Lugar Geométrico das Raízes em Controle de Sistemas

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Disciplina: Controle e Servomecanismos I
Aula 8: Lugar Geométrico das Raízes
Apresentação
Nesta aula, você estudará que o lugar geométrico das raízes (LGR) é uma representação grá�ca dos polos de malha fechada
do sistema quando o ganho do sistema é variado.
O LGR é uma ferramenta grá�ca poderosa para avaliar o desempenho de um sistema e veri�car sua estabilidade à medida
que os polos em malha fechada do sistema variam.
As técnicas para esboçar analiticamente o LGR são basicamente duas: a primeira consiste em usar apenas a função de
transferência de malha fechada e a segunda emprega um conjunto de regras com base na função de transferência de malha
aberta.
Objetivos
De�nir o lugar geométrico das raízes;
Aplicar as regras básicas de construção do lugar geométrico das raízes;
Esboçar o lugar geométrico das raízes.
Raízes
A resposta transitória de um sistema em malha fechada é determinada pela localização dos polos da sua função de transferência.
Dessa forma, torna-se importante estudar a localização dos polos do sistema em malha fechada no plano 𝑠.
Durante o projeto de sistemas de controle, o objetivo é ajustar os polos em malha aberta de modo a alocar os polos do sistema de
malha fechada nas posições de interesse no plano 𝑠.
Como estudado em aulas anteriores, os polos do sistema de malha fechada são raízes da equação característica. Um método
e�ciente pelo qual as raízes da equação característica são colocadas em um grá�co para todos os valores de um determinado
parâmetro do sistema foi desenvolvido por Walter Richard Evans em 1948. O parâmetro a ser variado é o ganho da função de
transferência do sistema de malha fechada.
O root locus ou lugar geométrico das raízes (LGR) de um sistema com realimentação negativa é o lugar geométrico dos polos do
sistema de malha fechada ilustrado na Figura 1, quando 𝐾 varia de 0 a ∞.
Fig. 1 – Diagrama em blocos genérico para determinar o LGR.
O produto do bloco com a constante 𝐾 e a função de transferência 𝐺 (𝑠) é 𝐺(𝑠), tal que:
O sistema ilustrado na Figura 1 permite de�nir duas funções de transferência: a função de transferência em malha aberta (FTMA)
e a função de transferência de malha fechada (FTMF). O x pontilhado na Figura 1 indica o local onde a malha é aberta para o
cálculo da FTMA. As expressões das funções de transferência são:
A partir deste ponto, 𝑛 será de�nido como o número de polos da FTMA; e 𝑚 como o número de zeros �nitos da FTMA.
1
8.1
G(s)  =  K (s)G1
8.2
FT MA  =     =  G(s)H(s)A(s)
R(s)
8.3
FT MF   =     =  
Y (s)
R(s)
G(s)
1 + G(s)H(s)
É importante você ter em mente que o número de polos e zeros de uma FTMA é sempre igual; note que 𝑚 indica apenas os zeros
�nitos da FTMA e 𝑛−𝑚 são os zeros no in�nito da FTMA.
Exemplo:
Determine o valor de 𝐾 para que o polo do sistema de malha fechada abaixo esteja localizado em s=-4.
Solução:
Foi mencionado anteriormente que o valor do parâmetro (ou ganho) 𝐾 altera a localização dos polos do sistema de malha
fechada. Se o objetivo é encontrar o valor de 𝐾 para que o polo esteja em s=-4, basta substituir este valor na equação
característica.
A FTMF do sistema é:
Portanto, a equação característica é:
Substituindo s=-4 em (E8.2), obtém-se 𝐾 ≅ 0,17.
E8.1
FT MF   =     =  
Y (s)
R(s)
K(s−2)
s+5+K(s−2)
E8.2
s + 5 + K(s − 2) = 0
Exemplo:
Esboce o LGR do sistema de malha fechada ao lado:
Solução:
O LGR é o percurso que os polos da FTMF realizam no plano 𝑠 quando o valor de 𝐾 varia de 0 a ∞. O primeiro passo então é
determinar a FTMF dada em (E8.1). Como o denominador da FTMF consiste em uma função do primeiro grau em 𝑠, só existe um
polo.
Para localizar o polo é preciso encontrar a raiz da equação característica:
Note que o valor do polo será sempre um número real independentemente do valor de 𝐾. Portanto, o percurso do polo estará sob
o eixo real, bastando calcular o ponto de partida (K = 0) e chegada (K → ∞) do polo:
A �gura abaixo ilustra o LGR em azul, onde a seta indica o sentido do percurso do polo. Note que 𝑠=2 é o zero da FTMF e,
portanto, é representado na �gura como um círculo, enquanto o polo é representado como um x.
E8.3
s + 5 + K(s − 2) = 0
E8.4
s = 2K−5
K+1
E8.5
K = 0 ⇒ s = −5
E8.6
K → ∞ ⇒ s = 2
Regras básicas de construção do lugar geométrico das raízes
A seguir será enunciado um conjunto de regras que auxiliarão no esboço do LGR, pois, para FTMF mais complexas, aplicar o
método anterior pode ser bastante trabalhoso e complexo.
Regra 1 – Simetria
O LGR é simétrico em relação ao eixo real. Para o exemplo do LGR, a simetria é veri�cada, uma vez que o percurso é ao longo do
eixo real.
Regra 2 - Número de Ramos
O número de ramos de um LGR é igual ao número de polos de malha aberta 𝑛.
Para o exemplo do LGR, a função de transferência de malha aberta é:
O polo e o zero de malha aberta são, respectivamente, s=−5 e s=2. Portanto, 𝑛=1 o que concorda com o único ramo no LGR.
Regra 3 - Segmentos no Eixo Real
Um ponto 𝑠 no plano real pertence ao LGR se houver um número ímpar de polos e zeros reais de malha aberta à direita de 𝑠.
Para o exemplo do LGR, à direita do zero de malha aberta s=2 não há nenhum polo ou zero real, logo, s>2 não pertence ao LGR.
Porém, à direita do polo s=−5 existe um zero real (s=2); logo, a faixa −5<s<2 pertence ao LGR.
Regra 4 - Pontos de Início e de Término
Os 𝑛 ramos do LGR começam nos 𝑛 polos de malha aberta. 𝑚 dos 𝑛 ramos do LGR terminam nos 𝑚 zeros de malha aberta. 𝑛−𝑚
ramos do LGR terminam no in�nito. Resumidamente, o LGR se inicia nos polos da FTMA e termina nos zeros �nitos e in�nitos da
FTMA.
Regra 5 - Comportamento no In�nito
O LGR tende a retas assíntotas quando o lugar geométrico tende a in�nito. A equação das assíntotas é data pela interseção com o
eixo real σ e pela inclinação θ dadas pelas expressões a seguir.
, onde , 𝑝 e 𝑧 são, respectivamente, a parte real, os polos e os zeros �nitos da FTMA.
, onde 𝑖 ∈ {0,…,𝑛−𝑚−1}.
8.4
FT MA  =  
K(s−2)
s+5
α α
8.5
  =  σα
 R( ) −   R( )∑n
i=1 pi ∑
m
i=1 zi
n−m
R 𝑖 𝑖
8.6
  =  θα
180°(2i+1)
n−m
Para o exemplo do LGR, se (8.5) e (8.6) forem aplicadas e . A interpretação para esses resultados é que não
existem retas assíntotas, já que o LGR não tende a in�nito.
Regra 6 - Pontos de Saída e Entrada sobre o Eixo Real
O ponto em que o lugar geométrico deixa o eixo real é denominado ponto de saída. O ponto em que o lugar geométrico retorna ao
eixo real é denominado ponto de entrada. Os pontos de entrada e de saída satisfazem à seguinte relação:
onde 𝑝 e 𝑧 são, respectivamente, os polos e os zeros �nitos da FTMA. A solução de (8.7) em 𝜎 fornece os pontos de saída e de
entrada do LGR.
Para o exemplo do LGR, como o LGR não sai do eixo real, esta regra não se aplica.
O próximo exemplo pretende fazer uso das regras mencionadas anteriormente para esboçar corretamente o LGR.
Regra 7 - Cruzamento com o Eixo Imaginário
A maneira mais simples de determinar o valor de 𝐾 em que o LGR cruzará o eixo imaginário é aplicar o critério de Routh.
→ ∞σα → ∞θα
8.7
  =    ∑ni=1
1
σ − ρi
∑mi=1
1
σ−zi
𝑖 𝑖
Exemplo:
Esboce o LGR do sistema de malha fechada ao lado:
Solução:
Note que a FTMA possui 3 polos (𝑠=−1;−2;−3) e não possui zeros �nitos. Logo, 𝑛=3 e 𝑚=0. A Regra 2 permite a�rmar que o LGR
possuirá 3 ramos. A Regra 3 permite a�rmar que ]−∞,−3[ ∈ 𝐿𝐺𝑅 e ]−2,−1[ ∈ 𝐿𝐺𝑅. A Regra 4 permite a�rmar que os 3 ramos do LGR
iniciam nos 3 polos de malha aberta e terminam no in�nito, já que não há zeros �nitos na FTMA. A Regra 5 permite escrever:
E8.7
  =     =     =   − 2σα
 R( )∑3i=1 ρi
3
−1 −2 −3
3
E8.8
  =     =  60°;  180°;   − 60°θα
180°(2i+1)
3
Como não há zeros �nitos, a Regra 6 fornece:
E8.9
  +     +     =  01σ+1
1
σ+2
1
σ+3
Solucionando (E8.9):
E8.10
σ  ≅  − 2, 58 ou σ  ≅  − 1, 42
Note que pela Regra 3, somente é solução, pois é a única raiz de (E8.10) que pertence a um intervalo válido do
LGR já que .
A Regra 7 consiste em aplicar o critério de Routh. Para tanto, é necessáriodeterminar a FTMF do sistema:
σ  ≅  − 1, 42
−2  <  σ  ≅  − 1, 42  <   − 1
E8.11
FT MF   =   K
+6 +11s+K+6s3 s2
O arranjo de Routh pode ser montado:
S 1 11 0
S 6 𝐾+6 0
S 0 0
S K+6 0 0
Para determinar os pontos de cruzamento, basta obrigar que:
3
2
1 60−K
6
0
E8.12
  =  0  ⇒  K  =  6060−K
6
E8.13
K  +  6  =  0  ⇒  K  =   − 6
Como no LGR os valores de 𝐾 são tomados para 𝐾>0, apenas 𝐾=60 nas duas equações acima representa um ponto de
cruzamento pelo eixo imaginário. Para determinar os valores dos polos quando 𝐾=60, basta substituir esse valor na equação
caraterística e resolver a equação:
E8.14
+ 6 + 11s + 60 + 6 = 0s3 s2
E8.15
(s + 6)( + 11) = 0s2
Portanto, quando 𝐾=60 os polos estarão localizados em 
 e . A �gura a seguir ilustra o LGR, após
a aplicação das regras para construção do LGR. Note que
quando os polos complexos conjugados 
cruzam o eixo imaginário quando 𝐾=60, o polo que está sobre
o eixo real valerá 𝑠=−6. A Regra 1 também pode ser facilmente
veri�cada, pois existe uma simetria do LGR em relação ao eixo
real.
s = −6 s = ±j 11
−−
√
s = ±j 11
−−
√
Lugar geométrico das raízes
Dependendo da localização dos polos e zeros de malha aberta,
é possível traçar o LGR sem mesmo conhecer seus valores
exatos. A Figura 2 ilustra o LGR de algumas possíveis
con�gurações de polos e zeros de malha aberta.
Note que o LGR correspondente à primeira linha e à primeira
coluna da Figura 2 é exatamente o LGR do último exemplo. É o
LGR quando existem três polos sobre o eixo real e nenhum
zero �nito. O LGR correspondente à primeira linha e à segunda
coluna da Figura 2 é o LGR quando existem dois polos
complexos conjugados, um polo sobre o eixo real e nenhum
zero �nito. O LGR correspondente à primeira linha e à terceira
coluna da Figura 2 é o LGR quando existem dois polos
complexos conjugados, dois polos sobre o eixo real
equidistantes e nenhum zero �nito. O LGR correspondente à
segunda linha e à primeira coluna da Figura 2 é o LGR quando
existem quatro polos complexos conjugados e nenhum zero
�nito. E assim, sucessivamente.
Fig. 2 – Possíveis LGR de algumas das configurações mais comuns de polos e zeros de
malha aberta | Fonte: OGATA, 2010, p.289.
Atividade
1. De�na o que é o lugar geométrico das raízes para o sistema abaixo e esboce-o sem utilizar as regras, apenas a partir da
de�nição.
2. Para um sistema com realimentação unitária e função de transferência dada por:
Determine:
(a) os pontos de saída e de entrada do eixo real
(b) os pontos de cruzamento com o eixo imaginário
(c) a faixa de ganho para manter o sistema estável
G(s) = K(s−1)(s−2)
s(s+1)
3. Esboce o LGR do sistema descrito no exercício anterior.
Notas
Referências
KATSUHIKO OGATA. Modern Control Engineering. 5.ed. São Paulo: Prentice Hall, 2010.
Próxima aula
Representação da resposta em frequência de um sistema;
Esboço do diagrama de Nyquist;
Emprego do critério de Nyquist para análise da estabilidade de um sistema.
Explore mais
Leia o texto Método do Lugar das Raízes
<https://edisciplinas.usp.br/plugin�le.php/2470110/mod_resource/content/2/6_M%C3%A9todo_Lugar_Ra%C3%ADzes.pdf> .
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/2470110/mod_resource/content/2/6_M%C3%A9todo_Lugar_Ra%C3%ADzes.pdf