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10/09/2021
Docente: Danilo Anunciação
Administrador
Especialista em Gestão para Inovação e Sustentabilidade
Especialista em Logística
Mestre em Economia Regional e Políticas Públicas
 A matemática financeira e comercial é um dos mais importantes
pilares das diversas áreas que envolvem a gestão empresarial. Uma
poderosa ferramenta de análise de investimentos e transações
financeiras, sejam estas simples, como a aquisição de um produto
qualquer de uso imediato, seja a análise de um projeto de
investimento num empreendimento industrial de alto custo.
 “A empresa AFO deseja comprar um novo equipamento no valor 
de R$ 20.000. A empresa não quer pagar juros ao banco, fixado em 
8%. O comerciante oferece uma opção: 5% ao mês de juros, o valor 
total será R$ 21.000. Metade à vista (R$ 10.500), a outra metade no 
próximo mês.”
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 Juros é a remuneração do capital emprestado, podendo ser
entendido, de forma mais simplificada, como sendo o aluguel pago
pelo uso do dinheiro.
Onde encontramos o 
juros hoje?
Ao se dispor a emprestar, o possuir do dinheiro deve atentar:
 Risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o 
dinheiro.
 Despesas: despesas operacionais, contratuais e tributárias para a 
formalização do empréstimo e à efetivação da cobrança.
 Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda 
previsto para o prazo do empréstimo.
 Ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de 
investimentos (“custo de oportunidade”); justifica-se pela privação, 
por parte do seu dono, da utilização do capital.
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 Capital: entende-se por capital, do ponto de vista da matemática 
financeira, qualquer valor expresso em moeda e disponível em 
determinada época. 
 Taxa de Juros: É a razão entre o juros recebidos ou pagos no fim de
um período de tempo e o capital inicialmente empregado. A taxa
está sempre relacionada com a unidade de tempo (dia, mês,
trimestre, semestre, ano, entre outros).
 Matematicamente representada por:
𝑖 = 
𝐽
𝑃
Em que i é a taxa de juros
J – o valor dos juros e 
P - o capital inicial
 Exemplo: Qual a taxa de juros cobrada num empréstimo de R$ 
1.000,00 a ser resgatado por R$ 1.400,00?
𝑖 = 
𝐽
𝑃
Dados: Capital inicial = P = R$ 1.000,00
Juros = J = R$ 1.400,00 – R$ 1.000,00 = R$ 400,00 
Taxa de juros = i = ?
 Uma empresa realizou um empréstimo de curto prazo para capital de
giro, com pagamento integral no final do mês, o valor tomado foi de
R$ 2.800,00, para reembolso de R$ 3.360,00. Qual a taxa de juros
cobrada nesse empréstimo?
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 Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o 
capital inicial, ou seja não incide sobre o juros acumulado.
 Nesse regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo
 Cálculo do Juros:
𝐽 = 𝑃 × 𝑖 × 𝑛
Em que:
J = valor dos juros 
P = capital inicial ou principal
i = taxa de juros
n = prazo
 Exemplo 01: Qual o valor do juros correspondente a um 
empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que 
a taxa cobrada é de 3% ao mês?
Dados: P = R$ 10.000,00
n = 5 meses
i = 3% a mês
Juros = J = ?
𝐽 = 𝑃 × 𝑖 × 𝑛
 Exemplo 02: Um capital de R$ 25.000,00 é aplicado durante 7 meses 
em um fundo de previdência, rendendo juros de R$ 7.875,00. 
Determine a taxa correspondente à essa aplicação.
Dados: P = R$ 25.000,00
n = 7 meses
i = ?
Juros = R$ 7.875,00 𝐽 = 𝑃 × 𝑖 × 𝑛
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 Exemplo 03: Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias 
obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa anual 
correspondente a essa aplicação?
Dados: P = R$ 50.000,00
n = 180 dias
i = ?
Juros = R$ 8.250,00 𝐽 = 𝑃 × 𝑖 × 𝑛
 Exemplo 04: Sabendo-se que os juros de R$ 6.000,00 foram obtidos 
com a aplicação de R$ 7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se 
que se calcule o prazo dessa aplicação.
Dados: P = R$ 7.500,00
n = ?
i = 8% a.t
Juros = R$ 6.000,00 𝐽 = 𝑃 × 𝑖 × 𝑛
 Exemplo 05: Qual o capital aplicado, a uma taxa de 4% a.m, em que 
o rendimento resulta R$ 9.000,00 em um ano?
Dados: P = ?
n = 1 ano
i = 4% a.m
Juros = R$ 9.000,00 𝐽 = 𝑃 × 𝑖 × 𝑛
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 Exemplo 06: Um empréstimo de R$ 23.000,00 é liquidado por R$ 
29.000,00 no final de 152 dias. Qual foi a taxa mensal de juros 
aplicada? 
Dados: P = R$ 23.000,00
n = 152 ano
i = ?
Juros = S – P = R$ 6.000,00 𝐽 = 𝑃 × 𝑖 × 𝑛
 Exemplo 07: Calcular o valor dos juros e do montante de uma 
aplicação de R$ 20.000,00, feita a uma taxa de 4,94%a.m, pelo prazo 
de 76 dias.
Dados: P = R$ 20.000,00
n = 76 dias 
i = 4,94% a.m
Juros = ?
S = ?
𝐽 = 𝑃 × 𝑖 × 𝑛
 1.2.3 Montante e Valor Atual
O Montante (ou valor futuro), que vamos indicar por S, é igual a soma 
do capital inicial mais o juros referente ao período da aplicação. Assim 
temos:
𝑆 = 𝑃 + 𝐽
𝑆 = 𝑃 + 𝑃 × 𝑖 × 𝑛, 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐽 = 𝑃 × 𝑖 × 𝑛
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖 × 𝑛)
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 Exemplo 01: Calcular o montante da aplicação de um capital de R$ 
8.000,00, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 3% ao mês.
Dados: P = R$ 8.000,00
n = 12 meses
i = 3% a mês
S = ?
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖 × 𝑛)
 1.2.3 Montante e Valor Atual
O Valor atual (ou valor presente), que vamos indicar por P, é o valor do 
capital que, aplicado a dada taxa e dado prazo, nos dá um montante 
conhecido como S. Assim:
𝑃 =
𝑆
1 + 𝑖 × 𝑛
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖 × 𝑛)
Então:
 Exemplo 01: Determinar o valor atual de um título cujo valor de 
resgate é de R$ 60.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% 
ao mês e faltam quatro meses para o seu vencimento.
Dados: S = R$ 60.000,00
n = 4 meses
i = 5% a mês
P = ?
𝑃 =
𝑆
1 + 𝑖 × 𝑛
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 Exemplo 02: Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 
semestres, à taxa de 36% ao ano rende R$ 72.000,00 de juros, 
determine o montante.
Dados: J = R$ 72.000,00
n = 10 semestres
i = 36% a ano
P = ?
𝑃 =
𝐽
𝑖 × 𝑛 
 Exemplo 03: Um empréstimo de R$ 40.000,00 deverá ser quitado 
por R$ 80.000,00 no final de 12 meses. Determine as taxas mensal e 
anual cobradas pela operação.
Dados: S= R$ 80.000,00
P = R$ 40.000,00
n = 12 meses 
i = ?
𝑆 = 𝑃 (1 + 𝑖 𝑥 𝑛)
𝑖 = 
𝐽
𝑃 𝑥 𝑛
 
 Exemplo 03: Um empréstimo de R$ 40.000,00 deverá ser quitado 
por R$ 80.000,00 no final de 12 meses. Determine as taxas mensal e 
anual cobradas nessa operação.
Dados: S = R$ 80.000,00
n = 12 meses
i = ?
P = R$ 40.000,00
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖 × 𝑛)
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 Os Juros Compostos são calculados levando em conta a atualização do
capital, ou seja, o juro incide não apenas no valor inicial, mas também
sobre os juros acumulados (juros sobre juros).
 Esse tipo de juros, também é chamado de “capitalização
acumulada”, muito utilizado nas transações comerciais e financeiras
(sejam dívidas, empréstimos ou investimentos).
Juros Simples
 É aquele em que a taxa de juros 
incide somente sobre o capital, não 
incide, pois sobre o juros acumulado.
 Os rendimentos em juros simples são 
iguais, sem alteração a longo prazo;
 Tem crescimento linear, como uma 
reta;
Juros Compostos
 É aquela em que a taxa de juros incide 
sempre sobre o capital inicial, 
acrescido de juros acumulados até o 
período anterior. 
 Os rendimentos por juros compostos 
tem crescimento ascendente, isto é, a 
cada mês os juros são calculados em 
cima do capital mais os rendimentos 
anteriores; isto faz com que os juros do 
mês seguinte sejam maiores que o do 
mês anterior.
 Tem crescimento exponencial, cresce 
muito mais rápido, formando uma 
curva ascendente.
 Para calcular os juros compostos, utiliza-se a expressão:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)
Onde,
M: montante
C: capital
i: taxa fixa
t: período de tempo
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Para entender melhor veja com fica o montante da aplicação mês a 
mês com juros compostos:
Primeiro mês:
Segundo mês:
Terceiro mês:
Quarto mês:
Quinto mês
Para cada mês os 
juros são calculados 
em cima do capital 
inicial C + os juros 
mês a mês.
M = C x (1 + i) 
M = C x (1 + i) x (1 + i) 
M= C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) 
M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) 
M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) 
M = C x (1 + i)t
Onde:
M é o montante final obtido na aplicação, ou seja, o 
saldo após a aplicação do juros;
i é a taxa de juros aplicada, em porcentagem;
C é o capital ou valor inicial aplicado;
t é o tempo total da aplicação.
Lembrete!
A taxa de juros i deve 
ser escrita na forma 
decimal.
 O cálculo somente dos juros, ou seja, o rendimento que a aplicação obteve, é 
obtido pela seguinte fórmula:
J = M - C
Onde:
•J são os juros;
•M é o montante que pode ser calculado pela fórmula do 
montante acima;
•C é o capital ou valor inicial aplicado.
Fique Alerta!
• se a taxa i for ao ano, o tempo t deve 
ser reduzido à unidade de ano;
• se a taxa i for ao mês, o tempo t deve 
ser reduzido a unidade de mês;
• se a taxa i for ao dia, o tempo t deve 
ser reduzido a unidade de dia.
10/09/2021
Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de juros de 2% a.m., 
temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou 
seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes.
CAPITAL MONTANTE
1º período R$ 1.000,00 × 1,02 R$ 1.020,00 
2º período R$ 1.020,00 × 1,02 R$ 1.040,40 
3º período R$ 1.040,40 × 1,02 R$ 1.061,21 
4º período R$ 1.061,21 × 1,02 R$ 1.082,43 
5º período R$ 1.082,43 × 1,02 R$ 1.104,08
No cálculo, tivemos:
M = R$ 1.000 × 1,02 × 1,02 × 1,02 × 1,02 × 1,02
M = R$ 1.000 × (1,02)5
M = R$ 1.000 × 1,10408
M = R$ 1.104,08
Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de juros de 2%
a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de
capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes.
MODELO SIMPLES COMPOSTO
1º Período 1.000,00 * 0,02 = 20,00 R$ 1.000,00 × 1,02 = 20,00
2º período 1.000,00 * 0,02 = 20,00 R$ 1.020,00 × 1,02 = 40,40
3º período 1.000,00 * 0,02 = 20,00 R$ 1.040,40 × 1,02 = 61,21
4º período 1.000,00 * 0,02 = 20,00 R$ 1.061,21 × 1,02 = 82,43
5º período 1.000,00 * 0,02 = 20,00 R$ 1.082,43 × 1,02 = 104,08
TOTAL R$ 1.100,00 R$ 1.104,08 
 Exemplo 01: Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma 
pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$5.000,00, à 
taxa de 1% ao mês?
Dados: M = ?
n = 1 semestre
i = 1% a.m
C = R$ 5.000,00
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)
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 Exemplo 02: Se um capital de R$500 é aplicado durante 4 meses no 
sistema de juros compostos sob uma taxa mensal fixa que produz um 
montante de R$800, qual será o valor da taxa mensal de juros?
Dados: M = R$ 800,00
n = 14 meses
i = ?
C = R$ 500,00
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)
 Exemplo 03: Qual deve ser o tempo para que a quantia de 
R$20.000,00 gere o montante de R$ 21 648,64, quando aplicado à 
taxa de 2% ao mês, no sistema de juros compostos?
Dados: M = R$ 21 648,64
n = ?
i = 2% a.m
C = R$20.000,00 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖) logaritmo?!
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 O logaritmo nada mais é do que o expoente de uma potência quando se conhece 
sua base e seu resultado, uma espécie de inverso da potenciação.
𝑎 = 𝑏
Condição: números reais a e b, positivos e com a diferente de 1
A palavra logaritmo pode ser substituída
pela palavra expoente, assim, poderíamos
escrever que x é o expoente de b na base a.
O número x, nesse 
caso, é conhecido 
como logaritmo 
de b na base a.
Veja a representação dessa definição:
𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑥
 No logaritmo de uma potência, o expoente “cai” e é multiplicado pelo logaritmo.
𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑥. 𝑙𝑜𝑔 𝑏
 Exemplo 04: Um capital de R$ 75.000,00 aplicado a uma taxa de juro 
composto de 1,5% a.m., precisa de quantos meses para resultar em 
um montante de R$ 84.486,94?
Dados: M = R$ 84.486,94
n = ?
i = 1,5% a.m
C = R$ 75.000,00 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)
10/09/2021
Exemplo: Uma empresa com o intuito de investir no maquinário de sua 
empresa buscou um financiamento no valor de R$ 10.000,00, junto à uma 
instituição financeira, a qual ofertou para um período de 4 meses as 
seguintes condições:
I) Taxa de 11,4% ao mês, a juros simples;
II) Taxa de 10% ao mês, a juros compostos.
 Para a empresa qual seria a alternativa mais viável?
 Qual a diferença de valores entre as propostas?