Material Complementar - Máximos e mínimos Absolutos e Relativos - Problemas de Otimização

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Máximos e Mínimos Relativos 
 
Vamos supor o gráfico de uma função f(x) como uma cordilheira com morros e vales. 
Nesse caso o topo dos morros e o fundo dos vales serão, respectivamente, os máximos e 
mínimos relativos. Esses máximos e/ou mínimos relativos são determinados em relação à 
sua vizinhança próxima. Observe, de acordo com a Figura 1, que o máximo relativo não é 
necessariamente o ponto mais alto, nem o mínimo relativo é o ponto mais baixo – eles 
são tão somente pontos altos ou baixos em relação à sua vizinhança imediata (HOWARD 
et al. (2012)). 
Figura 1 
 
Fonte: Howard et al. (2014). 
 
Dessa forma, podemos escrever a seguinte definição: 
 
 
 
Exemplo 1 
Observe o gráfico da função a seguir e identifique o(s) máximo(s) relativo(s) e/ou o(s) 
mínimo(s) relativo(s): 
 Figura 2 
 
𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥4 −
4
3
𝑥3 − 𝑥2 + 4𝑥 + 1 
 
A análise do gráfico nos permite afirmar que a função f(x) possui 
máximo relativo em x = 1 e mínimos relativos em x = - 1 e x = 2. 
 
 
 Fonte: Howard et al. (2014). 
 
Uma função f(x) tem um máximo relativo num ponto x0 se este estiver contido num 
intervalo aberto de forma que f(x0) ≥ f(x) em cada x no intervalo. Analogamente, uma 
função f(x) tem um mínimo relativo num ponto x0 se este estiver contido num intervalo 
aberto de forma que f(x0) ≤ f(x) em cada x no intervalo. 
 
 
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Máximos e Mínimos Absolutos 
 
Na seção anterior, tomando o mesmo exemplo do gráfico de uma função f(x) como uma 
cordilheira com morros e vales, nos detivemos em determinar os máximos e mínimos 
relativos em relação à sua vizinhança próxima. Agora, nesta presente seção, nos 
preocuparemos de forma mais abrangente, ou seja, determinado os pontos mais altos e 
mais baixos em toda a paisagem (HOWARD et al. (2012)). 
Iniciaremos com a definição sobre a descrição do maior e menor valor dentro de um 
intervalo: 
 
 
 
Nem sempre há a garantia de que uma função f(x) possua, dependendo do intervalo 
considerado, um extremo absoluto. Observe as funções na Figura 3: 
Figura 3 
 
Fonte: Adaptado de Howard et al. (2014). 
De acordo com a figura, temos que: 
 A função f(x) da Figura 2(a) tem um mínimo absoluto, mas não um máximo 
absoluto em (-∞, ∞); 
 A função f(x) da Figura 2(b) não tem extremos absolutos em (-∞, ∞); 
 A função f(x) da Figura 2(c) tem um máximo absoluto e um mínimo absoluto em 
(-∞, ∞); 
 A função f(x) da Figura 2(d) não tem extremos absolutos em (-∞, ∞); 
 A função f(x) da Figura 2(e) tem um máximo absoluto e um mínimo absoluto em 
[a, b]. 
 
 
 
Uma função f(x) tem um máximo absoluto num ponto x0 se este estiver contido num 
intervalo do domínio da função de forma que f(x) ≤ f(x0) com qualquer x do intervalo. 
Analogamente, uma função f(x) tem um mínimo absoluto em x0 de forma que f(x0) ≤ 
f(x) com qualquer x do intervalo. Caso a função possua em x0 qualquer um dos dois, 
ou seja, um máximo absoluto ou um máximo absoluto, dizemos que a função f(x) 
possui um extremo absoluto. 
 
 
3 
 
A função f(x) da Figura 2(e) está inserida como um caso do Teorema do Valor Extremo 
definido da seguinte forma: 
 
 
 
Para determinar os extremos absolutos de uma função contínua f(x) em um intervalo 
fechado [a, b] devemos seguir os seguintes passos: 
 
 
 
Exemplo 2 
Encontre o máximo e o mínimo absoluto da função f(x) a seguir para o intervalo [1,5], 
determinando aonde esses valores ocorrem. 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 15𝑥2 + 36𝑥 
 
Seguindo os passos para determinação dos extremos absolutos, teremos que: 
 
Passo 1: 
 
Como f(x) é contínua e diferenciável em todo o intervalo, então encontraremos os pontos 
estacionários para o intervalo aberto (1,5). 
 
𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 30𝑥 + 36 
𝑓′(𝑥) = 6(𝑥2 − 5𝑥 + 6) 
𝑓′(𝑥) = 6(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 
 
Fazendo f’(x) = 0, teremos: 
 
𝑓′(𝑥) = 6(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0 
 
Se uma função f(x) é contínua dentro de um intervalo fechado [a, b], então ela possui 
um máximo absoluto e um mínimo absoluto no intervalo considerado. 
Passo 1 
Encontrar os pontos críticos de f(x) dentro do intervalo fechado [a, b]. Lembrando que 
os pontos críticos são aqueles em que a função f(x) não é diferenciável ou f’(x) = 0 
(nesse caso, chamados de pontos estacionários para o intervalo aberto (a, b)); 
 
Passo 2 
Encontrar o valor de f(x) nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo (a e b); 
 
Passo 3 
Dentre os valores encontrados no Passo 2, o maior é o máximo absoluto e o menor é 
o mínimo absoluto. 
 
 
 
4 
Logo, temos como pontos estacionários x = 2 e x = 3. 
 
Passo 2: 
 
Determinaremos o valor de f(x) nos pontos estacionários encontrados e nos extremos do 
intervalo considerado. 
 
𝑓(1) = 2(1)3 − 15(1)2 + 36(1) = 2 − 15 + 36 = 23 
𝑓(2) = 2(2)3 − 15(2)2 + 36(2) = 16 − 60 + 72 = 28 
𝑓(3) = 2(3)3 − 15(3)2 + 36(3) = 54 − 135 + 108 = 27 
𝑓(5) = 2(5)3 − 15(5)2 + 36(5) = 250 − 375 + 180 = 55 
 
Passo 3: 
 
Temos que o máximo absoluto de f(x) é 55 e o mínimo absoluto de f(x) é 23. 
 
Problemas de Otimização 
 
Após estudarmos máximo e mínimo relativos ou absolutos, finalmente chegamos aos 
problemas de otimização. Os dois tópicos anteriores precisaram serem abordados, pois 
são base para a resolução de problemas de otimização, que podem recair em dois casos: 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos que nos ajudarão a compreender melhor sobre esse tópico. 
 
Exemplo 3 Figura 4 
Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer 
caixas abertas a partir de pedaços de papelão com 
12 cm2 cortando quadrados iguais dos quatro 
cantos e dobrando os lados para cima (vide Figura 
4). O volume é calculado pela função V(x) a seguir. 
Qual o comprimento do lado da base da caixa para 
que se obtenha um caixa com o maior volume 
possível? Qual o valor desse volume? Fonte: Leithold (1994). 
 𝑉(𝑥) = 4𝑥3 − 48𝑥2 + 144𝑥 
 
Caso 1 
Problemas que se reduzem a maximizar ou minimizar uma função f(x) contínua dentro 
de um intervalo finito e fechado. Aqui utilizaremos o Teorema do Valor Extremo; 
 
Caso 2 
Problemas que se reduzem a maximizar ou minimizar uma função f(x) contínua dentro 
de um intervalo finito ou infinito, mas aberto. 
 
 
 
 
5 
Seguiremos os passos para determinação dos extremos absolutos. 
Primeiramente vamos determinar os pontos estacionários (pontos críticos quando f’(x) = 
0): 
 
𝑉′(𝑥) = 12𝑥2 − 96𝑥 + 144 
𝑉′(𝑥) = 12(𝑥2 − 8𝑥 + 12) 
𝑉′(𝑥) = 16(𝑥 − 6)(𝑥 − 2) 
 
Fazendo V’(x) = 0, teremos: 
 
𝑉′(𝑥) = 16(𝑥 − 6)(𝑥 − 2) = 0 
 
Logo, temos como pontos estacionários x = 6 e x = 2. 
 
Agora, determinaremos o valor de V(x) nos pontos estacionários encontrados e nos 
extremos do intervalo (0,6). 
 
𝑉(0) = 4(0)3 − 48(0)2 + 144(0) = 0 − 0 + 0 = 0 
𝑉(2) = 4(2)3 − 48(2)2 + 144(2) = 32 − 192 + 288 = 128 
𝑉(6) = 4(6)3 − 48(6)2 + 144(6) = 864 − 5184 + 864 = −3456 
 
Logo, o lado do comprimento da base quadrada da caixa para que o volume seja o maior 
possível é 2 cm que resulta num volume de 128 cm3. 
 
Exemplo 4 
Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento localizada na margem de 
um rio de 500 m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 
2000 m abaixo dacentral (vide Figura 5). O custo da obra através do rio é de R$ 640,00 
por metro, enquanto, em terra, custa R$ 312,00. Qual a forma mais econômica de se 
instalar esta rede de água? 
Figura 5 
 
Fonte: Adaptado de Flemming & Gonçalves (2006). 
 
 
 
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Primeiramente vamos determinar o comprimento L, ou seja, a distância entre a Central 
de abastecimento (ponto A) e o ponto B. Vide Figura 6: 
 
Figura 6 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
Do Teorema de Pitágoras, temos que: 
 
𝐿 = √𝑥2 + 5002 = √𝑥2 + 250000 
 
Agora, depois dessa etapa e, considerando os dados do enunciado e observando as 
Figuras 5 e 6, teremos que o custo da obra C(x) é: 
 
𝐶(𝑥) = 312(2000 − 𝑥) + 640√𝑥2 + 250000 
 
Derivando C(x) e fazendo C(x)=0, teremos: 
 
𝐶′(𝑥) = −312 +
640𝑥
√𝑥2 + 250000
 
𝐶′(𝑥) = −312 +
640𝑥
√𝑥2 + 250000
= 0 
−312 +
640𝑥
√𝑥2 + 250000
= 0 
640𝑥
√𝑥2 + 250000
= 312 
640𝑥 = 312√𝑥2 + 250000 
(640𝑥)2 = (312√𝑥2 + 250000)
2
 
409600𝑥2 = 97344(𝑥2 + 250000) 
409600𝑥2 = 97344𝑥2 + 97344(250000) 
312256𝑥2 = 97344(250000) 
𝑥2 =
97344(250000)
312256
 
𝑥 = 279,17 ≈ 279 
 
Assim, a obra terá o menor custo possível se a canalização alcançar o outro lado do rio 
279 m abaixo da central de abastecimento. 
 
 
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Referências 
 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, B. M. Cálculo A – Funções, limite, derivação e integração. 
6ª edição revista e ampliada, Pearson, 2006; 
 
HOWARD, A.; BIVES, I.; DAVIS, S. Cálculo – Volume 1. Tradução de Claus Ivo Doering. 10ª 
edição, Bookman, 2014; 
 
LEITHOLD, LOUIS. O Cálculo com Geometria Analítica. Tradução de Cyro de Carvalho 
Patarra. 3ª edição, Editora HARBRA, 1994;