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PROBLEMAS FÍSICOS : VETORES
Andreina Conte, Bianca Stephane da Silva, Eduarda Sardinha e Vitória Gross1
Viviane Amaral Gois de Souza²
1. INTRODUÇÃO
A física faz uso da matemática para poder caracterizar seus conceitos, seus objetos de conhecimento.
Para dizermos por exemplo; onde vamos, de onde viemos, a temperatura de um lugar, quantos quilos
pesa um determinado indivíduo ou objeto, enfim nós seres humanos precisamos da matemática para
quantificar muitas coisas, seja na física ou no nosso cotidiano. Na física então teremos uma série de
grandezas que vão precisar da matemática; alguns tipos de grandezas ficam muito bem definidas por
um número e uma respectiva unidade, entre elas a massa corporal de uma pessoa ou objeto, sendo em
quilos (kg), gramas (gr), em volume podendo ser em litros (L), mililitros ( ML), entre outras. São
grandezas conhecidas como escalares, de forma resumida toda grandeza escalar pode ser identificada
facilmente, como vimos acima.
Há outras grandezas que não conseguimos defini-las facilmente, por exemplo, se for dito que será
feito uma força numa mão de 10 Newton (N), o que acontecerá com ela? Precisamos perguntar e para
obter a resposta devemos saber para onde será feita esta força de 10N, para esquerda, direita, para
cima, para baixo, de forma resumida precisamos saber seu sentido e direção. Quando precisarmos
saber mais informações e características dessa grandeza, ela se chamará grandeza vetorial. Por isso, o
objetivo deste trabalho é fornecer o esclarecimento sobre vetores e sua ligação com a matemática e a
física, contribuindo com uma aprendizagem mais lúdica e compreensível, apresentando como prática
as fórmulas e o seus respectivos usos em ambas as áreas, trazendo exemplos com resolução de
questões, definindo seus conceitos tanto na matemática quanto na física, além de toda pesquisa
bibliográfica realizada.
Palavras-chaves: vetores e suas respectivas fórmulas, a vinculação entre a matemática e a física.
1 Acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática
² Tutor externo
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI - Matemática (FLC 3829) - Prática de Módulo IV
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Vetor é um ente matemático caracterizado por possuir um sentido, uma direção e um módulo
(intensidade). Graficamente, o vetor é representado por uma reta orientada, usando indicadores por
uma letra sobre qual colocamos uma seta. Denominadas como Vetor Força, Vetor Aceleração e Vetor
Velocidade:
Fonte: veja.abril.grandezasvetoriais.com.br
São grandezas vetoriais: velocidade, aceleração, força, deslocamento, empuxo, campo elétrico, campo
magnético, força peso, entre outras. Como foi dito anteriormente o vetor é visto na matemática,
podendo ser usado o Teorema de Pitágoras para o entendimento e resolução de questões.
Podemos usar então “ [...] aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo que
representa até o ponto C; nesse caso a distância d do ponto C à sua casa é de 5 km, obtida por
meio da aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo,” (CARRON;
GUIMARÃES; PIQUEIRA, 2015 p. 92).
Fonte: imagem projetada no computador
d² = 4² + 3² = d = = d = 5 km , nesse exemplo observamos o uso do16 + 9 25 =
teorema de pitágoras, para compor o deslocamento, um exemplo de grandeza vetorial; uma
grandeza que, para ser devidamente caracterizada, exige não só um número com a respectiva
unidade, mas também uma direção e um sentido.
Operação com Vetores
Para efetuar operações (adição e subtração) com grandezas vetoriais, precisamos, em
primeiro lugar, estabelecer um modo prático de representá-las, levando em consideração que
elas apresentam módulo, direção e sentido. Toda essa apresentação é feita com o uso de
vetores, um vetor é um segmento de reta que agrega as características básicas das grandezas
vetoriais ditas acima.
Fonte: imagem projetada no computador
A figura acima, demonstra módulo, direção e sentido de um vetor simbolizado 𝑎 e em
cima uma seta.
Módulo: é o valor numérico ou intensidade de um vetor é sempre um número real e positivo,
sua representação gráfica, o comprimento do vetor corresponde ao módulo da grandeza que
ele representa.
Direção: a reta suporte de um vetor determina sua direção.
Sentido: a orientação do segmento (ponta de seta) indica o sentido do vetor.
De acordo com José Piqueira; Osvaldo Guimarães e Wilson Carron (2015 p. 93), explica
sobre noções de vetores.
Um vetor pode ser nomeado por uma letra qualquer, maiúscula ou minúscula, com uma seta
sobre ela, indicando que representa uma grandeza vetorial. Em segundo lugar, necessitamos
das noções de vetores iguais e vetores opostos [...] Dois vetores são iguais quando apresentam
o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido; dois vetores são opostos quando
apresentam o mesmo módulo, a mesma direção, mas sentidos contrários.
Imagem projetada no computador
Algumas curiosidades sobre vetores:
Sentido e direção é a mesma coisa?
Não. Pois toda direção tem dois sentidos, por exemplo direção vertical, podemos ter sentido para cima
ou para baixo; como indica as flechas ao lado ↑ ou ↓, e na direção horizontal teremos sentidos de
esquerda e direita, ← ou →, na matemática para identificarmos o sentido de uma reta, usa-se uma
seta.
Observação:
�⃗� = “vetor vê” = “ módulo do vetor vê”𝓿⃗| |
Alguns autores aceitam somente o 𝓿 para representar o módulo, mas cuidado! caso este 𝓿 tenha uma
seta em cima �⃗� ele será somente um vetor vê e não um módulo do vetor vê.
Nunca se representa o comprimento do vetor dessa maneira: �⃗�= 5 .
A representação correta é a seguinte: = 5 ou 𝛎 = 5.𝒗⃗| |
Após essas curiosidades e observações iremos conhecer algumas fórmulas utilizadas na
grandeza vetorial e na física.
Adição de Vetores
Para efetuar uma adição de vetores, devemos primeiramente verificar se os vetores representam
grandezas físicas da mesma espécie. Podemos somar duas ou mais forças, ou ainda dois ou
mais deslocamento, mas não podemos somar uma força com um deslocamento, pois as
respectivas grandezas não são da mesma espécie. O procedimento que utilizamos para somar
deslocamento é conhecido como regra do polígono. O vetor d com uma seta em cima é
chamado de vetor soma ou vetor resultante dos vetores 𝐝⃗₁ = 𝐝⃗₂ e 𝐝⃗₃.
Para exemplificar a adição de vetores , vamos considerar um exemplo com a grandeza
vetorial do deslocamento. Suponha que uma pessoa, para chegar ao trabalho partindo da sua
casa, efetue os seguintes deslocamentos: inicialmente, ela se desloca 800m para o leste, em
seguida, 300m para o norte e finalmente 400m para o oeste. Vejamos a ilustração abaixo para
melhor o entendimento.
Fonte: www.passeidireto.com.br
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO:
Fonte: imagem projetada no computador
Para calcular o módulo do vetor usaremos teoremas de pitágoras novamente:
= = = 500 m𝑑⃗| | (400)² + (300)² 𝑑⃗| |
Portanto, a distância, em linha reta, é de 500 m. Por outro lado, como a distância percorrida é
uma grandeza escalar, a distância efetivamente percorrida, dp, é dada por: dp = d₁ + d₂ + d₃⥤
d = 800 + 300 + 400 ⥤ dp = 1500 m.
Observação:
Utilizamos uma fórmula, sendo ela: S = ; para se obter a𝑎² + 𝑏² + 2 . 𝑎 . 𝑏 . 𝑐𝑜𝑠 θ
soma de dois vetores qualquer que seja o ângulo entre eles, bastando para isso que eles sejam
coplanares, isto é, que estejam ambos em um mesmo plano; sendo o ângulo entreθ ( 𝑡𝑒𝑡𝑎) 
eles.
Carron; Guimarães; Piqueira (2015), os autores relatam que há um caso particular de adição de
vetores que se aplica a muitas das situações analisadas no estudo das grandezas vetoriais: a adição de
dois vetores. Usando uma fórmula específica para obter a soma entre dois vetores, a diferença relatada
é o aparecimento do ângulo teta sendo eles no mesmo plano.θ,
Imagem projetada no computador
Subtração de Vetores
Imaginamos que um carro em movimento apresenta, em determinado instante uma
velocidade (módulo, direção e sentido) representada pelo vetor e após um intervalo de𝑎,
tempo, uma velocidade representada pelo vetor .𝑏
Como as duas velocidades são diferentes,podemos dizer que ocorreu uma variação
de velocidade; cuja é dada pela subtração vetorial entre os vetores e . Em símbolos𝑏 𝑎
escrevemos a seguinte fórmula: = - essa operação pode ser entendida como: = + (- )𝑑 𝑏 𝑎 𝑑 𝑏 𝑎
de forma resumida a subtração de dois vetores e pode ser entendida como soma do vetor𝑏 𝑎 
com o vetor oposto de .𝑏 𝑎
Velocidade Vetorial
De forma resumida é a medida com que uma determinada distância é percorrida, durante um
intervalo de tempo, formada por módulo, direção e sentido. É calculada pelo vetor de
deslocamento; diferença entre os vetores de posição final e inicial, dividido pelo intervalo de
tempo em que se deu o movimento. Uma diferença da velocidade vetorial entre as demais é
que ela pode ser nula, mesmo que o corpo esteja em movimento. Mas vale ressaltar que isto
somente ocorre nos casos onde um determinado móvel parte de uma posição e, ao final de um
certo intervalo de tempo, retorna à mesma posição tornando-se nulo. A fórmula usada para
calcular a velocidade vetorial de algum móvel é esta: = V: velocidade vetorial,𝑉 ∆𝑆∆𝑡 ∆𝑆:
deslocamento vetorial e intervalo de tempo.∆𝑡:
Velocidade vetorial média e instantânea
A velocidade vetorial média é a razão entre o deslocamento vetorial e o intervalo de tempo
em que esse deslocamento ocorre. Isso significa que ao calcularmos a velocidade média, o
resultado obtido não indica que ela foi mantida durante o trajeto, podendo ter sofrido
variações ao longo do tempo.
A velocidade instantânea é definida para intervalos de tempo infinitesimais, ou seja, muito
pequenos. Portanto, definimos a velocidade vetorial instantânea remetendo-a como a
velocidade em cada instante. Fórmula: a velocidade instantânea é∨𝑖𝑛𝑠 = ∆𝑆
∆𝑡
→ ∆𝑡 ≈ 0, 
medida em intervalos de tempo próximos de 0 (zero).
Aceleração Vetorial
A aceleração vetorial média é definida pelo quociente da variação vetorial e seu respectivo
intervalo de tempo. Fórmula m = = - dividido por . A imagem abaixo demonstra o𝑎 ∆𝑉∆𝑡 𝑉² 𝑉¹ △𝑡
movimento acelerado e retardado. Um movimento será acelerado quando os vetores
velocidade e aceleração possuírem o mesmo sentido. No caso de sentidos opostos, é
consideado como um movimento retardado.
Fonte: veja.aceleraçaovetorial.com.br
3.METODOLOGIA
A produção deste trabalho consiste em pesquisa bibliográfica dos autores como, Osvaldo
Guimarães, José Roberto Piqueira e Wilson Carron que transmitem conceitos de grandezas
vetoriais na física correlacionando com a matemática, trazendo fórmulas e seus respectivos
usos, os presentes autores expõem a relevância da matemática no nosso cotidiano e seu uso
na física. Consultamos livros acerca do uso das grandezas vetoriais, definindo suas
características, para auxiliar no conhecimento de vetores.
No que se refere à abordagem de problemas físicos “ grandezas vetoriais” classifica-se como
um ente matemático caracterizado por possuir um sentido, uma direção e um módulo, mas de
acordo com os autores citados um vetor será nomeado da seguinte forma: “ Um vetor pode
ser nomeado por uma letra qualquer, maiúscula ou minúscula, com uma seta sobre ela,
indicando que representa uma grandeza vetorial”. O trabalho em questão é de pesquisa
explicativa, identificando fatores e suas relações com a ocorrência de fenômenos presentes na
física e na matemática.
4.RESULTADO E DISCUSSÕES
Portanto, o trabalho proposto e apresentado, consiste em demonstrar e explicar como a
matemática age no mundo da física, em especial, quando o assunto é vetores. Percebe-se o
quanto as operações auxiliam na compreensão e resoluções dos problemas. Aplica-se na
realidade, para que consiga descobrir a aceleração, velocidade, deslocamento entre outras
grandezas, assim demonstrando como um determinado indivíduo se desloca-se, são exemplos
vivenciados no nosso cotidiano, onde usamos a física e a matemática. Por este motivo o
objetivo geral deste trabalho foi trazer fórmulas, apresentando seus usos e seus conceitos na
forma prática e contextualizada tanto na sala de aula, quanto no nosso cotidiano.
Através dessas informações concluímos que as grandezas vetoriais são caracterizadas por
módulo, direção e sentido, onde vetores são conjuntos de todos os segmentos orientados e
equivalentes, ou seja, é uma classe de equivalência. Onde os vetores são usados para
representar grandezas escalares (massa, pressão, etc) e grandezas físicas vetoriais como
vimos neste trabalho (velocidade, força, deslocamento entre outras).
Levando-se em consideração esses aspectos mencionados nesse trabalho, pode-se afirmar que
os vetores desempenham um papel importante na física, tendo sua aplicação em várias áreas
do conhecimento, tanto técnico quanto científico, como a própria física, engenharia e
economia, por exemplo, sendo os elementos a partir dos quais se constrói o cálculo vetorial.
Assim, o vínculo entre a matemática e a física faz-se extremamente necessário para a
explicação de fenômenos na nossa natureza. As discussões acerca deste trabalho, que possui
cunho informativo e que foi abordado pelo público leitor de interesse, contribuíram com
maior aprendizado. Logo correlacionado duas áreas das exatas, aplicando e demonstrando
fórmulas usuais nas respectivas matérias, desmembrando o tema central “ Problemas físicos:
vetores” tornando a grandeza vetorial de fácil compreensão.
REFERÊNCIA
CARRON, Guimarães e José. Física: ensino médio. 1°ed. São Paulo: ed. ática. 2015.
90,91,93,96 pgs. ISBN 27533C2201