Módulo 06 - Análise Combinatória e Probabilidade

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CURSO ÁGAPE
	EEAR
2018/2019
	Álgebra II
	
	
	MÓDULO 06
 Prof. Carlos
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. PRINCÍPIO FUNDAMENTA DA CONTAGEM
Determina o número total de possibilidade de um evento ocorrer, pelo produto de m x n. Sendo n e m resultados distintos de um evento experimental.
Exemplo: 
Jeniffer precisa comprar uma saia, a loja em que está possui 3 modelos de saia diferente nas cores: preto, rosa, azul e amarelo. Quantas opções de escolha Jeniffer possuí.
Para solucionar essa questão utilizamos o principio fundamental da contagem.
m = 3 (Modelos diferentes de saia), n = 4 (Cores que a saia possui)
m x n = 3 x 4 = 12
Jeniffer possui 12 possibilidades de escolha.
2. FATORIAL
Sendo n ℕ, chama-se fatorial de n o número representado por n!, assim definido:
0! = 1
1! = 1
n! = n . (n – 1) . (n – 2) . ... . 3 . 2 . 1, para n > 1.
Observação:
O fatorial apresenta a seguinte propriedade, muito útil na simplificação de determinadas expressões:
n! = n . (n – 1)! ( n 1)
Exemplo: 
Calcule 4!
n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!
4! = 4 . (4 – 1) . (4 – 2) . (4 – 3)
4! = 4 . 3. 2 . 1
4! = 24
3. PERMUTAÇÕES SIMPLES
Permutações simples de n elementos são os arranjos simples desses n elementos tomados 
n a n. 
Pn = n! (n Є ℕ)
Exemplo: 
Em uma eleição para representante de sala de aula, 3 alunos candidataram-se: Vanessa, Caio e Flávia. Quais são os possíveis resultados dessa eleição?
Vanessa (V), Caio (C), Flávia (F)
Os possíveis resultados dessa eleição podem ser dados com uma permutação simples, acompanhe:
n = 3 (Quantidade de candidatos concorrendo a representante)
Pn = n!
Pn = 3 . 2 . 1!
Pn = 6
Para a eleição de representante, temos 6 possibilidades de resultado, em relação a posição dos candidatos, ou seja, 1º, 2º e 3º lugar. Veja a seguir os possíveis resultados dessa eleição.
	Resultado 1
	Resultado 2
	Resultado 3
	Resultado 4
	Resultado 5
	Resultado 6
	VCF
	VFC
	CVF
	CFV
	FCV
	FVC
4. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Nessa permutação alguns elementos que compõem o evento experimental são repetidos, quando isso ocorrer devemos aplicar a seguinte fórmula:
Onde:
= permutação com repetição
n! = total de elemetos do evento
n1!⋅n2!⋅n3!…nk! = Elementos repetidos do evento
Exemplo: 
Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra CASA.
A palavra CASA possui: 4 letras (n) e duas vogais que se repetem (n1).
n! = 4!
n1! = 2!
= 
= 
= 
=12
	Anagramas da palavra CASA sem repetição
	CASA
	ACSA
	ASCA
	ASAC
	SCAA
	CSAA
	AASC
	AACS
	CAAS
	SAAC
	SACA
	ACAS
5. ARRANJOS SIMPLES
Arranjo simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.
Dado um conjunto A com n elementos, chamamos de arranjos simples dos n elementos, tomados p a p, cada um dos agrupamentos ordenados que podem ser formados contendo, sem repetição, p elementos de A.
O número de arranjos simples pode ser obtido pelo princípio multiplicativo de contagem ou pela fórmula:
em que n ℕ, p ℕ e n p.
Exemplo:
Flávia, Maria, Gustavo e Pedro estão participando de uma competição. Para competir precisam fazer agrupamento com apenas 3 participantes. Quais são os agrupamentos possíveis?
Quantidade de participantes da competição: n = 4
Quantidade de agrupamentos com apenas 3 participantes: p = 3
An,p= 
A4,3= 
A4,3= 
A4,3=24
É possível organizar 24 agrupamento para com três participantes em cada.
6. COMBINAÇÕES SIMPLES
Combinação simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.
Dado um conjunto A com n elementos, chamamos de combinações simples dos n elementos, tomados p a p, cada um dos subconjuntos que podem ser formados contendo, cada um, p elementos de A.
O número de combinações simples pode ser 
obtido pela fórmula:
em que n IN, p IN e n p.
Exemplo: 
De quantos modos diferentes posso separar 10 bolinhas de cores distintas, colocando 2 bolinhas em cada saquinhos
Total de bolinhas: n = 10
Quantidade de bolinhas por saquinho: p = 2
Cn,p= 
C10,2= 
C10,2=
C10,2=
C10,2 = 45
Com 10 bolinhas distintas colocando duas em cada saquinho, é possível fazer 45 combinações.
REVISÃO
	PERMUTAÇÕES SIMPLES
	ARRANJOS SIMPLES
	COMBINAÇÕES SIMPLES
	 Tipo de agrupamento em que:
· Diferem pela ordem;
· Não há repetição de elementos;
· Todos os elementos são utilizados de uma só vez;
· Indica-se por Pn ;
· Desenvolve-se Pn = n!
	 Tipo de agrupamento em que:
· Diferem pela ordem ou pela natureza;
· Não há repetição de elementos;
· Os elementos não são utilizados todos de uma só vez;
· 
Indica-se por ;
· 
Desenvolve-se 
	 Tipo de agrupamento em que:
· Diferem apenas pela natureza;
· Não há repetição de elementos;
· Os elementos não são utilizados todos de uma só vez;
· 
Indica-se por ;
· 
Desenvolve-se 
	Exemplos
	Exemplos
	Exemplos
	01) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3?
	01) Usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar ?
	01) De quantos maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de basquete tendo 12 atletas à sua disposição ?
	PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO
	PERMUTAÇÃO CIRCULAR
	
A permutação de n elementos dos quais são de um tipo, são de outro e são de outro, com é dada por:
	· Chama-se permutação circular de n objetos distintos qualquer disposição desses objetos em torno de um círculo.
· 
Indica-se por: ou 
	Exemplos
	Exemplos
	01) Quantos são os anagramas da palavra ARARA ?
	01) Para uma foto de recordação da turma, Ana, Bia, Caio, Déa, Enéas e Fábio formarão uma “roda”. Quantas formações diferentes são possíveis ?
PROBABILIDADE
1. Experimento aleatório
Um experimento é considerado aleatório quando suas ocorrências podem apresentar resultados diferentes. Um exemplo disso acontece ao lançarmos uma moeda que possua faces distintas, sendo uma cara e outra coroa. O resultado desse lançamento é imprevisível, pois não há como saber qual a face que ficará para cima.
2. Espaço amostral
Dado um fenômeno aleatório, isto é, sujeito às leis do acaso, chamamos de espaço amostral ao conjunto formado por todos os resultados possíveis de ocorrer.
Exemplos:
a) Lançamento de uma moeda: Ω = {c, k} sendo c = cara e k = coroa
b)Lançamento de duas moedas: Ω = { c c, c k, k c, k k }
c)Lançamento de um dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
d)Retirada de uma carta do baralho:
Ω = { A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K () 
 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K ()
 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K () 
 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K () }
e) Vida útil de um componente eletrônico: Ω = { t = IR t 0 }
3. Evento
Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplo: 
Lançam-se dois dados. Enumerar o espaço amostral e depois os seguintes eventos:
A: saída de faces iguais
B: saída de faces cuja soma seja igual a 10
C: saída de faces cuja soma seja menor que 2
D: saída de faces cuja soma seja menor que 15
E: saída de faces onde uma face é o dobro da outra 	
F: saída de faces desiguais
4. Razão de probabilidade
A razão de probabilidade é dada pelas possibilidades de um evento ocorrer levando em consideração o seu espaço amostral. Essa razão que é uma fração é igual ao número de elementos do evento (numerador) sobre o número de elementos do espaço amostral (denominador). Considera os seguintes elementos:
· E é um evento.
· n(E) é o número de elementos do evento.
· S é espaço amostral.
· n(S) é a quantidade de elementos do espaço amostral.
A Razão de probabilidade é dada por:
A probabilidade normalmente é representa por um fração, cujo seu valor sempre estará entre 0 e 1, ou seja:
0 ≤ P(E) ≤ 1
Podemos também representar a probabilidade com um número decimal ou em forma de porcentagem (%).
Exemplo: 
Ao lançarmos um dado com seis faces, qual a probabilidade de obtermos um número que seja múltiplo de 3?
Resposta: 
O espaço amostral do lançamento de um dado é representado pelos números:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
O evento é determinado pelas possibilidades de obtermos como resultado do lançamento um número que seja múltiplo de 3.
E = {3, 6}
n(E) = 2
A Razão de Probabilidade é dada por:
A porcentagem referente à probabilidade é:
Resposta final: 
A probabilidade de obtermos um número que seja múltiplo de 3, ao lançar um dado com seis faces é de 33,3% ou 1/3.
Extrações com reposição e sem reposição
Muitas situações práticas podem ser comparadas com extrações sucessivas de bolas de uma urna (como selecionar peças de uma produção ou indivíduos de uma população). Essas extrações podem ser realizadas com reposição ou sem reposição:
com reposição
cada bola retirada é devolvida à urna antes da extração da bola seguinte
sem reposição
uma bola retirada não é devolvida à urna.
 
 Exemplo: 
1. De um baralho de 52 cartas tiram-se sucessivamente, sem reposição, duas cartas. 
Determinar:
a)a probabilidade de tirar dama na primeira carta
b)a probabilidade de tirar dama na segunda carta
c)a probabilidade de tirar naipe de ouros na segunda carta
solução
a) número de cartas do baralho na 1a extração: n() = 52
número de damas no baralho na 1a extração: n(Q) = 4 
P(D1 ) = 
b) número de cartas do baralho na 2a extração: n() = 51
c) 	número de damas no baralho na 2a extração: n(Q) = 3 
P(D2 ) = 
d)	se a 1a carta retirada foi de ouros: P() = 12/51 
se a 1a carta retirada não foi de ouros: P() = 13/51
5. Leis da Probabilidade
a) Probabilidade de um evento (A) não ocorrer
Se P(A) é a probabilidade do evento A ocorrer, então P(Ā) = 1 – P(A)
Esse evento é o complementar ao evento A . Logo P(A) + P(Ā) = Ω = 1
Exemplo:
Qual a probabilidade de não se pegar um “A” de um baralho de 52 cartas.
P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – 4/ 52 = 48 / 52 = 12 / 13 
b) Probabilidade de um evento (A) ou outro evento (B) ocorrer
Duas situações podem ocorrer:
Se dois eventos forem mutuamente exclusivos (A e B não podem ocorrer juntos)
		
		P(A ou B) = P(A + B) = P(A) + P(B)	
Se dois eventos não forem mutuamente exclusivos (A e B podem ocorrer juntos)
	
P(A ou B) = P(A B) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A B)
	
Exemplo
Retirando-se uma carta do baralho, qual a probabilidade 
a)que a carta seja de ouros ou de espadas
b)que a carta seja de ouros ou seja um “A”	
Solução
a)Uma carta de ouros e uma carta de espadas não podem ocorrer ao mesmo tempo. Os eventos são, portanto, mutuamente exclusivos
A: retirada de uma carta de ouros 
B: retirada de uma carta de espadas
P(A) = 13/52 = 1/ 4
P(B) = 13/52 = 1/ 4
P(A ou B) = P(A) + P(B)
P(A ou B) = 1 / 4 + 1 / 4 = 1 / 2
b)Seja. 
A: retirada de uma cartas de ouros
B: retirada de um “A “
P(A) = 13/52 
P(B) = 4/52 
Existe uma carta no baralho que é tanto um “A “ quanto de ouros. Nesse caso, A e B não são mutuamente exclusivos 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A B)
P(A ou B) = 13/ 52 + 4/ 52 – 1/ 52 = 16/ 52 = 4/ 13
c)Probabilidade de um evento (A) e outro evento (B) ocorrer
Duas situações podem ocorrer:
Se dois eventos forem independentes (a seleção do evento A não altera a composição do evento B)
	 
P(A e B) = P(A) * P(B)
Se dois eventos não forem independentes (a seleção do evento A altera a composição do evento B )
P(A e B) = P(A) * P(B|A) , sendo P(BA) a probabilidade de B, dado que A ocorreu.
Exemplo:
Foram retiradas duas cartas do baralho.
a)qual a probabilidade que saiam duas cartas de ouros?
b)Se a primeira carta de ouros foi devolvida, qual a probabilidade que a segunda seja também de ouros?
Solução:
Seja A: retirada de uma carta de ouros
Seja B: retirada da segunda carta de ouro
a)A primeira carta de ouros tem P(A) = 13/ 52 = 1/ 4
 A segunda carta de ouros tem P(BA) = 12/ 51
 Os eventos não são independentes
 Então P(A e B) = P(A) * P(BA) = 1/ 4 * 12 /51 = 12/ 204 = 3/ 51 
A primeira carta de ouros tem P(A) = 13/ 52 = 1/ 4
A segunda carta de ouros tem P(B) = 13/ 52 = 1/ 4
 Os eventos são independentes
Então P(A e B) = P(A) * P(B) = 1/ 4 * 1 /4 = 1/ 16 
 Os diagramas em árvores também podem ser utilizadas no cálculo das
QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES 
ANÁLISE COMBINATÓRIA
01) (EEAR 1/2019) Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7 posso escrever ____ números pares de quatro algarismos distintos.
a) 120
b) 180
c) 240
d) 360
02) (EEAR 2/2018) Um maestro escolherá 5 músicas distintas, dentre as 10 que dispõe, e montará uma apresentação. Para a escolha das músicas e da ordem que elas serão tocadas, o maestro possui um número de possibilidades cujo algarismo das unidades é
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
03) (EEAR 1/2018) Um professor montará uma prova com as 4 questões que ele dispõe. O número de maneiras diferentes que o professor pode montar essa prova, levando em conta apenas a ordem das questões, é
a) 20
b) 22
c) 24
d) 26
04) (EEAR 2/2017) De um grupo de 10 (dez) pessoas, 5 (cinco) serão escolhidas para compor uma comissão. Ana e Beatriz fazem parte dessas 10 (dez) pessoas. Assim, o total de comissões que podem ser formadas, que tenham a participação de Ana e Beatriz, é
a) 24
b) 36
c) 48
d) 56
05) (EEAR 1/2017) Em um campeonato de tênis estão inscritos 10 militares. Para disputar o campeonato, esses militares podem formar_______duplas diferentes.
a) 34
b) 35
c) 44
d) 45
06) (EEAR 2/2016) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6. A partir deles, podem ser criados _____ números pares de quatro algarismos distintos.
a) 60
b) 120
c) 180
d) 360
07) (EEAR 1/2016) Sobre uma mesa tem-se 2 livros de Física, 1 de Matemática, 2 de Inglês e 1 de História. De quantas formas
podemos colocá-los em uma prateleira, de modo que os livros de Exatas fiquem juntos?
Obs: Todos os livros são diferentes.
a) 36
b) 72
c) 144
d) 288
08) (EEAR 2015) A metade do número de anagramas da palavra PRISMA que comecem por S é:
a) 10
b) 20
c) 30
d) 60
09) (EEAR 2014) Um determinado brinquedo possui uma haste onde devem ser colocadas 4 peças de formatos diferentes. O número de maneiras diferentes de se montar esse brinquedo é
a) 4.
b) 12.
c) 24.
d) 36.
10) (EEAR 2013) Para elaborar uma prova de inglês, o professor utilizará 6 questões de vocábulo e 4de gramática. O número de maneira que ele pode ordenar aleatoriamente essas questões é dado por _____.
a) (6+4)!
b) (6-4)!
c) 6!.4!
d) 
11) (EEAR BCT 2013) Dentre 8 candidatos, 5 devem ser selecionados para comporem uma comissão de formatura. O número de formas distintas de se compor essa comissão é
a) 56
b) 48
c) 46
d) 38
12) (EEAR 2012) Dos 10 judocas que participam de uma competição, os 3 melhores subirão em um pódio para receber uma premiação. Lembrando que cada atleta pode ocupar o 1º, 2º ou 3º lugar no pódio, o número das possíveis formas de os atletas comporem o pódio é
a) 720.
b) 680.
c) 260.
d) 120.
13) (EEAR 1/2011) Formato, tamanho e cor são as características que diferem as etiquetas indicadoras de preço dos produtos de uma loja. Se elas podem ter 2 formatos, 3 tamanhos e 5 cores, o número máximo de preços distintos dos produtos da loja é
a) 24.
b) 30.
c) 32.
d) 40.
14) (EEAR 1/2011) O número de anagramas da palavra SOLEIRA que começam com vogal é
a) 2720.
b) 2780.
c) 2860.
d) 2880.
15) (EEAR 2/2010) Ao calcular , obtêm-se:
a) 3!
b) 4!
c) 5!
d) 6!
16) (EEAR 2/2009) O número de anagramas da palavra SARGENTO que começam com S e terminam com O é
a) 1540.
b) 720.
c) 120.
d) 24.
17) (EEAR 1/2009) Com os algarismos 1, 2, 4, 5 e 7, a quantidade de números de três algarismos distintos que se pode formar é
a) 100.
b) 80.
c) 60.
d) 30.
18) (EEAR 1/2008) Se Am,n é o arranjo dos m elementos de um conjunto X, tomados n a n, o valor de Am,n, para m = 7 e n = 3, é
a) 210.
b) 105.
c) 90.
d) 45.
19) (EEAR 1/2007) Um sargento da FAB tem 8 soldados sob seu comando. Tendo que viajar a serviço, deixa a seus comandados uma determinação: “Ao chegar, quero encontrar no mínimo um de vocês no pátio, fazendo Educação Física.”
Dessa forma, o sargento tem ______ maneiras de encontrar seus
soldados fazendo Educação Física.
a) 256
b) 255
c) 64
d) 16
20) (EEAR 2/2006) Em Análise Combinatória, a razão é iguala
a) 7.
b) 5.
c) 3.
d) 1.
21) (EEAR 1/2006) Se existem k maneiras possíveis de pintar uma parede com 3 listras verticais, de mesma largura e de cores distintas, dispondo de 12 cores diferentes, então o valor de k está compreendido entre
a) 1315 e 1330.
b) 1330 e 1345.
c) 1345 e 1360.
d) 1360 e 1375.
22) (EEAR 2/2005) Considere todos os números de 4 algarismos distintos formados com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6. Se colocarmos esses números em ordem decrescente, a posição ocupada pelo número 4652 será a
a) 49ª 
b) 50ª
c) 59ª 
d) 60ª
23) (EEAR 1/2005) O número de anagramas da palavra ESCOLA, que começam por S e terminam por L, é
a) 720. 
b) 120. 
c) 24. 
d) 12.
QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES PROBABILIDADE
01) (EEAR 2/2018) Dentre as 7 notas musicais, dois músicos escolherão, individualmente, uma nota. A probabilidade de que eles escolham notas iguais é
a) 1/7
b) 2/7
c) 1/49
d) 2/49
02) (EEAR 1/2018) Em um lote com 250 peças, foi constatado que existem exatamente seis defeituosas. Retirando-se, ao acaso, uma peça desse lote, a probabilidade de que ela seja perfeita é de _____%.
a) 82,3
b) 85,5
c) 97,6
d) 98,2
03) (EEAR 2/2017) Uma bomba está prestes a explodir e um militar tentará desativá-la cortando um de seus fios de cada vez. Ela possui 10 (dez) fios, dos quais 1 (um) a desativa, 7 (sete) causam a explosão e os outros 2 (dois) não causam efeito algum. A probabilidade do militar ter uma segunda chance para desativar a bomba é de _____%.
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
04) (EEAR 1/2017) Uma urna contém bolas verdes e azuis. Sabe-se que a probabilidade de se retirar uma bola azul é de . A probabilidade de ser retirada, em uma única tentativa, uma bola verde é de
a) 
b) 
c) 
d) 
05) (EEAR 1/2016) Em um lançamento simultâneo de dois dados, sabe-se que ocorreram somente números diferentes de 1 e 4. A probabilidade de o produto formado por esses dois números ser par é
a) 
b) 
c) 
d) 
06) (EEAR 2/2011) Para participar de um sorteio, um grupo de 152 pessoas respondeu à pergunta: “Você é fumante?”. Se 40 pessoas responderam “SIM”, a probabilidade da pessoa sorteada não ser fumante é
a) 
b) 
c) 
d) 
07) (EEAR 1/2010) Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de três algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. A probabilidade de ele ser divisível por 5 é
a) 
b) 
c) 
d) 
08) (EEAR 1/2008) Uma urna contém 3 bolas verdes e 4 amarelas. Ao retirar, sem reposição, duas bolas, a probabilidade delas serem amarelas é
a) 2/7.
b) 3/7.
c) 4/7.
d) 6/7.
09) (EEAR 2/2008) Retirando aleatoriamente um elemento do conjunto A = {1, 2, 3, 4, . . . , 100}, a probabilidade de ele ser múltiplo de 5 é
a) 
b) 
c) 
d) 
10) (EEAR 1/2007) Cinco casais (marido e mulher) estão juntos em um restaurante. Escolhendo 2 pessoas ao acaso, a probabilidade de termos um marido e sua mulher é
a) 
b) 
c) 
d) 
11) (EEAR 1/2007) Na 8ª A de uma escola há 18 meninos e 30 meninas, sendo que um terço dos meninos e três quintos das meninas têm olhos castanhos. Escolhendo ao acaso um aluno, a probabilidade de ser menina ou ter olhos castanhos é
a) 72,5%. 
b) 75%. 
c) 77,5%. 
d) 80%.
12) (EEAR 1/2005) Seja A = {k1, k2, k3, k4} o espaço amostral de um experimento aleatório. Considere a seguinte distribuição de probabilidade: P(k1) =, P(k2) =, P(k3) =, P(k4) = x. O valor de x é
a) 36,5%. 
b) 37%. 
c) 37,25%. 
d) 37,5%.
GABARITO 
ANÁLISE COMBINATÓRIA
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	B
	A
	C
	D
	D
	C
	C
	D
	C
	A
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	A
	A
	B
	D
	
	B
	C
	A
	B
	A
	21
	22
	23
	A
	B
	C
GABARITO 
PROBABILIDADE
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	A
	C
	D
	D
	B
	D
	C
	A
	B
	A
	11
	12
	B
	D
	
	- 6 -
	
	
nk
n
n
n
n
P
,...
3
,
2
,
1
16
11
18
17
17
15
19
14
5
3
3
2
5
1
3
1
5
2
5
1
1
n
n
P
10
1
10
3
9
1
10
1
11
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