A2 - VARIÁVEIS COMPLEXAS

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CURSO: CICLO BÁSICO DAS ENGENHARIAS 
TURMA: ENG0480N VISTO DO COORDENADOR PROVA TRAB. GRAU RUBRICA DO 
PROFESSOR 
DISCIPLINA: GELT1073 – VARIÁVEIS COMPLEXAS AVALIAÇÃO REFERENTE: A1 A2 A3 
PROFESSOR: PEDRO PASSOS MATRÍCULA: Nº NA ATA: 
DATA: 17/06/2021 NOME DO ALUNO: 
UNIDADE: BANGU/BONSUCESSO 
 
Instruções: 
- Nenhuma questão será aceita sem o seu desenvolvimento do raciocínio coerente com a resposta dada. 
- O desenvolvimento dos cálculos pode ser feito à lápis, mas as respostas devem estar à caneta. 
- Valor da prova: 8,0 pontos + 1,0 ponto (questão bônus). 
 
 
Questão 1 – AULA 7 (2,0 ptos) 
Um número complexo 𝑧 admite “n” raízes complexas. Assim as raízes enésimas de 𝑧 ou √𝑧
𝑛
 são os números 
𝑤𝑘 , onde k = 0,1, 2,..., n – 1, e “n” é um número natural maior ou igual a 2, dada pela fórmula: 
 
𝑤𝑘 = ඥ𝜌
𝑛 ቆcos
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
ቇ 
 
Item (a): Assinale a alternativa que corresponde a uma das raízes cúbicas de 8i. (2,0 ptos) 
(A) −√3 − 𝑖 
(B) √3 − 𝑖 
(C) −√3 + 𝑖 
(D) 2𝑖 
(E) −√3 − 2𝑖 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://sagaweb.unisuam.edu.br/sagaweb/professor/quadrohorario.php
 
 
 
Questão 2 – AULA 8 e 9 (2,0 ptos) 
O estudo da geometria dos números complexos através da caracterização de conjuntos e regiões no plano 
complexo é uma parte importante da análise complexa. Retas, circunferências, planos metade, são algumas 
das diversas representações. 
 
Represente, no plano complexo, as regiões determinadas pelas sentenças abaixo. 
 
Item(a): −5 ≤ Im (2z + 1 − 3i) < 1. (1,0 pto) 
 
 
Item(b): |𝑧 − 2 + 𝑖| < 3. (1,0 pto) 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 – AULA 9 e 10 (2,0 ptos) 
As funções de variáveis complexas 𝑤 = 𝑓(𝑧) podem ser interpretadas como um mapeamento ou 
transformação do plano z para o plano w, conforme mostra a figura abaixo: 
 
 
Item (a): Assinale a forma u + iv a função 𝑓(𝑧) = 3𝑧2 − 5𝑧̅ + 2 − 3𝑖. (1,0 pto) 
 
(A) 𝑓(𝑧) = 3𝑥2 + 3𝑦2 + 5𝑥 − 2 + 𝑖(6𝑥𝑦 − 5𝑦 − 3) 
 
(B) 𝑓(𝑧) = 3𝑥2 − 3𝑦2 − 5𝑥 − 2 + 𝑖(6𝑥𝑦 − 5𝑦 − 3) 
 
(C) 𝑓(𝑧) = 3𝑥2 − 3𝑦2 − 5𝑥 + 2 + 𝑖(6𝑥𝑦 + 5𝑦 − 3) 
 
(D) 𝑓(𝑧) = −3𝑥2 + 3𝑦2 − 5𝑥 − 2 + 𝑖(6𝑥𝑦 − 5𝑦 + 3) 
 
(E) 𝑓(𝑧) = 3𝑥2 − 3𝑦2 − 5𝑥 − 2 + 𝑖(6𝑥𝑦 + 5𝑦 − 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Item (b): Assinale o valor de 𝑓(−1 + 2𝑖) (1,0 pto) 
 
(A) 2 − 5𝑖 
 
(B) 2 + 5𝑖 
 
(C) −2 − 5𝑖 
 
(D) −2 + 5𝑖 
 
(E) 7𝑖 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 4 – AULA 11 e 12 – (2,0 ptos) 
As definições de limite e derivada de funções complexas se diferenciam das funções reais, devido ao fato 
da vizinhança de em número real 𝑥0 ser analisada lateralmente, e no número complexo 𝑧0 sua vizinhança é 
multidirecional. Já as regras para calcular limites e derivadas são as mesmas para números reais e 
complexos. 
 
Item (a): Assinale o valor do limite 
 
 lim
𝑧→4𝑖
 
𝑧2+16
𝑧2−3𝑖𝑧+4
 (1,0 pto) 
 
 
 
(A) 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 
(B) −
3
2
 
(C) 0 
(D) 
8
5
 
(E) 1 
 
 
 
 
 
 
Item (b): Qual é a derivada da função 𝑓(𝑧) =
𝑧2+𝑧
𝑧−𝑖
 no ponto 𝑧 = 2𝑖 ? (1,0 pto) 
 
(A) −1 
(B) 𝑖 
(C) 0 
(D) −𝑖 
(E) 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão bônus – AULA 12 (1,0 pto) 
Seja 𝑓: ℂ → ℂ, uma função. Se z = x + iy é um número complexo (x e y reais), a função exponencial 
complexa é definida da seguinte maneira: 
 
 
 
Considerando 𝒛 = 𝟏 −
𝟑𝝅
𝟒
𝒊, escreva a forma algébrica de 𝑒𝑧.