MATEMÁTICA FINANCEIRA AV1

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Aula 01 
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 
Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$1.000,00 hoje não são iguais a R$1.000,00 em 
qualquer outra data, pois o dinheiro se modifica no tempo ao longo dos períodos, devido à 
taxa de juros por período. 
 
 
Aula 02 
FLUXO DE CAIXA 
Em Finanças, o fluxo de caixa (em inglês "cash flow") refere-se ao montante de caixa recebido 
e gasto por uma empresa durante um período de tempo definido. 
Existem dois tipos de fluxos: 
• Outflow: de saída, que representa as saídas de capital, subjacentes às despesas de 
investimento. 
• Inflow: de entrada, que é o resultado do investimento. Valor que contrabalança com 
as saídas e traduz-se num aumento de vendas ou numa redução de custos. 
Exemplo: 
O gráfico representa uma conta bancária no mês de janeiro. 
As setas para cima representam ENTRADAS. As 
setas para baixo representam SAÍDAS. Essa 
representação valerá para todas as nossas 
aulas. 
Supondo que não exista correção do valor do 
dinheiro no tempo, vamos calcular o saldo do 
fluxo de caixa no dia 31 de janeiro. 
SALDO = 1000 – 200 + 100 – 400 – 300 = $200 
UNIDADE DE MEDIDA DA TAXA DE JUROS 
Na matemática financeira, a taxa de juros é indicada por uma porcentagem. 
Exemplo: Suponha que a compra de uma TV LCD à vista custa R$1.000,00, e você paga com um 
cheque pré-datado para 30 dias no valor de R$1.100,00. Vamos calcular a taxa de juros 
cobrada pela loja. 
 Valor pago a mais em um mês: 
1100 – 1000 =100 (representa os juros) 
Porcentagem dos juros: 100/1000 = 10% 
Comentários: 
Como a taxa de juros foi empregada no período de um mês, ela é representada por 10% ao 
mês (10% am). Da mesma forma, a taxa de juros pode ser empregada em períodos diferentes: 
12% ao ano (12% aa); 8% ao semestre (8% as); 3% ao bimestre (3% ab) ; 0,2% ao dia (0,2% 
ad) 
JUROS SIMPLES 
Chamamos de juros a remuneração recebida pela aplicação de um capital C a uma taxa de 
juros i durante um certo tempo t. Se essa remuneração incide somente sobre o capital C ao 
final do tempo t, dizemos que esses juros são juros simples. 
No regime de juros simples, os juros de cada período são calculados em função do capital 
inicial (principal) aplicado. Os juros simples não são capitalizados e, consequentemente, não 
rendem juros. 
Exemplo: Um investidor aplicou R$1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de quatro anos, a uma 
taxa de juros simples de 8% ao ano. Calcule o saldo desse investidor no final de cada quatro 
anos da operação. 
 
A representação gráfica de aplicação de R$1.000,00 a 8% a.a. 
 
Exemplo 1: Se R$3.000,00 foram aplicados por 5 meses à taxa de juros simples de 4% ao mês, 
determine: 
a) os juros recebidos 
b) o montante 
 
Logo, os juros recebidos são R$600,00. 
O montante será o capital aplicado corrigido em 20%. 
M = 1,2 x 3000 
M = 3600 
Resposta: 
A- Juros = R$600,00 
B- Montante = R$3.600,00 
Exemplo 2: A quantia de R$2.000,00 foi aplicada por sete meses a juros simples de taxa anual 
de 24%. Qual o montante dessa aplicação? 
Solução: Repare que o prazo da aplicação está em meses e a taxa ao ano. Devemos 
transformar um deles em função do outro. 
 
Exemplo 3: R$5.000,00 foram aplicados a juros simples por 20 dias à taxa de 9% ao mês. Qual o 
montante dessa aplicação? 
Solução: 
 
M = 1,06 x 5000 = 5300 
Resp: O montante é R$5.300,00 
Exemplo 4: R$3.000,00 foram aplicados a juros simples por 10 dias à taxa de 7% ao mês. Qual o 
montante dessa aplicação? 
Solução: 
 
Resp: O montante é R$3.070,00 
Aula 03 
Juros Compostos 
No regime de juros compostos, os juros de cada período, que não forem pagos no final do 
período, são somados ao capital 
para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros são capitalizados e, 
consequentemente, rendem juros. 
Chamamos de juros compostos a remuneração que o capital C recebe após n períodos de 
aplicação, quando a cada período, a partir do segundo, os juros são calculados sobre o 
montante do capital C no período anterior. 
Exemplo: Um investidor aplicou no Banco XYZ R$1.000,00 no mercado financeiro a uma taxa 
de juros compostos de 8% ao ano. Calcule o valor do saldo credor no final de cada um dos 
quatro anos da operação. 
 
A representação gráfica de aplicação de R$1.000,00 a 8% a.a. sob o regime de juros 
compostos. 
 
Comparando uma aplicação de mesmo valor sob os regimes juros simples e juros compostos: 
 
Montante 
Assim, o Montante M de um capital C aplicado à taxa unitária i de juros compostos, a cada 
período de tempo, por n períodos, 
é dado por: 
 
 
Podemos esquematizar essa aplicação da seguinte forma: 
 
Como vamos deslocar o capital C cinco períodos para a direita, multiplicamos C por (1 + i ) n, 
que é o fator de capitalização. 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 5% a.m. no regime de 
juros compostos, a partir de um principal igual a R$100.000,00? Resp: R$240.661,90 
2. Qual o principal que deve ser investido nesta data para se ter um montante de 
R$500.000,00 daqui a 2 semestres, a uma taxa de 15% a.t., no regime de juros 
compostos. Resp: R$285.876,66 
3. Qual a taxa de rentabilidade mensal de investimento no regime de juros de compostos 
nessa data, no valor de R$10.000,00, para receber R$17.958,60 daqui a um ano? Resp: 
5% a.m. 
4. Quanto se terá daqui a 6 trimestres ao se aplicar R$100.000,00, nessa data, e qual a 
taxa mensal, no regime de juros compostos, para se obter um montante de 
R$170.243,30? Resp. 3% a.t. 
Aula 04 
CONCEITOS DE TAXAS DE JUROS 
• TAXA EQUIVALENTE: Taxas equivalentes são aquelas referidas a períodos de tempo 
diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram 
o mesmo montante. 
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual ia. O montante M aofinal do período de 
1 ano será igual a M = C (1 + ia ) Consideremos agora, o mesmo capital M aplicado por 12 
meses a uma taxa mensal im. O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ 
= C (1 + im)124 
 
As conversões das taxas podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas: 
 
Todas elas baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a 
um mesmo capital produzem montantes iguais. Não é necessário memorizar todas as 
fórmulas. Basta verificar a lei de formação que é bastante clara. 
 
Exemplos: 
Qual o montante acumulado no final de dois anos, a partir 
de um principal de R$2.000,00, com taxa de juros de 1% 
a.m., no regime de juros compostos? 
 
 
 
 
 
 
 
TAXA NOMINAL / TAXA PROPORCIONAL OU EFETIVA 
axa nominal é aquela que está definida em período de tempo diferente do período de 
capitalização. A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira pode ser calculada 
pela expressão: 
 
 
Exemplo 1: 
Se aplicarmos R$10.000,00 à taxa i = 36% ao ano com capitalização mensal, qual o montante 
(M) obtido ao final de um ano? 
 
 
 
Exemplo 2: O capital de R$10.000,00 será aplicado por 1 ano. A que taxa anual deverá ser 
aplicado para gerar o mesmo montante da aplicação à taxa composta de 3% ao mês? 
Obs.: a taxa composta de 3% ao mês indica tratar-se de juros compostos, ou seja, a cada mês 
será aplicado um porcentualde 3% sobre o montante. 
I = taxa anual 
C = 10000 
t = 1 ano = 12 meses 
i = ? 
 
Exercícios 
1. Determinar as taxas mensal, trimestral e semestral equivalentes a 36% a.a. Compare os 
valores obtidos com as respectivas taxas proporcionais. 
Solução: I = 36% a.a. 
 
 
Agora, vamos calcular as taxas proporcionais: 
Partindo da taxa de 36% ao ano: 
 
2. Um capital de $10.000,00 foi aplicado durante 5 anos à taxa de juros de 3% a.a. 
Dizer: (a) Quais os juros totais produzidos; (b) O valor atingido pelo capital ao final de 5 anos 
 
3. Que taxa nominal de juros anual, capitalizada trimestralmente, produz juros totais iguais a 
60% do capital ao final de 5 anos?4. Quanto devo aplicar numa instituição financeira, em caderneta de poupança, que paga uma 
taxa de juros de 6% a.a., para obter $10.000,00 ao final de 5 anos 
 
TAXA REAL 
Taxa real é a taxa de remuneração do capital, descontada a taxa de inflação. A taxa real 
expurga o efeito da inflação. Um aspecto interessante sobre a taxa real de juros é que ela pode 
ser negativa! 
 
 
 
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula 
anterior, vem: 
(1 + in) = (1+r). (1 + j) 
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10) 
1,25 = (1 + r).1,10 
1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364 
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64% 
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros: 
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30) 
1,25 = (1 + r).1,30 
1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615 
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto, teríamos uma taxa real de juros 
negativa! 
 
Denomina-se taxa bruta de uma aplicação financeira a taxa de juros obtida considerando o 
valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto de 
renda, que é retido pela instituição financeira. 
 
TAXA PREFIXADA / PÓS-FIXADA 
A diferença básica entre ambas as taxas, prefixada e pós-fixada, se concentra na forma de 
compor a taxa: enquanto o crédito prefixado opera com juros estáveis, que considera a 
inflação, o ganho da financeira e mais uma margem de garantia para qualquer eventualidade, 
o pós-fixado conta com taxas menores, que equivalem apenas aos juros. Os outros dois 
componentes (risco da economia e inflação) ficam por conta do devedor, que, além do juro, 
arca com a correção por um indicador de inflação, como TR ou variação cambial. 
Portanto, aí está centrado o risco do negócio: mesmo com a estabilidade econômica, tanto o 
dólar quanto a inflação podem apresentar variações, o que pode transformar os 
financiamentos pós-fixados em operações arriscadas. O consumidor pode sair ganhando na 
parte fixa da taxa de juros, mas em caso de qualquer oscilação mais forte na parte variável, 
pode acabar pagando mais pelo crédito pós-fixado. 
Um exemplo de aplicação pós-fixada é a Caderneta de Poupança, que permiteao investidor 
aplicar pequenas somas com rendimentos a cada 30 dias. A remuneração é composta por TR 
(taxa referencial) da data de aniversário da aplicação + 0,5% ao mês. A caderneta depoupança 
é uma aplicação pós-fixada. Os ganhos são isentos de imposto de renda, mas se o aplicador 
resgatar antes da data de aniversário da aplicação, perde toda a rentabilidade do período (do 
montante resgatado e não do saldo). 
Aula 05 
OPERAÇÕES DE DESCONTO 
O desconto comercial, bancário ou por fora é o juro calculado sobre o valor nominal ou de 
face. 
Exemplo 1: Qual será o valor do resgate de uma duplicata de R$100,00, antes do seu 
vencimento, em um determinado período, supondo que o banco cobre uma taxa de desconto 
comercial de 5%? 
Solução: 
 
Exemplo 2: Qual será o valor do resgate de um cheque de R$120,00 num prazo de antecipação 
de 2 meses, com desconto comercial em um mercado de taxa mensal simples de 10%? 
 
O desconto racional, matemático ou por dentro é o juro calculado sobre o valor nominal ou de 
face. É o desconto d que determina um valor A que, corrigido nas condições de mercado, tem 
para montante o valor nominal N. d = juro calculado sobre A. 
Exemplo 3: Qual será o valor do resgate de uma duplicata de R$100,00, antes do seu 
vencimento, em um determinado período, supondo que o banco cobra uma taxa de desconto 
racional de 5%? 
 
 
 
 
Aula 06