Estabilidade de Sistemas

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Estabilidade
Noção de Estabilidade
Uma definição, sem rigor, de estabilidade é: um sistema é dito estável, 
se sua resposta a qualquer excitação “razoável”, não sair do controle.
Noção de Estabilidade
Uma definição, sem rigor, de estabilidade é: um sistema é dito estável, 
se sua resposta a qualquer excitação “razoável”, não sair do controle.
Definição
Um sistema qualquer é estável se e somente se para qualquer 
entrada limitada a saída correspondente é limitada.
Exemplo 1
Considere o sistema tipo integrador
Sistema 
instável
Observações
Para verificar se o sistema é estável, devemos aplicar todas as entradas 
limitadas e verificar se todas as saídas correspondentes são limitadas. 
Inviável
Este critério é chamado BIBO (Bounded Input, Bounded Output) e é válido 
para qualquer sistema linear ou não. 
TEOREMA
Um SLIT é estável se e somente se o módulo da sua 
resposta ao impulso for integrável em um intervalo infinito.
Exemplo 2
Considere o sistema tipo integrador
Sistema 
instável
Impulso
Transformada 
Inversa
Aplicando o teorema
Corolário
Um SLIT é estável se e somente se todos os polos da função de 
transferência do sistema tiverem parte real negativa
Exemplo 3: Determine se o sistema abaixo é 
estável ou instável. 
Exemplo 3: Determine se o sistema abaixo é 
estável ou instável. 
Exemplo 3 : Determine se o sistema abaixo é 
estável ou instável. 
Resposta 
Impulsiva
O critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
O critério de estabilidade de Routh-Hurwiitz verifica se todos os polos 
de uma função de transferência pertence ao semiplano esquerdo do plano-s. 
Suponha que a função de transferência é da forma: 
O critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
ALGORITMO DO MÉTODO
1ºpasso: identifique apenas o denominador de G(s): 
2ºpasso: verifique se qualquer destas constantes (ai) é igual a zero ou, negativa 
na presença de pela menos uma constante positiva. Se isto ocorrer, conclua que o 
sistema é instável e não é necessário executar os próximos passos. Do contrário, 
nada pode-se concluir, vá para o 3º passo.
O critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
ALGORITMO DO MÉTODO
3ºpasso: construa a seguinte tabela: 
Os elementos a0, a1, ...,an são os coeficientes do 
denominador D(s)
O critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
3ºpasso: construa a seguinte tabela: 
Cálculo dos elementos
b1, b2, b3, ..., c1, c2, ... 
O critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
ALGORITMO DO MÉTODO
4ºpasso: Critério
“O número de raízes de D(s) (polos de G(s)) com parte real 
maior que zero (positivo) é igual ao número de mudanças 
de sinal dos coeficientes da primeira coluna da tabela 
construída no 3ºpasso.”
Exemplo 4 : Determine se o sistema é estável ou instável: 
1ºpasso:
2ºpasso:
Sistema Instável
Exemplo 5 : Determine se o sistema é estável ou instável: 
1ºpasso:
2ºpasso: Todos os coeficientes do denominador D(s) são maiores que zero 
Exemplo 5 : Determine se o sistema é estável ou instável: 
3ºpasso: Tabela
Exemplo 5 : Determine se o sistema é estável ou instável: 
4ºpasso: Critério
Duas mudanças de sinal na primeira coluna
Dois pólos com parte real positiva
Sistema 
Instável
Casos Especiais
Se o primeiro elemento de uma linha é zero, e pelo menos um elemento na mesma 
linha é diferente de zero, então substituiu-se o primeiro elemento de linha, que é zero, por um 
pequeno número Δ, que poderá ser negativo ou positivo, e continua-se o cálculo das próximas 
linhas da tabela. O exemplo abaixo ilustra este caso. 
Exemplo 6 : Estude a estabilidade de :
Passo 1:
Passo 2: Todos os coeficientes são positivos, nada pode-se concluir
Exemplo 6 : Estude a estabilidade de :
Passo 3:
Exemplo 6 : Estude a estabilidade de :
Passo 3:
Exemplo 6 : Estude a estabilidade de :
Passo 3:
Se Δ→0 pela esquerda, ou seja, Δ <0, temos 2 trocas 
de sinais na primeira coluna. 
Se Δ → 0 pela direita, ou seja, Δ >0, temos também 2 
trocas de sinais na primeira coluna. 
Sistema Instável
Exemplo 7 : Determine o intervalo de k, ganho do 
controlador, para o qual o sistema realimentado seja estável. 
Encontrar a FTMF para o sistema:
Exemplo 7 : Determine o intervalo de k, ganho do 
controlador, para o qual o sistema realimentado seja estável. 
Sistema simplificado
Exemplo 7 : Determine o intervalo de k, ganho do 
controlador, para o qual o sistema realimentado seja estável. 
Passo 1: 
Passo 2: Para que todos os coeficientes sejam positivos 
Exemplo 7 : Determine o intervalo de k, ganho do 
controlador, para o qual o sistema realimentado seja estável. 
Passo 3: Tabela Para que elementos da 1ª. coluna sejam todos positivos, 
E
Portanto, para satisfazer todas as condições:
Sistema Estável
Estabilidade de sistema com 
projeto de controlador 
dependente de dois parâmetros
controlador P.I. (proporcional e integral)
Exemplo 8 : Para o sistema controlado por um controlador P.I. 
dado abaixo, encontre as faixas de kp e ki do controlador tal que o 
sistema abaixo seja estável
Função de transferência de malha Fechada (F.T.M.F)
O critério de Routh-Hurwitz
Passo 1:
Passo 2: para estabilidade é necessário que: 
Passo 3: Tabela
Estabilidade Relativa
Estabilidade Relativa
Pode-se determinar a margem de segurança que um sistema apresenta 
no tocante à sua estabilidade. Por exemplo, no plano-s abaixo, pode-se dizer 
que os pólos z1 e z1’ tem menor margem de estabilidade que os polos z2 e z3 : 
Estabilidade Relativa
Pode-se usar o critério de Routh para estudar a margem de estabilidade 
relativa de um sistema, neste caso é necessário usar uma translação de eixo 
imaginário. 
Estabilidade Relativa - Exemplo
Verifique se o sistema abaixo tem todos os polos à esquerda de s = -1: 
Solução: Translação de eixo 
s’ = s + 1 𝐺 𝑠 =
1
(𝑠′ − 1)3+9(𝑠′ − 1)2+26 𝑠′ − 1 + 24s’-1 = s
Sistema estável. A margem de estabilidade do sistema é maior que 1.
Observação importante
Para determinar a margem de estabilidade (total) de um sistema é 
necessário ir transladando o eixo s (imaginário) até o surgimento de um 
zero na 1º coluna da tabela de Routh-Hurwitz, indicando que existe polo 
sobre o eixo imaginário s’. 
A margem de estabilidade será igual ao módulo da parte real do 
polo mais próximo ao eixo imaginário, supondo-se que todos os polos 
são de sistema estável.