Exercício: Sequências e Séries Infinitas

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Universidade Federal do Piaúı
Centro de Ciências da Natureza
Departamento de Matemática
Prof. Antonio W. Cunha
Cálculo III
Lista 1
(1) Calcule o limite da sequência
{√
3,
√
3
√
3,
√
3
√
3
√
3, . . .
}
.
(2) Mostre que sequência definida por
a1 = 2 an+1 =
1
3− an
satisfaz 0 < an ≤ 2 e é decrescente. Deduza que a sequência é convergente e calcule seu
limite.
(3) Escreva o número 1, 317 = 2, 3171717 . . . como uma razão de inteiros.
(4) Encontre a soma da série
+∞∑
n=0
xn sabendo que |x| < 1.
(5) Mostre que a série telescópica
+∞∑
n=1
(−1)n−1(2n+ 1)
n(n+ 1)
é convergente e calcule sua soma.
(6) Mostre que a série
+∞∑
n=1
n2
2n2 + 1
diverge.
(7) Use o teste da integral para ver a convergência das séries:
a)
+∞∑
n=1
1
2n+ 1
b)
+∞∑
n=1
1
4
√
n
c)
+∞∑
n=1
n
e−n
d)
+∞∑
n=1
n+ 2
n+ 1
e)
+∞∑
n=1
e−2n f)
+∞∑
n=1
1
n5
(8) Use o teste da integral para decidir a convergência da série
+∞∑
n=3
1
n lnn(ln(lnn))2
.
(9) Encontre o valor de p para as séries sejam convergentes.
(a)
+∞∑
n=1
1
n(lnn)p
(b)
+∞∑
n=1
lnn
np
2
(10) Mostre que a série
+∞∑
n=1
(lnn)2
n2
é convergente.
(11) Use os testes de comparação para ver a convergência das séries:
a)
+∞∑
n=1
n+ 1
n2
b)
+∞∑
n=1
cos2 n
n2 + 1
c)
+∞∑
n=0
1 + sinn
10n
d)
+∞∑
n=1
1√
n2 + 1
e)
+∞∑
n=1
1
n!
f)
+∞∑
n=1
n!
nn
(12) Verifique se a série converge ou diverge.
+∞∑
n=1
(−1)n+1 n
2
n3 + 1
.
(13) Use o teste das séries alternadas para verificar a convergência das séries.
a)
+∞∑
n=1
(−1)n−1 1√
n
b)
+∞∑
n=2
(−1)n n
lnn
c)
+∞∑
n=1
(−1)n−1 lnn
n
d)
+∞∑
n=1
(−1)n sin
(π
n
)
e)
+∞∑
n=1
(−1)nn
n
n!
f)
+∞∑
n=1
(−1)n 2n
4n2 + 1
(14) Mostre que a série
+∞∑
n=1
(−1)nn
3
3n
é absolutamente convergente.
(15) Use o teste da razão para a convergência da série
+∞∑
n=1
nn
n!
.
(16) Use o Teste da Raiz para verificar a convergência das séries
a)
+∞∑
n=1
n(−3)n 1
4n−1
b)
+∞∑
n=1
nn
31+3n
c)
+∞∑
n=1
n2 + 1
2n2 + 1
d)
+∞∑
n=2
(−1)n
(lnn)n
e)
+∞∑
n=1
(−1)n
(arctann)n
f)
+∞∑
n=1
10n
(n+ 1)42n+1
”Have a nice work!.”