38294

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das
A
Gabarito
utoatividades
ÁLGEBRA LINEAR 
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia , nº .BR 470 Km 71, 1 040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
I daialn - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
2017
Prof.ª Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
3UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
ÁLGEBRA LINEAR
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia , nº .BR 470 Km 71, 1 040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
I daialn - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
2017
UNIDADE 1
TÓPICO 1
Acadêmico(a), um dos princípios da UNIASSELVI é “Não basta saber, é 
preciso saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os 
conceitos sobre matrizes estudados neste tópico.
1 Sendo dadas as matrizes:
A �B �C=










=










=
−
− −
− −





8 3
2 4
1 5
1 4
5 3
8 5
1 8
2 4
3 5
, ,





Calcule:
a) A + B
b) A+C
c) B + C
d) A + B + C
e) A – B – C 
f) A + C – B 
R.: a) A B+ =










+










=
+ +
+ +
+ +


8 3
2 4
1 5
1 4
5 3
8 5
8 1 3 4
2 5 4 3
1 8 5 5








=










9 7
7 7
9 10 
b) A C+ =










+
−
− −
− −










=
+ −( ) +
+ −(�
8 3
2 4
1 5
1 8
2 4
3 5
8 1 3 8
2 2)) + −( )
+ −( ) + −( )










=
−










4 4
1 3 5 5
7 11
0 0
2 0
4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
c) B C+ =










+
−
− −
− −










=
+ −( ) +
+ −( )
1 4
5 3
8 5
1 8
2 4
3 5
1 1 4 8
5 2 33 4
8 3 5 5
0 12
3 1
5 0
+ −( )
+ −( ) + −( )










= −










d) A B C+ + =










+










8 3
2 4
1 5
1 4
5 3
8 5
+ 
−
− −
− −










=
+ + −( ) + +
+ + −( ) + + −( )
+ + −
1 8
2 4
3 5
8 1 1 3 4 8
2 5 2 4 3 4
1 8 3
�
(( ) + + −( )










=









5 5 5
8 15
5 3
6 5
e) A B C− − =










−










−
−
− −
− −







8 3
2 4
1 5
1 4
5 3
8 5
1 8
2 4
3 5



=










+
− −
− −
− −










+
−




�
8 3
2 4
1 5
1 4
5 3
8 5
1 8
2 4
3 5





= Noteque para subtrair matrizes aoperaçãorealiza� � � � ,�� � ddaé a somacomamatriz oposta��� � �� � .
 
8 1 1 3 4 8
2 5 2 4 3 4
1 8 3 5 5 5
+ −( ) + + −( ) + −( )
+ −( ) + + −( ) +
+ −( ) + + −( ) +










=
−
−
−










8 9
1 5
4 5
f) A B C+ − =










8 3
2 4
1 5
+ 
−
− −
− −










+ +
− −
− −
− −










=
+ −( ) + −( )1 8
2 4
3 5
1 4
5 3
8 5
8 1 1
�
33 8 4
2 2 5 4 4 3
1 3 8 5 5 5
+ + −( )
+ −( ) + −( ) + −( ) + −( )
+ −( ) + −( ) + −( ) + −( )










= − −
− −










6 7
5 3
10 5
A B C− − =










−










−
−
− −
− −







8 3
2 4
1 5
1 4
5 3
8 5
1 8
2 4
3 5



=










+
− −
− −
− −










+
−




�
8 3
2 4
1 5
1 4
5 3
8 5
1 8
2 4
3 5





= Noteque para subtrair matrizes aoperaçãorealiza� � � � ,�� � ddaé a somacomamatriz oposta��� � �� � .
5UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
2 Dadas as matrizes: 
 
A �B �e�C=
−
−





 =





 =
−
−






2 3
4 1
0 1
2 3
2 8
1 3
,
Calcule:
a) 5A + 3B
b) 6A – 4B
c) A + 5B – 2C
d) 2B – C
 
R.:a) 5 3 5
2 3
4 1
3
0 1
2 3
10 15
20 5
0 3
6 9
. . . .A B+ =
−
−





 +





 =
−
−





 +





 =
−





10 12
26 4
b) 6 4 6
2 3
4 1
4
0 1
2 3
12 18
24 6
0 4
8
. . . .A B− =
−
−





 −





 =
−
−





 +
−
− −112
12 22
16 18





 =
−
−






c) A B C+ − =
−
−





 +





 −
−
−





 =
−
−


5 2
2 3
4 1
5
0 1
2 3
2
2 8
1 3
2 3
4 1
. .


 +





 +
−
−





 =
−





0 5
10 15
4 16
2 6
6 14
12 20
d) 2 2
0 1
2 3
2 8
1 3
0 2
4 6
2 8
1 3
2
. .B C− = 




 +
−
−





 =





 +
−
−





 =
−66
3 9






3 Calcule os produtos indicados:
a) 1 3 4
2
1
5
−( )










�.�
b) 
−
−












1 2
3 4
3 8 3
1 2 4
.�
A B C+ − =
−
−





 +





 −
−
−





 =
−
−


5 2
2 3
4 1
5
0 1
2 3
2
2 8
1 3
2 3
4 1
. .


 +





 +
−
−





 =
−





0 5
10 15
4 16
2 6
6 14
12 20
6 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
c) 
2 3
0 3
1 3
3 2
4 5
1 4
−




 −





.� �
d) 
1 0
0 1
2 3
7 0











�.�
R.: a) 1 3 4
2
1
5
1 2 3 1 4 5 2 3 20 19−[ ]










= + −( ) +  = − + = [ ]. . . . [ ] 
b) 
−
−











 =
−( ) + −( ) + −( ) +1 2
3 4
3 8 3
1 2 4
1 3 2 1 1 8 2 2 1 3 2 4
3
.
. . . . . .
.33 4 1 3 8 4 2 3 3 4 4
3 2 8 4 3 8
9 4 24 8 9+ −( ) + −( ) + −( )





 =
− + − + − +
− − −. . . . .
�
116
1 4 5
5 16 7





 =
− −
−





 
c) 
2 3
0 3
1 3 4 5
3 2 1 4
2 1 3 3 2 3 3 2 2 4 3−




 −





 =
+ −( ) −( ) + −( ) + −(
.
. . . . . )) + −( )
+ −( ) + + +





 =
+ −. . .
. . . . . . . .
�
1 2 5 3 4
0 1 3 3 0 3 3 2 0 4 3 1 0 5 3 4
2 9 6 66 8 3 10 12
0 9 0 6 0 3 0 12
11 0 5 2
9 6 3 12
− −
− + + +





 =
−
−






d) 
1 0
0 1
2 3
7 0
2 3
7 0











 =





.
Note que o resultado é a mesma matriz, pois neste caso, ocorreu a 
multiplicação por I2
1 0
0 1
=





 , matriz identidade que por sua vez é o elemento 
neutro da multiplicação de matrizes.
4 Dada a matriz mostrada adiante:
−
−











 =
−( ) + −( ) + −( ) +1 2
3 4
3 8 3
1 2 4
1 3 2 1 1 8 2 2 1 3 2 4
3
.
. . . . . .
.33 4 1 3 8 4 2 3 3 4 4
3 2 8 4 3 8
9 4 24 8 9+ −( ) + −( ) + −( )





 =
− + − + − +
− − −. . . . .
�
116
1 4 5
5 16 7





 =
− −
−






2 3
0 3
1 3 4 5
3 2 1 4
2 1 3 3 2 3 3 2 2 4 3−




 −





 =
+ −( ) −( ) + −( ) + −(
.
. . . . . )) + −( )
+ −( ) + + +





 =
+ −. . .
. . . . . . . .
�
1 2 5 3 4
0 1 3 3 0 3 3 2 0 4 3 1 0 5 3 4
2 9 6 66 8 3 10 12
0 9 0 6 0 3 0 12
11 0 5 2
9 6 3 12
− −
− + + +





 =
−
−






7UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
 
A =
− −










1 2 3
0 1 2
1 1 1
Determine:
a) A2
b) �A��At.
c)
R.: a) 
b) Inicialmente, deveremos determinar a matriz At.
 
Sendo A At� =
− −










→
−
−










1 2 3
0 1 2
1 1 1
1 0 1
2 1 1
3 2 1
Agora
A At. .=
− −










−
−










1 2 3
0 1 2
1 1 1
1 0 1
2 1 1
3 2 1
=
+ + + + −( ) + + −( )
+ + +
1 1 2 2 3 3 1 0 2 1 3 2 1 1 2 1 3 1
0 1 1 2 2 3 0 0 1 1
. . . . . . . . .
. . . . . ++ −( ) + + −( )
−( ) + + −( ) −( ) + + −( ) −
2 2 0 1 1 1 2 1
1 1 1 2 1 3 1 0 1 1 1 2 1
. . . .
. . . . . . (( ) −( ) + + −( ) −( )










=
+ + + + − + −
+ + +
. . .
�
1 1 1 1 1
1 4 9 0 2 6 1 2 3
0 2 6 0 1++ + −
− + − + − − + −










=
−
−
− − −







4 0 1 2
1 2 3 0 1 2 1 1 1
14 8 2
8 5 1
2 1 1



8 GABARITO DAS AUTOATIVIDADESUNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Perceba que a matriz encontrada é uma matriz simétrica.
c) Determinação da matriz 2A.
2
1 2 3
0 1 2
1 1 1
2
2 4 6
0 2 4
2 2 2
. .A =
− −










=
− −










Determinação da matriz 3.At
3 3
1 0 1
2 1 1
3 2 1
3 0 3
6 3 3
9 6 3
At =
−
−










=
−
−










.
Agora: 
 
 
 
Que também é uma matriz simétrica. Note com isto que sempre que uma 
matriz multiplica sua transposta, o resultado é simétrico.
5 Sejam as matrizes A = (aij)2x2, com aij = i – j2 e B = (bij)2x2, com bij = aij + 
1, encontre a matriz X de modo que: X – At + 2Bt = 0.
9UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Construção da matriz A:
A
a a
a a
=





 =
− −
− −





 =
− −
− −
� �11 12
21 22
2 2
2 2
1 1 1 2
2 1 2 2
1 1 1 4
2 1 2 4





 =
−
−





�
0 3
1 2
Construção da matriz B: verifique que utilizamos os elementos da matriz A.
A
a a
a a
=
+ +
+ +





 =
+ − +
+ − +





 =
−
−
� �11 12
21 22
1 1
1 1
0 1 3 1
1 1 2 1
1 2
2 1






Agora, isolaremos x para trabalhar apenas com as operações matriciais:
6 Dados A a a i jeB
x x yij x ij
= ( ) = − =
+





2 2 3
2 1
, �� , determine x e y sabendo 
que A = B. 
R.: Construção da matriz A:
A
a a
a a
=





 =
− −
− −





 =




� �
. .
. .
11 12
21 22
3 1 1 3 1 2
3 2 1 3 2 2
2 1
5 4

Realizando a igualdade A = B
10 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
7 Dadas as matrizes A eB=
−
− −





 =










6 5 4
3 2 1
0 3
7 10
8 11
�� , calcule A B�.�( )
t
 
e B At t�.� .
R.: Realizando o produto A.B:
Obtendo (A.B)t =
Agora, fazendo Bt . At:
11UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
B At t. � .=





−
−
−










=
0 7 8
3 10 11
6 3
5 2
4 1
Repare que Bt . At foram obtidas realizando a troca i  j.
8 A e B são suas matrizes quadradas de ordem 2, cujos elementos são 
dados por a i jeb aij ij ij= − = ( )3 2
2
�� . Calcule A – ��.B
R.: Construção da matriz A:
A
a a
a a
=





 =
− −
− −





 =
−11 12
21 22
3 1 2 1 3 1 2 2
3 2 2 1 3 2 2 2
3. . . .
. . . .
22 3 4
6 2 6 4
1 1
4 2
−
− −





 =
−





Construção da matriz B:
B
a a
a a
=
( ) ( )
( ) ( )








= −( )







=11
2
12
2
21
2
22
2
2 2
2 2
1 1
4 2
1 1
166 4






Por fim, devemos realizar A – B
A B− =
−




 +
− −
− −





 =
−
− −






1 1
4 2
1 1
16 4
0 2
12 2
9 Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 cujos elementos são dados 
por aij =
≠
+ =



0,� �
,� �
.
sei j
i j sei j
 Calcule 3 3A I+ e 2 3A I− .
 
R.: Lembre-se que I3 é a matriz identidade de ordem 3.
0 6 7 5 8 1 0 3 7 2 8 1
3 6 10 5 11 4 3 3 1
. . . . . .
. . . .
+ −( ) + −( ) −( ) + + −( )
+ −( ) + −( ) + 00 2 11 1
0 35 8 0 14 8
18 50 44 9 20 11
43 6
. .+ −( )





 =
− − + −
− + − + −





 =
−
112 0






=/
12 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Construção da matriz A:
A
a a a
a a a
a a a
=










=
+
+
+



11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1 0 0
0 2 2 0
0 0 3 3







=










2 0 0
0 4 0
0 0 6
Agora, vamos resolver:
3 3
2 0 0
0 4 0
0 0 6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
6 0 0
0 12 0
0 0 1
3A I+ =










+










=.
88
1 0 0
0 1 0
0 0 1
7 0 0
0 13 0
0 0 19










+










=










2 2
2 0 0
0 4 0
0 0 6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4 0 0
0 8 0
0 0 12
3A I+ =










−










=.










+
−
−
−










=










1 0 0
0 1 0
0 0 1
3 0 0
0 7 0
0 0 11
10 Determine x, y, z e t sabendo que:
a) 
x
y
z










− −










=










3
1
5
10
2
5
b)
x y
z
x
t z3 2
3 10 1
4 18





 +





 =
−





c) 
x
y
z
−
−










+
−
−
− −










=
−
− −









5
1
0
1 1
3 2
4 5
1 6
2 1
5 5
R.: a) 
x
y
z
x
y
z










− −










=










→










+
3
1
5
10
2
5
−−
−










=










→
−
+
−










=


3
1
5
10
2
5
3
1
5
10
2
5
x
y
z








. 
13UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
E por igualdade de matrizes, segue: 
x
y
z
x
x
x
− =
+ =
− =
=
=
=
3
1
5
10 13
2 1
5
�
����������
����������
������������ 110
b) 
x y
z
x
t z
x x y
t z z3 2
3 10 1
4 18
3
3 2
1




 +





 =
−




 →
+ +
+ +





 =
00 1
4 18
−





Por igualdade:
x x x x+ = → = → =10 2 10 5�
3 4 1+ = → =t t
y y+ = − → = −3 1 4
2 18 3 18 6z z z z+ = → = → =
c) 
x
y
z
−
−










+
−
−
− −










=
−
− −









5
1
0
1 1
3 2
4 5
1 6
2 1
5 5
→
+ − −
− − +
− −










=
−
− −










x
y
z
1 5 1
3 1 2
4 0 5
1 6
2 1
5 5
Por igualdade:
x x+ = → =1 1 0�
y y− = → =3 2 5
z z− = − → = −4 5 1
11 (FUNIVERSA) Duas empresas, 1 e 2, são investigadas em três crimes 
fiscais, I, II e III. As evidências que relacionam as duas empresas aos 
crimes são tais que:
14 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
A evidência
Relaciona a(s) 
empresa(s)
Ao(s) crime(s)
A 1 I e III
B 1 e 2 I e II
C 2 II e III
D 1 I e II
E 1 e 2 I, II e III
F 2 III
G 1 I e II
H 1 e 2 II e III
I 2 I e III
Para tratar as informações necessárias à investigação desses crimes, 
um perito montou uma matriz M na qual cada elemento aij corresponde à 
quantidade de evidências que relacionam a empresa i ao crime j.
 
Com base nessas informações, a matriz M é:
a) 
5 3
5 4
3 5










 b) 
5 5 3
3 4 5





 c) 
3 4 5
5 5 3





 d) 
3 5
4 5
5 3










 e) �
3 5
5 4
5 3










R.: Como cada elemento �aij relaciona a quantidade de evidências (A, B, C, 
... I), sobre a empresa (i) com crime (j), teremos que:
M = 
5 5 3
3 4 5






15UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Para entender, veja que o elemento a21 conta a quantidade de evidências 
que a empresa 2, teve relação com o crime 1, ou seja, nos casos B, E, I, logo 
3 oportunidades.
OPÇÃO CORRETA: LETRA B
12 (UFMT) Sejam as matrizes A = (aij)2x3 tal que aij = j – 3i; B = (bij)3x2 
tal que bij = 2i + j2; e C = (cij)2x2 tal que cij = ij. O elemento de maior 
módulo dentre os que formam a diagonal principal da matriz P, em 
que P = AB + 20C, é: 
 
a) 20 
b) 9 
c) -16
d) -12
e) 0
Contrução das matrizes:
A = 
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23





 = �
. . .
. . .
1 3 1 2 3 1 3 3 1
1 3 2 2 3 2 3 3 2
− − −
− − −





 = 
− −
− − −






2 1 0
5 4 3
B = 
b b
b b
b b
11 12
21 22
31 32










 = 
2 1 1 2 1 2
2 2 1 2 2 2
2 3 1 2 3 2
2 2
2 2
2 2
. � .
. � . �
. � . �
+ +
+ +
+ +










 = 
3 6
5 8
7 10










C = 
a a
a a
11 12
21 22





 = 
1 1 1 2
2 1 2 2
. .
. .





 = 
1 2
2 4






Agora, vamos resolver A.B:
A.B = 
− −
− − −






2 1 0
5 4 3 . 
3 6
5 8
7 10










 = 
−( ) + −( ) + −( ) + −( ) +
−( ) + −( ) + −( )
2 3 1 5 0 7 2 6 1 8 0 13
5 3 4 5 3
. . �.� . . �.�
. . .77 5 6 4 8 3 10−( ) + −( ) + −( )




. . .
O elemento de maior módulo é -12. 
OPÇÃO CORRETA: LETRA D
16 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
 = 
− − + − − +
− − − − − −






6 5 0 12 8 0
15 20 21 30 32 30
 = 
− −
− −






11 20
56 92 (I)
Resolvendo 20 . C :
20 . C = 20 . 1 2
2 4





 = 
20 40
40 80





 (II)
Juntando (I) e (II), para calcular P = A . B + 20 . C, segue:
 + = = 
13 Leia atentamente as sentenças a seguir:
I- O produto das matrizes A, de ordem 4x2, e B, de ordem 2x2, é uma matriz 
de ordem 4 x 2.
II- O produto das matrizes A de ordem 5x4 e B de ordem 5x2 é uma matriz 
de ordem 5x2.
III- O produto das matrizes A de ordem 2x3 e B de ordem 3x4 é uma matriz 
quadrada.
As sentenças verdadeiras são:
a) ( ) I e III 
b) ( ) Apenas I
c) ( ) Apenas III
d) ( ) Apenas II 
e) ( ) I e II
R.: I – Correta
II – Incorreta, pois não há produto de uma matriz 5x4 por outra 5x2. Note que 
o número de colunas da 1ª matriz não condiz ao de linhas da segunda matriz.
III – Incorreta, pois o resultado será uma matriz 2x4, que não é quadrada.
OPÇÃO CORRETA: LETRA B
17UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
14 (UEL-PR) Dadas as matrizes A = aij x( )3 2 , definida por a i jij = − ; B = 
bij x( )2 3 , definida por b jij = , C = cij( ) , definida por C = A . B, é correto 
afirmar que o elemento c23 é:
a) ( ) Igual ao elemento c12.
b) ( ) Igual ao produto de 
c) ( ) O inverso do elemento c32.
d) ( ) Igual à soma de a �com�b12 11.
e) ( ) Igual ao produto de a �por�b21 13.
R.: Construção das matrizes:
A = 
a a
a a
a a
11 12
21 22
31 32










 = 
1 1 1 2
2 1 2 2
3 1 3 2
− −
− −
− −










 = 
0 1
1 0
2 1
−









B = 
b b b
b b b
11 12 13
21 22 23





 = 
1 2 3
1 2 3






Sabemos que C = A . B, logo:
C = 
0 1
1 0
2 1
−









 . 1 2 3
1 2 3





 
= 
0 1 1 1 0 2 1 2 0 3 1 3
1 1 0 1 1 2 0
�.� .� �.� . �.� .�
�.� �.� �.� �.
+ −( ) + −( ) + −( )
+ + �� �.� �.�
�.� �.� �.� �.� �.� �.�
2 1 3 0 3
2 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3
+
+ + +










 = 
− − −









1 2 3
1 2 3
3 6 9
O elemento C23 é igual à 3, logo igual à a21 . b13 = 1 . 3 = 3. Logo, OPÇÃO E.
18 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
5 Prove que a matriz A-1 = 
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
−
−
−


















 é inversa de A =
1 1 0
0 1 1
1 0 2










.
R.: Para provar que A−1 é a inversa de A, temos que, por definição A−1 . 
A = I3 . Logo:
2 3 2 3 1 3
1 3 2 3 1 3
1 3 1 3 1 3
/ / /
/ / /
/ / /
−
−
−









 . 
1 1 0
0 1 1
1 0 2









 = 
 
= 
2
3
0 1
3
2
3
2
3
0 0 2
3
2
3
1
3
0 1
3
1
3
2
3
0 0 2
3
2
3
+ + − + − +
+ − + + + −
�� ���� ��
�� ���� ��
−− + + − + + + +


















1
3
0 1
3
1
3
1
3
0 0 1
3
2
3
����� ��
 = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1










 = I3
19UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
16 Determine a matriz inversa da A =
1 1 0
0 1 1
1 0 2










.
R.: Para determinar a matriz A−1 :
A . A−1 = I
Logo, A−1, pela questão 15 é 
2 3 2 3 1 3
1 3 2 3 1 3
1 3 1 3 1 3
/ / /
/ / /
/ / /
−
−
−










17 Considere a matriz A = (aij) 4x4 definida por aij = 1 se i ≥ j e aij = i + j se 
i < j. Calcule a soma dos elementos da diagonal secundária.
R.: A matriz genérica A aij= ( ) ×4 4 é dada por:
A
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44












=












1 3 4 5
1 1 5 6
1 1 1 7
1 1 1 1
Logo, a soma dos elementos da diagonal secundária é 1 1 5 5 12+ + + = .
TÓPICO 2
Prezado(a) acadêmico(a), chegou a hora de você testar seus conhecimentos 
sobre o cálculo dos determinantes e suas propriedades. Lápis e borracha 
em mãos e boa atividade!
20 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
1 Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então 
podemos afirmar que o seu determinante é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2 
d) 3
e) -4
R.: Construção da matriz A:
A
a a a
a a a
a a a
=










=
− − −
− − −
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
33 1 3 2 3 3
0 1 2
1 0 1
2 1 0− − −










=
− −
−










Note que como a diagonal principal é nula, temos que det(A)=0, OPÇÃO A.
2 Encontre a solução da equação .
2 1 3
4 1 1
0
12− − =n
n n 
R.: 
2 1 3
4 1 1
0
12− −










=n
n n
�pela�regra�de�Sarrus, :
2 1 1 1 4 0 3 1 3 0 1 2 4 1 12. . . . . . . . . . .−( ) + −( ) +( ) − −( ) + −( ) +( ) =n n n n n n
− + −( ) + − =2 1 3 4 12n n n n n
n n n n n2 2 3 4 12− − + − =
n n2 4 12 0− − =
Basta agora resolver a equação do 2°grau na incógnita n.
 
n =
− −( ) ± −( ) − −( )4 4 4 1 12
2 1
2 . .
.
12, pela regra de Sarrus:
21UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
n �= ± +4 16 48
2
n' �= + = =4 8
2
12
2
6
′′ =
−
=
−
= −n �4 8
2
4
2
2
Solução: {6,-2}
3 (UFBA-90) Calcule o determinante da matriz: 
A=
1 0 2 1
2 1 3 2
0 0 2 3
1 1 0 2
−
−
−












R.: Para calcular o determinante de ordem 4 desta questão, utilizaremos o 
Teorema de Laplace. Assim:
= −
−
−










+ −
−
−




+ +1 1
1 3 2
0 2 3
1 0 2
2 1
0 2 1
0 2 3
1 0 2
1 1 2 1.( ) . .( ) .






+ + −
−
−










+0 1 1
0 2 1
1 3 2
0 2 3
4 1.( ) .
1 0 2 1
2 1 3 2
0 0 2 3
1 1 0 2
−
−
−












= −
−
−










+ −
−
−




+ +1 1
1 3 2
0 2 3
1 0 2
2 1
0 2 1
0 2 3
1 0 2
1 1 2 1.( ) . .( ) .






+ + −
−
−










+0 1 1
0 2 1
1 3 2
0 2 3
4 1.( ) .
22 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
= − −( ) + −( ) −( ) + + −( ) − −( )1 4 9 4 2 2 0 1 2 4. . .
= − + + =9 4 6 1
4 Dadas as matrizes:
A a �com�aij x ij= ( ) =
+ ≠
− + =


3 4
1 4
1 4
,
,� � �
,� �
sei j
sei j 
e B b �com�bij x ij= ( ) =
+ ≠
− + =


4 3
1 4
1 4
,
,� � �
,� �
sei j
sei j
Calcule o determinante de AB.
R.: A
a a a
a a a
a a a
=










=
−
−
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
1 1 1 1
1 1 1
a
a
a
11
1 1 1 1−










 
B
a a a
a a a
a a a
=












=
−
−
11 12 13
21 22 23
31 32 33
41 42 43
1 1 1
1 1
a a a
11
1 1 1
1 1 1
−












Realizando o produto A.B:
A.B=
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
−
−
−










−
−
−












.�
= 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. . . . . . . . .+ + −( ) −( ) + + −( ) + −( ) + ( ) −( ) + + −( ).. .
. . . . . . . . .
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+
+ −( ) + −( ) + − + −( ) −( ) + + −( ) + −11 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) + +
−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + + −
. . .
. . . . . . . . . (( ) −( ) + + +









. . . .1 1 1 1 1 1 1
≠
≠
23UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
=
+ + + − − + − + − +
− − + + + + − − + +
− + − + − − +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1+ + + +










=
4 0 0
0 4 0
0 0 4










Dando sequência, pelo fato de A.B ser uma matriz diagonal, seu determinante 
é dado pela multiplicação dos elementos da diagonal principal. Logo
Det (A.B)=4.4.4=64.
5 Aplicando a regra da Sarrus, calcule os determinantes:
a)	
3 2 1
5 0 4
2 3 1
−
−










b)	
2 1 2
3 1 0
4 1 3
−
−
−










R.:
a) 
3 2 1 3 2
5 0 4 5 0
2 3 1 2 3
−
− −












= + + −( ) −( )( ) − −( ) + −( ) +( )3 0 1 2 4 2 1 5 3 2 0 1 3 4 3 1 5 2. . . . . . . . . . .
= +( ) − − +( ) = − −( ) = + =8 15 36 10 23 26 23 26 49
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. . . . . . . . .+ + −( ) −( ) + + −( ) + −( ) + ( ) −( ) + + −( ).. .
. . . . . . . . .
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+
+ −( ) + −( ) + − + −( ) −( ) + + −( ) + −11 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) + +
−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + + −
. . .
. . . . . . . . . (( ) −( ) + + +









. . . .1 1 1 1 1 1 1
24 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
a) 
2 1 2
3 1 0
4 1 3
−
−
−










= −( ) −( ) + + −( )( ) − −( ) −( ) + −( ) +( )2 1 3 1 0 4 3 1 2 4 1 2 3 1 3 1 0 2. . . . . . . . . . .
= − − −( ) = − −( ) = + =6 6 8 9 0 1 0 1 1) (
6 Resolva a equação 
2 3 2
0 1
2 3
2
−
−










=x
x
.
R.: Resolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, temos que:
2 3 2
0 1
2 3
−
−










x
x
→ −( ) + −( ) +( ) − −( ) + −( ) +( ) =2 1 3 0 2 3 2 2 1 2 0 3 3 2 2. . . . . . . . . . . .x x x x
→ − +( ) − − +( ) =6 6 4 2 2x x²
→− + + − =6 6 4 2 22x x
→− + − = ÷( )2 6 4 0 22x x
→− + − =x x2 3 2 0
Agora, resolvendo a equação quadrática encontrada na variável x:
25UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
x =
− ± − −( ) −( )
−( )
3 3 4 1 2
2 1
2 . .
.
x = − ± −
−
3 9 8
2
′ =
− +
−
=
−
−
=x 3 1
2
2
2
1
′′ =
− −
−
=
−
−
=x 3 1
2
4
2
2
Solução: {1,2}
7 Seja a matriz quadrada A
x x
x
x x
=
+
−










1 3
3 1
2 1
. Calcule x de modo que 
det A = 0
R.: Para que det A=0, temos que:
x x
x
x x
+
−










=
1 3
3 1
2 1
0
→ +( ) −( ) + + − − +( ) − −( ) =x x x x x x x x1 1 3 6 2 1 9 1 03. . .
→ −( ) + − − − − + =x x x x x x2 31 9 2 2 9 9 0.
→ − + − − − − + =x x x x x x3 39 2 2 9 9 0
→− + =3 7 0x
→ = −x 7
3
8 (Esam-RN) Assinale a proposição verdadeira:
26 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
a) ( ) Se M e N são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(M·N)= 
det M·det N.
b) ( ) Se A é uma matriz quadrada de segunda ordem e k *, então det 
(kA) = k·det A.
c) ( ) Se det A = 0, então a matriz A é nula.
d) ( ) Se det A = 0, então qualquer que seja a matriz X, de mesma ordem 
que A, tem-se AX = 0.
e) ( ) O determinante da matriz resultante da soma de duas matrizes de 
mesma ordem é igual à soma dos determinantes dessas matrizes.
R.: A primeira opção é a verdadeira. Note que se:
M=
2 0
1 2





 e N=
3 1
2 4





 , temos:
det(M.N)= det
6 2
7 9
54 14 40











 = − =
detM. det N= det
2 0
1 2
3 1
2 4
4 10 40











 = =. .det
9 Dadas as matrizes A = 





1 2
1 0
 e B =
−





3 1
0 1
, calcule det detA B+ 
e det( )A B+ .
R.: detA= 1 0 2 1 2. .− = −
detB= 3 1 0 1 3. .− −( ) = −
Se A+B = 
1 3 2 1
1 0 0 1
+ −
+ +





 , temos que det(A+B) = 4.1-1.1 = 3
Logo, detA+detB= -2+3= -1
 det(A+B)=3
27UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
10 O valor de um determinante é 42. Se dividirmos a primeira linha por 
7 e multiplicarmos a primeira coluna por 3, qual será o valor do novo 
determinante?
R.: As operações que executamos com linhas e/ou colunas de um 
determinante irão diretamente afetar seu valor. Em particular, nesta questão, 
se o determinante é 42, teremos:
• Divisão por 7: 42
7
6=
• V Multiplicação por 3: 6.3=18
Assim sendo, o determinante passa a ser igual a 18.
11 Calcule os determinantes, utilizando o Teorema de Laplace.
Obs.: Se aplicar as propriedades dos determinantes, justifique a resposta.
a �
�
�
�
�b �) )
6 3 9 4
6 5 9 2
6
6
2
0
9 1
9 3
1 1 3 1
2 6 6 4
2
1
5
−
−
− −
−















 11
3
1
3
1
















R.:
a) detA=
6 1
5 9 2
2 9 1
0 9 3
6 1
3 9 4
2 9 1
0 9 3
1 1 2 1. . . .−( )
−
− −
−










+ −( )
−
− −
−

+ +









+ −( )
−
−
−










+6 1
3 9 4
5 9 2
0 9 3
3 1. .
6 1
3 9 4
5 9 2
2 9 1
4 1. .−( )
−
−
− −










+
→ − − + −( ) − − − + −( ) + − − + +( ) −6 135 36 54 45 6 81 72 54 27 6 81 180 135 54 6. . . .(227
− − + + − = −( ) − −( ) + −( ) − −( )180 36 72 54 45 6 162 6 126 6 72 6 108) . . . .
= − + − + =972 756 432 648 0
28 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
b) �. . . .1 1
6 6 4
5 3 3
1 1 1
2 1
1 3 1
5 3 3
1 1 3
1 1 2 1−( )










+ −( )







+ +


+ −( )










+2 1
1 3 1
6 3 3
1 1 1
3 1. .
1 1
1 3 1
6 6 4
5 3 3
4 1. .−( )










=+
= + + − − −( ) − + + − − −( ) +1 18 18 20 12 18 30 2 3 5 9 3 3 15. .
 
 + + + − − −( ) − + + − − −( )2 3 6 9 3 18 3 1 18 18 60 30 12 54. . �
= −( ) − −( ) + −( ) − ( ) =− + − = −1 4 2 4 2 6 1 0 4 8 12 8. . . . �
12 Sejam as matrizes:
A eB= − −
















= − −
−
1 1 0 3
0 2 1 2
0
0
0
0
1
0
0
3
1 0 0 0
1 2 0 0
2
3
1
5
1
�� �
44
0
3
















Então, calcule o det (A B). 
R.: Utilizando as propriedades dos determinantes, sabemos que: 
det(A.B)= detA.detB
Agora, ao notar as matrizes A e B, percebemos que elas são triangulares, e 
assim sendo possuem determinante zero.
Logo: det(A.B) = 0.0 = 0.
29UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
TÓPICO 3
Acadêmico(a), o processo de resolução de sistemas lineares pode parecer 
complicado no começo. Porém, não desista! É normal escolhermos caminhos 
que não nos levem à resposta esperada nas primeiras tentativas, mas o 
importante é reconhecer que a escolha foi errada e recomeçar outra vez. 
Lápis, borracha e mãos à obra! 
1 Seja o sistema S
x x x
x x x
x x x
1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 0
2 5
2
:
+ − =
− + =
− + + = −





.
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.
b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.
R.: Para verificar se um ponto é solução de um sistema, substituímos cada 
coordenada em sua respectiva incógnita
a) Verifique se (2, -1,1) =
2 2 3 1 1 4 3 1 0
2 2 1 1 2 2 1 5
2 1 1 2 1 1 2
. .( )
.( )
.( )
+ − − = − − =
− − + = + + =
− − + = − − + = −
Repare que após a substituição, os resultados são iguais ao do sistema, logo 
(2,-1,1) é solução de S.
a) Veja que ao substituir (0,0,0) na segunda equação, temos:
0 2 0 0 0 5− + = ≠.
E assim sendo (0,0,0) não é solução de S.
2 Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramera) 
a) 
x y
x y
+ =
− = −



2 5
2 3 4
 
3 4 1
3 9
x y
x y
− =
+ =



R.: a) Calculando os determinantes
≠
b)
30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Dp = 1 2
2 3
3 4 1
−





 =− + =�
Dx = 
5 2
4 3
15 8 7
− −





 =− + =−� �
 
Dy= 1 5
2 4
4 10 14
−





 =− − =−� �
Basta agora calcular os valores de x e y:
x Dx
Dp
= = =
39
13
3 e y Dy
Dp
= = =
26
13
2
 
3 Se tivermos o sistema abaixo, então x + y + z + t é igual a:
 
R.: Vamos resolver o sistema a seguir, pelo método de Gauss:
Matriz aumentada:
1 1 1 0 1
1 0 1 1 5
0 1 1 1 7
1 1 0 1 4




−











���
���
���
31UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R



Resolvendo:
L2 -L1+L2
L4 -L1+L4
 
1 1 1 0 1
0 1 0 1 6
0 1 1 1 7
0 0 1 1 5




−
−
−












 
L3 L2+L3
1 1 1 0 1
0 1 0 1 6
0 0 1 2 13
0 0 1 1 5




−
−
−












L4 L3+L4
1 1 1 0 1
0 1 0 1 6
0 0 1 2 13
0 0 0 3 18




−
−












Reescrevendo na forma de sistema, vem:
x + y + z = -1
-y + t = 6
Z + 2t = 13
3t = 18
• Da última equação:
3 18 6t t= ⇒ =

32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVINEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R

• Na terceira equação:
z z+ × = ⇒ =2 6 13 1
• Na segunda equação:
− + = ⇒ =y y6 6 0
• Na primeira equação:
x x+ + = − ⇒ = −0 1 1 2
Logo, x + y + z + t = - 2 + 0 + 6 + 1= 5
4 (UFBA) Dado o sistema 
2 1
2 3
3 4 2 5
x y z
x y z
x y z
− + =
+ − = −
+ + = −





, qual o valor de x + 
y + z?
R.: Resolução pelo método de Gauss:
Matriz Aumentada:
2 1 1 1
1 2 1 3
3 4 2 5
−
−
−













L2 - 2L1+L2
L4 −
3
2
 
L1+L3
2 1 1 1
0 4 1 3
0 112
1
2
13
2
−
−
−















L4 4
1
− L2
33UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
2 1 1 1
0 1 34 3
0 0 498
63
8
−
−
−

















Reescrevendo o sistema:
 
 
 
 
 
• Da terceira equação:
49
8
63
8
63
8
8
49
9
7
× = − ⇒ = − × = −z z
• Da segunda equação:
4
1
7
9
4
3
=




−×−y
y y+ = ⇒ = − = − = − = −27
28
1
4
1
4
27
28
7
28
27
20
20
28
5
7
• Da primeira equação:
2 5
7
9
7
1x − −




 + −





 =
2 5
7
9
7
1x + − =
34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
2 1 4
7
11
7
1
2
11
14
x x= + ⇒ = × =
Logo, x + y + z = 11
14
5
7
9
7
17
14
− − = −
5 (ACAFE) Considerando o sistema 
a y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
− + =





7
2 9
2 2 2
, qual o valor da 
incógnita z?
R.: Como nesta questão basta calcular z, iremos recorrer à regra de Cramer:
Dp = −
−
= − − − − − = −
1 1 1
2 1 1
1 2 2
2 4 1 1 2 4 10
Dz =
−
= − + − − + =
1 1 7
2 1 9
1 2 2
2 28 9 7 4 18 10
Logo, z =
−
=−
10
10
1�
6 O sistema linear 
x y z
x y z
x y z
− + =
+ + =
+ + =





2 2
2 3 4 9
4 2 7
a) Admite solução única.
b) Admite infinitas soluções.
c) Admite menos de cinco soluções.
d) Não admite soluções.
R.: Note que a segunda equação é o resultado da combinação da soma da 
primeira com a terceira equação. Logo, o sistema admite infinitas soluções.
35UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
7 Resolva o seguinte sistema de equações: 
2 1
2 2
2 3
2 4
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =







R.: Resolvendo pelo método de Gaus:
Matriz Aumentada:
2 1 1 1 1
1 2 1 1 2
1 1 2 1 3
1 1 1 2 4
















 
2 1 1 1 1
1 2 1 1 2
1 1 2 1 3
1 1 1 2 4
















 
1 2 1 1 2
2 1 1 1 1
1 1 2 1 3
1 1 1 2 4
















 
1 2 1 1 2
0 3 1 1 3
0 1 1 0 1
0 1 0 1 2




− − − −
−
−












36 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
 
1 2 1 1 2
0 1 1 0 1
0 0 4 1 6
0 0 1 1 1




− −
− − −
−












 
 
��
1 2 1 1 2
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1
0 0 4 1 6




− −
− −
− − −












 
����
1 2 1 1 2
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1
0 0 0 5 10




− −
− −
− −












Reescrevendo:
x + 2y + z + t = 2
 y – z = -1
 z – t = -1 
 -5t = -10
• t = 
−
−
=
10
5
2 
• z – 2 = -1 z = 1
• y – 1= -1
• x+2*0+1+2=2 x = -1


37UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
8 Discuta o sistema 
3 2
1
x my
x y
+ =
− =



.
R.: Construindo a matriz aumentada do sistema:
3 2
1 1 1
1 1 2
3 1
3
3
1 2 2 1 2
��� �
� �
.
�m
l l
m
l l l



−





 → ↔ →
−




 → = − + →
��������1 2
1 3 5

+ −





m
Caso 1: Se , o sistema é PSD
Caso 2: Se , o sistema é SI.
9 Determine m, de modo que o sistema 
x y
x my z
x y z
− =
+ + =
− + − =





2
0
4
 seja impossível.
R.: Para que o sistema seja impossível, deveremos realizar o procedimento 
de zerar uma linha da matriz aumentada e analisar o resultado.
1 1 0 2
1 1 0
1 1 1 4
1 1 0 2
0 1 0 4
1 1 1 4
2 3 2
−
− −










→ = + →
−
+
− −






m l l l m










Para que o sistema seja impossível devemos ter m m+ = → = −1 0 1
10 Verifique se o sistema 
3 2 0
0
x y
x y
− =
+ =



é determinado ou indeterminado.
R.: Inicialmente vamos calcular o determinante principal ligado ao sistema:
Dp m=
−





 =− −
3 3
1 1
3�
38 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Agora, para que o sistema seja considerado SPD, devemos ter Dp≠0, logo:
 − − ≠3 0m m ≠ −3 
De outro modo se m = 3, devemos ter:
 
3 3 2x y− =
 
3 3 2
1 1 1
−
−








 
L2 = L1 + L2 
3 3 2
0 0 13
−









O que nos remete que o sistema é impossível para m= -3, pois da segunda 
linha temos que:
 
11 Determine m para que o sistema 
2 3 0
4 5 0
3 2 0
x y z
x y z
x my z
− + =
+ − =
+ + =





 tenha única 
solução.
R.: Para que o sistema tenha solução única, devemos ter que Logo:
 
≠ ≠

x y− =1
39UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
12 Escalone e resolva os sistemas lineares a seguir:
a) 
2 3 1
3 3 8
2 0
x y z
x y z
y z
+ + =
− + =
+ =





b)
 
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
+ + =





6
4 2 5
3 2 13
c) 
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
− − + = −





2 7
2 7 21
3 5 2 8
R.: a) 
2 3 1 1
3 3 1 8
0 2 1 0



−










2 3 1 1
0 152
1
2
13
2
0 2 1 0



− −










 
 
L2 = L1 + L2
L2 = L2
L3= L2+L3
3333 
 



40 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Reescrevendo o sistema:
 
 
 
• Da terceira equação:
• Da segunda equação:
• Da primeira equação:
b)
 
41UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
 
Reescrevendo o sistema:
 
 
 
 
• Da terceira equação:
• Da segunda equação:
• Da primeira equação:
a) 
 
 
42 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
 
 
Reescrevendo o sistema:
 
 
 
• Da terceira equação:
• Da segunda equação:
• Da primeira equação:
13 (UERJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana.
Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além 
do maior número possível de lapiseiras, o número de corretores comprados 
foi igual a:
43UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
a) 11 
b) 12 
c) 13 
d) 14
R.: Como sabe-se que foram comprados pelo menos um item de cada tipo, 
temos que para comprar a maior quantidade possível de lapiseiras a única 
opção é de que são 5 canetas e 7 lapiseiras, pois 3*5+5*7=50. Agora, como 
a quantidade de cadernos é igual a de canetas, e chamando a quantidade 
de canetas de x, segue:
14 (UERJ) No sistema mostrado, x e y são números reais:
 .
A soma de todos os valores de x que satisfazem a esse sistema é igual a:
a) 1
b) 2 
c) 3 
d) 4
R.: Note que a primeira equação possui o termo (x-1) como fator comum. 
Colocando-o em evidência, vem:
44 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Para satisfazer a primeira equação podemos ter:
Ou seja, poderemos ter duas soluções para o sistema:
Onde, multiplicamos a 2° equação por -1 e somando com a primeira, segue:
Logo, a soma dos valores de x:
15 (UERJ) Jorge quer distribuir entre seus filhos os ingressos ganhos 
para um show. Se cada um de seus filhos ganhar 4 ingressos,sobrarão 5 ingressos; se cada um ganhar 6 ingressos, ficarão faltando 
5 ingressos. Podemos concluir que Jorge ganhou o número total de 
ingressos correspondente a:
a) 15 
b) 25 
c) 29 
d) 34
R.: Sendo x o número de filhos e y o total de ingressos, temos: 1 + (-1) + 3 = 3
45UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Podemos assim, igualar as equações:
Se x=5, termos que 
16 (UERJ) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 500,00 
utilizando moedas e cédulas de R$ 1,00, R$ 5,00 e R$ 10,00 num 
total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de moedas de um 
e cédulas de dez reais sejam iguais. Neste caso, a quantidade de 
cédulas de cinco reais de que o comerciante precisará será igual a:
a) 12 b) 28 c) 40 d) 92
R.: Iremos chamar de x, y, z a quantidade de cédulas de cada valor, assim:
Substituindo z = x, na segunda e primeira equação, gerando o sistema:
Multiplicando a primeira equação por (-5) e somando com a segunda, segue:
46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
E assim sendo:
17 (UERJ) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 
aves. Os patos são vendidos a R$ 12,00 a unidade, as galinhas a R$ 
5,00 e os marrecos a R$ 15,00. Considere um comerciante que tenha 
gastado R$ 440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha 
comprado mais patos do que marrecos. O número de patos que esse 
comerciante comprou foi igual a:
 
a) 25 
b) 20 
c) 12 
d) 10
R.: Vamos considerar:
x = patos; y = galinhas e z = marrecos
Multiplicando a primeira equação por (-5) e somando com a segunda, temos:
Como m é um múltiplo de 10, p obrigatoriamente também é. Agora respeitando 
que p > m, vamos testar valores:
 (não gera p > m)
(OK!)
(negativo!)
Logo, são 20 patos.
47UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
18 (UERJ) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, 
por 4 pessoas; outras, por apenas 2 pessoas, num total de 38 
fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas é:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
R.: Considerando x o número de pessoas e j o número de mesas, temos?
Resolvendo por escalonamento de Gauss:
Logo:
E ainda, 
Concluímos assim que 5 mesas são ocupadas por 2 pessoas.
19 (UERJ) Observe os quadros I, II e III, anunciados em uma livraria.
48 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
I- Considere os quadros I e II. Supondo que todos os livros A foram vendidos 
ao preço regular e todos os livros B foram vendidos ao preço de oferta, a 
quantia total arrecadada pela livraria na venda desses livros foi:
a) R$ 1658,00 
b) R$ 1568,00 
c) R$ 2340,00 
d) R$ 1348,00
II- Considere agora o Quadro III, que indica a quantia arrecadada na venda 
de certa quantidade dos livros A e B (valores em reais). Utilizando esses 
dados e os apresentados no Quadro II, a quantidade vendida do livro A (ao 
preço regular, edição de luxo) e a quantidade vendida do livro B (ao preço 
de oferta, edição de bolso) foram, respectivamente.
a) 100 e 200 
b) 45 e 100 
c) 50 e 160 
d) 40 e 160 
R.: I)Neste tópico, basta calcular:
Livro A: 76.8 + 240.2 = 608 + 408 = 1088.
Livro B: 50.6 + 180.1 = 300 + 180 = 480
Assim sendo, o total arrecadado foi 1088 + 480 = R$1568,00
II)Sendo:
L= Luxo
B = Bolso
Livro A:
Multiplicando a segunda equação por (-2) e somando com a primeira, segue:
Livro B: 
Multiplicando a segunda equação por (-2) e somando com a primeira, segue:
49UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
E assim sendo B = 340-6.30 = 160.
20 (UFF – 2000) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa 
rodoviário conforme ilustrado. Seguindo esse mapa, uma pessoa que 
se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 450km. Caso a 
pessoa se desloque de A para B, passando por C, o percurso será 
de 600km. Para se deslocar de B para C, passando por A, a pessoa 
vai percorrer 800km. Determine quantos quilômetros esta pessoa 
percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C.
R.: Construindo o sistema da questão, temos:
Isolando y na primeira e segunda equação:
Logo:
Substituindo z na terceira equação, chegamos em:
50 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
UNIDADE 2
TÓPICO 1
Represente os vetores abaixo na forma geométrica, obedecendo ao 
sistema de coordenadas cartesianas:
a)
b)
c)
d)
R.: a)
51UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
b) 
c) 
52 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
d) 
2 Dados os pontos e 
 , determine os vetores formados pelos segmentos:
R.:
53UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
3 Para os vetores encontrados na questão anterior, determine a norma 
de cada um, e, caso não forem unitários, transforme-os.
R.:
a) (Não é unitário)
Normalização:
b) (Não é unitário)
c) (Não é unitário)
Normalização:
d) (Não é unitário)
Normalização: 
4 Com determine:
54 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
R.:
b)
Portanto:
c)
55UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
d)
Primeiramente vamos calcular a parte interna da norma.
e)
5 Dado , determine o valor de para quê:
R.:
56 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Substituindo em
Elevando ao quadrado:
Resolvendo:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
TÓPICO 2
1 Considere os vetores e , 
determine:
57UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
a) Verifique dois a dois quais vetores são ortogonais.
b) Calcule o ângulo, dois a dois, formado pelos vetores.
c) Sejam estes vetores vértices de um tetraedro, determine o volume do 
mesmo.
R.: a) Basta verificar se o produto escalar é igual a zero
v.t = (1,2,3) . (-5,1,1) v.w = (1,2,3) . (0,0,1)
 = 1 . (-5) + 2 . 1 + 3 . 1 = 1 . 0 + 2 . 0 + 3 . 1 
 = 0 = 3 
São perpendiculares Não são perpendiculares
t . w = (-5,1,1) . (0,0,1)
 = -5 . 0 + 1 . 0 + 1 . 1 
 = 1
Não são perpendiculares
b) podemos utilizar o resultado obtido na questão anterior 
para o produto escalar no numerador.
58 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
b)
2 Calcule o valor de para que o vetor seja ortogonal 
ao vetor , onde e .
R.:
59UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
3 Calcule os valores de e para que sejam paralelos os vetores: 
 ) e 
R.:
4 Determine se o ângulo formado entre os vetores abaixo é agudo, 
obtuso ou se eles são ortogonais:
R.:
= 9 então agudo então obtuso 
60 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
 = - 34 então obtuso
5 No triângulo ABC, com os vértices e 
determine:
a) Sua área, colocando como ponto fixo o ponto .
b) O comprimento dos lados.
c) A altura relativa ao segmento .
R.: a) como o ponto fixo em B, temos
note que os valores K foram incluídos, pois 
não há produto vetorial em vetores diferentes 
do R .
 = 0 . i + 0 . j + 8 . k
61UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Norma
 u.a. (unidades de área)
c) idealizando pelos vetores da questão (a) temos
- a área já foi encontrada em (a)
- a base que será utilizada é o vetor , o qual o seu comprimentojá foi 
encontrado em (b)
Então:
6 Determine sabendo que , e são vértices 
de um triângulo de área 6.
62 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
R.: Para resolver por vetor, temos que transformar os segmentos em vetores. 
Vou optar pela escolha do ponto A, para definir os vetores, então:
7 Verifique se os vetores e 
são coplanares. (Observe a propriedade I do produto misto).
R.: pelo produto misto:
elevando os lados ao quadrado
63UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Conclusão, não são coplanares por não ter dado 0 no produto misto.
8 Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
 e .
R.: O volume é dado por:
9 Calcule o valor de para que o volume de um tetraedro determinado 
pelos vetores e seja 11/2.
R.: O volume é dado por:
Duas possibilidades (hipóteses)
64 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
10 Determine um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos 
 e :
a) 
b) 
R.: a) O produto misto entre dois vetores em R³, proporciona com a resposta 
um vetor ortogonal. Então escolhemos um ponto fixo para determinar dois 
vetores:
65UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
11 O vetor forma um ângulo de 60º com o vetor , 
onde e . Calcular o valor de m.
R.: Em produto escalar temos:
Então:
elevando ambos os lados ao quadrado
66 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
dividindo por 2 
TÓPICO 3
1 Verifique quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não 
são espaços vetoriais, cite os axiomas que não verificam.
com as operações usuais
67UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
R.: a) Prova dos 8 axiomas
A1
u + (v + w) = (u + v) + w
(a , b , c) + [ (x , y , z) + (f , g , h) ] = [ (a , b , c) + (x , y , z) ] + (f , g , h)
(a , b , c) + (x + f , y + g , z + h) = (a + x , b + y , c + z) + (f , g , h)
(a + x + f , b + y + g , c + z + h) = (a +x + f , b + y + g , c + z + h)
Verificado.
A2
u + v = v + u
(a , b , c) + (x , y , z) = (x , y , z) + (a , b , c)
(a + x , b + y , c + z) = (x + a , y + b , z + c)
Verificado.
A3
u + 0 = u
(a , b , c) + (0 , 0 , 0) = (a , b , c)
(a , b , c) = (a , b , c)
Verificado.
A4
u + (-u) = 0
(a , b , c) + (-a , -b , -c) = (0 , 0 , 0)
(a – a , b – b , c – c) = (0 , 0 , 0)
(0 , 0 , 0) = (0 , 0 , 0)
Verificado.
M1
(a ) . u = a ( . u)
(a ) . (x , y , z) = a ( . (x , y , z) )
68 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
(0 , 0 , 0) = a (0 , 0 , 0)
(0 , 0 , 0) = (0 , 0 , 0)
Verificado.
M2
(a + ) . u = a . u + . u
(a ) . (x , y , z) = a (x , y , z) + (x , y , z)
(0 , 0 , 0) = (0 , 0 , 0) + (0 , 0 , 0)
(0 , 0 , 0) = (0 , 0 , 0)
Verificado.
M3
a (u + v) = a . u + a . v
a [ (a , b , c) + (x , y , z) ] = a . (a , b , c) + a (x , y , z)
a (a + x , b + y , c + z) = (0 , 0 , 0) = (0 , 0 , 0)
(0 , 0 , 0) = (0 , 0 , 0)
Verificado.
M4
1 . u = u
1 . (x , y , z) = (x , y , z)
(0 , 0 , 0) = (x , y , z)
Não verificado.
Não é espaço vetorial. Falha o axioma M4.
b) u = (a , 2a , 3a) 
v = (b , 2b, 3b)
w = (c , 2c , 3c)
A1
u + (v + w) = (u + v) + w
(a , 2a , 3a) . ( (b , 2b , 2b) + (c , 2c , 3c) ) = ( (a , 2a , 3a) + (b , 2b , 3b) ) + 
(c , 2c , 3c) 
(a + b + c , 2a + 2b + 2c , 3a + 3b + 3c) = (a + b + c , 2a + 2b + 2c , 3a + 3b + 3c)
Verificado.
A2
u + v = v + u
(a , 2a , 3a) + (b , 2b , 3b) = (b , 2b , 3b) + (a , 2a, 3a)
(a + b , 2a + 2b , 3a + 3b) = (b + a , 2b + 2a , 3b + 3a)
Verificado.
A3
u + 0 = u
(a , 2a , 3a) + (0 , 0 , 0) = (a , 2a , 3a)
69UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
(a , 2a , 3a) = (a, 2a , 3a)
Verificado.
A4
u + (-u) = 0
(a , 2a , 3a) + (-a, -2a, -3a) = (0 , 0 , 0)
(0 , 0 , 0) = (0 , 0 , 0)
Verificado.
M1
(αβ) . u = α (β . u)
(αβ) . (a , 2a , 3a) = α (β . (a , 2a , 3a) )
(αβa , αβ2a , αβ.3a) = α (βa , β2a , β3a)
(αβa , αβ2a , αβ.3a) = (αβa , αβ2a , αβ.3a)
Verificado.
M2
(α + β) . u = α . u + β . u
(α + β) . (a , 2a , 3a) = α . (a , 2a , 3a) + β . (a , 2a , 3a)
( (α + β).a , (α + β).2a , (α + β).3a ) = (αa , α2a , α3a) + (βa , β2a , β3a)
( (α + β).a , (α + β).2a , (α + β).3a) = (αa + βa , α2a + β2a , α3a + β3a)
( (α + β).a , (α + β).2a , (α + β).3a) = ( (α + β).a , (α + β).2a , (α + β).3a ) 
Verificado.
M3
α(u + v) = α.u + α.v
α ( (a , 2a , 3a) + (b , 2b , 3b) ) = α (a , 2a , 3a) + α (b , 2b , 3b)
α (a + b , 2a + 2b , 3a + 3b) = (αa , α2a , α3a) + (αb , α2b , α3b)
(α (a + b) , α (2a + 2b) , α (3a + 3b) ) = (αa + αb , α2a + α2b , α3a + α3b)
(α (a + b) , α (2a + 2b) , α (3a + 3b) ) = (α (a + b) , α (2a + 2b) , α (3a + 3b) ) 
Verificado.
M4
1 . u = u
1 . (a , 2a , 3a) = (a , 2a , 3a)
70 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
(a , 2a , 3a) = (a , 2a , 3a)
Verificado.
Logo, é espaço vetorial.
c) A1
u + (v + w) = (u + v) + w
(a , b) + [ (c , d) + (e , f) ] = [ (a , b) + (c , d) ] + (e , f)
(a , b) + (c , d) = (a , b) + (e , f)
(a , b) = (a , b)
Verificado.
A2
u + v = v + u
(a , b) + (c , d) = (c , d) + (a , b)
(a , b) = (c , d)
Não verificado.
A3
u + 0 = u
(a , b) + (0 , 0) = (a , b)
(a , b) = (a , b)
Verificado.
A4
u + (-u) = 0
(a , b) + (-a , -b) = (0 , 0)
(a , b) = (0 , 0)
Não verificado.
As da multiplicação são idealizadas idênticas ao do primeiro exemplo do livro.
Não é espaço vetorial. Falha no axioma A2 e A4.
2 Verifique quais conjuntos abaixo são subespaço vetorial.
71UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
R.: a) Neste caso o valor de x é oposto ao do y. Então (x , -x)
I – Na adição
I verificado.
II – Na multiplicação
II verificado.
b) Neste caso o segundo componente deve ser o quadrado do primeiro
I – Na adição
72 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
I não verificou, pois o segundo componente não é o quadrado do primeiro.
II – Na multiplicação
II não verificado, pois o segundo componente não é quadrado do primeiro.
c) Note que neste caso a terceira componente é o dobro da primeira subtraído 
da segunda. Então
I – Na adição
I verificou
II – Na multiplicação
73UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
II verificou
Neste caso o segundo componente deve ser o primeiro somado de 2, 
enquanto que o terceiro componente deve ser igual a 0. 
Então: 
I – Na adição
I não verificou, pois o segundo componente não é o primeiro somado de 2.
II – Na multiplicação
II não verificou pelo mesmo motivo do anterior.
Note que neste problema o a21 deve ser igual à soma do a11 enquanto que o 
a22 deve ser igual a 0. 
Então:
74 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
I – Na adição
(u + v)
I verificou
II – Na multiplicação
II verificou
3 Classifique os seguintes subconjuntos do em ou 
75UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
R.: a) a . v = 0
a (2 , -1 , 3) = (0 , 0 , 0)
2a = 0
-a = 0
3a = 0
Então 
a = 0
Portanto o vetor é LI
b) a1v1 + a2v2 = 0
a1 (1 , -1 , 1) + a2 (-1 , 1 , -1) = (0 , 0 , 0)
a1 – a2 = 0
- a1 + a2 = 0
a1 – a2 = 0
Como há infinitas respostas a1 = a2 
Então, LD
4 Seja o Espaço Vetorial e os vetores e . Escreva o 
vetor como combinação linear dos vetores e .
76 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
R.:
Resolvendo o sistema obtemos:
Então:
5 Determine o valor de para que seja o conjunto: 
R.: Det do conjunto diferente de zero, então:
77UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Portanto r deve ser diferente de -2 para que os vetores sejam linearmente 
independentes.
6 Verifique quais dos conjuntos abaixo formam uma base de 
R.: a) Testando as condições:
I – O conjunto é LI?
0 então LD
Não é base
b) I – O conjunto é LI?
78 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Então LI.
II – O conjunto gera R2 ?
Ondetemos:
Portanto:
Então o conjunto gera R2.
Logo, os vetores foram uma base do R2.
c) I – O conjunto é LI?
Então LI.
II – O conjunto gera R2?
79UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Onde temos:
Portanto:
Então o conjunto gera R2.
Logo, os vetores foram uma base do R2.
d) I – O conjunto é LI?
Então LD.
Não é base.
e) I – O conjunto é LI?
Então LI
II – O conjunto gera R3?
80 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Portanto:
Então o conjunto gera R3.
Logo, os vetores foram uma base do R3.
f) I – O conjunto é LI?
Então LD.
Não é base.
7 Considere o conjunto , onde 
 e .
a) Verifique se é uma base de .
b) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine uma base ortogonal a 
partir de 
c) Seja o conjunto formado pelos vetores e de substituindo-se o 
vetor pelo vetor . Verifique se o conjunto é ou .
d) Mostre que é combinação linear dos vetores e de 
e) Determine o espaço gerado pelos vetores e de .
R.: I – O conjunto é LI?
Então LI.
II – O conjunto gera R3?
(x , y , z) = a (1 , 2 , 3) + b (-5, 1 , 1) + c (0 , 0 ,1)
81UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Onde temos:
Então o conjunto gera R3.
Logo, os vetores formam uma base do R3.
82 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Com isso nossa base ortogonal ficará:
Logo é LD.
83UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Onde:
a = 2 b = -1
Portanto,
Apresentará solução quando:
x + 16y – 11z = 0
Logo: 
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Verifique quais das transformações a seguir são lineares:
a) T(x,y) = (x – 3y, 2x + 5y)
b) T(x,y) = (x², y²)
c) T(x,y) = (x + 1, y)
d) T(x,y) = (2x + y, 4x + 2y)
R.: Para uma transformação ser linear, ela deve conservar as operações 
de soma e de multiplicação por escalar. Escolhendo 
como vetores do domínio, temos que mostrar:
84 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
E assim sendo, T é linear.
Logo T não é linear.
Logo T não é linear.
85UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Logo T é linear.
1	 Seja uma transformação linear tal que T(1,1) = (1,-2) e T(-1,1) = (2,3). 
Detemine a lei de formação desta transformação.
R.:
Sabemos que [ ])1,1(),1,1( − é uma base de R². Assim sendo, escolhemos (x,y) 
tal que:
Logo: , somando as equações, segue:
E ainda,
Reescrevendo:
 Aplicando a transformação:
86 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
3	 Determine a transformação linear T: R3→R3 tal que T(1,0,-1) = (1,-1,0) 
e T(1,1,1) = (-1,1,0) T(0,1,2) = (2,1,0).
R.: Tomando [ ])2,1,0(),1,1,1(),1,0,1( − como base de R³, temos:
Logo: ; resolvendo 
Logo, um sistema impossível. Assim sendo, não existe tal transformação.
4 Seja a transformação linear T: R2→R2 definida por T(x,y) =(x,0).
a) (0,2) pertence ao N(T)?
b) (2,2) pertence ao N(T)?
87UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
R.: Devemos lembrar que o núcleo de uma transformação é o conjunto de 
todos os vetores que possuem imagem nula.
a) 
b)
5 Determine a imagem dos seguintes vetores, através da transformação 
.
a) u = (-1, 2)
b) v = (-3, 2)
c) w = (-2, -1)
R.: Para determinar a imagem, basta aplicar os vetores dados à transformação:
6 Seja a transformação linear T: R2→R3 definida por T(x,y)=(x + y, x - y, 
2x + y). Encontre uma base para a Im(T).
R.:
Sendo , podemos reesc rever : 
 
Utilizando o vetor da base canônica do 3ℜ , (1, 0, 0), vamos completar os 
dois vetores encontrados para formar a base. Pois note que a imagem 
deve ser formada por 3 vetores (pois o espaço 3ℜ ). Como (1, 0, 0), (1,1,2) 
e (1,-1,1) são LI, dizemos que:
[(1, 0, 0),(1,1,2),(1,-1,1)] é uma base para Im(T).
7 Seja a t rans formação l inear , de f in ida por 
.
a) Determine o núcleo e a imagem de T.
b) Determine bases para o núcleo e para a imagem.
c) Verifique o teorema da dimensão.
88 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
R.: a) Para a determinação do núcleo, devemos ter:
Logo:
Reescrevendo, chegamos a:
Somando as equações chegamos a:
z=0
E assim sendo, y = 0 e x = 0, admitindo apenas a solução trivial. Portanto 
N(T)={(0,0,0)}
Para determinar a imagem de T, devemos encontrar uma base para ela:
Criamos assim, o subespaço gerador da imagem de T={(1,-1,1),(-2,2,0),(-
2,1,-3)}. Como o subespaço é formado por vetores L.I, temos que [(1,-1,1),(-
2,2,0),(-2,1,-3)] é uma base para T.
b) Base para o núcleo: [(0,0)]
Base para a imagem: [(1,-1,1),(-2,2,0),(-2,1,3)] (base da letra a)
Ou ainda [(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)] (base canônica de 3ℜ )
c) O teorema da dimensão diz que:
• A dimensão do núcleo é zero, pois a base contém apenas o vetor nulo;
• A dimensão da imagem é três, pois a base contém 3 vetores L.I.
89UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Logo:
8 Determine uma transformação l inear , tal que 
.
R.: Por se tratar de um caso de T: , com dimIm(T)=2, pelo teorema 
da dimensão teremos
 que:
2 = 
Como chegamos em , escolheremos apenas dois vetores da 
base canônica para gerar a transformação.
Tomaremos que:
T (1,0,0) = (1,1,2)
T (0,1,0) = (2,1,0)
 Assim sendo:
TÓPICO 2
1 Escreva as transformações lineares , determinadas, 
respectivamente, pelas matrizes:
90 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
d)
a)
b)
c)
R.: Cada linha da matriz representa uma coordenada do elemento de 
transformação:
a)
b)
c)
d)
 Note que o domínio é 2ℜ , pois a matriz apresenta duas colunas.
2 Considere a transformação linear definida por 
. Determine a matriz de transformação linear 
com relação à base canônica de .
R.:
Como T: ,tomaremos 
	Partindo do domínio:
91UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Agora escrevemos os resultados encontrados como combinação linear dos 
vetores de .
Assim sendo:
3 Com relação ao exercício anterior, transforme os vetores, por meio 
da matriz encontrada.
R.: Para transformar os vetores, basta realizar a multiplicação pela matriz 
de transformação:
92 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
4 Considere a transformação linear definida por 
. Determine a matriz de transformação 
linear com relação à base canônica de .
R.: Escolhemos 
 
Partindo do domínio 
Montando a combinação linear:
Assim sendo:
5 Com relação ao exercício anterior, transforme os vetores, por meio 
da matriz encontrada.
R.:
93UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
6 Seja definida por .
a) Calcule a matriz que representa T na base canônica.
b) Calcule o núcleo da transformação. T é injetiva?
c) Calcule a imagem da transformação. T é sobrejetiva?
d) T é bijetiva?
R.: Escolhendo 
a)
94 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Realizando a combinação linear:
Logo: 
Como N(T)={(0,0,0)}, sabemos que T é injetiva.
a) Como a transformação T é injetiva e sobrejetiva, temos que também é 
bijetiva.
7 Esboce a imagem do vetor v = (2,1), através de:
a) Reflexão em torno do eixo x. 
b) Reflexão em torno do eixo y.
R.: Transformação de Reflexão sobre X.
95UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
a) Reflexão sobre y.
8 Esboce a projecão do vetor v = (2,4)
a) Sobre o eixo X:
b) Sobre o eixo Y:
R.: a) Sobre o eixo x:
96 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
b) Sobre o eixo y:
97UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
9 Esboce a imagem do vetor v = (6,3), através de:
a) Contração de fator 1/2 na direção x.
b) Dilatação de fator 2 na direção x.
c) Contração de fator 1/3 na direção y.
d) Dilatação de fator 3 na direção y.
R.:
a) Contração de fator na direção de x.
98 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVINEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
99UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
100 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
10 Esboce a imagem do retângulo de vértices A(0,0) , B(6,0) , C(6,3) e 
D(0,3) , através de:
a) Contração de fator 1/3 na direção x. 
b) Dilatação de fator 2 na direção x.
c) Contração de fator 1/2 na direção y.
d) Dilatação de fator 3 na direção y.
R.:
101UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
a)
b)
102 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
c)
c)
103UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
11 Determine a matriz que gera um ponto do plano em torno da origem 
um ângulo de:
a) 450 
b) - 600
R.: a) Basta substituir o ângulo na matriz de rotação:
12 Esboce a imagem do vetor:
a) v=(2,4) através de uma rotação de 900.
b) v=(3, 3 ) através de uma rotação de –300.
R.:
a) Matriz:
Efetuando a rotação:
104 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
b) Matriz:
Efetuando a rotação:
105UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
13 Sejam e (base canônica do 
).
a) Determine a matriz de mudança de base .
b) Transforme o vetor , da base para a base .
R.: Sentido 
Vamos escrever os vetores de α como combinação dos vetores de β:
106 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Assim temos:
a) Para realizar a mudança de base, basta multiplicar o vetor pela matriz
14 Considere com as operações usuais. Tomemos duas 
de suas bases, são elas: e 
.
a) Obtenha a matriz de mudança de base de para .
b) Calcule as coordenadas do vetor na base .
R.: a)
107UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Assim sendo, 
108 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
c)
15 Sabendo que A = {(1,2),(-3,-5)} e B = {(1,1),(1,0)} são base do R², 
determine:
a)
Bv , sabendo que )1,1(−=Av 
b) Av , sabendo que )1,2( −=Bv
R.:
Logo, a matriz
Realizando a transformação: 
109UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Logo, a matriz 
Realizando a transformação:
TÓPICO 3
1 Determine, se existirem, os autovalores e autovetores das seguintes 
transformações lineares:
R.: a) Inicialmente vamos calcular o polinômio característico:
110 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Calculando as raízes deste polinômio, chegamos em , que 
são os autovalores da transformação.
Agora, para vamos calcular o autovetor associado:
(Onde V é o autovetor)
Substituindo 
Construindo o sistema:
Logo os vetores da forma são autovetores de . Por 
exemplo, vetor .
Para 
Logo os vetores da forma são autovetores de . Por 
exemplo, .
a) Polinômio Característico:
111UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Resolvendo a equação de segundo grau, chegamos à 
Para :
Logo os vetores da forma são autovetores associados à .
Para :
Logo os vetores da forma são autovetores associados à 
.
a) Calculando o polinômio característico:
112 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Resolvendo a equação, chegamos à = 4 + e = 4 - 
Para = 4 + , temos:
Logo, = (x , x . (1- )) e = (y . (-1- ) , y ) são autovetores associados 
à = 4 + .
Para = 4 - , temos:
113UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Logo, = (x , x . (1+ )) e = (y , y. (-1+ )) são autovetores associados 
à = 4 - .
a) Calculando o polinômio característico:
 = não pertence aos Reais. Logo, a transformação não possui 
autovalores associados.
2 Indique as multiplicidades algébrica e geométrica dos itens da 
questão 1.
R.: a) Multiplicidade Algébrica: 1
Multiplicidade Geométrica: 1
b) Multiplicidade Algébrica: 1
Multiplicidade Geométrica: 1
114 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
c) Multiplicidade Algébrica: 1
Multiplicidade Geométrica: 2
d) Não há autovalores e autovetores associados.
3 Dada a matriz a seguir, ache os autovalores, os autovetores, a 
multiplicidade algébrica e geométrica, e verifique se ela pode ser 
diagonalizável.
R.: Polinônio característico: 
Completando quadrados para resolver a equação:
- (x – 4) . (x + 2)2 = 0
Logo os autovalores são = -2 , = -2 e = 4
Que são as raízes do polinômio característico.
Autovetores:
Para = -2:
115UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
x = y – z
Logo, os autovetores de = -2 têm a forma v = (y - z , y , z) y, z R.
Para = 4:
Logo os autovetores de = 4 têm a forma v = (x , x , 2x) x R.
Multiplicidade Algébrica:
O autovalor = -2 tem multiplicidade algébrica igual a dois, pois ele é 2 vezes 
raiz do polinômio característico.
O autovalor = 4 tem multiplicidade algébrica igual a 1.
Multiplicidade Geométrica:
O autovalor = -2 tem multiplicidade geométrica igual a dois, pois seu 
autovetor associado tem dimensão 2 (tem duas variáveis livres).
116 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
O autovalor = 4 tem multiplicidade geométrica igual a 1.
O operador é diagonalizável?
Sim, pois o polinômio característico de grau 3, possui 3 raízes reais.
4 Demonstre como uma matriz A e sua transposta AT possuem os 
mesmos autovalores.
R.:
Sendo A = , mostramos que A e possuem os mesmos autovalores 
quando possuírem o mesmo polinômio característico. Logo:
5 Se e , são autovetores de T, com relação aos 
autovalores . Determine T(x,y).
R.: Temos uma transformação T: , logo:
Para = -1 e u = (2 , -5), temos:
117UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Para = 0 e v = (-3 , 7), temos:
Igualando (I) e (III):
Logo, a matriz que representa T(x , y) é:
e ainda 
118 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
6 Os vetores v1 = (1,1) e v2 = (2,-1) são vetores próprios de um operador 
linear T: R2 → R2, associados a 1λ = 5 e 2λ = -1, respectivamente. 
Determinar a i m a g e m d o vetor v = (4,1) por esse 
operador.
R.:
Para
Para
Igualando (I) e (III):
temos que 
Igualando (II) e (IV):
Logo, a matriz de transformação é:
119UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Agora para determinar a imagem de v = (4,1), basta multiplicar a matriz do 
vetor, pela matriz de transformação.
7 (ENADE) Uma transformação linear faz uma reflexão 
em torno do eixo X, conforme a figura, podemos afirmar que a 
transformação T:
a) ( ) É dada por .
b) ( ) Tem autovetor (0,-1) com autovalor associado igual a 2.
c) ( ) Tem autovetor (2,0) com autovalor associado igual a 1.
d) ( ) Tem autovetor de multiplicidade 1.
e) ( ) Não é inversível.
R.: Os operadores de transformação possuem base teórico-matemática em 
outros conceitos importantes, tais como o de autovalores e autovetores, 
multiplicidade dos autovalores e inversibilidade. Por este fato, iremos comentar 
esta questão, utilizando o processo de contra-exemplificação das opções 
falsas e confirmação da verdadeira.
OPÇÃO A: Falsa!
120 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Note que a transformação apresentada, trata-se de uma 
reflexão sobre o eixo vertical (eixo Y), sendo que o gráfico apresentado é 
uma reflexão sobre o eixo horizontal (eixo X).
OPÇÃO B: Falsa!
Utilizando-se do conceito de autovetor, dizemos que um vetor , é 
autovetor de T, caso exista tal que . Sabemos também 
que é autovalor de T, associado a v, assim concluindo que v e T(v) são 
paralelos (ou colineares), pois v e possuem a mesma direção. A partir 
daí, veja que, exemplificando:
e agora, testando o autovalor , segue que . E assim 
sendo, percebe-se que (0,1) e (0, -2) não são paralelos, logo, não verificamos 
autovetor (0, -1) comautovalor 2.
OPÇÃO C: Verdadeira!
Pelos mesmos motivos citados na “OPÇÃO B”, podemos mostrar:
 e 
como , que são paralelos (neste caso, colineares!), temos 
um autovetor (2,0) com autovalor 1.
OPÇÃO D: Falsa!
Generalizando, podemos aferir que o polinômio característico de T é dado por:
121UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
que possui resultado ou . Que, de fato, mostra que a 
multiplicidade das raízes é 1.
OPÇÃO E: Falsa!
Dos conceitos de Álgebra Linear e Vetorial, sabemos que uma transformação 
linear é invertível se for bijetiva.
Note que:
I) é injetiva, pois para quaisquer , implica 
em .
II) é sobrejetiva, pois estamos tratando de uma 
transformação , e ainda, para cada par no domínio, sempre 
haverá no contradomínio.
Logo, por ser injetiva e sobrejetiva, é bijetiva! E possui inversa.
RESPOSTA CORRETA: C
6 Determine os autovalores e autovetores, se existirem, do operador 
linear obtido quando se faz uma reflexão em torno do eixo X, 
e em seguida uma dilatação de 2 vezes.
R.: A transformação indicada na questão é T(x,y) = (-2x, 2y)
Calculando o polinômio característico:
Cujas raízes são 
Para
Logo, todo vetor v = (0,4) = y.(0,1) é autovetor de
122 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Para
Logo, todo vetor v = (x,0) = x.(1,0) é autovetor de 
9 Verifique se as matrizes a seguir são diagonalizáveis. Caso forem, 
determine a matriz que a diagonaliza e a forma diagonal.
R.: a) Cálculos dos autovalores:
Para
Logo, v = (x,0) = x.(1,0), são autovetores de
Para
Logo, v = (-y,y) = y(-1,1), são autovalores de
Conclusão:
Como a transformação possui 2 autovalores, com 2 autovetores LI, é 
diagonalizável.
123UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
a) Cálculo dos autovalores:
Para
Logo
Conclusão: Como é uma transformação com 3 autovalores e possui 
autovetores formados por 2 vetores LI, ela não diagonalizável.
10 Determine uma matriz P invertível, que diagonaliza o operador 
linear , bem como 
determine sua forma diagonalizada.
R.: Escrevendo na forma matricial, para calcular os autovalores:
124 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
Resolvendo a equação cúbica (volte à introdução ao cálculo), chegamos à
Para
Logo o vetor v = (x, 2x, 2x) = x.(1,2,2) é autovetor de 
Para
Logo, o vetor v = (2y, y, -y) = y.(2,1,-2) é autovalor de 
Logo:
125UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
6 Considere a matriz , uma representação de um 
 operador linear T, onde m é um número real.
 
a) Determine a equação que gera o polinômio característico de A.
b) Calcule através deste polinômio característico os autovalores associados.
c) Para quais valores de m, o operador é diagonalizável.
R.:
b) Devemos calcular as raízes do polinômio característico:
126 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
Á
L
G
E
B
R
A
 
L
I
N
E
A
R
a) Para o operador ser diagonalizável, devemos ter duas raízes reais para o 
polinômio característico, ou seja, os autovalores, devemos ter 
Resolvendo a inequação em m:
Fazendo a análise gráfica:
Note que para m² - 6m + 1 > 0, devemos utilizar o intervalo: