PC_2019-1_EP13_Numeros Complexos

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EP 13 – 2019-1 – Números Complexos Pré-Cálculo 
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Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
CEDERJ 
EP 13 
Pré-Cálculo 
______________________________________________________________________________ 
Caros alunos. 
Quando falamos de números complexos, ou números imaginários, pode parecer estranho. Números imaginários? 
Então só existem em nossa imaginação? Não, nada disso. Esses números surgem para resolver equações algébricas, 
sobretudo as equações de grau 3 e não as de grau 2 como é comum ouvirmos. Mas a aceitação desses números ocorreu 
de forma lenta. Os matemáticos antigos na Babilônia, na Grécia resolviam algumas equações do 2º. grau. Os primeiros 
completavam quadrado, os gregos resolviam com régua e compasso. Com a queda do Império Romano, o 
desenvolvimento da Matemática ficou por conta dos hindus e dos árabes. O matemático hindu Sridhara, no século 11, 
aparece com a Fórmula de Baskara para resolver a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , 𝑎 ≠ 0 . Pela fórmula de Baskara 
calculam-se as raízes dessa equação. 
 𝑥1 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 e 𝑥2 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 . 
Quando ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, os matemáticos da época não se perturbavam muito. Para eles, simplesmente, o problema 
não tinha solução. 
Na Itália, no século XVI, surge uma disputa pela resolução da equação do 3º. grau entre Cardano e Tartaglia, e foi nesse 
momento, que eles perceberam que os números reais não eram suficientes para resolver as questões que se 
apresentavam e então surgiram as primeiras ideias para se criar os números complexos. 
É muito importante que vocês leiam a Aula 19 – Números Complexos do Módulo 3, Volume II e a Aula 20 – Forma 
polar dos números complexos do Módulo 3, Volume II que tratam com detalhe o conjunto desses números. 
Aqui vamos apresentar apenas um resumo das principais propriedades dos números complexos. 
______________________________________________________________________________ 
Tentando resolver equações do tipo 𝑥2 + 1 = 0 , nos deparamos com 𝑥2 = −1. 
O conjunto dos números reais foi então, ampliado e foi construído um conjunto de números que contém os números 
reais e onde, por exemplo, existem números cujo quadrado é negativo. 
Um número complexo pode ser representado na forma 𝒂 + 𝒃𝒊 , onde 𝒂 , 𝒃 ∈ ℝ e 𝒊 é um símbolo com a 
propriedade que 𝒊𝟐 = −𝟏. 
O número complexo 𝒂 + 𝒃𝒊 também pode ser representado pelo par ordenado (𝐚 , 𝐛) e pode ser representado num 
plano (chamado plano de Argand-Gauss) por um ponto. 
Assim, o número complexo 𝒊 = 𝟎 + 𝟏. 𝒊 é identificado com o ponto (𝟎 , 𝟏) 
No número complexo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 : 
▪ o número real 𝒂 é dito ser a parte real desse número, 𝐑𝐞(𝒛) = 𝒂. 
▪ o número real 𝒃 é dito ser a parte imaginária desse número, 𝐈𝐦(𝒛) = 𝒃. 
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Exemplo 1: Dado 𝒛 = −𝟑 + 𝟒𝒊 então 𝐑𝐞(𝒛) = −𝟑 e 𝐈𝐦(𝒛) = 𝟒 . 
No plano Argand-Gauss: 
▪ o eixo horizontal é denominado eixo real 
▪ o eixo vertical é chamado de eixo imaginário. 
Dado o número complexo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 : 
▪ se 𝒃 = 𝟎 , então 𝒛 = 𝒂 e este número complexo é na realidade um número real. 
▪ se 𝒂 = 𝟎 , então 𝒛 = 𝒃𝒊 e este número complexo é dito imaginário puro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualdade de números complexos: 
Dados dois números complexos: 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 e 𝒘 = 𝒄 + 𝒅𝒊 . Dizemos que: 
𝒛 = 𝒘 ⇔ 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝒄 + 𝒅𝒊 ⇔ 𝒂 = 𝒄 e 𝒃 = 𝒅 ⇔ 𝐑𝐞(𝒛) = 𝐑𝐞(𝒘) e 𝐈𝐦(𝒛) = 𝐈𝐦(𝒘). 
Operações definidas no conjunto dos números complexos: 
Adição: dados 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 
 𝒛 + 𝒘 = (𝒂 + 𝒃𝒊) + (𝒄 + 𝒅𝒊) = (𝒂 + 𝒄) + (𝒃 + 𝒅)𝒊 = ( 𝑹𝒆(𝒛) + 𝐑𝐞(𝒘)) + ( 𝐈𝐦(𝒛) + 𝐈𝐦(𝒘) )𝒊 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicação: dados 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 
 𝒛 . 𝒘 = (𝒂 + 𝒃𝒊) × (𝒄 + 𝒅𝒊) = (𝒂. 𝒄 − 𝒃. 𝒅) + (𝒂. 𝒅 + 𝒃. 𝒄)𝒊 
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Para cada número natural 𝑛 e cada número complexo 𝑧 , definimos: 
 
 
 
 
Propriedades das Operações 
▪ As operações de Adição e Multiplicação são: comutativas e associativas. 
▪ Existe o elemento neutro da adição: 
 𝟎 + 𝟎𝒊 , tal que (𝑎 + 𝑏𝑖) + (0 + 0𝑖) = (𝑎 + 0) + (𝑏 + 0)𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ 
▪ Existe o elemento neutro da multiplicação: 
𝟏 = 𝟏 + 𝟎𝒊 , tal que (𝑎 + 𝑏𝑖) + (1 + 0𝑖) = 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ 
▪ Existe o elemento simétrico: 
O simétrico de 𝒂 + 𝒃𝒊 é −𝒂 − 𝒃𝒊 , pois (𝑎 + 𝑏𝑖 ) + (−𝑎 − 𝑏𝑖) = 0 + 0𝑖 = 0 
▪ Existe o elemento inverso: 
O inverso de z = 𝑎 + 𝑏𝑖 ≠ 0 é 
1
𝑧
 = 
𝑎
𝑎2+𝑏2
 – 
𝑏
𝑎2+𝑏2
𝑖 , pois 𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0 e 
z ×
1
z
 = (𝑎 + 𝑏𝑖) × (
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
 – 
𝑏
𝑎2 + 𝑏2
𝑖) = 1 
▪ Propriedade distributiva: 
𝑧1 × (𝑧2 + 𝑧3) = ( 𝑧1 × 𝑧2 ) + ( 𝑧1 × 𝑧3 ) 
Observação 1: o produto de números complexos foi definido de forma que as propriedades comutativa e 
distributiva sejam válidas. 
Observação 2: A definição de produto dada acima, não precisa ser memorizada. A regra prática para o 
cálculo do produto é aplicar as propriedades comutativa e distributiva, pois 
(𝒂 + 𝒃𝒊) × (𝒄 + 𝒅𝒊) = 𝒂. 𝒄 + 𝒂. 𝒅. 𝒊 + 𝒃. 𝒄. 𝒊 + 𝒃.𝒅. 𝒊𝟐 = 𝒂. 𝒄 + (𝒂. 𝒅 + 𝒃. 𝒄)𝒊 + 𝒃.𝒅. (−𝟏) = 
 (𝒂. 𝒄 − 𝒃. 𝒅) + (𝒂. 𝒅 + 𝒃. 𝒄)𝒊 
 
 
𝑧0 = 1 , 𝑠𝑒 𝑧 ≠ 0, 𝑧1 = 𝑧 
𝑧𝑛 = 𝑧 × 𝑧…𝑧 ⏟ 
𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
 , 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2 , 𝑧−𝑛 =
1
𝑧𝑛
 , 𝑧 ≠ 0 
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Se 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 é um número complexo, 
▪ o conjugado de 𝒛 é denotado por �̅� e definido por 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖 
▪ e o módulo de 𝒛 denotado por |𝒛| e definido por 
|𝒛| = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 
 
 
 
 
 
Se os vetores que representam os números complexos 𝑧 𝑒 𝑤 não têm a mesma direção então para somá-los 
formamos um triângulo com lados de comprimento |𝑧| , |𝑤| e |𝑧 + 𝑤| . 
Em cada triângulo sabemos que: 
“A soma dos comprimentos de dois lados é sempre maior que o comprimento do terceiro lado”, logo: 
|𝑧 + 𝑤| ≤ |𝑧| + |𝑤| 
“Cada lado é sempre maior que a diferença (em valor absoluto) dos outros dois lados”, logo 
| |𝑧| −|𝑤 | | < | 𝑧 + 𝑤 | 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES: Sejam 𝒛 , 𝒘 ∈ ℂ 
(1) 𝑧 ̅ = 0 ⇔ 𝑧 = 0 (2) 𝑧 ̅ = 𝑧 ⇔ 𝒛 ∈ ℝ 
(3) 𝑧̿ = 𝑧 , para todo 𝒛 ∈ ℂ (4) 𝑧 + 𝑤̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑧 ̅ + �̅� 
(5) 𝑧 × 𝑤̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑧 ̅ × �̅� (6) (
𝑧
𝑤
)
̅̅ ̅̅ ̅
=
�̅�
�̅�
 , se 𝑤 ≠ 0 
(7) 𝑧 ̅ × 𝑧 = |𝑧|2 , para todo 𝒛 ∈ ℂ (8) |𝑧| = | 𝑧 ̅| = |−𝑧| , para todo 𝒛 ∈ ℂ 
(9) |𝑧 × 𝑤| = |𝑧| × |𝑤| (10) |𝑧 + 𝑤| ≤ |𝑧| + |𝑤| 
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(11) 
1
𝑧
= 
�̅�
|𝑧|2
= 
�̅�
𝑧 ̅×𝑧
 , se 𝑧 ≠ 0 (12) 
𝑤
𝑧
= 𝑤 ×
�̅�
|𝑧|2
= 
𝑤×�̅�
𝑧 ̅×𝑧
 , se 𝑧 ≠ 0 
(13) Re(𝑧) = 
𝑧+�̅�
2
 e Im(𝑧) = 
𝑧−�̅�
2𝑖
 (14) Re(𝑧) ≤ |Re(𝑧) | ≤ |𝑧| e Im(𝑧) ≤ |Im(𝑧) | ≤ |𝑧| 
 
Vamos calcular as potências 𝒊𝒏 para todo 𝑛 inteiro nulo ou positivo. 
𝑖0 = 1 𝑖1 = 𝑖 𝑖2 = −1 𝑖3 = 𝑖2. 𝑖 = −1. 𝑖 = −𝑖 𝑖4 = 𝑖2. 𝑖2 = −1. (−1) = 1 
𝑖5 = 𝑖4. 𝑖 = 1. 𝑖 = 𝑖. Vemos, portanto, que os valores das potências começam a se repetir. 
Para calcular 𝑖𝑛 , para um número inteiro nulo ou positivo, vamos dividir 𝑛 por 4. 
𝑛 = 4𝑞 + 𝑟 , onde 0 ≤ 𝑟 < 4 , ou seja 𝑟 = 0 𝑜𝑢 𝑟 = 1 𝑜𝑢 𝑟 = 2 𝑜𝑢 𝑟 = 3. 
Logo, 
𝑖𝑛 = 𝑖4𝑞+𝑟 = 𝑖4𝑞 . 𝑖𝑟 = (𝑖4)𝑞 . 𝑖𝑟 = 1𝑞 . 𝑖𝑟 = 1. 𝑖𝑟 = 𝑖𝑟 , onde 𝑟 é o resto da divisão de 𝑛 por 4. 
 
Exemplo 2: Calcule 𝑖175 
Solução: 
Como 175 = 4.43 + 3 , então 𝑖175 = 𝑖3 = −𝑖 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 3: Expresse o número 
−2+5𝑖
3+2𝑖
 na forma 𝑎 + 𝑏𝑖 . 
Solução: Vamos multiplicar o numerador e o denominador, pelo complexo conjugado do denominador. 
−2 + 5𝑖
3 + 2𝑖
 = 
(−2 + 5𝑖). (3 − 2𝑖)
(3 + 2𝑖). (3 − 2𝑖)
 = 
−2(3 − 2𝑖) + 5𝑖(3 − 2𝑖) 
32 + 22
= 
−6 + 4𝑖 + 15𝑖 − 10𝑖2 
32 + 22
= 
 
−6+4𝑖+15𝑖+10 
32+22
= 
4+19𝑖 
13
= 
4
13
 + 
19
13
 𝑖 
 
As raízes complexas do polinômio de grau 2: 
Agora, os polinômios 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , com ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 e 𝑎 ≠ 0 têm raízes em ℂ. 
Vejamos: 
𝑥1 = 
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 𝑒 𝑥2 = 
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Ou seja, 
𝑥1 = 
−𝑏 − √−(−∆) 
2𝑎
 𝑒 𝑥2 = 
−𝑏 + √−(−∆) 
2𝑎
 
E assim, as raízes são: 
𝑥1 = 
−𝑏 − √(−∆) . √−1 
2𝑎
=
−𝑏 − √(−∆) . 𝑖
2𝑎
 𝑒 𝑥2 = 
−𝑏 + √(−∆) . √−1 
2𝑎
=
−𝑏 + √(−∆) . 𝑖
2𝑎
 
Observe que as raízes 𝑥1 e 𝑥2 são números complexos conjugados. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exemplo 4: Encontre as raízes da equação 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 
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Solução: 𝑥1 = 
−1− √12−4.1.1
2.1
 𝑒 𝑥2 = 
−1+√12−4.1.1
2.1
 
 
Donde, 𝑥1 = 
−1− √−3
2
 𝑒 𝑥2 = 
−1+√−3
2.1
 , e assim 𝑥1 = 
−1− √3 𝑖
2
 𝑒 𝑥2 = 
−1+ √3 𝑖
2
 
Observe que, 𝑥1̅̅ ̅ = 𝑥2 
IMPORTANTE: 
Teorema Fundamental da Álgebra. 
Toda equação polinomial 𝑎𝑛 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0 de grau 𝑛 ≥ 1 tem pelo menos uma raiz 
complexa, que pode ser real. 
_______________________________________________________________________________________________ 
FORMA POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS 
Sabemos que todo número complexo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 pode ser representado pelo par ordenado (𝐚 , 𝐛) e pode ser 
representado num plano por um ponto. Esse ponto pode ser representado em coordenadas polares (𝐫, 𝛉) , com 𝐫 ≥
𝟎. 
 
 Temos que: 
 𝐜𝐨𝐬 𝛉 = 
𝒂
𝒓
 ⇒ 𝒂 = 𝒓𝐜𝐨𝐬(𝛉) 
 𝐬𝐞𝐧 𝛉 = 
𝒃
𝒓
 ⇒ 𝒃 = 𝒓𝐬𝐞𝐧 𝛉 
 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 = ( 𝒓𝐜𝐨𝐬 𝛉) + (𝒓𝐬𝐞𝐧 𝛉)𝒊 
𝒛 = 𝒓(𝐜𝐨𝐬 𝛉 + 𝒊𝐬𝐞𝐧𝛉) , onde 𝐫 = |𝐳| = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 
O ângulo 𝛉 é um ângulo medido no sentido anti-horário, a partir do eixo 𝑂𝑥 e é medido em radianos. 
Este ângulo 𝛉 . é chamado de argumento do número complexo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 , denotado por 𝐚𝐫𝐠(𝒛) = 𝛉 . 
OBSERVAÇÃO: o argumento 𝛉 tal que 𝛉 ∈ [𝟎, 𝟐𝛑) é chamado de argumento principal do número complexo 𝑧 =
𝑎 + 𝑏𝑖 
Portanto, 
 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 , 𝒛 = 𝒓(𝐜𝐨𝐬 𝛉 + 𝒊𝐬𝐞𝐧 𝛉) , 𝐚𝐫𝐠(𝒛) = 𝛉 
𝜽 é o argumento principal de 𝒛 se 𝛉 ∈ [𝟎, 𝟐𝛑) , 
 𝐜𝐨𝐬 𝛉 = 
𝒂
𝒓
 , 𝐬𝐞𝐧 𝛉 = 
𝒃
𝒓
 , 𝐫 = |𝐳| = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 
 
Exemplo 5: Escreva os números a seguir na forma polar 
 (a) 𝑧 = −√3 + 𝑖 (b) 𝑧 = 1 + 2𝑖 
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Solução: 
(a) r = |z| = √𝑎2 + 𝑏2 = √(−√3)2 + 12 = √4 = 2 e cos θ = 
−√3
 2
 , sen θ = 
 1
 2
 . Como cos θ < 0 e 
 sen θ > 0 , então θ é um ângulo do 2º. Quadrante e pelos valores temos θ = 
5𝜋
6
 . 
Logo, 𝑧 = 2 (cos 
5𝜋
6
+ 𝑖sen 
5𝜋
6
) 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 (b) r = |z| = √𝑎2 + 𝑏2 = √12 + 22 = √5 e cos θ = 
1
 √5
 , sen θ = 
 2
 √5
 . Como cos θ > 0 e sen θ >
0 , então θ é um ângulo do 1º. Quadrante e tan θ = 
𝑠𝑒𝑛θ 
cosθ
= 2 . Assim, podemos dizer que 
θ = arctan (2). 
Logo, 𝑧 = √5 [cos(arctan(2)) + 𝑖sen (arctan(2))] . 
O exemplo do item (b), nos mostra que nem sempre o argumento de um número complexo é um ângulo notável. 
Com proceder então, para encontrar o argumento 𝛉 de um número complexo, quando este argumento não é um 
ângulo notável? 
Temos quatro situações possíveis. 
Lembre que o intervalo de inversão da função y = tan(𝑥) é (−
𝜋
2
 ,
𝜋
2
 ). Vamos usar esse fato! 
Dado 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 o argumento principal 𝜃 pode ser calculado como um dois 8 casos abaixo. O quadrante ou o eixo 
onde está o argumento depende do sinal de 𝑎 e do sinal de 𝑏. 
Para 𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0, cos 𝜃 =
𝑎
√𝑎2+𝑏2
, 𝑎 ≠ 0, sen 𝜃 =
𝑏
√𝑎2+𝑏2
 ⟹ tan 𝜃 =
𝑏
√𝑎2+𝑏2
𝑎
√𝑎2+𝑏2
 ⟹ tan 𝜃 =
𝑏
𝑎
 
Caso 1: 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 ⟹ 0 < 𝜃 <
𝜋
2
 , tan θ =
b
a
 > 0 ⟹ 0 < arctan
𝑏
𝑎
<
π
2
 ⟹ 𝛉 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
𝒃
𝒂
 
Caso 2: 𝑎 < 0, 𝑏 > 0 ⟹
𝜋
2
< 𝜃 < π , tan θ =
b
a
< 0⟹ −
𝜋
2
< arctan
𝑏
𝑎
< 0 ⟹ 𝛉 = 𝛑+ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
𝒃
𝒂
 
Caso 3: 𝑎 < 0, 𝑏 < 0 ⟹ 𝜋 < 𝜃 <
3𝜋
2
 , tan θ =
b
a
> 0⟹ 0 < arctan
𝑏
𝑎
<
π
2
 ⟹ 𝛉 = 𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
𝒃
𝒂
 
Caso 4: 𝑎 > 0, 𝑏 < 0 ⟹
3𝜋
2
< 𝜃 < 2𝜋 , tan θ =
b
a
< 0 ⟹ −
𝜋
2
< arctan
𝑏
𝑎
< 0 ⟹ 𝛉 = 𝟐𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
𝒃
𝒂
 
Caso 5: 𝑎 > 0, 𝑏 = 0 ⟹ 𝜃 = 0 , tan θ =
0
a
= 0 ⟹ arctan0 =0 ⟹ 𝛉 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧𝟎 = 𝟎 
Caso 6: 𝑎 = 0, 𝑏 > 0 ⟹ 𝜃 =
𝜋
2
 ,
 b
a
 não está definida e tan
𝑏
𝑎
 não está definida ⟹ 𝛉 =
𝝅
𝟐
 
Caso 7: 𝑎 < 0, 𝑏 = 0 ⟹ 𝜃 = 𝜋 , tan θ =
b
a
= 0 ⟹ arctan
𝑏
𝑎
= 0 ⟹ 𝛉 = 𝛑+ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧𝟎 = 𝝅 
Caso 8: 𝑎 = 0, 𝑏 < 0 ⟹ 𝜃 =
3𝜋
2
 ,
 b
a
 não está definida e tan
𝑏
𝑎
 não está definida ⟹ 𝛉 =
𝟑𝝅
𝟐
 
Vamos exemplificar essas situações. 
Exemplo 6: Escreva os números a seguir na forma polar, com argumento sendo o argumento principal. 
 (a) 𝑧 = 1 + 2√2 𝑖 (b) 𝑧 = −√5 + 2𝑖 (c) 𝑧 = −1 − √2 𝑖 (d) 𝑧 = √7 − 3𝑖 
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Solução: 
(a) 𝑧 = 1 + 2√2 𝑖 
𝑎 = 1 > 0, 𝑏 = 2√2 > 0 , então 0 < 𝜃 <
𝜋
2
 , e tan θ =
b
a
=
2√2
1
= 2√2 > 0. 
Sabemos que 0 < arctan(2√2) <
π
2
. Assim, podemos dizer que θ = arctan (2√2). 
Logo, 𝑧 = 3 [cos(arctan(2√2)) + 𝑖sen (arctan(2√2))] . 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) 𝑧 = −√5 + 2𝑖 
Como 𝑎 = −√5 < 0 e 𝑏 = 2 > 0, então 
𝜋
2
< 𝜃 < 𝜋 e 𝐭𝐚𝐧𝛉 = 
𝒃 
𝒂
=
𝟐 
−√𝟓
= − 
𝟐 √𝟓
𝟓
< 0. 
Observando o círculo trigonométrico ao lado, 
−
𝜋
2
< arctan (− 
𝟐 √𝟓
𝟓
) < 0 
 +𝜋 
⇒ 
𝜋
2
< π + arctan (− 
𝟐 √𝟓
𝟓
) < 𝜋. 
Assim, podemos dizer que 𝛉 = 𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(− 
𝟐 √𝟓
𝟓
). 
Logo, 𝑧 = 3 [cos (𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (− 
𝟐 √𝟓
𝟓
)) + 𝑖sen (𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (− 
𝟐 √𝟓
𝟓
))] . 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) 𝑧 = −1 − √2 𝑖 
Como 𝑎 = −1 < 0 e b = −√2 < 0 , então 𝜋 < 𝜃 <
3𝜋
2
 e 𝐭𝐚𝐧𝛉 = 
𝒃 
𝒂
=
−√2 
−𝟏
= √2 > 0. 
Observando o círculo trigonométrico ao lado, 
0 < arctan√2 <
𝜋
2
 
 +𝜋 
⇒ 𝜋 < 𝜋 + arctan√2 <
3𝜋
2
. 
Assim, podemos dizer que 𝛉 = 𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(√𝟐 ). 
Logo, 𝒛 = √𝟐 [𝐜𝐨𝐬(𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(√𝟐 )) + 𝒊𝐬𝐞𝐧 (𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(√𝟐 ))] . 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(d) 𝑧 = √7 − 3𝑖 
a = √7 > 0, 𝑏 = −3 < 0 , então 
3𝜋
2
 < 𝜃 < 2𝜋 e 𝐭𝐚𝐧𝛉 = 
𝒃 
𝒂
=
−𝟑 
√7
= − 
𝟑 √𝟕
𝟕
 . 
Observando o círculo trigonométrico ao lado, 
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−
𝜋
2
< arctan (− 
𝟑 √𝟕
𝟕
) < 0 
 +2𝜋 
⇒ 
3𝜋
2
< π + arctan (− 
𝟑 √𝟕
𝟕
) < 2𝜋. 
Assim, podemos dizer que 𝛉 = 𝟐𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (− 
𝟑 √𝟕
𝟕
). 
Logo, 𝒛 = 𝟒 [𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (− 
𝟑 √𝟕𝟕
)) + 𝒊𝐬𝐞𝐧 (𝟐𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (− 
𝟑 √𝟕
𝟕
))] 
 
Multiplicação e divisão na forma polar 
A forma polar dos números complexos nos dá uma nova visão da multiplicação e da divisão de números complexos. 
Sejam 𝒛𝟏 = 𝒓𝟏(𝐜𝐨𝐬 𝛉𝟏 + 𝒊𝐬𝐞𝐧 𝛉𝟏) e 𝒛𝟐 = 𝒓𝟐(𝐜𝐨𝐬 𝛉𝟐 + 𝒊𝐬𝐞𝐧 𝛉𝟐) números complexos escritos na forma polar. 
Temos: 
 𝑧1 𝑧2 = 𝑟1𝑟2(cos θ1 + 𝑖sen θ1)(cos θ2 + 𝑖sen θ2) = 
 = 𝑟1𝑟2[( cos θ1cos θ2 − sen θ1sen θ2) + 𝑖(cos θ1 sen θ2 + sen θ1cos θ2)] 
 = 𝑟1𝑟2[( cos (θ1 + θ2) + 𝑖sen( θ1 + θ2)] 
 
 
Logo, para multiplicar dois números complexos, multiplicamos os seus módulos 
e somamos seus argumentos. 
 
De maneira análoga, mostramos que 
 
 𝑧1 
 𝑧2
= 
 𝑟1 
 𝑟2
 [( cos (θ1 − θ2) + 𝑖sen( θ1 − θ2)] 𝑧2 ≠ 0 
 𝒛𝟏 
 𝒛𝟐
= 
 𝒓𝟏 
 𝒓𝟐
 [( 𝐜𝐨𝐬 (𝛉𝟏 − 𝛉𝟐) + 𝒊𝐬𝐞𝐧( 𝛉𝟏 − 𝛉𝟐)] 𝒛𝟐 ≠ 𝟎 
 
Logo, dividir dois números complexos, dividimos os seus módulos e subtraímos seus argumentos. 
 
Assim, se 𝑧1 = 1 e 𝑧2 = 𝑧 e consequentemente, 
 θ1 = 0 e θ2 = θ, temos: 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: 
 (a) Ache o produto dos números complexos 𝑧 = 1 − 𝑖 e 𝑤 = −1 + √3 𝑖 na forma polar. 
 (b) Ache o inverso de 𝑤 = −1 + √3 𝑖 na forma polar. 
 𝒛𝟏 𝒛𝟐 = 𝒓𝟏𝒓𝟐[( 𝐜𝐨𝐬 (𝛉𝟏 + 𝛉𝟐) + 𝒊𝐬𝐞𝐧( 𝛉𝟏 + 𝛉𝟐)] 
𝒛 = 𝒓(𝐜𝐨𝐬 𝛉 + 𝒊𝐬𝐞𝐧𝛉) 𝒆 
 
 𝟏
𝒛
= 
𝟏
𝒓
 [𝐜𝐨𝐬(−𝛉) + 𝒊𝐬𝐞𝐧(− 𝛉)] = 
𝟏
𝒓
 [𝐜𝐨𝐬 𝛉 − 𝒊𝐬𝐞𝐧 𝛉] 𝒛 ≠ 𝟎 
EP 13 – 2019-1 – Números Complexos Pré-Cálculo 
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 (c) Ache o quociente dos números complexos 𝑧 = 1 − 𝑖 e 𝑤 = −1 + √3 𝑖 na forma polar. 
Solução: 
(a) Encontrando a forma polar do número complexo 𝒛 = 𝟏 − 𝒊 
r = |z| = √𝑎2 + 𝑏2 = √12 + (−1)2 = √2 e cos θ = 
1
 √2
=
√2
 2
 , sen θ = 
−1
 √2
= −
√2
 2
 . Como cos θ > 0 
e sen θ < 0 , então θ é um ângulo do 4º. Quadrante e pelos valores temos θ = 
7𝜋
4
 . 
Logo, 𝑧 = √2 (cos 
7𝜋
4
+ 𝑖sen 
7𝜋
4
). 
Encontrando a forma polar do número complexo 𝒘 = −𝟏+ √𝟑 𝒊 
r = |w| = √𝑎2 + 𝑏2 = √(−1)2 + (√𝟑)
2
= 2 e cos θ = 
−1
 2
 , sen θ = 
√𝟑
 2
 . Como cos θ < 0 e sen θ > 0 , 
então θ é um ângulo do 2º. Quadrante e pelos valores temos θ = 
2𝜋
3
 . 
Logo, 𝑤 = 2 (cos 
2𝜋
3
+ 𝑖sen 
2𝜋
3
). 
𝑧 . 𝑤 = (1 − 𝑖 ) (−1+ √3 𝑖) = √2. 2 [cos ( 
7𝜋
4
+
2𝜋
3
 ) + 𝑖sen ( 
7𝜋
4
+
2𝜋
3
 )] = 
√2. 2 [cos ( 
29𝜋
12
 ) + 𝑖sen ( 
29𝜋
12
 )] = √2. 2 [cos ( 
29𝜋
12
− 2π ) + 𝑖sen ( 
29𝜋
12
− 2π)] . = 
√2. 2 [cos ( 
5𝜋
12
 ) + 𝑖sen ( 
5𝜋
12
)]. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) 
𝟏
 𝒘
= 
1
 2
 (cos (−
2𝜋
3
) + 𝑖sen (−
2𝜋
3
) ) = 
1
 2
 (cos 
2𝜋
3
− 𝑖sen 
2𝜋
3
) 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) 
𝒛
 𝒘
= 
√2
 2
 (cos (
7𝜋
4
−
2𝜋
3
) + 𝑖sen (
7𝜋
4
−
2𝜋
3
)) = 
√2
 2
 (cos 
13𝜋
12
+ 𝑖sen 
13𝜋
12
) 
Como calcular as potências inteiras positivas de um número complexo, quando escrito na sua forma polar? 
Basta usar a fórmula do produto, 𝑧1 𝑧2 = 𝑟1𝑟2[( cos (θ1 + θ2) + 𝑖sen( θ1 + θ2)] , repetidas vezes, por exemplo: 
Sendo 𝑧 = 𝑟(cos θ + 𝑖senθ) então: 
𝑧2 = 𝑟2(cos 2θ + 𝑖sen2θ) 𝑧3 = 𝑟3(cos 3θ + 𝑖sen3θ) 
Generalizando, temos o seguinte teorema: 
 
 
Portanto, para elevar um número complexo à potência 𝑛 , onde n é um número inteiro positivo, elevamos o módulo à 
potência 𝑛 e multiplicamos o argumento por 𝑛 . (observe que pode acontecer que o argumento 𝑛𝜃 não pertença ao 
intervalo [0,2𝜋) 
Exemplo 8: Calcule (−
1
2
− 
1
2
 𝑖)
6
 e escreva o resultado na forma 𝑎 + 𝑏𝑖 . 
Teorema de De Moivre Se 𝑧 = 𝑟(cos θ + 𝑖senθ) e 𝑛 for inteiro positivo, então 
𝑧𝑛 = [𝑟(cos 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)]𝑛 = 𝑟𝑛(cos nθ + 𝑖sen nθ) 
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Solução: Vamos encontrar a forma polar do número complexo 𝑧 = −
1
2
− 
1
2
 𝑖 . 
r = |z| = √𝑎2 + 𝑏2 = √(−
1
2
)
2
+ (−
1
2
)
2
= √
1
4
+
1
4
 = √
1
2
 = 
√2
2
 e cos θ = 
−
1
2
 
√2
2
= −
√2
2
 , 
 sen θ = 
−
1
2
 
√2
2
= −
√2
2
 . Como cos θ < 0 e sen θ < 0 , então θ é um ângulo do 3º. Quadrante e pelos valores 
temos θ = 
5𝜋
4
 . 
Logo, 𝑧 =
√2
2
(cos 
5𝜋
4
+ 𝑖sen 
5𝜋
4
). 
Portanto, pelo Teorema de De Moivre, 
𝑧6 = (−
1
2
− 
1
2
 𝑖)
6
= [ 
√2
2
(cos 
5𝜋
4
+ 𝑖sen 
5𝜋
4
)]
6
= (
√2
2
)
6
[cos (6 ×
5𝜋
4
) + 𝑖sen (6 ×
5𝜋
4
)] = 
23
26
[cos 
15𝜋
2
+ 𝑖sen 
15𝜋
2
] = 
1
23
[cos (
3𝜋
2
+
12𝜋
2
) + 𝑖sen (
3𝜋
2
+
12𝜋
2
)] = 
1
8
[cos (
3𝜋
2
+ 6𝜋) + 𝑖sen (
3𝜋
2
+ 6𝜋)] = 
1
8
[cos (
3𝜋
2
) + 𝑖sen (
3𝜋
2
)] = 
1
8
 (0 + 𝑖(−1)) = −
1
8
 𝑖 
O Teorema de De Moivre também pode ser usado para encontrarmos as raízes 𝑛-ésimas de números complexos. 
Uma raiz 𝒏-ésima de um número complexo 𝒛 é um número complexo 𝒘 . tal que 𝒘𝒏 = 𝒛. 
O seguinte resultado pode ser visto com detalhe no seu texto da Aula 20. 
Raízes de um Número Complexo Seja 𝑧 = 𝑟(cos θ + 𝑖senθ) e 𝑛 um inteiro positivo. Então 𝑧 tem 𝑛 raízes 
distintas 
𝑤𝑘 = 𝑟
1
𝑛 [cos (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
) + 𝑖sen(
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
)] 
onde 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1. 
 
Observação importante sobre as raízes de um número complexo: 
▪ Todas as 𝑛 raízes de 𝑧 tem o mesmo módulo, |𝑤𝑘| = 𝑟
1
𝑛 . Portanto todas as 𝒏 raízes de 𝒛 estão sobre um círculo 
de raio 𝒓
𝟏
𝒏 no plano complexo, o plano Argand-Gauss. 
▪ As 𝒏 raízes de 𝒛 estão igualmente espaçadas nesse círculo, já que o argumento de cada uma das 𝑛 raízes excede 
o argumento da raiz anterior por 
2𝜋 
𝑛
 . 
 
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Exemplo 9: Encontre as oito raízes complexas oitavas da unidade. 
Solução: Escrevendo 1 na sua forma polar: 1 = 1 + 0𝑖 . 
Temos que |1| = 1 e θ = arg(1) = 0 e assim, 1 = 1(cos 0 + 𝑖sen0) . 
Da fórmula 𝑤𝑘 = 𝑟
1
𝑛 [cos (
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛
) + 𝑖sen(
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛
)] , onde 𝑘 = 0, 1, 2,… , 𝑛 − 1 , segue que, 
 𝑤𝑘 = 𝑟
1
𝑛 [cos (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
) + 𝑖sen (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
)] = √1 
8
 [cos (
2𝑘𝜋
8
) + 𝑖sen(
2𝑘𝜋
8
)] , onde 𝑘 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
Logo, 
Para 𝒌 = 𝟎 , 𝑤0 = √1 
8
 [cos 0 + 𝑖sen0] = 1 
Para 𝒌 = 𝟏 , 𝑤1 = √1 
8
 [cos (
2𝜋
8
) + 𝑖sen(
2𝜋
8
)] = 1 [cos (
𝜋
4
) + 𝑖sen (
𝜋
4
)] = 
√𝟐
𝟐
+ 
√𝟐
𝟐
 𝒊 
Para 𝒌 = 𝟐 , 𝑤2 = √1 
8
 [cos (
4𝜋
8
) + 𝑖sen(
4𝜋
8
)] = 1 [cos (
𝜋
2
) + 𝑖sen (
𝜋
2
)] = 𝟎 + 𝒊 
Para 𝒌 = 𝟑 , 𝑤3 = √1 
8
 [cos (
6𝜋
8
) + 𝑖sen(
6𝜋
8
)] = 1 [cos (
3𝜋
4
) + 𝑖sen(
3𝜋
4
)] = − 
√𝟐
𝟐
+ 
√𝟐
𝟐
 𝒊 
Para 𝒌 = 𝟒 , 𝑤4 = √1 
8
 [cos (
8𝜋
8
) + 𝑖sen (
8𝜋
8
)] = 1[cos(𝜋) + 𝑖sen(𝜋)] = − 𝟏 + 𝟎 𝒊 
Para 𝒌 = 𝟓 , 𝑤5 = √1 
8
 [cos (
10𝜋
8
) + 𝑖sen (
10𝜋
8
)] = 1 [cos (
5𝜋
4
) + 𝑖sen(
5𝜋
4
)] = − 
√𝟐
𝟐
− 
√𝟐
𝟐
 𝒊 
Para 𝒌 = 𝟔 , 𝑤6 = √1 
8
 [cos (
12𝜋
8
) + 𝑖sen (
12𝜋
8
)] = 1 [cos (
3𝜋
2
) + 𝑖sen(
3𝜋
2
)] = 𝟎 − 𝟏 𝒊 
Para 𝒌 = 𝟕 , 𝑤7 = √1 
8
 [cos (
14𝜋
8
) + 𝑖sen (
14𝜋
8
)] = 1 [cos (
7𝜋
4
) + 𝑖sen (
7𝜋
4
)] = − 
√𝟐
𝟐
+ 
√𝟐
𝟐
 𝒊 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 10: Encontre as três raízes complexas cúbicas de −𝟖𝒊. 
Solução: Escrevendo −8𝑖 na sua forma polar: −8𝑖 = 0 − 8𝑖 . 
Temos que |−8𝑖| = 8 e θ = arg(−8𝑖) =
3𝜋
2
 e assim, −8𝑖 = 8(cos
3𝜋
2
+ 𝑖sen
3𝜋
2
) . 
Da fórmula𝑤𝑘 = 𝑟
1
𝑛 [cos (
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛
) + 𝑖sen(
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛
)] , onde 𝑘 = 0, 1, 2,… , 𝑛 − 1 , segue que, 
 𝑤𝑘 = 8
1
3 [cos(
3𝜋
2 + 2𝑘𝜋
3
)+ 𝑖sen(
3𝜋
2 + 2𝑘𝜋
3
)] = 2 [cos (
3𝜋 + 4𝑘𝜋
6
) + 𝑖sen (
3𝜋 + 4𝑘𝜋
6
)] , onde 𝑘
= 0, 1, 2, 
Logo, 
Para 𝒌 = 𝟎 , 𝑤0 = 2 [cos (
3𝜋
6
) + 𝑖sen (
3𝜋
6
)] = 2 [cos (
𝜋
2
) + 𝑖sen (
𝜋
2
)] = 2(0 + 𝑖) = 2𝑖 
Para 𝒌 = 𝟏 , 𝑤1 = 2 [cos (
7𝜋
6
) + 𝑖sen(
7𝜋
6
)] = 2 (−
√3
2
−
1
2
𝑖) = −√𝟑 − 𝒊 
Para 𝒌 = 𝟐 , 𝑤2 = 2 [cos (
11𝜋
6
) + 𝑖sen (
11𝜋
6
)] = 2 (
√3
2
−
1
2
𝑖) = √𝟑 − 𝒊 
 
 
 
Vamos agora falar da Exponencial Complexa. Não se assuste! 
Não podemos justificar este tópico para você agora, depende de teorias que você ainda não estudou, mas vamos 
mencioná-lo para que você saiba que ele existe e que é muito importante no estudo das equações diferenciais. 
Fórmula de Euler 
 𝑒𝑖𝑦 = cos 𝑦 + 𝑖sen 𝑦 
 
Dado 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 , 𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑦𝑖 = 𝑒𝑥. 𝑒𝑦𝑖 , pois a exponencial complexa tem as mesmas propriedades que a 
exponencial real, para a qual vale 𝑒𝑟+𝑠 = 𝑒𝑟. 𝑒𝑠 
Portanto, usando a Fórmula de Euler, obtemos 
 𝒆𝒛 = 𝒆𝒙+𝒚𝒊 = 𝒆𝒙. 𝒆𝒚𝒊 = 𝒆𝒙(𝐜𝐨𝐬𝒚 + 𝒊𝐬𝐞𝐧 𝒚) 
 
Fazendo 𝑦 = 𝜋 em 𝑒𝑖𝑦 = cos𝑦 + 𝑖sen 𝑦 , obtemos 𝑒𝑖𝜋 = cos𝜋 + 𝑖sen 𝜋 = −1 
Esta fórmula 𝒆𝒊𝝅 + 𝟏 = 𝟎 é conhecida como uma das mais belas fórmulas matemáticas, envolve os números 𝑒 , 𝜋 ,
𝑖 , 1 , 0. 
Exemplo 11: Escreva o número 𝑒2+𝑖𝜋 na forma 𝑎 + 𝑏𝑖 
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Solução: Segue de 𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑦𝑖 = 𝑒𝑥 . 𝑒𝑦𝑖 = 𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑖sen 𝑦), que 
 𝑒2+𝑖𝜋 = 𝑒2 (cos 𝜋 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜋) = 𝑒2 (−1 + 0𝑖) = −𝑒2 + 0𝑖 = −𝑒2 
 
E agora, aos exercícios: 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 1: : 
Considere a seguinte lista de números complexos 
 𝑧 = 𝑖 , 𝑧 = 3 , 𝑧 = 2 − 𝑖 , 𝑧 = −2 − 3𝑖 , 𝑧 = −𝑖 + √2 
(a) Represente geometricamente cada número complexo 𝑧 da lista, bem como o conjugado 𝑧 ̅ de 
cada z. 
(b) Dê o valor absoluto de cada 𝑧 e 𝑧 ̅, isto é, calcule |𝑧| e |𝑧 ̅| para cada 𝑧 ∈ ℂ. 
(c) Encontre 𝑤 =
𝑧
|𝑧|
 para cada 𝑧 dessa lista. Verifique que |𝑤| = 1 . Represente geometricamente 𝑤 =
𝑧
|𝑧|
 para cada 𝑧 dessa lista. 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 2: : 
Prove que |
𝑧
|𝑧|
| = 1 , para ∀ 𝑧 ∈ ℂ , 𝑧 ≠ 0. 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: 
Calcule a expressão e escreva na forma 𝑎 + 𝑏𝑖 
(a) (3 − 𝑖). (4 + 𝑖) (b) 
2+3𝑖
1−5𝑖
 (c) 
1
1+𝑖
 
(d) 2𝑖 (
1
2
− 𝑖)
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
 (e) √−25 (f) 𝑖3 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 4: 
Determine 𝑎 ∈ ℝ de modo que 𝑧 =
2+𝑖
3−𝑎𝑖
 seja imaginário puro. 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 5: 
Os números complexos 𝑧 e 𝑧̅ tais que 𝑧 + 𝑧 ̅ = 4 e 𝑧. 𝑧 ̅ = 13 são representados no plano Argand – 
Gauss pelos pontos 𝐴 e 𝐵 . Qual é a área do triângulo 𝐴𝐵𝑂 , sendo 𝑂 , a origem do plano. 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 6: 
Quais os possíveis valores reais de 𝑥 e 𝑦 que satisfazem a igualdade (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 8𝑖 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 7: 
Dado o número complexo 𝑧 = 2√3 + 2𝑖 , transforme 𝑧 para a forma polar e determine os dois menores 
valores naturais de 𝑛 , para os quais 𝑧𝑛 é imaginário puro. 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 8: 
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Mostre que a expressão 
1
√−5+5√3 𝑖 
 representa um número complexo (ou mais de um), e escreva-o(s) na 
forma 𝑥 + 𝑦𝑖. Sugestão: primeiro transforme (−5 + 5√3 𝑖) para a forma polar. 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 9: 
Se 𝑧 = 1 + 𝑖√3 , z w̅ = 1 . Encontre o argumento 𝛼 ∈ [0,2𝜋) de zw . 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 10: 
Considere os seguintes números complexos na forma polar: 
 𝑧1 = 4 [cos
𝜋
3
 + 𝑖 sen
𝜋
3
] 𝑧3 = cos
7𝜋
6
 + 𝑖 sen
7𝜋
6
 
 𝑧2 =
1
2
[cos
2𝜋
9
 + 𝑖 sen
2𝜋
9
] 𝑧4 = √2 [cos
7𝜋
6
+ 𝑖 sen
7𝜋
6
] 
Calcule e represente no plano complexo: (a) 
𝑧2.𝑧3
| 𝑧2𝑧3|
 (b) 
𝑧1
𝑧4
 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 11: 
Escreva os seguintes números complexos na forma polar: 
(a) 4√3 + 4𝑖 (b) −
1
3
+
√3
3
𝑖 (c) −𝑖 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 12: 
Resolva as equações, considerando 𝑧 ∈ ℂ : 
(a) 𝑧4 = 4√3 + 4𝑖 (b) 𝑧3 = 1 + 𝑖 
(c) 𝑧5 = −𝑖 (d) 𝑧2 = −5 − 12𝑖 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 13: 
Determine em ℂ todas as soluções da equação: 
(a) 𝑥2 − 8𝑥 + 17 = 0 (b) 𝑧2 + 𝑧 + 2 = 0 (c) 𝑥4 = 1 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 14: 
Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre 
(a) (1 + 𝑖)20 (b) (2√3 + 2𝑖)
5
 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 15: 
Escreva o número na forma 𝑎 + 𝑏𝑖 : (a) 𝑒𝑖
𝜋
2 (b) 𝑒𝑖
3𝜋
4 (c) 𝑒1+2𝑖 
Bom trabalho!