Integrais trigonométricas I

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R721c Rogawski, Jon.
 Cálculo / Jon Rogawski ; tradução Claus Ivo Doering. –
 Porto Alegre : Bookman, 2009.
 v. 1 : il. ; 28 cm.
 ISBN 978-85-7780-270-8
 1. Cálculo. 2. Matemática. I. Título.
CDU 571
Catalogação na publicação: Mônica Ballejo Canto – CRB 10/1023.
430 CÁLCULO
8.3 Integrais trigonométricas
Nesta seção, combinamos substituição e integração por partes com as identidades apro-
priadas para integrar várias funções trigonométricas. Para começar, consideramos
em que n e m são inteiros positivos. O caso mais fácil ocorre quando pelo menos um dos 
expoentes é ímpar.
■ EXEMPLO 1 Potências ímpares de sen x Calcule .
Solução Começamos usando a identidade para reescrever o integrando:
Depois usamos a substituição u = cos x, du = −sen x dx:
 
 ■
Em geral, se n for ímpar, podemos usar a identidade para escrever 
 como uma potência de vezes cos x e substituir u = sen x, du = cos x 
dx. Por outro lado, se m é ímpar, escrevemos como uma potência de 
vezes sen x.
■ EXEMPLO 2 Potências ímpares de sen x ou cos x Calcule .
Solução Escrevemos . Então
O fator de cos x no integrando nos permite usar a substituição u = sen x. Então temos 
 e o fator restante cos x dx é igual a du:
 
■
Como o método dos exercícios anteriores requereu um expoente ímpar, enunciamos 
as fórmulas de redução a seguir, que podem ser usadas para qualquer expoente, par ou 
ímpar. Essas fórmulas decorrem por integração por partes (Exercício 62).
Seno ou cosseno com potência ímpar
Se cos x aparece com uma potência 
ímpar 2k + 1, escrevemos 
como . Então 
 torna-se
Agora substituímos u = sen x,
du = cos x dx. Se sen x aparece com 
uma potência ímpar 2k + 1, escrevemos 
 como e 
substituímos u = cos x, du = −sen x dx.
CAPÍTULO 8 Técnicas de Integração 431
Fórmulas de redução do seno e do cosseno
 
 
■ EXEMPLO 3 Calcule .
Solução Pela fórmula de redução (3) com n = 4, obtemos
 
Para calcular a integral da direita, aplicamos novamente a fórmula de redução, com n = 2:
 
Substituindo a Equação (6) na Equação (5), resulta
 
■
As integrais trigonométricas podem ser expressas de mais de uma maneira por causa 
do grande número de identidades trigonométricas. Por exemplo, um sistema algébrico 
computacional pode fornecer a seguinte resposta à integral do exemplo anterior:
Pode ser conferido que isso está de acordo com a resposta no Exemplo 3 (Exercício 55). As 
fórmulas seguintes podem ser conferidas usando as identidades lembradas à margem.
Para integrar no caso de ambos n e m pares, é exigido mais trabalho:
Se • , usamos a identidade para substituir por 
:
Expandimos a integral do lado direito para obter uma soma de integrais de potên-
cias de cos x e usamos a fórmula de redução (4).
 LEMBRETE Identidades úteis:
432 CÁLCULO
Se • , substituímos por :
Expandimos a integral do lado direito para obter uma soma de integrais de potên-
cias de sen x e novamente calculamos a integral usando a fórmula de redução (3).
■ EXEMPLO 4 Potências pares de sen x e cos x Calcule .
Solução Como m < n, substituímos por :
 
A fórmula de redução para n = 6 dá
Usando esse resultado na Equação (7), obtemos
Em seguida calculamos usando as fórmulas de redução, com n = 4 e n = 2:
Juntando tudo,
 
 
 ■
Muitas outras integrais trigonométricas podem ser calculadas usando as identidades 
trigonométricas apropriadas combinadas com substituição ou integração por partes.
■ EXEMPLO 5 Integral da tangente e da secante Obtenha as fórmulas
Um outro método para integrar 
 no caso de n e m pares é 
discutido no Exercício 63.
Como já observamos acima, as 
integrais trigonométricas podem ser 
expressas de mais de uma maneira. De 
acordo com o programa Mathematica,
Para mostrar que isso está de acordo 
com a Equação (8), podemos usar 
identidades trigonométricas.
CAPÍTULO 8 Técnicas de Integração 433
Solução Para integrar tg x, usamos a substituição u = cos x, du = −sen x dx:
Para integrar sec x, usamos a substituição esperta u = sec x + tg x. Então
Dividindo ambos lados por u, obtemos e, portanto,
 
■
Uma tabela de integrais ao fi nal desta seção (página 435) contém uma lista de inte-
grais trigonométricas e fórmulas de redução adicionais.
■ EXEMPLO 6 Potências de tg x Calcule .
Solução Usamos a fórmula de redução (18) da tabela com k = 3:
 
■
À margem, descrevemos um método para integrar .
■ EXEMPLO 7 Usando as fórmula de redução e a tabela de integrais Calcule
Solução Conferindo os casos discriminados à margem, observamos que essa integral está 
incluída no Caso 3, já que o integrando é , com m = 2 e n = 3. O primeiro 
passo é usar a identidade :
 
Em seguida, usamos a fórmula de redução (22) com m = 5 da tabela:
 
A integral foi calculada 
numericamente pela primeira vez em 
1590, pelo matemático inglês Edward 
Wright, décadas antes da invenção do 
Cálculo. Embora não tenha inventado 
o conceito de integral, Wright se deu 
conta de que as somas que aproximam 
a integral detêm a chave para entender 
a projeção Mercator de mapas, de 
grande importância na navegação 
marítima, porque permite aos 
navegadores alcançarem seus destinos 
seguindo ao longo de retas de direção 
cardinal fi xada. A fórmula para a 
integral foi demonstrada pela primeira 
vez por James Gregory em 1668.
Integrando 
Caso 1 ímpar
Usamos a identidade 
para escrever como
Então substituímos u = sec x, du = 
sec x tg x dx para obter uma integral 
envolvendo somente potências de u.
Caso 2 par
Usamos a identidade 
para escrever como
Então substituímos u = tg x, 
 para obter uma integral 
envolvendo somente potências de u.
Caso 3 m par e n ímpar
Usamos a identidade 
para escrever como
Então expandimos para obter uma 
integral envolvendo somente potências 
de sec x e usamos a fórmula de 
redução (22).
434 CÁLCULO
Finalmente, usamos novamente a fórmula de redução (22) com m = 3 e a Equação (21):
Então a Equação (10) passa a ser
 
■
As Fórmulas (25)-(27) da tabela descrevem as integrais de produtos da forma 
 e . Essas integrais desempenham um papel 
importante na teoria de séries de Fourier, uma técnica mais avançada que é muito usada 
na Engenharia e na Física.
■ EXEMPLO 8 Integral de sen mx cos nx Calcule .
Solução Aplicamos (26), com m = 4 e n = 3:
 
■
8.3 RESUMO
Para integrar uma potência ímpar de sen • x vezes , escrevemos
Em seguida, usamos a substituição u = cos x, du = −sen x dx.
Para integrar uma potência ímpar de cos • x vezes , escrevemos
Em seguida, usamos a substituição u = sen x, du = cos x dx.
Se ambos sen • x e cos x ocorrerem com potências pares, escrevemos
Expandimos o lado direito para obter uma soma de potências de cos x ou potências de 
sen x. Em seguida, usamos as fórmulas de redução.
CAPÍTULO 8 Técnicas de Integração 435
A integral • pode ser calculada com uma substituição que depende de 
três casos: m ímpar, n par, ou m par e n ímpar. Ver a nota à margem da página 433.
TABELA DE INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
436 CÁLCULO
 1. Descreva a técnica usada para calcular .
 2. Descreva uma maneira de calcular .
 3. Precisamos de fórmulas de redução para calcular 
Por que sim ou não?
 4. Descreva uma maneira de calcular .
 5. Qual dessas integrais é mais difícil de calcular?
 Explique sua resposta.
8.3 EXERCÍCIOS
Exercícios preliminares
Nos Exercícios 1-6, use o método para potências ímpares para cal-
cular a integral.
 1. 2. 
 3. 4. 
 5. 6. 
 7. Encontre a área da região destacada na Figura 1.
FIGURA 1 O gráfi co de .
x
y
y = cos3 x
1
−1
π 3π
2
π
2
 8. Use a identidade para escrever 
 como a soma de duas integrais e então calcule usando 
a fórmula de redução.
Nos Exercícios 9-12, calcule usando os métodos desenvolvidos nos 
Exemplos 3 e 4.
 9. 10. 
 11. 12. 
Nos Exercícios 13-20, calcule a integral usando, se for preciso, as 
fórmulas de redução à página 435.
 13. 14. 
 15. 16. 
 17. 18. 
 19. 20. 
Nos Exercícios 21-54, use as técnicas e as fórmulas de redução que 
foremnecessárias para calcular a integral.
 21. 22. 
 23. 24. 
 25. 26. 
 27. 28. 
 29. 30. 
 31. 32. 
 33. 34. 
 35. 36. 
 37. 38. 
 39. 40. 
 41. 42. 
 43. 44. 
 45. 46. 
 47. 48. 
Exercícios
CAPÍTULO 8 Técnicas de Integração 437
 49. 50. 
 51. 52. 
 53. 54. 
 55. Use as identidades para sen 2x e cos 2x listadas à página 431 para 
verifi car que a primeira das duas fórmulas seguintes é equivalen-
te à segunda.
 56. Calcule usando o método descrito no texto e 
verifi que que sua resposta é equivalente à resposta seguinte for-
necida por um sistema algébrico computacional:
Nos Exercícios 57-60, calcule as integrais dadas usando a identida-
de e métodos análogos àqueles usados para 
integrar 
 57. 58. 
 59. 60. 
 61. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação de y = sen x, 
acima de , em torno do eixo x.
 62. Use integração por partes para provar as fórmulas de redução das 
Equações (3) e (4).
 63. Aqui temos mais um método de redução para calcular a inte-
gral quando m e n forem pares. Use as 
identidades
 para escrever . Em 
seguida, expanda o lado direito como uma soma de integrais en-
volvendo potências menores do seno e do cosseno na variável 2x. 
Use esse método para calcular .
 64. Use o método do Exercício 63 para calcular .
 65. Use o método do Exercício 63 para calcular .
 66. Mostre que, para ,
 
 67. Prove a fórmula de redução
 Sugestão: use a identidade para escrever
 68. Calcule usando (15). Mostre:
 (a) 
 (b) 
 69. Use a substituição u = cossec x − cotg x para calcular 
(ver Exemplo 5).
 70. Energia total Uma lâmpada de 100 W tem uma resistên-
cia R = 144 (ohms) quando ligada à corrente residencial, 
em que a voltagem varia de acordo com 
( ). A potência fornecida à lâmpada é 
 (joules por segundo) e a energia total ao longo de 
um período [0, T ] (em segundos) é . Calcule U 
se a lâmpada permanecer acesa por 5 horas.
 71. Sejam m, n inteiros com . Use as fórmulas (25)-(27) da 
tabela de integrais para provar que
 Essas fórmulas, conhecidas como relações de ortogonalidade, 
desempenham um papel básico na teoria de séries de Fourier 
(Figura 2).
FIGURA 2 Pelas relações de ortogonalidade, a área com sinal ao longo 
desses gráfi cos é nula.
y
x
π
y
π
x
2π
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	Capa
	Integrais trigonométricas
	Resumo
	Tabela de integrais trigonométricas
	Exercícios