lista4cvga20132

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Universidade Veiga deAlmeida
Curso: Ba´sico das Engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Professora: Adriana Nogueira
4a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: Dados os vetores −→u = (0, 0, 2), −→v = (−3, 1, 3), −→w =
(1, 1, 0), calcule:
(a) −→u ×−→u ;
(b) −→u ×−→v ;
(c) −→v ×−→w ;
(d) (−→u ×−→v ) + (−→v ×−→u );
(e) −→v .(−→u ×−→v );
(f) (2−→v )× (3−→v );
(g) (−→u −−→v )× (−→u +−→v ).
Exerc´ıcio 2: Calcule:
(a) (5−→i )× (3−→i + 4−→j )
(b) (2−→j +−→k )× (8−→k )
(c) (4−→i − 5−→j )× (3−→j )
(d) (5−→k − 3−→j )× (8−→j )
Exerc´ıcio 3: Dados os pontos A = (1, 2, 0), B = (−1,−2, 3) e C =
(2,−1, 1), determine o ponto D para que se tenha −−→AD = −−→BC ×−→AC.
1
Exerc´ıcio 4: Sabendo que |−→u | = 1, |−→v | = 7 e o aˆngulo entre os vetores
−→u e −→v e´ θ = pi6 calcule:
(a) |−→u ×−→v |;
(b) |13−→u × 34−→v |
Exerc´ıcio 5: Calcule a a´rea do paralelogramo formado pelos vetores
−→u = (1, 1,−1) e −→v = (2, 1, 4).
Exerc´ıcio 6: Calcule a a´rea do triaˆngulo formado pelos vetores −→u =
(0, 1, 3) e −→v = (−1, 1, 0).
Exerc´ıcio 7: Ache um vetor ortogonal a:
(a) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3);
(b) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3) e unita´rio;
(c) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3) com mo´dulo 3.
Exerc´ıcio 8: Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD sabendo-se que os
ve´rtices A, B e C sa˜o dados por A = (1, 3, 1), B = (2, 0, 3) e C = (0, 1,−1).
Exerc´ıcio 9: Calcule a a´rea do triaˆngulo ABC sabendo-se que os
ve´rtices A, B e C sa˜o dados por A = (1, 1, 2), B = (2, 1, 5) e C = (2, 3, 2).
Exerc´ıcio 10: Dados os vetores −→u = (2, 1, 2), −→v = (3, 2, 6), calcule:
(a) |−→u | e |−→v |;
(b) A a´rea do paralelogramo formado pelos vetores −→u e −→v ;
(c) A altura do paralelogramo formado pelos vetores −→u e −→v relativa a
base formada por −→u ;
(d) A a´rea do triaˆngulo formado pelos vetores −→u e −→v ;
(e) A altura do triaˆngulo formado pelos vetores −→u e −→v relativa a base
formada por −→v .
2
Exerc´ıcio 11: Calcule:
(a) < −→i ,−→j ,−→k >;
(b) < 2−→i ,−→j , 5−→k >;
(c) < 3−→i , 6−→j + 3−→k , 2−→k >
Exerc´ıcio 12: Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos
vetores −→u = (3,−1, 4), −→v = (2, 0, 1) e −→w = (−2, 1, 5).
Exerc´ıcio 13: Dados os vetores −→u = (−1, 1, 0), −→v = (1, 2, 1) e −→w =
(0, 1, 5), calcule:
(a) Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u , −→v
e −→w ;
(b) Calcule a altura do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u , −→v
e −→w relativa a` base constitu´ıda pelos vetores −→u e −→v .
RESPOSTAS
Exerc´ıcio 1:
(a) −→u ×−→u = −→0 ;
(b) −→u ×−→v = (−2,−6, 0);
(c) −→v ×−→w = (−3, 3,−4);
(d) (−→u ×−→v ) + (−→v ×−→u ) = −→0 ;
(e) −→v .(−→u ×−→v ) = 0;
(f) (2−→v )× (3−→v ) = −→0 ;
(g) (−→u −−→v )× (−→u +−→v ) = (−4,−12, 0).
3
Exerc´ıcio 2: (a) 20−→k (b) 16−→i (c) 12−→k (d) −40−→i
Exerc´ıcio 3: D = (−4,−3,−10)
Exerc´ıcio 4: (a) |−→u ×−→v | = 72 ; (b) |13−→u × 34−→v | = 78
Exerc´ıcio 5: A =
√
62.
Exerc´ıcio 6: A =
√
19
2 .
Exerc´ıcio 7:
(a)−→w = (4,−3, 1); (b)−→w = (2
√
26
13 ,
−3√26
26 ,
√
26
26 ); (c)
−→w = (6
√
26
13 ,
−9√26
26 ,
3
√
26
26 ).
Exerc´ıcio 8: A = 5
√
5
Exerc´ıcio 9: A = 72
Exerc´ıcio 10:
(a) |−→u | = 3 e |−→v | = 7;
(b) A =
√
41;
(c) h =
√
41
3 ;
(d) A =
√
41
2 ;
(e) h =
√
41
7 .
Exerc´ıcio 11:
(a) < −→i ,−→j ,−→k >= 1;
(b) < 2−→i ,−→j , 5−→k >= 10;
(c) < 3−→i , 6−→j + 3−→k , 2−→k >= 36
Exerc´ıcio 12: V = 17.
Exerc´ıcio 13: (a) V = 14 (b) h = 14
√
11
11
4