Área entre Curvas

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introdução
Introdução
MATEMÁTICAMATEMÁTICA
AVANÇADAAVANÇADA
Me. Tal ita Druz iani Marchiori
INICIAR
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Iniciamos nossos estudos relembrando que a área de uma �gura plana pode ser de�nida
como uma integral de�nida, e por meio do Teorema Fundamental do Cálculo, podemos
determinar essa área. Nesta unidade, aprenderemos como determinar a área entre duas
curvas, e no decorrer do texto, vamos perceber que saber qual curva é o extremo superior
e qual curva é o extremo inferior que limita a área é fundamental para uma correta
resolução. Também iremos ver como a área entre duas curvas e, consequentemente, a
integral de�nida podem auxiliar no cálculo do excesso líquido de lucro.
Ainda nesta unidade, estudaremos outras duas aplicações da integral de�nida: o volume
de sólidos de revolução, que são obtidos por meio da rotação de uma região limitada por
um eixo e o cálculo, e o trabalho feito no movimento de um objeto por meio da força que
atua sobre ele. Porém, as integrais possuem outras aplicações, e sugerimos o estudo
delas no �nal do texto. Espero que seu estudo seja enriquecedor!
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Já sabemos que uma área pode ser expressa como um tipo especial de limite de uma
soma, conhecida como integral de�nida, e calculada com o auxílio do Teorema
Fundamental do Cálculo. Esse processo recebe o nome de integração de�nida.
Intuitivamente, a integração de�nida pode ser imaginada como o processo que “acumula”
um número in�nito de pequenos pedaços de uma grandeza para obter o valor total da
grandeza.
Em certos problemas práticos, pode ser interessante representar uma grandeza de
interesse na forma da área entre duas curvas. Inicialmente, vamos supor que e sejam
funções contínuas, não negativas, satisfazendo no intervalo ,
como na Figura 4.1:
Áreas Entre CurvasÁreas Entre Curvas
f g
f (x) ≥ g (x) a ≤ x ≤ b
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Nesse caso, para determinar a área da região entre as curvas e (\y = g(x)\) no
intervalo ,simplesmente subtraímos a área da região R2 sob a curva de baixo 
 (Figura 4.2) da área da região R1 sob a curva de cima (Figura 4.3), ou
seja:
Isso motiva a seguinte de�nição:
De�nição 4.1: a área A da região limitada pelas curvas , e pelas retas 
 e , em que e são contínuas e para todo em , é
R y = (x)
a ≤ x ≤ b
y = g(x) y = f(x)
REAR = REAR1 − REAR2Á Á Á
f (x) dx − g (x) dx∫
b
a
∫
b
a
[f (x) − g (x)]dx.∫
b
a
y = f(x) y = g(x)
x = a x = b f g f (x) ≥ g (x) x [a, b]
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Exemplo 4.1: qual a área da região entre as parábolas e ?
Solução: iniciamos encontrando os pontos de interseção das parábolas, resolvendo suas
equações simultaneamente. Note que,
Assim, os pontos de interseção são
 e .
Pela Figura 4.4 (em que e ), para todo 
.
Pela de�nição,
A = [f (x) − g (x)]dx.∫
b
a
y = x2 y = 2x − x2
= 2x − 2 − 2x = 02x (x − 1) = 0x = 0,x = 1.x2 x2 x2
0, 0 1, 1
f (x) = x2 g (x) = 2x − x2 f (x) ≥ g (x)
0 ≤ x ≤ 1
A = [g (x) − f (x)]dx = [(2x − ) − x ] dx∫
1
0
∫
1
0
x2 2
[2x − 2x ] dx∫
1
0
2
2 [x − x ] dx∫
1
0
2
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Exemplo 4.2: Encontre a área entre as funções e no intervalo 
.
Solução: observe a �gura a seguir.
Então, pela de�nição,
2[ − ]x
2
2
x3
3
1
0
2.
1
6
1
3
f (x) = 9 − x2 g (x) = 2
−1 ≤ x ≤ 1
A = [f (x) − g (x)]dx = [(9 − ) − 2] dx∫
1
−1
∫
1
−1
x2
[− + 7] dx∫
1
−1
x2
[ + 7x]−x
3
3
1
−1
( + 7) − ( − 7)−1
3
− (−1)
3
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Para encontrar a área entre curvas e , em que para
alguns valores de , mas para outros valores de , dividimos a região 
em várias regiões , , ... com áreas , , ... como apresentado na �gura a seguir:
Então, de�nimos a área da região como a soma das áreas das regiões menores , 
, ..., isto é
Como
temos a próxima de�nição:
De�nição 4.2: a área entre as curvas e e entre e é
Quando calculamos a integral na de�nição acima, devemos dividi-la em integrais
correspondentes a , , ... .
Exemplo 4.3: determine a área entre a curva e a reta no
intervalo .
Solução: considerando e no intervalo e
fazendo , obtemos três pontos de interseção e . E
.
40
3
y = f (x) y = g (x) f (x) ≥ g (x)
x g (x) ≥ f (x) x R
R1 R2 A1 A2
Figura 4.6: Regiões R1, R2 e R3
Fonte: Elaborada pela autora.
R R1
R2
A = A1 + A2 + ⋯ .
|f (x) − g (x)| = {f (x) − g (x) quandof (x) ≥ g (x) g (x) − f (x) quandog (x) ≥ f (x)
y = f (x) y = g (x) x = a x = b
A = |f (x) − g (x)|dx.∫
b
a
A1 A2
y = − 6 + 11x − 6x3 x2 y = 0
[1, 3]
f (x) = − 6 + 11x − 6x3 x2 g (x) = 0 [1, 3]
f (x) = g (x) x = 1,x = 2 x = 3
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ainda, analisando o sinal de , obtemos:
ou seja,
 para todo 
e
 para todo 
Então,
ti
f
f (x) ≥ g (x) 1 ≤ x ≤ 2
g (x) ≥ f (x) 2 ≤ x ≤ 3.
A = |f (x) − g (x)|dx = [f (x) − g (x)]dx + [g (x) − f (x)]dx∫
3
1
∫
2
1
∫
3
2
[ − 6 + 11x − 6] dx + [− + 6 − 11x + 6] dx∫
2
1
x3 x2 ∫
3
2
x3 x2
+[ − + − 6x]x
4
4
6x3
3
11x2
2
2
1
[ + − + 6x]−x
4
4
6x3
3
11x2
2
3
2
.
1
2
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praticar
Vamos Praticar
Há séculos a humanidade percebeu que muitas situações cotidianas podem ser expressas como
a área limitada entre duas curvas. Diante disso, o cálculo integral surgiu na tentativa de
solucionar problemas envolvendo área. Utilizando os conceitos aprendidos, podemos a�rmar
que a área da região limitada pelas curvas e é (em unidades
quadradas):
a) 8.
b) .
c) 10.
d) .
e) .
y = − 6 + 8xx3 x2 y = − 4xx2
59
6
71
6
12
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O cálculo da área com auxílio das integrais de�nidas possui aplicações em diversas áreas.
Por exemplo, a área entre duas curvas pode ser usada para medir a quantidade de uma
grandeza que se acumulou durante um certo período.
Suponha que daqui a anos dois planos de investimentos estejam apresentando lucros 
e , respectivamente, e que seus índices de rentabilidade previstos, e 
, satisfazendo a desigualdade  nos próximos anos, ou seja, no
período . Nesse caso, representa o excesso de lucro
do plano em relação ao plano no instante e o excesso líquido de lucro 
 no intervalo é dado pela integral de�nida
uma vez que,
Excesso Líquido de LucroExcesso Líquido de Lucro
t
(t)P1 (t)P2 (t)P
′
1
(t)P
′
2 (t) ≥ (t)P
′
2 P
′
1 N
0 ≤ t ≤ N E (t) = (t) − (t)P2 P1
2 1 t
EL = E (N) − E (0) 0 ≤ t ≤ N
EL = E (N) − E (0) $
(t) dt∫
N
0
E ′
[ (t) − (t)] dt,∫
N
0
P
′
2 P
′
1
(t) =E ′ [ (t) − (t)]P2 P1
′
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Essa integral pode ser interpretada geometricamente como a áreaentre as curvas de
rentabilidade e . Vejamos um exemplo.
Exemplo 4.4: suponha que daqui a anos um investimento esteja gerando lucro a uma
taxa centenas de reais por ano e um segundo investimento esteja
gerando lucro a uma taxa centenas de reais por ano.
a. Durante quantos anos o índice de rentabilidade do segundo investimento
permanecerá maior que o do primeiro?
b. Determine o excesso líquido de lucro para o período calculado no item a).
Interprete o excesso líquido como uma área.
Solução:
a)Pelo que vimos, o índice de rentabilidade é dado por e .
Note que,
As raízes dessa equação do 2º grau são dadas por e . Como o coe�ciente
que acompanha o termo é negativo, a concavidade da equação está voltada para baixo.
Com isso, denotando .
e 
Mas a variável representa tempo, então, desezamos obtendo
b) O excesso de lucro do plano em relação ao plano é , e o
excesso líquido de lucro no período calculado no item anterior é dado
pela integral de�nida:
[ (t) − (t)] .P
′
2 P
′
1
y = (t)P
′
2 y = (t)P
′
2
t
(t) = 50 + tP
′
1
2
(t) = 200 + 5tP
′
2
P
′
1 (t)P
′
2
( (t) ≥ (t)P
′
2 P
′
1
200 + 5t ≥ 50 + t2
− + 5t + 150 ≥ 0t2
t = 15 t = −10
t2
f (t) = − + 5t + 150t2
∀t ∈ (−∞, −10) ∪ (15, ∞) , f (t) < 0
∀t ∈ [−10, 15] , f (t) ≥ 0.
t −10 ≤ t < 0
(t) ≥ (t) ∀t ∈ [0, 15] .P
′
2 P
′
1
2 1 E (t) = (t) − (t)P2 P1
EL 0 ≤ t ≤ 15
EL = E (15) − E (0)
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Assim, o excesso líquido de lucro é de 
Gra�camente, o excesso líquido de lucro é a região sombreada na �gura abaixo.
(t) dt∫
15
0
E ′
[ (t) − (t)] dt∫
15
0
P
′
2 P
′
1
[(200 + 5t) − (50 + )] dt∫
15
0
t2
[150 + 5t − t ] dt∫
15
0
2
[150t + 5( ) − ]t
2
2
t3
3
15
0
[150.15 + 5( ) − ]15
2
2
153
3
− [150.0 + 5( ) − ]0
2
2
03
3
168750centenasdereais.
R$168750, 00.
Figura 4.9: Excesso líquido de lucro
Fonte: Elaborada pela autora.
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praticar
Vamos Praticar
Nos últimos tempos, o Ibovespa tem obtido recordes de pontuação. Com isso, muitos brasileiros
estão investindo no mercado de ações. Segundo balanço da B3, em janeiro, a bolsa de valores de
São Paulo alcançou um total de mil investidores pessoas físicas. Esse número nunca havia
sido registrado antes. Agora, considere dois fundos de investimentos e . Suponha que daqui
a anos o fundo de investimento estará produzindo lucros a uma taxa 
centenas de reais por ano, enquanto o fundo $B$ estará produzindo lucros a uma taxa 
 centenas de reais por ano. Analise as alternativas abaixo e assinale a correta.
a) Durante 8 anos a rentabilidade do fundo permanecerá maior que a do fundo .
b) O excesso líquido de lucro do plano em relação ao plano no intervalo é
dado por:
c) Sabendo que , podemos a�rmar que o plano apresenta lucros 
 em anos.
d) O excesso líquido de lucro do plano em relação ao plano , no período  é
aproximadamente .
reflitaRe�ita
Acabamos de conhecer uma aplicação de área e integral de�nida em �nanças, mas existem diversas
outras aplicações dessa integral com as áreas econômicas, administrativas e contábeis. Por exemplo,
a integral de�nida pode ser usada para determinar a vida útil de uma máquina ou determinar o valor
futuro do �uxo de receita. Pesquise como utilizamos as integrais de�nidas para essas duas aplicações
citadas.
858
A B
t A (t) = 10 + tP
′
A
2
(t) = 25 + 2tP
′
B
B A
B A 0 ≤ t ≤ N
E (t) = (t) − (t) .PB PA
(1) = 25Pb B
(t) = + 24tPB t2 t
B A 0 ≤ t ≤ 5
R$5830, 00
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e) Calculamos o excesso líquido de lucro do plano em relação ao plano A por meio da
integral de�nida dada por
B
[ (t) − (t)] dt.∫
5
−3
P
′
B P
′
A
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Na tentativa de encontrar o volume de um sólido, deparamo-nos com o mesmo tipo de
problema para calcular áreas. Logo, é intuitivo que o volume de um sólido seja
determinado por meio da integral de�nida.
De�nição 4.3: seja um sólido que está entre e . Se a área da seção
transversal de no plano passando por e perpendicular ao eixo é , em que 
 é uma função contínua, então o volume de é
Exemplo 4.5: determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da
região sob a curva de até .
Solução: observe na �gura abaixo o esboço da curva e sua rotação em torno do
eixo obtendo o sólido que desejamos calcular o volume:
Volume de SólidosVolume de Sólidos
S x = a x = b
S Px x x A (x)
A S
V = A (x) dx.∫
b
a
x
y = √ 0 1
y = √
x
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texto texto texto ....
Pela de�nição, é a área de uma secção transversal móvel, obtida fatiando em ,
perpendicular ao eixo . Ao fatiarmos no ponto , obtemos um disco com raio . A área
dessa secção transversal é
Assim, o volume é dado por
Exemplo 4.6: encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por 
 e = em torno do eixo .
Solução: como a região é girada em torno do eixo , fatiamos o sólido perpendicularmente
ao eixo e, portanto, integramos em relação a . Note que , então, 
. Com isso,
Abaixo, vemos o esboço da curva e a sua rotação em torno do eixo para
obtenção do sólido que desejamos calcular o volume:
Figura 4.10: Sólido
Fonte: Stewart (2006, p. 400).
A (x) x
x x √
A (x) = π( )√
V = A (x) dx = πxdx = π = .∫
1
0
∫
1
0
[ ]x
2
2
1
0
π
2
y = , y = 8x3 x = 0 y
y
y y x = y√3
A (y) = π = πx2 y
2
3
V = A (y) dy = π dx = π = .∫
8
0
∫
8
0
y
2
3 [ ]3
5
y
5
3
8
0
96π
5
y = x3 y
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Os sólidos nos Exemplos 4.5 e 4.6 são chamados sólidos de revolução, porque são obtidos
pela rotação de uma região em torno de um eixo. Em geral, calculamos o volume de um
sólido de revolução usando a fórmula básica da de�nição
ou
e encontramos a área da seção transversal ou por uma das seguintes
maneiras:
Se a secção transversal é um disco, como nos exemplos anteriores, encontramos
o raio do disco e usamos .
Se a secção transversal é uma arruela, encontramos o raio interno ${{r}_{{}}}$ e o
raio externo e calculamos .
Exemplo 4.7: encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas
curvas e em torno do eixo .
Solução: as curvas se interceptam nos pontos e . A �gura traz seu esboço:
Figura 4.11: Sólido
Fonte: Stewart (2006, p. 400).
V = A (x) dx∫
b
a
V = A (y) dy∫
b
a
A (x) A (y)
A = π (raio) 2
rex A = π − π (raiointerno)(raioexterno)
2 2
y = x y = x2 x
(0, 0) (1, 1)
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A seção transversal tem o formato de uma arruela com raio interno e raio externo 
, logo,
Com isso,
Rotacionando em torno do eixo o esboço das curvas presente na Figura 4.12, obtemos o
sólido abaixo:
Figura 4.12: Grá�co das curvas y = x e y = x²
Fonte: Stewart (2006, p. 401).
Px x
2
x
A (x) = π − π = π ( − ) .x2 ( )x2
2
x2 x4
V = A (x) dx = π ( − ) dx =∫
1
0
∫
1
0
x2 x4
π = .[ − ]x
3
3
x5
5
1
0
2π
5
x
Figura 4.13: Sólido
Fonte: Stewart (2006, p. 401).
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praticar
Vamos Praticar
Sabemos que podemosutilizar as integrais de�nidas para calcular o volume dos sólidos de
revolução, logo, determinar o volume de um sólido de revolução é uma aplicação das integrais
de�nidas. Com base no seu conhecimento sobre integração e o cálculo de volume, analise as
alternativas abaixo e assinale a correta.
a) A semicircunferência dada pela equação delimita um semicircular cuja
revolução ao redor do eixo fornece uma esfera de raio . Sabendo disso, o volume de
uma esfera de raio 2 é .
b) O sólido obtido pela rotação da região limitada curvas e  em torno da
reta possui volume igual a .
c) O volume do sólido obtido pela rotação da região limitada curvas e  em
torno da reta é .
d) A região limitada pela curva , eixo e retas possui volume 
.
e) O volume do sólido obtido pela revolução da região limitada pelas curvas e 
 em torno do eixo é .
y = √
x r
V = 16π3
y = x y = x2
y = 2 V = 8π
y = x y = x2
x = −1 V = π
4
y = 2 + 1x2 x x = 0,x = 2
V = 74π15
y = x + 2
y = 2 x V = 51π
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O termo trabalho é usado na linguagem cotidiana, signi�cando a quantidade de esforço
necessária para se executar uma tarefa. Na física, essa palavra tem um signi�cado técnico
que depende do conceito força. Pela segunda Lei de Newton do Movimento,  se um objeto
se move ao longo de uma reta com função posição , a força é de�nida como o
produto de sua massa $m$ pela sua aceleração, ou seja,
Se a aceleração for constante, $F$ também será constante e o trabalho é dado por
em que representa a distância na qual o objeto se move.
Se é medida em newtons e em metros, a unidade de medida para é newton-
metro, que chamamos de joule e representamos por .
De�nimos o trabalho feito no movimento de um objeto de a como um limite de soma
de Riemann, mas como reconhecemos esse tipo de limite como uma integral de�nida,
temos:
TrabalhoTrabalho
s (t) F
F = m .
sd2
dt2
W
W = Fd,
d
F d W
J
a b
W = f (x) dx,∫
b
a
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em que é uma função contínua que atua no objeto.
Exemplo 4.8: quando uma partícula está localizada a uma distância de $x$ metros da
origem, uma força de newtons age sobre ela. Quanto trabalho é realizado
movendo-a de a ?
Solução: pelo que acabamos de ver,
Logo, o trabalho feito é de .
praticar
Vamos Praticar
1A Lei de Hooke é uma lei da física. Com ela, podemos a�rmar que a distensão de um objeto
elástico é diretamente proporcional à força aplicada sobre ele. Pela Lei de Hooke, a força
necessária para manter uma mola esticada unidades além do seu comprimento natural é 
f (x)
+ 2xx2
x = 1 x = 3
W = ( + 2x) dx = = .∫
3
1
x2 ( + )x
3
3
x2
3
1
50
3
J503
saiba mais
Saiba mais
Os economistas estudam o valor do benefício ao consumidor. Esse valor é dado quando um
consumidor compra um produto com preço inferior ao que vinha sendo comprado. Ele é obtido
relação entre oferta e procura, isto é, o valor é calculado por meio da curva demanda. Podemos
determinar o valor do benefício ao consumidor por meio das integrais de�nidas.
x
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, em que é uma constante positiva. Sabendo que uma força de é necessária
para segurar uma mola que foi esticada de seu comprimento natural de cm para cm,
quanto trabalho é feito esticando-se a mesma mola de cm para cm?
a) 1,56 J.
b) 1, 62 J.
c) 1,89 J.
d) 2,04 J.
e) 2,53 J.
f (x) = k.x k 28N
5 12
12 15
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indicações
Material Complementar
L IVRO
Matemática Aplicada – Economia, Administração e
Contabilidade
Larry J. Goldstein, David C. Lay, David I. Schaneider e Nakhlé H.
Asmar
Editora: Bookman
ISBN: 9788540700949
Comentário: Em seu texto, o livro contextualiza os conceitos
matemáticos com várias aplicações no campo econômico,
administrativo e contábil. Isso pode estimular o estudo e
enriquecer seu conhecimento.
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conclusão
Conclusão
Já sabíamos que o cálculo da área de uma região plana era uma entre as aplicações da
integral de�nida. Nesta unidade, pudemos conhecer outras aplicações. Aprendemos
calcular a área entre curvas, a determinação do excesso líquido de lucro, o volume dos
sólidos de revolução e o trabalho de um objeto por meio da força que atua sobre ele.
Muitas vezes, possuir uma noção de como uma curva se comporta gra�camente auxilia o
cálculo da integral de�nida e, consequentemente, o cálculo das aplicações das integrais.
As áreas geométricas e algébricas estão interligadas e uma pode auxiliar na compreensão
da outra.  No Re�ita e Saiba Mais, comentamos sobre outras aplicações da integral
de�nida. Sugiro que você pesquise sobre o assunto, todo conteúdo explorado desenvolve
nosso conhecimento.
referências
Referências Bibliográ�cas
CG ENTERTAINMENT. Freakonomics - Trailer. 2013. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=ai2ewxQyp2U. Acesso em: 16 ago. 2019.
HOFFMANN, L. D., BRADLEY; G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações, 9. ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2008.
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis. 2.
ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
SILVA, L. M.O.; MACHADO, M. A. S. Matemática Aplicada à Administração, Economia e
Contabilidade Funções de Uma e Mais Variáveis.1. ed., São Paulo: Cengage Learning,
2016.
https://www.youtube.com/watch?v=ai2ewxQyp2U
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https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_736341_1&PARE… 25/25
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2006. v. 1.
VALLE, J. et al. Aplicação da integral de�nida na economia - uma visão do futuro professor.
In: Encontro Nacional Pibid Matemática, 2., 2014, [S.l.], 2014. p. 1-10. Anais... Disponível
em: <http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/CC/CC_Valle_Jaqueline.pdf>.
Acesso em: 16 ago. 2019.
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http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/CC/CC_Valle_Jaqueline.pdf