o anel (M2(R),+,⋅),(M2(R),+,⋅), é correto afirmar que 
Nota: 10.0
	
	A
	É um anel comutativo.
	
	B
	É um anel com unidade dada pela matriz I=[1111].I=[1111].
	
	C
	É um anel com divisores de zero.Você acertou!
Com operações usuais,  (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel. Além disso,  (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) possui divisores de zero. Por exemplo, as matrizes A=[1000] e B=[0010]A=[1000] e B=[0010] são tais que AB=0,AB=0, porém A≠0 e B≠0.A≠0 e B≠0.
	
	D
	É um domínio de integridade.
	
	E
	É um corpo.
Questão 10/10 - Estrutura Algébrica
Leia o enunciado:
A noção de ideal foi introduzida no final do século XIX pelo matemático alemão Richard Dedekind. Os ideais formam uma classe especial de subanéis e surgiram como ferramenta para o estudo da Teoria dos Números. 
Considerando esta noção e os conteúdos das aulas, é correto afirmar que:
Nota: 10.0
	
	A
	ZZ é ideal de Q.Q.
	
	B
	ZZ é ideal de R.R.
	
	C
	QQ é ideal de R.R.
	
	D
	J={(u0v0)∈M2(R)}J={(u0v0)∈M2(R)} é ideal de M2(R).M2(R).
	
	E
	2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é ideal de Z.Z.
Você acertou!
De fato, dados a,b∈2Za,b∈2Z, temos a=2xa=2x e b=2yb=2y com x,y∈Z.x,y∈Z. Assim, a−b=2(x−y)∈2Z.a−b=2(x−y)∈2Z. Além disso, se k∈Zk∈Z e a∈2Z,a∈2Z, vale ak=ka=2(xk)∈2Zak=ka=2(xk)∈2Z, onde a=2xa=2x para algum x∈Zx∈Z. Portanto, 2Z2Z é um ideal de Z.