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Lista de Exerćıcios de Cálculo III
Profa Rejane Corrêa
Álgebra Matricial
1. Sejam A =
[
2 −3 5
6 −5 4
]
, B =
 4−4
5
 e C =
 7 3 2−4 3 5
6 1 −1
.
Quanto vale a12, a22, a23, b11, b31, c13, c31 e c33?
2. Determine os valores de a, b, c e d em cada caso:
(a)
[
3a + 2b 2a− 2c
d− 2a 5a
]
=
[
7 −4
−1 5
]
(b)
[
a + b b + c
b 2d
]
=
[
0 1
−2 4
]
3. Suponham que A, B, C, D e E sejam matrizes dos seguintes tamanhos:
A4×5 B4×5 C5×2 D4×2 E5×4
Determine quais das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão
definidas, determine o tamanho da matriz resultante.
(a) BA
(b) AC + D
(c) AE + B
(d) AB + B
(e) E(A + B)
(f) E(AC)
(g) ETA
(h) (AT + E)D
4. Considere as matrizes A =
 3 0−1 2
1 1
 , B = [ 4 −1
0 2
]
, C =
[
1 4 2
3 1 5
]
,
D =
 1 5 2−1 0 1
3 2 4
 e E =
 6 1 3−1 1 2
4 1 3
.
Resolva os seguintes itens (quando posśıvel):
(a) D + E
(b) 5A
(c) −7C
(d) 2B − C
(e) 4E − 2D
(f) 2AT + C
(g) BT + 5CT
(h)
1
2
CT − 1
4
A
(i) B −BT
(j) AB
(k) BA
(l) A(BC)
(m) (DA)T
(n) (2DT − E)A
(o) (4B)C + 2B
(p) (−AC)T + 5DT
5. Conhecendo os produtos de matrizes AB =
 −2 −12 3
−2 4
 e AC =
 7 13 1
4 −2
 determine
(a) A(B + C) (b) BTAT (c) CTAT
1
jessica.nogueira
Realce
jessica.nogueira
Realce
jessica.nogueira
Realce
jessica.nogueira
Realce
jessica.nogueira
Realce
jessica.nogueira
Realce
jessica.nogueira
Realce
jessica.nogueira
Realce
jessica.nogueira
Realce
6. Determine a matriz em cada caso:
(a) A4×3, tal que aij =

3, se i < j
3i, se i = j
2i− j, se i > j
(b) B2×5, tal que bij =
{
i + j, se i < j
i− j, se i ≥ j
Respostas
1. a12 = −3 a22 = −5 a23 = 4 b11 = 4 b31 = 5 c13 = 2 c31 = 6 c33 = −1
2. (a) a = 1, b = 2, c = 3, d = 1 (b) a = 2, b = −2, c = 3, d = 2
3. (a) não definida (b) 4x2 (c) não definida (d) não definida
(e) 5x5 (f) 5x2 (g) não definida (h) 5x2
4. (a)
 7 6 5−2 1 3
7 3 7
 (b)
 15 0−5 10
5 5
 (c) [ −7 −28 −14−21 −7 −35
]
(d) não definida
(e)
 22 −6 8−2 4 6
10 0 4
 (f) [ 7 2 4
3 5 7
]
(g) não definida (h)
 −14 329
4
0
3
4
9
4
 (i) [ 0 −1
1 0
]
(j)
 12 −3−4 5
4 1
 (k) não definida (l)
 3 45 911 −11 17
7 17 13
 (m) [ 0 −2 11
12 1 8
]
(n)
 −6 −336 0
4 7
 (o) não definida (p)
 2 −10 1113 2 5
4 −3 13

5. (a)
 5 05 4
2 2
 (b) [ −2 2 −2−1 3 4
]
(c)
[
7 3 4
1 1 −2
]
6. (a)

3 3 3
3 6 3
5 4 9
7 6 5
 (b) [ 0 3 4 5 61 0 5 6 7
]
2
jessica.nogueira
Realce