Atividade-SubEspaçoVetorial

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20 CAPÍTULO 2. SUBESPAÇOS VETORIAIS
Proposiç̃ao 2.24 SejamU1, . . . , Un subespaços vetoriais de um espaço vetorialV. En-
tãoV = U1⊕· · ·⊕Un se e somente se para cadav ∈ V existe, para cadaj = 1, . . . , n,
umúnicouj ∈ Uj tal quev = u1 + · · · + un.
Prova: A provaé ańalogaà da proposiç̃ao2.19.
Exemplo 2.25 Mostre queP2 é soma direta dos seguintes subespaços vetoriaisU1 =
{a0; a0 ∈ R}, U2 = {a1x; a1 ∈ R} eU3 = {a2x2; a2 ∈ R}.
Dadop(x) ∈ P2, temosp(x) = a0+a1x+a2x2, para certos coeficientesa0, a1, a2 ∈ R.
Assim,P2 = U1 + U2 + U3.
Verifiquemos que a somáe direta.
1. Mostremos queU1 ∩ (U2 + U3) = {0}. Sejap(x) ∈ U1 ∩ (U2 + U3). Ent̃ao
existema0, a1, a2 ∈ R tais quep(x) = a0 = a1x + a2x2. Sep(x) não fosse
o polinômio nulo teŕıamos um polin̂omio de grau 0,a0, coincidindo com um de
grau no ḿınimo 1,a1x + a2x2, o queé um absurdo. Logo,p(x) = 0.
2. Mostremos queU2∩(U1+U3) = {0}. Sejap(x) ∈ U2∩(U1+U3). Ent̃ao existem
a0, a1, a2 ∈ R tais quep(x) = a1x = a0 + a2x2. Sep(x) não fosse o polin̂omio
nulo teŕıamos um polin̂omio de grau 1,a1x, coincidindo com um de grau 0 (caso
a2 = 0) ou 2,a0 + a2x2, (casoa2 6= 0), o queé um absurdo. Logo,p(x) = 0.
3. Mostremos queU3∩(U1+U2) = {0}. Sejap(x) ∈ U3∩(U1+U2). Ent̃ao existem
a0, a1, a2 ∈ R tais quep(x) = a2x2 = a0 + a1x. Sep(x) não fosse o polin̂omio
nulo teŕıamos um polin̂omio de grau 2,a2x2, coincidindo com um de grau 0 (caso
a1 = 0) ou 1,a0 + a1x, (casoa1 6= 0), o queé um absurdo. Logo,p(x) = 0.
2.3 Exerćıcios
Ex. 2.26 Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjuntoW é um subespaço
vetorial do espaço vetorialV. Caso ñao sejam especificadas, as operações s̃ao as usuais.
1. V = M2(R), W =
{(
a b
−a c
)
; a, b, c,∈ R
}
.
2. V = R4, W = {(x, x, y, y); x, y ∈ R} .
3. V = Pn(R), W = {p ∈ Pn(R); p(0) = p(1)} .
2.3. EXERĆICIOS 21
4. V = Mn(R), dadaB ∈ Mn(R), definaW = {A ∈ Mn(R); BA = 0} .
5. V = Rn, W = {(x1, x2, · · · , xn); a1x1 + · · · + anxn = 0} , onde a1, . . . , an ∈
R são dados.
6. V = Mn×1(R), W = {X ∈ Mn×1(R); AX = 0} , ondeA ∈ Mm×n é dada.
7. V = Pn(R), W = {p ∈ Pn(R); p′(t) = 0,∀t ∈ R} .
8. V = Mn(R), W =
{
A ∈ Mn(R); At = A
}
.
9. V = Mn(R), W =
{
A ∈ Mn(R); At = −A
}
.
Ex. 2.27 Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, jus-
tificando sua resposta. istóe, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo
se for falsa.
1. SeW1 eW2 são susbespaços de um espaço vetorialV ent̃aoW1∪W2 é subespaço
deV.
2. SejamW1 eW2 subespaços de um espaço vetorialV. Ent̃aoW1∪W2 é subespaço
deV se, e somente se,W1 ⊆ W2 ou W2 ⊆ W1. (Sugest̃ao: mostre que seW é
subespaço deV ex0, y0 ∈ V são tais quex0 ∈ W ey0 6∈ W ent̃aox0 + y0 /∈ W
e use-o.)
Ex. 2.28 Em cada item abaixo encontrar os subespaçosU + W e U ∩ W , ondeU, W
são subespaços do espaço vetorialV indicado.
1. U =
{
x, y) ∈ R2; y = 0
}
, W =
{
(x, y) ∈ R2; x = 2y
}
, V = R2.
2. U =
{(
a 0
0 b
)
; a, b ∈ R
}
, W =
{(
0 c
0 d
)
; c, d ∈ R
}
, V = M2(R).
3. V = P3(R), U = {p(t) ∈ V ; p′′(t) = 0} , W = {q(t) ∈ V ; q′(t) = 0} .
Ex. 2.29 Verifique em cada um dos itens abaixo seV = U ⊕ W.
1. V = R2, U =
{
(x, y) ∈ R2; 2x + 3y = 0
}
, W =
{
(x, y) ∈ R2; x − y = 0
}
.
22 CAPÍTULO 2. SUBESPAÇOS VETORIAIS
2. V = M3(R), U =





a b 0
0 0 c
0 0 d

 ; a, b, c, d ∈ R



,
W =





0 0 e
f g 0
h i 0

 ; e, f, g, h, i ∈ R



.
3. V = P3(R), U = {p(t) ∈ P3(R); p(1) = p(0) = 0} ,
W = {q(t) ∈ P3(R); q′(t) = 0,∀t ∈ R} .
Ex. 2.30 Em cada um dos itens abaixo, dadoU subespaço deV , encontrar o subespaço
suplementar deU , isto é, o subespaçoW deV tal queV = U ⊕ W.
1. V = R3, U = {(x, y, 0); x, y ∈ R} .
2. V = P3(R), U = {p(t) ∈ P3(R); p′′(t) = 0,∀t ∈ R} .
3. V = M3(R), U =
{
A ∈ M3(R); At = A
}
.
4. V = M2×1(R), U = {X ∈ M2×1(R); AX = 0} , ondeA =
(
1 1
0 1
)
.