37218060-Deducao-Lei-dos-Cossenos

Prévia do material em texto

Dedução da Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos afirma que, para qualquer triângulo [ABC] de lados a, b e c e ângulo 
ß entre a e b, é válida a equação1:
c2=a 2+b2−2a bcosß
Comecemos com a dedução. Em primeiro lugar, representemos esquematicamente a situação:
Das várias abordagens que tive a este problema, a que proponho pareceu­me a mais simples e 
directa. Irei tentar simplificar o caso para um simples problema de vectores.
Assim, comecemos por colocar um referencial cartesiano com a origem em A e o eixo das 
abcissas assente em a, com sentido positivo de A para B. O eixo dos yy terá sentido positivo de A 
para C.
1 Neste documento, o comprimento de cada um destes lado será representado apenas pela letra respectiva. Ex: o 
comprimento do lado c,  c , será representado apenas por  c . Desta forma, a explicação torna­se mais clara 
para algumas pessoas.
c
a
b
A
B C
ß
c
a
b
A
B C
ß
x
y
A ideia é  calcular a norma do vector   c   para alcançar a   expressão desejada. Para isso, 
vamos reduzir o vector C à diferença entre  b  e  a , ou seja, C­B. 
As coordenadas do ponto B são simples: B (a, 0), já que o segmento AB está assente no eixo 
das abcissas e A está coincidente com a origem.
Para descobrir as coordenadas do ponto C, utilizamos uma trigonometria simples2:
Vemos que temos um triângulo rectângulo para calcular a abcissa e a ordenada de C. Assim, 
concluímos que:
X c=bsin(90− ß )
Yc=bcos(90− ß)
Sabendo que  sin(90− ß )=cos ( ß)  e que cos (90− ß)=sin( ß) , vem que:
X c=bcosß
Yc=bsinß
Então, vem que o ponto C é C( bcosß ,  bsinß ).
Agora,  c  = C ­B = ( bcosß ,  bsinß ) ­  (a ,0)  = ( bcosß−a  ,  bsinß )
Pela norma3 de   c   (ou até pelo triângulo rectângulo que se vê bem no esquema anterior), 
vem que:
c2=(bcosß – a )2+(bsinß)2
2 E, é claro, que os mais experientes vêm logo quais as coordenadas do ponto, sem o auxílio da figura e da explicação.
3 Reafirmo que, por forma a simplificar o documento, a notação correcta de norma não foi utilizada. Em vez disso, 
empregou­se a letra de cada lado respectivo. Ex:  c  é  ∥c∥
c
a
b
A
B C
ß
x
y
X c
Yc
90-ß
Desenvolvendo   esta   expressão   (note­se   que   sin2 ß+cos2 ß=1 e   que,   por   isso, 
sin2 ß=1−cos2 ß ):
c2=(bcosß – a )2+(bsinß)2=b2cos2 ß+a 2−2a bcosß+b2sin2 ß
c2=b2 cos2 ß+a 2−2 a bcosß+b2(1−cos2 ß )
c2=b2 cos2 ß+a 2−2 a bcosß+b2−b2 cos2 ß=a 2+b2−2a bcos ß
Esta dedução acaba por ser muito simples. Mas pensar que levou tanto tempo a ser descoberta, 
há anos!...
Depois de ter escrito este documento, fui à Wikipedia inglesa e reparei que esta é a primeira 
“prova” que eles dão da Lei dos Cossenos. No entanto, escrevi esta dedução sem me basear em 
nada, pelo que peço desculpa caso nela estejam presentes erros.
João Ricardo Lourenço, Coimbra 2010