Questão resolvida - Uma lata Cilíndrinca é feita para receber 1litro de óleo Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata - FAM

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma lata Cilíndrinca é feita para receber 1litro de óleo. Encontre as dimensões que 
minimizarão o custo do metal para produzir a lata?
 
Resolução:
 
Primeiro, é preciso definir uma função que represente a área superfícial da lata;
A = A + A + AS L b t
 
A área lateral A é dada por : A = 2𝜋RhL L
Onde : R é o raio do Cilíndro que contém a lata e h a altura
 
A área da base A é igual a área da tampa A que são dadas por : A = A = 𝜋Rb t t b
2
Assim, a área da superfície da lata fica :
 
A = 2𝜋Rh +𝜋R +𝜋R A = 2𝜋Rh + 2𝜋RS
2 2
→ S
2
 
Agora, vamos usar o volume da lata para relacionar R e h;
 
V = A ⋅ h V = 𝜋R ⋅ hb →
2
 
Como o volume da lata deve ser de 1 L ou 1 dm , fica :3
 
1 = 𝜋R ⋅ h h =2 →
1
 𝜋R2
 
Substituindo a expressão encontrada para h em A , temos :S
 
A = 2𝜋R ⋅ + 2𝜋R A = + 2𝜋R A =S
1
 𝜋R2
2
→ S
2
 R
2
→ S
2 + 2𝜋R
 R
3
 
Para achar os pontos críticos de A , devemos fazer sua derivada A' e igualar a zero :S S
 
A' = A' = A' =S
3 ⋅ 2𝜋R ⋅R- 1 ⋅ 2 + 2𝜋R
 R
2 3
2
→ S
6𝜋R - 2 - 2𝜋R
 R
3 3
2
→ S
4𝜋R - 2
 R
3
2
 
= 0 4𝜋R - 2 = 0 4𝜋R = 2 R = R = R =
4𝜋R - 2
 R
3
2
→
3
→
3
→
3
2
4𝜋
→
3
1
2𝜋
→
1
2𝜋
 
 
3
 
R ≅ 0, 54 dm
 
Para saber se R ≅ 0, 54 é ponto de máximo ou mínimo, vamos substituir um valor acima R = 1( )
e um valor abaixo R = -1 em A' :( ) S
 
A' 1 = A' 1 = A' 1 ≅ 10, 56S( )
4𝜋 1 - 2
 1
( )3
( )2
→ S( )
4𝜋- 2
1
→ S( )
 
A' -1 = A' -1 = A' -1 ≅ - 14, 57S( )
4𝜋 -1 - 2
 -1
( )3
( )2
→ S( )
-4𝜋- 2
1
→ S( )
Com isso, podemos concluir que é coordenada do ponto de mínimo de , pois, R ≅ 0, 54 AS
pelos sinais de e percebemos que:A' 1S( ) A' -1S( )
O R mínimo já temos, substituíndo na expressão encontrada para h, fica:
h = h = h ≅ 1, 09 dm
1
 𝜋R2
→
1
 𝜋 0, 54( )2
→
Finalmente, as dimensões do cilíndro que minimizam o custo de produção da lata de óleo 
são, aproximadamente:
 
R = 0, 54 dm = 5, 4 cm e h = 1, 09 dm = 10, 9 cm
 
 
Decresce Cresce
- - - - - - - - - + + + + + + + + + 
0, 54
(Resposta)