Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo vetorial, quando se depende de várias variáve...

Para calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C, é necessário parametrizar a curva C e substituir os valores na expressão de F. No caso, a curva C é descrita pelo caminho g(t) = (et, sen(t), t), 0 ≤ t ≤ I. Então, podemos parametrizar a curva C da seguinte forma: x = et y = sen(t) z = t Agora, podemos substituir esses valores na expressão de F: F(x, y, z) = (-2(a^2 - y^2)^2, (z^2 y^2)^2, z^2) F(et, sen(t), t) = (-2(a^2 - sen^2(t))^2, (t^2 sen^2(t))^2, t^2) Assim, podemos calcular a integral de linha de F ao longo de C: ∫ F.dr = ∫ F(g(t)).g'(t)dt ∫ C Substituindo os valores de F(g(t)) e g'(t), temos: ∫ F.dr = ∫ (-2(a^2 - sen^2(t))^2, (t^2 sen^2(t))^2, t^2).(e, cos(t), 1)dt ∫ C Integrando cada componente da expressão, temos: ∫ F.dr = ∫ -2(a^2 - sen^2(t))^2.e dt + ∫ (t^2 sen^2(t))^2.cos(t) dt + ∫ t^2 dt ∫ C Essas integrais podem ser resolvidas por substituição e integração por partes. O resultado final será a integral de linha de F ao longo de C.