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Gabarito da Questão 3 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2021-2 Questão 3 (2,5 pontos) Considere verdadeiras as premissas abaixo: (1) Se x ∈ C, então q(x) é verdadeira. (2) Se p(x) é verdadeira, então q(x) é verdadeira (3) Se x ∈ C, então x ∈ A (4) Se x ∈ B, então p(x) é verdadeira. (5) Se x ∈ A, então x ∈ B ou x ∈ C. Denote as proposições das sentenças anteriores da seguinte forma: p: p(x) é verdadeira q: q(x) é verdadeira a: x ∈ A b: x ∈ B c: x ∈ C (a) Escreva as cinco premissas dadas ((1) a (5)) utilizando as letras atribúıdas acima a cada sentença (a, b, c, p e q) e os śımbolos da lógica (⇒, ⇔, ∧ ou “e”, ∨ ou “ou”). (b) Se q(x) é falsa, baseado nas premissas dadas, é verdadeiro ou falso que x ∈ A? Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para cada proposição para encurtar sua solução. (c) Se p(x) é verdadeira, baseado nas premissas dadas, pode-se afirmar que x ∈ B ? Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para cada proposição para encurtar sua solução Solução: (a) Escrevendo as premissas com a notação dada, temos (1) c ⇒ q (2) p ⇒ q. (3) c ⇒ a (4) b ⇒ p (5) a ⇒ b ∨ c Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 3 da AD 1 – 2021-2 2 (b) Partindo da premissa de que q(x) não é verdadeiro, temos que q é falsa. Logo, pela premissa (1), temos que c é falsa. Pela premissa (2), temos também que p é falsa, logo por (4), b é falsa. Até aqui, conclúımos que b e c são falsas, logo b∨c é falsa. Assim, pela premissa (5), conclui-se que a é falsa. Assim, é falso que x ∈ A. (c) Não se pode concluir. Por exemplo, pode ser verdadeira apenas as proposições p e q, e todas as demais falsas. Isto não tornará falsas as premissas dadas, pois teremos (1) F ⇒ V (2) V ⇒ V , (3) F ⇒ F (4) F ⇒ V (5) F ⇒ F ∨ F que são implicações válidas (lembre-se de que F ⇒ V é válido, o que não seria válido seria V ⇒ F ). Por outro lado, podem todas as proposições serem verdadeiras, que as premissas ainda estariam sendo respeitadas, pois (1) V ⇒ V (2) V ⇒ V , (3) V ⇒ F (4) V ⇒ V (5) V ⇒ F ∨ F Assim, é posśıvel p ser verdadeiro tanto em casos em que b é verdadeira como em casos em que b é falsa. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
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